장음표시 사용
101쪽
cat eire si alibi g quam in eorum contactu A. Quod erat
Circulus circulum in uno tantiun puncto, siue intui. ' sine extra tangit . , O t et
Circulus C E , cuius centrum A,tangat circulum C Discinius centrum B, in puncto C (interius quidem , ut ita prima figura, exterius, ut in secundae). Dico in unico puncto tantummodo circulos se tangere. Ducta per contactum C, re C per centra R&l A recta lim B AC . - quae unica recta erit, vi in proxima prino positione ostendimus, & producta in f h puncto G ducta, utcunque,alia recta h I AED, secante peripherias circulorum in punctis E, &D. Quoniam in circulo
et D sumptum est punctum A, quod
non est eius centrum, atque ab eo dum Gl cte sunt plures rectae AC&AD, en- que A C complementum diametri CC Frgo aA C minima est omnium, ideoque minor , quam Ires inter ae fuerint qquum, erunt quoque applicat ir
102쪽
LIRE R IV I b-st equeses. Dictae Dipendiculares vocentur Distantiae: rectarum linearum, applicatarum a centro L λ .s . . : .PIn circulo AI etcuius celit,in E simiapplicatq duq rectqqquales A B dc C D ad quis sint ex centro E perpendiculares E F,&EG. oleo EF, EG squales esset. AE Coniungatur recti E ME B. E C dc E D. Quonia in duobus triagulis A B E,& D EC duo latera A E, B E aequalia sunt duobus literibus D E de C E, atque hasta AB, dc D C ponuntur squales: Ergo q erunt anguli A. dc Dequales inter se 3 cumque in triangulis A F E, D G E sihi duo angi uti recti F, ae G aequales; nec non anguli A dt D nitensi equales; atque latera AEe . idi DE equalia , iubtendentia angulos rectos clim Madii bprv.is. 'b eiusdem circuli . Igitur Flatera E F,& -Em qui sunt pey- h, i. Pendiculares ex centro ad applicatas ducte squalia sunt ut,
Sint secundo perpendiculares E F , dc E G equales. Dico applicatas AB &CI equales esse. Sserumhoc verum uest, qu*libet caria, ut C D, si maior reliqua,& Perpendiculares h F,E G ex cetro secant: eas bilariam in G,ix F. Ergo etia e G in semissis maioris C D, crih maior, qua F A, medietavmi, i 'noris. Secetura iam ex maiori GD recta linea GH equalicipsi F A, iungaturque E H, quq c product secet circunfe- : Drentiam in O. Et quia in triangulis A F E, dc H G E circa am , ' gulos rectos F, ct G sunt duo latera A F dc H G aequalia, pariterque E p, & EG fuerunt qqualia. Ergo e basis E H qqua- ,- lis erit basi E A; estque E A circuli radius. Ergo E H squalism'
est radio E A, siue E O, pars equalis toto,quod est absurdum. Non ergo C D maior erit, quam A B. Eadem ratione non erit minor. Quare A B, e C D equales erunt, ut fuit propositum. Vocentur perpendiculares EF, dc E GDiliam cssos
Constat duo triangula immesia equalium laterum,& qque alta, habere bases *quales . :, ostense enim fuerunt tales , de C D squalea in duobus
103쪽
t tangulis ita scelijs A E B. & D E C. tu quibus latera sunt aequalia, dc altitudines E F. E G qquales; i PROPOS. XI: THEOR. X .
Rectarum applicatarum in circulo maxima quidem lineae est diameter, aliarum autem centro propinquior remotiore semper maior est . . i
In circulo ABC, cuius centrum G, sit diameter A F. & HI propinquior centro, quain C D. Dico mo imam omnium essu A F, ct HI maiorem, quam C D. Ducantur a distantiae, seu Perpendiculares ex centro,G Κ, dc G L super C D, dc HI: crit G Κ distantia maior . quam O Lex hypothesi. Secetur o ergo G
IN AEl - ct qa B E, dc HI equales inter se erunt. Et quia dus recti B G, dc G E, quae simul, equales sunt diame- itro A F, maiores e sunt, q uam B E, erit diameter A F maior, quain B E, seu, quam H I. Eadem ratione A F maior erit quacunque alia C D. Postea quia duo latera B G, v G E trianguli BG Eequalia sunt duobus lateribus CG, Sc GD alterius trianguli DG C, estque angulus B G E maior sua parte angulo C G D. Ergo I basirum B E maior est base C D, idest HI
maior est, quam CD. Quapropter, dcc. . i. .
