장음표시 사용
271쪽
In formula posterita, cum xsit vel P, ejusdem magnitudinis manebit sed signum mutabit, quando abscissa magnitudinem suam signo mutato retinet, si P si talissimatur ut mutando abstissae signum convertatur in pSeontra ut is es convertatur in Et haec sermula post rior tertium continet problema solvendi modum
' Verbi causa sit De et a x --, uuando et est assismativa,
ita Eer α ιR; ideoque enoea, d a linea tertii ordinis, imo species earum Plinquagesima nona propterea quod aequati TAB I. esse e RRq. et aec oradices sunt impossibiles aue Linea au Fig. tem curva hinc invenienda, si fiat in Fig. Gm M vel MO Fig. s. 'narithinica est cui reetain B est asymptotos Cum enim Po
si erit eadem, ijitur in re sta linea quacunque a sumaturabiem M me xei ad perpendiculum erigantur αβ κει quaru in κρι sit mi, si Msymptotis αε, αβ per punctuin adescribatur hyperbola ζη,
sumpta, Wm P, et ducatur, asymptoto αβ parallelas parit, ordinataea Crespondet area, quae erit ad areamn te ut sinus anguli subma ad radium, o aIteri parti
272쪽
ejusdem orditiatae respondet area, quae erit ala x ην - κειe in eadem ratione O . Unde PI quae est ad ut Mdius ad sinunt atauli sub N Mui, erit m -- κο Si igi- tur sumatur ας in M, diteaturis ordinataei retro productae occurrem inae, ut sis P L PM-αν, erit , - ideoque linea MI logarithmica, cui AR asymptotos est, x Mordinatim applicata, emciens eum asyniptot As
angulum sub M verIus contingentem aequalem clunidi an
guli lubri ON A stra igitur Uu sine casu deducitur,
ut Iupra a Magis generatim, si, ordinatam curatae alicuius denotat, otiae instar curvarum κMνι, κnc,mpsa aci abscissam Nod
acripta Ordinatas habeat aequales, quae aequaliter distant, Win M, sed a contrariis partibus abscisis positas poni potest ominata. 'arructur/-μα βο--lλ h, rq-ωr,cte. t priori hujus regulae secundae sermula deducitur quoque theorema jus supra fit mentio ad inveniendas curvas tam rationales ouam irrationales utile, quod quiniis erit modus Broblema ibi vendi.
273쪽
ut ejusdem curvae filixi, curvae autem hujus orditiata aequalis erit areae curvae, a ada applicatae, si angulus sub MPν rectus sit. cum areae curvamin ii Fig. 2, berulis, κlae, ph e dem signo assiciatur, tam nando abscissa est affirmativa, quain quando est eadem negativa, quoniam areae ad diversas abicinae partes in illis diversis casibus jacent; praeterea cum eisdem aru1cissae magnitudinibusareae aequales respondeant, curvae, quales problema requirit, inveniri possunt curvarum ope, quarum Ordinatae ad easdem abscissae magnitudines Mitales sint in ab ea
dem abscissae parte positae, si modo ordinatae insistunt abscissae ad
Descripta sit ejusmodi curva no quae tangat abscissam in TAB. I. undiora ut in Fig. m si evanescat, quando abscissa est o. Fig. fluens quantitas fluxioni longitudinis curva no respondens ali. Fig. o. te . quae habeat ordinatam primam Mita ut in Fig. io aequalem magnitudini fluentis istius quantitatis, quando abscisti est, LErigantur ordinatae P p ra; deinde erit PI curvae quaesitae or dinata quae ab altera parte punctim iacet, vel PR, vel m Maip FP p; ordinata autem quae ab altera parte punisti M cadit. -- Mq- I, vel Ninq-Q .
