장음표시 사용
121쪽
anguli conflithere. Et q. ta datus anmius certa qu edam quantitas est,es bet hec determinari per certara , O determinatam inclinationeis, ita isqvel bet iuclevatio, maior illa, Oceat angulum maiorem, di quilibet minor iri tinatio minorem angvllim constituar. Cum ergo queratur an crauerticulum contingentis sit angulus, considerandi m est an in diuerticulo contingentis aliqua reva, O determinata inclinatio reperiatur ; pro qua
Primo, si due rectae linee non suerint inter se parallele, urinearum in omnibus eius punctis ad alteram habebit vitain, dc eandem inclinationem, quc equalis est angulo contento a perpendicularibus, super ea idem rectas lineas cadentibus.
Sint I recte lineae M B , D E, non paralleis inter se , ideoque productae concurrevi alicubi, ut in F, O efficient angulum DF B. Et se a quolibet puncto E recte D F l etaretur perpendieularis E H, atque a P libet puncto A recte F.A etaretur prependichiaris A H. Quia duo anguli reos .A, E , His cum angulo I F E, interei, O ad emdem partes , minores tunt quatuor rectis. Ergo m pcrpendiculares A es , in E M comvenient, ut in M. Ostendenatim modo est quemlibet angulum AH E equalem esse avtilo DF B inclinationis recta liner D E , in Polibet eius puncto E, cum recta AB. Quoniam n quatuor angi D quadrilateri F AH E equales sunt quatuor rectis ; O duo anuli is,M E recti sunt. Ergo duo anguli AF E, AH E equales sunt duobus rectis . Sed o duo anguli deinceps D F B, D F A squales quoque sunt duobus rectis. Ergo illi istis aequales stini, di ablato communi angulo A F E, erit quilibet angulus AH Eaequalis DF B. Quare νna , di eadem est inclinati o
in S; di haec aequalis es angulo, a perpendicularibus contento. Quod erat Uendendum .
Secudo inclinatio circularis peripheriq, in aliquo determinato eius puncto cu recta,circulti tangenter equalis est angam to a radi)s ductis ab eode puncto,& a contactu comprehenio.
ctus ad plamcni horteontis, in quo intectigatur duct.i recta, coni mens circulum in F in puncto infimo A: sitquepariter in plano in- .clinato recta E G , circulum co tingens ista, puncto E ; atque a punctis A , di E dticantur rade in C, E C. Du o angulum ACE aequalem esse inclinationi peripiaria cercularis
122쪽
R E in ipso puncto E cum tangente . A F. Ivle gatur pila E. in puncto cir c-ferentia E collocata. mavi fistum est sex elementis mechamicis iam E impetum, atque me menthm exercere pro mensura inclinationis i lius linee , perquam descendere conatur: sed fue pila E sustineaturaeirculi peripheria in pulicto E, siue fusinearer . plano inclinato H G eumdem impetum , ac momentum habet . propterea inclinatio peripherra cimetitaris in puncto E eadem omnino es cum inclinatione recte tangentis HG; O propterea inclinatio circularis peripheris in puncto E cum ipsa tangente, seu horreontali AF , es illa, qus determinatur ab angulo H GF. Sed ex 'scedenti ahgulus HGF aequalis est angulo AC E, d radiis perpendicularibus contento. Igitur inclinatio peripheria circularis B Ein eius puncto E cum tangente in F squalis est angulo a radiis, ductis a puncto E, dia contactu A, contento. Simili ratione Vendetur, quod inclinatio eiusdem peripherae circularis B A in quolibet alio eius punctoo aqualis es angulo OC A. Quare patet propositum. -
