장음표시 사용
81쪽
equales, idem semietur. Sin minues, duo a b B E parallela ipsi D Anun in C cad cnte, fiat parallelogramnatim A E. Ergo angulusi A BE qqualis erit opposito ansulo D. sitie illi quali ABC, pars, d totum, quod est absurdum. Non ergo BF parallela ipsi DA alibi, quam in C cadit. Vnde patet . proposituri . t . et . a ... Diato sint Ap,&D C parallele dc triangula A DB. dc C D 3 equalia , idem sequetin . Sin minus d picta . BE parablela ipsi D A, non in C cadote, fiat parallelogrammum E A. Ergo ι triangulum E B D' equale erit triangulo B A n, suci P v, 's illi equali triangulo ID C, pars, ct totum, ciuod est absur-dtim. Non ergo B E parallela it si D A alibi, quam in C cadit. Quanopter quadrilaterum AC est Parallelogrammum . . Quod erat ostenden m. ies Sexto sine dianae V Ac lacte bifariam in E. erit qui di que A c para Ilelograminum. Nam duo triangula A E B E D circa quales amssu os ad verticem m E habent latera m
les inter se erunt 1 ideoque o A B, D C lim, ter se, parallele erunt. Eadem ratione A
D, & n C paralle Iet erunt: & propterea spatium p AB C D p
Si in quadrilatero duo latera opposita sint parallela,ct duo reliqua lintera opposita intersesint equalia,non erit ne Srip paralleletraminum. Sie tisangulum holoetium E A B , or ducatur D c parallela basi in B. Et quoniam trianguli co cui r duo anguli E in B, E 3 A squales une supra basim ; esque sanguiui ea ternus ED CDE , qualis interno, opposito E A B, propter parara tela, A B, DC; eadcmque ratione augAlvs EOD qualis est angulo EB A. Ergo i duo anguli E DC EC D equales inter esunt; di propterea a Iubtensa latera D E , C E equalia erunt. Quare, si ab equalibus lateribus EA, EB triangAli i sce- lv E AB tollantur squalia latera DE E, erunt resilua D A, BC equaIia ; O proptcrea quadrilateram ABC D, habeni duo latera opposita AB, D C parallelas di duo reliqua latera AD, BC
82쪽
Datam rqctam lineam in quoteimssi squales partes diuidere. Sit data recta linea A C, secanda in datam multi tudinem partium aequalium. Ducatur Man A recti A II, essiciens in A quemlibet angvgurii C AB,& in AB secetur quodlibet segmentum AD,dcuanta iiiccessive partes DE. EF FB aequales ipsi A D. quae tot sint , quot partes Squales in AC,
Cantur c rectae DN, EO F B Q coria... X parallela: ipsi A C, secantes proximas parallelas in N O.R. t v Et a quoniam, propter parallelas oppositas, spatium GDN d p - is asparallelograminum est: erit. D N aequalis ipsi G H c- - e P op. xsque is triangulis D NE,& A G D externus angulus NDE fpry is v aequalis sit uaterno, dc opposito angulo A. propter parallelas DN, AC, atque a internus angulus N E D aequalis sit exter- g Pr . is,no, & opposito angulo G D A. propter parallelas H E, G D; atque duo latera adiacentia D E, A D equalia sint facta. Edigo b latera DN &A G qqualia sunt inter se: erat autem GH hyre s, aequali, eidem D N. Igitur . G ti squalis est ipsi A G. Eadem ratione H M, dc MCostendentur squales eidem AG. Quare '' i' AC secta erit in tot partes sqqalh AG, G H, H M,M C, quot sunt parres imperatae, contentae intecta AB. Et hoc erat faciendum.
Constat ex constructione huius propositionis, quoil, s la- tus trianguli cistributum fuerit in qii otcunque Partes qua
83쪽
les, atque a diuisionibus ducantur rectae lineae parallelae basi, diuidetur ab eis reliquum latus in totidem partes a QVales.