Obseruandum autem est hoc theorema aliquando partein duntaxat curvae quaesitae describere. Ex ratione autem, qua hoc theorema investigatur manifestum est duo crura curvae hic descriptae ejusdem lineae esse partes: Dimirum utriusque naturam eadem aequatione desniri. Hanc autem citrvam in situ inverso dispostam se intersecare tu angula
aequali angulo sub NOB inde manifestum est, quod re flangulum sub fluxione P Ire sub fluxion ordinatarum sciliceta, qualiter puncto dictantium aequale est quadrato fluxionis
abscissae: si enim curvae reo ordinatae vi et,ct applicentur ordinatis Q o, Pp proximae, αPx, MFfimaequales, o ducanturis Uvabscissae No parallelae, erimit triangulapi, qrs rectangula similiain aequalia: in omni autem riangulo rectangulo quadrurum ab alterutro latere angulo recto alacenti aequale es rectangulasybsumma alterius lateris angulo recto alacentis laterisque au-ςuA Uubtende/uis, Fub disserentia eorundem laterum. Igitur
274쪽
temultima ratio P xadpt- pvea quam mixto abuis, habet ad flvitionem ordinatae PI; ratio P vel in adrir-qs ea. quam fluxio abscissae habet ad ordinatae int fluxionem. Unde constat propositum. Regula igitii secunda theorema dc ut sitra. Iam sino sit eirculi circumferentia linea EF cyclois erit, quando angulus sub Nil vel sub N PI rectus est. Porro si mrvae n o longitudo cum recta conferri potest quarum curvariimsiniplieissima est parabola semicubi , curva invetita rationalis
erit. Speciatim parabola semicubi , si rite disponatur ejus eurvae partem dimidiam exhibebit, quam in exemplum formulae prioris regulae secundae delineavimus scilicet tin Fig. Derusiue partemque inferiorem b c cruris abc. Reliquae autem illius partes describi possunt, si retro producatur ordinata I Ρ donec paci prodii sta aequalis sit Minp-Pp, producatur x ab autero abscissae latere, donec pars producta aequalis sit Missis q.
Nunc transeundum est ad regulam tertiam, quae etialia cur-- geometrice rationales largitur. Regula Tertia. Regula haec tertia duosquoque coinplectitur problema sobvendi modos a prioris 1 egulae sociivilis propositione nona tracta. nis de quadratura curvarum Nomion derivatos. Propolitione ista ad formulam regula praecedentis priorem adhibita invenitur area curvae, cujus abscissa est et re ordinata ga φRR-FR, aequalis areae curvae, cujus abscissa est Ra or
drnata, in V. -- RR mina autem quinto solbvitur problema. Verbi causa, ut exemplum generale, quod' antea axe, di i investigetur, positis P - , Pν R, ut prius, fat
275쪽
sint autem m&nnumeri impares vel inter se primi vel eorum alter unitas. ut signa abscissae et&ordinatae R simul mutentur. 1i
cut in regula priori requirit j jam erit ordinata Iraei in
cinguli sub MX ad radium. Haec autem series terminabitur. quadraturam finitam dabit si, si unitasviis numerus negat, uus ternario major, vel si ultimus erininoriun hic scriptorum stultilla aequalis, id est,ssit d -- e vessi sit Δαo,n L
276쪽
a --3. illic quidem ultimnscia sus curvam exhibet quae theoremate praecedenti a parabola semicubica invenitur.
R ' UE ' RP, ubi 'numerum quemcunque parem de
. . . oecurvae ον uordinatam x μ
t rem numeriis lxegativus numero λ mane citrva dabitur geometrice halionali g, vel licerta quaedam relatio tu inter ene1 civium G d. e, ι . . . . , quae retallo lac te ii venitur ut antea.
Porro ad alteram regulis fecundae lata ulla in adhibendo propositionem viniam memorataria libri de quadratura curvarum, sextus ariturproblenia sinendi modus.
277쪽
ddr με Tei' - Λ-FBrr-FCr' - σα cujus seriescoessicientes A B, se dantur per propositionem quintani Tractatus de Quadratura Curvarum Manifestum autem est nec te minos hujus seriei nec quantitatem bb. 2bd-eexrr- -ddro Φ minare mutatione signi quantitatis ;
autem curvae metiendae, abb- - 2 abc in acerr ejusdem igitur area est ad abbr- - abcrr- - Iaccr 'ut sinus anguli sub NMΨ ad radium; ideoque erit Pi bb Φ berr deer hunc autem invenitur parabolam senticia bicam problemati sati Thara facere, quam ita describere oporte Data infit. ιιὰ linea re. 'aram ct in ea puncto C, una cum linea recta C D angulum ' sub BCD eum line, B constituente aequalem angulo, in quo eum se intersecare requiritur Ducatur ad libitum H G Iad CD parallela sumaturque in ea GH CG; deinde dividaturai gulus suba CD in duas partes aequales linea re hae E ct denisque ad diametriun HI&verticem H describatur parabola semiis cubica KHI quae transeat per punctum C. ita ut C ordinatim applicetur ad diametrum H I. Haec parabola ad eandem lineam finia liter applicata sed stulaverse se intersecabit in angulo aequali angulo sub BC Disitire by Corale
278쪽
Si placet curvas hac regula inventas theoremate praecedente construere, ex iis, quae hic tradita sunt, curva huic negotio apta inveniri potest erit enim curvae illius ordinata aequalis areae curis vae κει ada applicatae, quando angulus sub MPν reetus est ri bi causa hujus areae fluxio, nimirum P x et in exemplo secum
do prioris partis hujus regulae erit , Rax ne F ix A
; re be εχ edr'xM4-2M-eexrridis Udp- haec igitur est fluxio ordinatae curvae quaesitae. 'Si sit m amn p, o, erit xx arm aberriis ordinata curvae quaesitae b rrs quoniam igitur et erit in Iceri, erit curva quaesita in hoc cara parabola divergens cum nodo, quae definitur hac aequatione 3 zz aera .e cis . Et hae curva describetur parabola semicubi supra inventa. Verbi causa adrectam lineam in m it AB ducatur per .r opendieularis CD, ad illam ut axin describatur ejusmodi para p. hola divergens FE CE G. Deinde ducatur ad libitum H Langu tum quemclinque datum cum re sta fissi constituens, ducatur
I LM ad CD parallela deinde sumatur H N - ΗΚ ain C Κ, Hora HL- , arci CKL,' ab altera parte punctim.