Hinc manifestum est circuli peripheriam cum tangente es ficere non unicam, sed infinitas inclinationes s scilicet tot imclinationes, quot sunt puncta peripheris; eo quod radius Accum radiis dinis gulis punctis peripheriae B E A: angulos semper inaequales Ociet; quibus reuises suis inclinationes eiusdem peripheris in
singulis eius punctis cum tangente in F . Deducitum rego maxima diuersitas inter verum angulum rectilineum, O diuerticulum contingentiae. Nam in illa Ha linea in singulis eius punctis eandem inclinationem cum reliqua recta escit; at in contactus drauerticulo circtili peripheria tot inclinationes cum tangente Qcit, quot 'ut peripheriae puncta. Modo quia ad aviai constitutionem unica, certa, O dete, minata inclinatio requiritur . Ergo diuerticulum contingentia, habens infinitas inclinationes , avgulus non erit: vis ex infinitis postrema inclinatio acutissimastatuatur pro eius mensura; at postrema inclinatio reperiri nequit,nis in puncto contactus; quandoquidem qualibet alia habet post se infinitas inclinationes minores, di maiores, re punctum contactus cum recta linea, eirculum tangente, angulum non e est s cum angulus sit incinnario Garum linearum; non a tem esse poterum inclinatio linea, in visus puncti. Nec concipi pstest , qua ratione punct um contactus , in ip tamet; gente existens, inclimat onem esciat s neque Ara tentia Apolloni r stetatur , qui, Pt ait Proclus , censet angulum esse Primum sub ch. i. e. it.
puncto interuallum: pariterque angulum esse luperficiei in comm g.
123쪽
uno puncto sub linea refracta collectionem : & oportere e se aliquod interuallum primum Iub continentiu in linearum inclinatione. Hi enim impo bile, vi punctum peripheris, quod immediate sequitur contactum Ociat angulum cum recta tangeme; quandoquidem duo puncta, Pel tria, vel alia quelibet mMltitudo flvita punctorum contiguorum, longitudinem linearem minime incerepossunt. Et insuper singula illa puncta post contactum habent diuersas , di in aequa- es inclinationes. Quare impiabile est, H recta linca cum linea curua , vel due curve inclinationem unicam certam , di determinatam eo iatuant; propterea angulum planum non Ocient. Quapropter deni on-fratum non erit diuertisulum contingentis esse angulnm, er minorem quolibet acuto rectilineo . Ut fuerat propositum .
A dato puncto , extra circulum posito, rectam lineam ducere , quq datum circulum tangat. Ex puncto externo A ducenda est recta linea, tangens ci culum BC, cuius centrum O. Ducatur recta A D , secans circulum in B ; deinde centro D, interuallo D A , describsetur circulus A E ,& a ex B educatur B E perpendicularis ad Lusecans circulum maiorem in E, dc ducta recta D h, secante
circulum minorem in C, connectatur recta A C. Dico A C tangere circulum B C. Quoniam duo latera E c ,& d D trianguli B o h cqualia sunt duobus lateribus O A , dc D c triaguli C U A utrunque utrique, cum sint radis circulorum equalium s &angulus D communis est. Ergo bamruli D B E & D C A simi inter se equales estque DB E factus rectus. Quare o C ' rectus quoque erit. c 1ecoqueC A tanget circulum B C. Quare, &c.