Sidtio anguli interni ad easdem partes eiusdem lineae rectae, secantis duas ollas rectas, fuerint minores duobus rectis angulis ille recte lineq, productae, triangulum constituerit. Sint duo anguli D AB &CRA minores duobus rectis . Dico rectas lineas A D. dc B C concurrere ad partes D, C, dccssicere triangulum . A quolibet puncto E, infra A, coniti imgatur recta E B; & fiat a angulus B E F qqualis angulo E B C. Et quoniam duo. anguli A, & A B C, idest tret anguli A . AB E,& E R C minores sunt duobus rectis. Et go e minores iurit duobus angulis BED,& B EA, Qui duobus rectis cquatas lunt; dc cst d angulus D F B equalis duobus anguis S A , dc A B E in te nis,& Oppositi, in triangulo A B E. Ergo e reliquus angulus A E B maior erit angulo E B dc propterea angulus B E F ( qui equalis erat amgulo E B C erit minor angulo A bE B; dc ideo recta linea E F secabit rectam lineam AB, inter puncta A, & B. Deinde Is centur rectae FΚ, Κ M, dc M G, singuis squales ipsi A F,quousque fiat A G maior, quam AB. Postea ducatur a G X parallela ipsi FE , vel BC,& F E mens ui eripiam G X. productam, toties, quoties A Fmetitur Ipsam A G, dc coniungatur h recta A X, dc a punctis F, Κ, Mi ducantur, intra triangulum A G X, rectae M H, ΚO, F N parallele ipsi A X, secantes latus G X in puncti, H, O, N. Patet latus X fore diuisum in tot partes inter se qQua-lari, H, H O, O N. N X, quot si int partes equales ipsi A F, contentc in A G : sed quoties A F mcni uabat iplam A G , toties F h metiebatur rectam G X . Igitur rectae E E, & G FI
84쪽
L I B E Ri. I. . m que metientur eandem rectam G X ; dc propterea I G H ae quas is erit ipsi F E; erat autem M Gequalis ipsi AF, atque, angulus is M G H aequalis angulo A F E seo quod G H, dc F mm it. E sunt parallelae ). Ergo is angulus G M H aequalis est angulo F A E. sed, o propter parallelas A X, & M H est angulus G A .. X aeo ualis eidem angulo G M H. Ergo p angulus F A E equa- '-is. lis est angulo G A X: congruunt autem duae rectae FA, ct G PA. Ergo duae rectae E A & X A sibi mutuo congruunt; ideoque recta AE, producta conueniet cum recta G Tmpuncto 'X. Tandem cum in triangulo G Aga puncto B ducatur re.ctas et intra ipsam triangulum, parallela basi G T. Igitur producta secabit reliquum latus A E X, ut in pu cto R. Quod
ri nil bu , ε .HE ut is Patet, si recta Mea secuerit vitam parallelarum, secare quoque alteram.
Nam ostensa est recta A D, secans unam parallelarum F E, secare quoque reliquam B Q h i
Nine colligitur, quia, si quatuor rectymes se secuerint, ita Meon.stituant tres angulos internos ad easdem cpartes, qui simul sumpti, minores sint ' .-' quatuor reing, postrem e rects conue- Nimates adrangulam efficient. Rem daries AB, Ac, CD, W DEumant tres angulos B, c , ct D , intemnos, em ad emem partes minores qκamor angulis rectis. Dico postremiis 3 ectas lineas S A ' DE, productas, concurrere ad partes A ct E M ima G, in escere quadrilaterum . contumatur recta linea B D. svoviam tres angvis AA C, c, ct c D E,minores utu quatuor rectis autilis, fiuntque t tres anguli trianguli S CD squales duobus rectis .im silao residui e-- anguli-B D, .PE D B, simu umpti , minores erunt Q.Obus rem saxis apropterea i recte B D E producte, convenient ri in G. c
85쪽
si in duobus parallelogrammis unus angulu viai amulo - , qualis fuerit, atque basis inter se, pariterque altitudines aequales fuerint: etiam arallelogramma erunt aequalix
H seu altitudines A Κ, E N aequales Dico parallelogramma B D, F H qualia esse. Ducantur diametri A C,
qtioniam circa angulosqquales R. F. latera A B, E F simi equalia, atque latera BG, FG sunt pariter squalia. Igitur , triangula ABC, EFG q- qualia sunt, dic eorum dupla patallelogramma BD, FHe- qualia quoque erunt. Quod, dcc. .