In dato cireulo rectam lineam applicare squalem datae recte ilineae; oportet autem datam rectam lineam diametro ci culi non esse maiorem.. l I O , .
In circulo ABC, cuius diameter A C debet applicari linea recta, quq squalis sit datae recte D ; sed oportet lineam D essesqualem, aut minorem diametro A C.&, si fuerit equalis, factum erit problema: Si vero D minor fuerit diametro A C,
104쪽
sererer . AI equalis ipsi D, dc centro A. radici A E describatur circulus E B, secans priorem in B, de iungatur recta A B. Dico lineam tectam A B proble ma e cere. Quoniam D equalis facta est ipsi A E, dc A R equalis est eidem AE (cum sint radii circuli EB). Ergo recta A B, applicata inicirculo ABC, aequalis est datae rectae D. Quod erat faciendum.
In circulo angulus ad centrum duplex est anguli ad peripheriam, cum eadem peripheria fuerio basis angulorum.
In circulo ABC, cuius centrum D, constituantur superhasim B C duo anguli B D C ad centrum, dc B A C ad peri- Pheriam. Dico angulum BDC duplam esse anguli B AC.
Ducatur recta A D coniungens an- gulos ad cenrrum, tu peripheriam'
dic producatur usque ad E infra an- c/Uri : ulum ad centrum, & primo AD Cadat in eandem rectam lineam lAB. Quoniam is angulus externus BD Cc globus internis, de oppositis A , dc C est equalis in triangulo A
D C; suntque , anguli A, &C inter ' N. . seqquales, cunilatera DA, & D C fini equalia. nempe radii circuli. Ergo angulus B D C duplex est anguli B AC ad peripheriam. Secundo cadat recta A D E intra angulum B D C. Et quoniam e in triangulo BAD externus angulus E DB qualis est . duobus internis,&oppositis B. & D AB, f Ii di quisquales sunt inter se, ut prius dictumi I j est. Pata ratione in triangulo DACex-l l ternus angulus E D C qqualis est duobus , I incernis, & oppositis C, dc D AC, qui pa- a driter equales iunt inter se. Ergo totus an- Taulus BDC squalis est quatuor angulis
105쪽
A, D A DA C, & C i ted duo an platani de C sim Larum les fiuiit duobus reliquis . idest angulo BAC. Digo aliasuim B. D C duplui est anguli B A est. in cni erat decli uti mi iaci I Terito cadat A D E extra angulo in P DC scier lip Hri. m in E. Pc stea secetur a angulus BDC bifariam a recta DF & angulus E D B bifatiam a recta D G. Iairianguli, B D G.& E D ci equalibus addantur eqiuales angula B D mdc C D F, angulus G D F erit coli is angulis E DG tax GD T, limulsu uaptis Vcumque hi matuor annulis intentiales tori angulo EDC Erm angulus G D F semiliis est anguli F D C. Et oti niam e in triangulo C D A externus angulus E DC equalis est aumi I D A C, & D C A inter te qqualibus. erit se millis illius, idest angulus G DF, milis angulo, D A C. Ruriue quia ini triangulo A DR externus amulum EiD Rr aequalis est ansulis D AD, At DB Ax- qualibus, erit Idmissis inius est angultis G D B, equalis angulo DA B. Si ergo ab: aequalibus angulis G DF ct D A C tollantur equales anguli G D B, & D A B. erynt residui B D F.. ct B AC qquales uitet se i Estque BDF semissis ipsius D trgoangtilus BDC duplus est anguli B A C. Quod erat ostindelidum. PROPOS. XIV. THEOR. XII.