279쪽
HPαCEM-HM; curva hac ratione descripta parabola
semicubica erit. Hinc apparet quomodo curvae, quarum investigationi gulaliaee tertia aptatur, theoremate praecedenti construi possunt. postquam earum formae cognoscuntur, sed hae curvarum formae, a quibus rationales deriventur, regula hac tertia optime inveni
Hae sunt tres regulae, quarum supra sit mentio. Ultima semientia, quae subnotis fictis celata fuit, exemplo sequenti illustrari potest iis vel alb- re dx Fe vel
dunt in nulla sectione conica, quomodocunque disponatur, quantitatem: conditionem habere, quam hoc problema r quisit ideoque nullam stelionem conicam problemati satisfac re. Quod comprobari etiam potest examinando rectangulum sub fluxionibus primis ordinatarum aequaliter ad diversas partes a principio abscissae distantium. Hinc autem cognoscitur nullam lineam curvam geometrice rationalem problema solvere, quae nrabola semicubica siti sinplicior. Si vem talis inter quantitate a, b, orbe relatio salui potuisset ut si conditionem in hoc problemate necessariam obtineret, nempe Disitia ' Coos
280쪽
si in oppostas parem a suo principio , ae liburiti nimientis Gereponitur tu miroseisto semo conica hine deterininanda xes problemasiaveret, et sectionismblemati sit iuuentis odidinata ad ordinatam hujus rationem haberetritam. Jam vero his regulis alias aliquot, quassi malaciscoepi,ad probleo salvendum adjungam.
Iisdem positis ac in regula prima sti in Fili UNO ad A Rr
AB CD perpendicularis; sint PI, I Ordurata aeqtialitera i primis M distantes, di sit citrua GH per punctum Iducta similis Saecliralis chirvae EF Ordinatis P I QR parallelae re prox, anae ducantur aest, δr, lineae reciae I k, R lineae No parallelae.
ges sub Rom est angulo sub at unde anguli sub IM, Rr H sumpti aequalesiunt angulo dato subjIl; c quantum ruinitus subii dimidium angulisimill Raetiit, tantum argvluduba Rr eodem dimidio descit. Simtur in tu i 9 ii, libet uincirculi vicusno describatur,resumae in snmpm dimidio anguli dati sibili, metui iubum. ang*lo subjIl ,&angulus subiimim ei sub s r. siclores qm p.
pm terunt aequales Posita autem Ilv-Rs 4. eriti Luttam
gens anguli sub j I x vesanita sub nos, ta erit ut tangens amguli subi Ri vel anguli sub nisi ideoque xfluxio o dinatae PIerit iit tangens anguli subnm q. nimirum ut nu; &fluxio ordinatae fit tangens anguli subnisa, nimirum vim, curvae iis galli DΩ, cujus areae ordinata P proportionalis est, ordinaista PQ potest esse aequalis tangenti, vo ordinata κ ab altera parte punisti um n m. soniam autem sectores, R in t sunt aequales, constitui potest sector Un ' Eql Illis areae II Pcurvae cujuscunque Iulillonem Iaabentis in regula pruIa Linis dicatam; .se 'orpnat aequalis areae ΠX ejusdeu curvae.
Denique si ducatur linea rei a m clineaeras parallelad proxi- .