Faeta eolligitur, quod in duobus triangulis, aut parallelogrammis, s 'unus angulus ueni an Io equalis fuerit, aut ambo simul squales sent si bus angulis rectets , di latera eleuata serant squalia: erant perpendiculares a fummitatibus triangulorum, vel parallelagrammorum, ad eorum bases ductae, squales inter se. Voccntur diras perpendiculares Altitudines triangulorum. In triangulis, in paraues rammis A BC, in EFG sint anguli B in F equages ivter se, vel ambo limul sint equales duobus rectis, O laetera eleuata ABO EF sint aqualia ; ct a summitatibus A, FE ducana' u. tur d perpendiculares in T, di E N, qus serent bases B c , di FG in T, , N. Dico perpendiculares AR, EN seu es esse. Et primo , se angulie prep. go. Boe F recti sint, patet e ipsemet latera squalia AB, EF terpendicularia esie . , si anguli Boe F sint squages duobus rectis; cum i etiam an ip rati deinceps, facti a recta E PIuper NFG ,sint equales duobus rectis, s a i*, 3 abino e communi, remanent anguli B, ct E F N equales inter se di
86쪽
si duo parallelogramma non equiangula basesqquales , dc iiii altitudines squales habuerint, erunt qqualia.
In parallelogrammis A C, E G, non equi angulis, sint bases B C, F G equales,& parallelogrammorum altitudines sint etiam equalesqDrm p trallelosraivmMAL, R EG esse equalia . F lata angulus C B Κ cqualis angulo F, dc ducatur b c N parallela B Κ promi - . um ducta A D secet c paral- T
factumque a crit parallelogranimum B C NΚ, cum etiam A N sit Tparallela BC.QNpniam ita in triangulis AB Κ, dc DC N est . angulus C DN externus iequalis interno, & opposito angulo B A Κ ( propter parallelis A B, C D ); pariterquefinternus angulus C N D cqualis f prv. is
est externo B Κ A, in parallelis CN, B Κ,&duo g latera B A, g prop., C D, subtendentia equales angulos, sunt inter se aequalia .; caen sinat latera opposita parallelogrammi A C. Ergo A triath h prop. x s. gula AB Κ, dc D C N aequalia iunt inter se. Et sin a -- --, L primo, Sc secundo casu
parallelogrammo BN.At (in tertio casu ) h ablato communiter tria lo D O Κ, erunt quadrilatera AB OD & N Κ O C squalia inter te; adclito- xque . communi triangulo B O C, erit Pariter Parallelograin-naum AB C D squale parallelogia. nino B CN Κ. Icm quia ' puallelogramma B & A C Dint liuersaiden, Parab
87쪽
mpes .is. telas AN&RC. erunt aeque alta; cum omnes perpendiculares, seu distantiae parallelarum A N&BC equales sint. P sita autem fuerunt parallelo-H gramma F H & A C aeque alta . Igitur parallelogramma BN dc F H eque alta sinat, de habent bases B C F G qonales inter se, atque angulos N B C. de F qquales inter se. Ergo parablelogranatiuim is F H aequaleta est parallelogrammo B N: Sed ostensium fuit parallelogram-mum A C squale eidem para telogrammo B, N. Igitur a P rallelogramma A C, dc F H qualia sunt inter se.
. Hinc deducitur, quod, si fuerint duo parallelogramma aeque alta, quorum bases inaequaIes sint, parallelogramma erunt inequalia; dc maius erit illud, cuius basis maior hst. Nam in parallelogrammis qque alti si posita aequalitate ba- rem sium, parallelogramma parqualia sunt; sed si una aequalium basium augeatur, necessario parallelogrammum auuetur. Ergo illud parallelogrammum maius erit , cuius baus ma-
Triangula, quorum bases qquaIes, dc altitudines sunt aequales, erunt aequaIta inter si . Triangula A B C, & D E F habeant bases B C, E F aequales inter se, dc perpendiculares, seu altitudines A O, D N a pun- , Dad bases B C & E Fus m
F ductae, sint aequales. Dico triar
gula A B C,D E F esse inter se mua-sa. Ducta a A G parallela ipsi B C,
&CG facta parallela ipsi B A, fiat parallelogrammum ABCG . Pari ratione compleatur parallelogram-mum E D H F. quoniam parallel gramma B G, dc E H habent bases BC, E F aequales , dc altitudines aequales ( cum perpendicula.
88쪽
te, A O dc D N sint altitudines parallelogrammorimi B G di E H). Ergo parallelogramma BG&EHqqualia sum inter bprv. r.
se, Sc eorum semisses e pariter aequales erunt: Suntque atriai, c a te s.
gula A B C, ct D E F dimidia parallelogrammorum BG, Sch H. Igitur triangula A B C, ct D E F aequalia sunt inter Q. Quod &g. .
Deducitur, quod, si duo triangula fuerint aeque alta, de bases inaequales sint, erunt triangula ipsa inaequalia , maiusquc erit illud, cuius basis maior est.