In circulo, qui in eodem segmento sunt, anguli inter se surae qquales Et duo anguli equales suismsi ab ea pixecta lnea. ad easdem partes constituti, sivit in eo ni circuli segmento . .:r,e OxblH rL i(I I 8 N. . I. ii , tIn circulo , cuius centore E, existant duo anguli A, dc B in segmento Di ABC. Dico. em eae aequales. Sit i prinici segmenthun demicirculis ma- bi ius a de a centro E coniungantur rect*.DE, & C E. Quoniam a angulus East centrum duplus est tam ipsius angulii A , quam anguli B ad peripheriam , scum omnes eandem peripheriam DC pro basi habeant. Ergo anguli A,& B inter te sinat sq uales. Secundo
106쪽
Secundo sit tegmentum D ABC aut semicirculiis , aut minor semicirculo : dc coniungatur Fecta AB. Manifestui, est segmentum ADHR maius esse semicir. culo; mdeo(ex prima parte huitis proelpositionis 3 duo anguli A D F, dc BC F in maiori segmento existentcs. equales sunt inter se s ih sunt, bariter duo arietulit adverticem B F Q, & A PII mauulorum litterse. Erme in triangulis ADF & BFCtertius angulus D A F aequalis erit reliquo angulo C B F. Tertio sint duo anguli A BC, dc ADC aequales inter se , ad easdem partes, stibi si ab eade recta A C; dc circulus dinscribatur , a cuius peripheria transeat per puncta B, C,do d ScM.'r A. cci ius centrum sit G. ostendendum modo est ounctiam D para .huius. in eadem segmenti A B C peripheriata reteperiri. Si hoc veram non est, tram dseat, si fieri potest . por punctum O vin intra, vel citra D. Manisest intest duos angulos ABC.& AOC in eodem segmento A B O C reperiri; e ideootae aequales esse inter sererat aurem ex nu-pothesi angulus C D A aequalis eidem angulo B . Ergo duo anguli ADC,&AOC equales erunt inter se, externus interno, dc opposito in triangulo C O D, quod est absurdum. Non ergo periphe fc' 'βM ria circuli A B Otransit ultra, vel citra punctum D. arcem' prscise per D punctum transibit. Quod erat ostendendum
QD Interorum in circulo descriptorum anguli, qui ex aluerso,duobus rectis sunt equales. Et, si in quadrilatero amguli oppositi duobus: finis squales meruit, circulus per quatuor puncta quadrilateri transibit.
In circulo, cuius centrum E, inscriptum sit quadrilaterum auodl :bet A B C D. Dico duos angulos opponios A B C, dc. D C duobus rectis qquales esse. Ductis diametris quadris, lateri A B D ierunt a duo cinguli ABD, AC Dim a prop. t. eodem legmento ABC D aequales: inter se. Sitnil iter erunt hunia. duo
107쪽
mul. Ergo additocommvnblingula GA DA, erunt in quadrilatero duo angult
, D A. simul sumpti,, sed hi tres umias D trianguli aequales iunt duobus rectis et . . . . o. is nil Ergo duce oppositi ABC ' CD Adtiobusrect saeotiales sunt. Eodena mCdo Ostendentur duo anguli oppositi B A D, & B C Dduobus rectis aequales. Pae
e Secundo sint in ouadrilatero A B C D anguli oppositi R. de DuuChimaectis aeouales a pariterque anguli R A D, & B Crisint duobus tectis aequales. Dico circulum per puncta A, R C. D transire. Ducta diametro Co circa triangulum AC B, circulus describatur; e quem dico necessario transire peri punctum D. Si oum hoc verum nC N est , transeat, si fieri potest per pum
Z ctum E vltra, vel citra D & contui i gatur recta A E. Quoniam quadrilat rem A B C E circulo inscribitur: Ergo Iri sex prima parte huius duo anguli E,
ZE & B erunt duobus rectis aequales:erantae autem ex hypothesi anguli B, dc Dduobus octis equales . Frgo hi duo illa, duobus equales ei ut,
det ablato communi angulo B, erit angulus E aequalis angulo D, quod est falsum,&contra coroll. I. pro s. I g. lib. I. Non ergo peripheria circuli transit per punctum E vltra, vel citra
108쪽
Quoniam circuli aequales sunt ; Ergo a quatuor radii A G, C a Iam G, D H, dc F H sinit aequales. : ponutitur hia autem anguli G, & D H F aequales: Ergo bases , A C, dc D F; nec no omnes anguli supra bales triangulorum isoscelium AC G, dc D F H aequales erunt. e Iam intelligatur circulus una cum triangulo A C Giuperponi triangulo D H F. ita ut punctum G super H , dc recta A G super H Dcadat. dc angulus G super angulum H,cadent a necessario duo puncta A, dc C super D, dc F, propter aequalitatem tum laterum, tum angulo h. grum in ipsis triangulis istoscelibus qqualibus. HlS positi , necesse est peripheriam AIC cadere pr*cise super peripheriam D Κ F. Nam si caderet supra, Vel infra, aut partim supra, partim infra ipsam, ut in D N F et tunc., ducta a centro H recta ΗΚ N, secante utramque peripheriam
in punctis Κ, dc N; quia H Κ aequalis est radio H D; pariterque H N equalis est
H D, quia e sunt radii circulorum aequalium. Ergo H Κ, dc H N equales sunt inter se, pars, dc totum, quod est impossi-hile . Non ergo peripheria AIC cadit supra, vel infra peripheriam D Κ F.Quare sibi congruant necesse est; ideoque aequales erunt inter se. quod erat primo loco ostendendum. Sint secundo anguli ad peripheriam B, dc E aequales. Dico eos insistere super squales peripherias AI C, & D Κ F. Ducantur radii AG, dc GC, D H, dc H F. QuDniama angu-- i. lus G ad centrum duplus est anguli B: pariterque angulus D M'H F aequalis est duplo anguli E; iuntque duo anguli B aequales duobus angulis E. Ergo anguli G, dc D H F aequales sunt inter se, Ac sunt ad centrum; Ergo peripheriae AI C, dc D N Faequales sunt inter se (ex prima parte ). Quapropter si anguli B, de E equales meruit, dec. Quod erat ostendendum.