Si circulum tangat aliqua linea recta, erit, que a centro ad contactum ducitur, perpendicularis ad tangentem. Et si ad punctum contactus perpendicularis excitetur,Per centrum
124쪽
Claevium CG E tangat recta AB in
trum ducatur. Dico angulum AC qualem esse angulo F in alterno tegmen
to; dc angatum B C E qqaalem esse angu- lo C G E. Quoniam a uterque angulus ACE, Sc BCE rectus est , iuntq; anguli F, C G E in semicirculis quoque recti. Eangulus ACE qqualis est angulo F; digulus B C E qqualis est angulo C G ETranse it secundo recta C G non per Ecentium, de diameter C E ducatur, Wiungatur GE. Osten-N den-
125쪽
dendum est angulum A C G equilani cme a m ulo C E G. in alterno segmento, de angulturi BC Gqquatam angulo D. Quyniam cin semicirculo angulus C G E rectus est. Ergod in si C A triangulo C G E duo reliqui anguli GE C, & G C E uni recto equales erunt, idest sunt squales angulo e recto ACE. Ergo ablato com uini angulo GCE. erit amgulus AC G squalis angulo CE G hi absterno segmesuo . Postea 'Mnia inquadrilatero C DTI E tau angula ponti D, dc E duobus rectis equale sint; Parbrerque g duo anguli A C Gaec BC G duo. hus rectis equales: erant aurem anguit A. . . E CG,RCE G interieqquales. Ergor sidui angvit B C O, D aequales in ut se eruntia , is ritu v
etertio ab eodem puncto C periphesic C D E ducamur re cte C D quidem secans circulum, & A B in eum incidensi G. , i atque angulus A CD qqualis ansula,
E , in alterno segmento, CDico relicirculum contingere. Quoniam, si hoc verum non est, ducatur g GH, itangeni circulum in C. Ergo h angu- eius GCD qqualis erit angulo.E in ab terno segmento: erat autem an ulus
inter se pars, ct torum, quodest im possibil*. Non ergo alia recta G H oi, culum tanget. Quare A B solummodo tangens erit.
Super data recta linea describere sedirnentum circuli,quod capiat angulum squalem dato angulo. Super data recta A B, describendum m st segmentum circuli, quod cariat an-M gulum qqualem dato angulo C. a Fiat
angulus D A B qqualis angulo C: & si AB perpendicularis est super AD ,, secetur
126쪽
illa bifariam in Er Si vero non est perpendicularis Otacilentur A Elperpendicularis ilipes: AD , oti ibat Eulti iti ires miritus , eo quod est differentia anguli B A D a recto , & nat a angulus A B E cqualis angulo BA mctuo. Concurrente ergo AE,& BEmpticto E,&ferunt squales inter se. Ergo circulus, centro Eonteruallo E A descriptuR,transibit per ta &g apsinu laget recta D A, cuperpendicularis sit ad radium A Eo Du cantur a quolibet puncto G, segmenti A G B, duae rectae G A, dc G B. Ostendendum est angulum AGB, in dicto segmento constitutum, aequalem esse dato angulo C . Quoniam bangtuo DaBae tangente ,& Iecante com Pso e . aequalis est angultis G,malterno segmensi to ; l ed e idem angulo D λ B aequalis erat angulus C. Ergo anguli G, dc C eqvides inter se sunt. Descri mus ergodegmen- , tum A U B, uI quo angulus G aequalis est dato angulo C. quod erat, 'c. ii , t
A dato circulo segmentum abscindere, capiens anguluma. . a qualem dato angulo.
sit datus angulus elaeulus A , B C, a quo abicindi debet segmentum, quod capiat angulunν qualem angulo D. Dcicatura EG i tangens circu- E lum vi A s Fiat , postea angulus E A B
est angulum C squalem e ste angulo D. Quoniam e angulo E A B et qualis Best angulus C in alterno segmento ei que eidem angulo E A B ex con- ructione, squalis angulus D. Ergo angulus C squalis est N a angulos .
127쪽
. o ' angulo D. Secuimus ergo segmentum AC B, in quo angulus C tqualis est dato angulo D. Quod erat faciendum , &c.