Manifestum est, si parallelogrammum, dc triangulum habuerint bases squales, atque altitudines aequales, esse Paraelellogrammum duplum ipsius trianguli. Habent enim parallelograminum B G, dc triangulum D EF bases B C & E F aequales, atque altitudines etiam aequales loc ostensum filii e triangulum ABC aequale triangulo DE F.
Ergo parallelogrammum B G ( quodIduplum est ipsius tri s 3 ψ ... guli A B C erit quoque duplum alterius trianguli D E F. COROLLARIUM III.
Patet etiantiquod, si fuerint duo triangula mud alta, di basis unius aliquoties metiat ur biam alterius,triangulum quinque toties reliquum triangulum metietur, quoties basis b
Si enim in triangulis A B C, D E F, aeque altis, ipsa basis E
F metiatur aliquoties basim BC, everbi gratia quater, atque a punctis diuisionum M, R. & S aet .vvricem Acomungamur rectae lineae et distributum erit triangulum AB C in tot tria-
S, dc S C. Suntque praedicta triangula eque alta, tum inter se,
tum ipsi D E F quandoquidem 1 puncto A perpendiculnis ad basim B C ducta, altitudo communis est & squalis altilindini
89쪽
dini trianguli DEI omnes bases squales fimi. Igitur est ep. 3 . triangulag omnia , an que 'distribuitur triangulum A B C , qualia sunt, tum inter se, clim ipsi triangulo D E F. Et pi Opterea toties triangulum D E F metietur ipsium triangulum ABC, quoties illius basis E F, huius basim B C metitur. Euet x.I. PROPOS. XXXIII. PROBL. XI. a u i ' ' , ..
Dato triangulo, cquale parallelostraminum constituere in dato angulo.
Sit datum triangulum A B C,& angulus D. Describcnduruest parallelograminum aequale ipsi triangulo, habens angu-' tum qqualem angulo D. Secta a B C bifariam ira E. ducatur
AG ducatur parallela ipnB C. Patet a spati si C F pMG rallelogramum esse: quod ctim habeat eandem basim E C cum triangulo AC(E ; sintque 'qdicta Ibatia inter easdem parallelas ece .u. i. AG,&EC. Ergo e paral- P p s - i . logrammum E G duplum D - . est trianguli A E C; ed rest, a. triangulum A B E inuale est criangulo A EC(cumbate, B E,& E C cquales , dc casidem altitudinem habeant . Ergo duo triangula A B E, & E A C simul, idest triangulum A B C,duplum erit trianguli A E C. Erat autem spatium EG duplum g Axio. s. quoque eiusdem trianguli A E C. Ergo g parallclograminum EG qquase est triang lo ABC. Quapropter dato triangu- Io, &c. Quod erat faciendum. Euci. 6 I. PROPOS. XXXIV. PROBL XII.
S cr data recta linea quadrilaterum describere,cuius omnia latera equalia sint inter te, atque omnes eius anguli recti si : t. Vocetur talis figura Quadratum, ..
90쪽
L I B E R F. dida est. Fleuet: a C Sperptadicularis sup r A B, dc , secetur C Aequalis ipsi A B: ducaturquec C D parallela ipsi A B , ikB D parallela alteri A C, conii eniens a cum D C in puncto D. Dico spatium paralleIogrammiihi A Dessetqui laterum , dcqquiangulum. Quia A D parallelogrammum est. Ergo elatus C D equale est opposito lat*ri A B; sed eidem A B ex constructio e est equale C A. Ergo D C 'cquale est ipsi C A. Sed g rursus eidem C A aequale est latus illi oppositum BD. Ergo B D equale est ipsi L D:est ecidem C D equale latus , oppositum AB. Ergo B D, de A R inter se sunt qqualia. Patet ergo omnia latera parallelogrammi A D equalia esse inter se.Quinniam i vero in pargit logrammo AD duo interni anguli A ct C equales sunt rir B duobus rectis ; est de A, ex constructiones, rectus. Ergo C quoque rectus est. Cumque x anguli B, & D suis oppositis sint equales. Ergo erunt anguli B, & Drecti quoque . proptereaque anguli omnes figurq AD rectierunt. Descripsimus ergo sit per A B figuram A D, quam ostendimus cuc equi lateram, dc squiangulam. Ut querebatur. UOcctur illaQuadratum.
Ex postrema parte huius propositionis colligitur, cuiuslibet paSallelogrammi cuius unus angulus rectus sit, esse omnes alios angulos eius, rectos.