Patet etiam in eodem circulo angulos equales,siue ad cen
109쪽
is ilEt, si dicti anguli ad periphetiam fuerint inaequales, maiori insistet maiori peripheriae.
Patet etiam angulos aequales adolent riun d mmciem . rum equalium una cum Peripherxis subtei 1sis comprehende re figuras equales. Vocentur illo Sectores.
Nam ex eo, quod anguli G, & H ad centrum positi sulit ara uales inter se, ostensae fuerunt figura: GAIC,&HDΚ sibi mutuo congruere, & ideo squales erunt .Qus uoccurus
Hinc patet artificium, quo modo cuilibet datae petemherim A C altera ei aequalis in eodem, siue riuali circum rescinda
Si enim angulo ad centrum A GC qqualis efficiatur e amgulus D H F , erit peripheria abaeissa D F aequalis peraph
rit A C. PROPOS. XVII. THEOR. XU.
In circulis squalibus anguli, qui equalibus peripheriis insistunt, sunt inter se equales, siue ad centra, siue ad periph rias constituti fuerint. In circulis equalibus, quorum centra G, dc H, super qquales peripherias A C,&D F insistant pruno anguli H , & A G C. Dico eos esse squales. Si enim hoc um rum non est. Sit angulus A G C maloi, vel minor angulo D H F. Et fiat angulus AGI qualis angulo I .erunt , igitur peripherit AI, & D F equales inter se; erat autem peripheria A C qqualis eidem D
F . Ergo perapherie A C, & AI squales
110쪽
sunt inter se, pars, dc totum, quod est a surdum. Non ergo anguli A G C cdc Hinaequales sunt. Ergo patet, &c. Insistant deinde anguli AB c . & E, ad peripherias constitvis, basibus A C. dc ob aequali-hus. Dico eos angulos e sic qquales. Quoniam Propter aequillitatem peripheriarum A C, dc D F anguli ad centra G. iv Hsquales sum inter suc ex prunii puta) ; hi vero dupliciunt angulorum ad Peripuerias b, de E. Ergo B,& e mp ri. E equales tulit uater te. Qin ,d erat, dcc. le id , TOROLLARIUM. I.
. Similitetas in isdemiaculo peti Pheriae aequales mellat. ' verunt ansuli vis enim squale .
Et si anguli ad centrum inqquales suerint in eodem , vel x- qualibus circulis erit peripheria maior, quq est basis anguli maioris. Elii perimem ma mus su inrt urit angulus ille M. qui maiori peripheriae insistit maior reliquo. Patet hoc ex demonstratione prinas partis huius propositionis. Nam ex eo, quod angulus A VCpositus sust maior angulo D H Fconci unus p ipheriam o C ipsa AI, seu D F. fuisse in
Constat etiam, quod duo anguli squales, ad circunferentiam eritidem circuli, existant in tegmentis squalibus. Et contra, si in tegmentis squalibus eiu idem circuli existant, crant anguli Gquales inter se . Nam anguli squales insistunt d pro Pei iplictai, Vqualidus ; & propterea residus peripheris totius h- circuli, squales inter te erunt; dc ideo sigiuenta ipsa circuliqqualia erunt. E contra quando segmenta sunt Squalia in eodem circulo, dc complementa totius peripheri e ciusdem cuculi qqualia erunt ; & ideo e anguli, ad peripheriam iis uasi- eprep. tr. stentes, equales erunt ; qui nuntrum existunt in scgmentis *- binis .