Si recta linea inter conuexam circuli peripheriam ,.diametrum inter- . cepta, e qualis fuerit radio circuli: erit angulus ad centrum, cuius bal ses est concava peripheria , trifus anguli ad centrum , cuius bases ess convexa, ab eisdem rectis intercepta . si circulo ABC, cuius centrum D , O diameter A c, ducta sun natur quelibet recta linea EB G, tangeus, ,el secans cireulum in B , Gethac tamen lege, M segmentum B E aequalest . radio circuli A D. Dres angulum C DG tria I
plum esse anguli ADB. coruungantur radi 3DB , ODG. Quomam recta E a posita est E aequalis radio in D, seu D B. Er, a anguli E, O B DE aequales sunt. Eadem ratione in f - cundo casu anguli DBG, O D G B squales ira erunt, quia subrenduntur a radiis DG DB in trian diuti DBG . Et quia b externus angulus C DG aqualis est duobus intereis,di opposui DGE, E .esq;angulus D G E, seu D B G ei equiuis, - duobus amugis inter sie squalibus E, B DC E, pariter aequalis Cis c primo casus , quia rectus est angulus DBE, sin's cundo quia angulus G B Is externus essis triangulo B ED. Quare amulus C D G
lo B DHO e est angulasse a m aequalis est triplo anguli B D E. Quod erat Uendendum . Conuersum huius propositionis Merum etiam est. Si enim angulus CDG triplus fuerit anguli B D A, O iungatur recta G P, secans diametrum c A in E. Dico rectam E B aequalem esie circuli radio A D. quia angulus externus FCDo aequalis est angulis G, OE, atque angulus G equalis est duobus an lis B DE, di E. Ergo duplum anguli E, di angulus B D E, mulsumpti, aequales sunt triplo anguli B DE. Et propterea angulus E in qualis est angulo B D E; ideoque g rccta E B squalis es radio tarcu i B D quod erat ostendendum. Hinc conflat, quod, si per aliquod problema Geometriacum, duci posset a qholibet puncto G recta linea E B aequalis radio in D intra diametrum,
T convexam circuli peripheriam, posset quilibet peril heria,
t uulus trifariam di hidi. L aequalis est duplo anguli fi uena cum angv-BDE equalis angula E. Ergo angulus C DG
128쪽
IOI PROPOS. XXVII. THEOR. XXII. EMI. g. x. Si fuerint due lineae inqquales, dc ex maiore auseratur eius semissis , dc a residuo rursus tollatur eius semistis, Ac hoc repetatur semper: relinquetur tandem aliqua linea, quq mbrior erit proposita minore linea.
Sint due lineq, A B maior, dc C minor. Dico, si ex maiore, atque ex eius residuis semper medietares tollantur, relinquitandem lineam minorem, quam C. Multiplicetur C toties, quousque essiciatur D H maior quam A Bi dcdistribuatur DH in suas partes D E, E F. F G, & G H equales ipsi C. Postea ex a A B tollatur eius semissis A Κ, & a reliqua N B tollatur pariter eius semissis N M. dc hoc semper repetatur quousque portiones A Κ, Κ M. M N, & N B, in ipsa A B sect*, totidem sint, quot sunt partes alterius D H; quod fieri posse certum est, cum continuum semper diuidi possit. Ostendendum esta strep
postremam portionem N B minorem esse ipsa C. Quoniam ex minore: A B tollitur esus dimi-
dium A Κ, & ex maiori D Id tollitur D E minus, quam eius dimidiunxerit reliqua N B minor, quam reliqua E H. Et quia rursus ex minore N B tollitur eius dimidium NM; at ex maiore EH tollitur E F non maior, ouam dimidium eius. Ergo residua M B minor erit, quam residua F H. Tundem ex minore M B tollitur eius dimidium MN; at ex maiore F H tollitur F G non maior,quam dimidium eius, ct sic semper. Ergo tandem postremum residuum N B minus erit, quam G H, seu C, quod illi equale est. Quare patet propositum. V
Palet, qtiod, si ex maiore A B tollatur A Κ magis, quam
elus dimidium. ix ex residua N B rursus tollatur magis, quame:us dimidium, dc hoc semper repetatur, tandem relinquetur aliqua linea, C minorerit quacunque proposita linea C.
129쪽
toa EUCLIDIS RESTITUTI. COROLLA RIVM II.
Constit, quoid. si ex maiore linea A B tollatur segmentum . maius A Κ , dc relinquatur minus N B, dc ex hoc rursus tollatur maius segmentum ΚM, Ac relinquatur minus, dc hoc semper repetatur; tandem relinquetur aliqua linca , qus msnor erit quacunque proposita.
s c u O LAI U MA, : . . . uecpropoctio , quae de lineis pilisonem supradictam concludit, vales etiam Is loco linearum mmantur que bet dua magnitudines, dummodo mi eiu dem speciei ; idest si euslibet earum multiplicata reliquam exce-
Latus trianguli itastelli rectanguli secari potest in duo segmenta inequalia, quorum minus segmentum squale Hildifferentii lateris, de hypothenusq eiu idem triauguli a dcrurius segmentum minus eodem modo secari po est, ut eius minus segmentum squale sit differentiq prqcedentium segmentorum , & sic semper, quousque postremam te; mentum minus sit quacunque data recta linea.
Sit triangulum isoscelium A BC, rectangulum in B, &quqlibet recta linea D, cuiuicunque paruitati,. Debet; iccari latus A B, ut proponitur. claudatura bitariam angulus A CB a recta linea C F , qui secet rectam A is in F; atque , a puncto F ducatar F E perpendicularis ad A C, Iccans eam in E ;extendaturque e recta F G parallela ipsi A C, secans B C in G. Et quoniam propter a parallelas est angulus DC F equalis ami gulo C; atque angulus h G aequati, angulo A,Iuntque e anguli A, & C qquales ad basim iioscelij A B C. Eigo etiam anguli B F G, dc u G F equales sivit, idecque flatera B G, V Fqqualia linit, ct triangulum B h G est aloiceius. Postea quia in triangulis C E F , di C B se , angulus B C F , aequalis est angulo E C F, dc duo anguli recti B, dc h. aequales sunt, dc latus C F est commune, oppositum angulis rectis B,
&E; EGog CB aequalis est C E , atque BF squalis est EF.
130쪽
equalia F B, dc F E. Igitur , A Fequalis cst F G, atque A E equalis ipsi G B, seu et equali F B. Est- ' que in triangulo X E F latus A AF ( subtendens rectum , dct ideo maximum angulum AEF maius, quam A E. Igitur A F et ' maius est,quam F B. inare minurum segmentum B F equale est '' ipsi E A, differentit lateris B C, & hypothenum A C eiusdem
- Secundo. . ducta recta G Κ, secante angulum G biseriam, si , b. t.& ducta . Κ H perpendiculari ad F G, secante eam in H, erit ι, Ut prius minus segmentum N Bequale FH. differentiq ipsi tum B G, & G F; estque B G qqualis B F, dc F G equalis A F. I prop. ii. Ergo N B, minus segmentum totius F B, equale est differen- lib. 1.tie 'qcedentium segmentorum A F, & F B. Et quoniam continuum semper diuisibile est, poterit denuo secari R B in A segmentum, idest magis, quam eius dimidium; dc ex residuo F B auferatur F Κmagis, quam eius dimidium: atque ex N B tollatur N O magis , quam qius dimidium; & sic temper. Ergo is postrenturin m cor . i. segmentum OB minus erit quacunque data recta linea D. prv N. re omnia minora segmenta ablata, sunt differentiq prqcta ' dentium segmentorum. Factum est ergo Problema.
Nulla recta linea, quq metitur latus quadrati, mensurare potest diametrum eius. Vocentur latus, & diameter quadrati, rectae lines Incommensurabiles inter se.
Sit quadratum A B C D, cuius diameter D B, & recta linea R mensuret latus A B ipsius quadrati A C; sitque R ouae- . liber ex innumerabilibus rectis lineis , quq metiri possunt ipsam A B. Dico rectam R nunquam mensurare diametrum B D. Si enim hoc verum non est, mensuret etiam recta R di,