장음표시 사용
111쪽
Constat etiam, quod, si in eodem, vel aequalibus circulis, una peripheria aliquoties reliquam metiatur, atque ipsis insistant anguli ad centrum, vel lectores; minor angulus maiorem . di minor sector maiorem sque metietur, quemadmodum minor peripheria maiorem metitur. Si enim peripheria DF aliquoties metiatur ipsam AC, o verbi gratia quater, atque a pun- ctis diuisionum M, R, s ad centria coniungantur rectae lineae, erunt
omhessanguli A G M. M G R, RG S. S G C. vela sectores aequaleNtum inter se, cum ipsi angulo, vel F sectini D H F; quandoquidem imsistunt peripheriis aequalibus. Et propterea angulus D H F toties metietur angulum AG C, vel lector sectorem,quoties peripheria D F metitur periphe
In circulis aequalibus squales rectae lineae squales peripherias
auserunt, maiorem quidem maior , minorem vero minor.
Et riuales peripherias squales rect* lines subtendunt. In circulis Squalibus, quorum centra G, & H, sint rectae aequales AC, dc DF. Dico maiorem peripheriam ABC aequalem esse maiori D E F, dc minorem A C equalem minorim D F. Ductis enim radiis AG, GC, D H. dc H F H, erunt duo latera circa angulum G aequalia duobus lateribus circa angulum H, ingula fingulis, cum sint radii qqualium l circulorum; suntque bases AC, dc DF positae aequales. Igitura anguli G , de H aec quales erunt, dc peripheriae , A C & D F, quibus insistunt, qquales quoque . Und hyr ' δι- tesidue circunferentiq ABC dc D E F, ablatq ex circulis e-Di ' riualibus, enuales quoque erunt inter se. Quod erat primum.
' Sint secundo peret Iiae A B C, dc D E F aequales, siue pe
112쪽
riphetie A C, & D F aeqv iles. Dico rectas AC, & D F equales esse. Facta eadem constructione ; quoniam peripheriae A C.& D F equales sunt: Ergo e anguli insistentes G, dc H qquales erunt; suntque latera circa angulos G,&H qqualia(cum sint radii circulorum equalium ). Ergo a bases A C, dc D F qquales erunt. Quod erat secundum . Quapropter, dcc.
Patet etiam, quod si recte equales ducts fuerint in eodem circulo squales peripherias auferent, th et contra.
Et, si recte lines fuerint in squales, maior auferet maiorem periph riam, re e contra; se ee sumantur peripheria, qus semicirculo maiores
Sit recta A c maior, quam D F. Dico peripheriarusemicirculo min rum AC ma lorem esse peripheria D F. Quoniam latera circa angulos G, e rebat pri H squalia sunt, nempe radit eiusdem, vel squagium circulorum, O M a puluit basis A c maior est base D F. Ergo e angulus G maior es angulo H, Fct i peripheria in C maior peripheria D F, m. ii re
PROPOS. XIX. THEOR. XUII. Si a circuli centro ad terminos ipsius segmenti lineae rectq
ducantur, & linea recta, a centro ducta, secuerit bifariam, aut tantummodo angulum ad centrum, aut rectam peripheriam, & angulum subtendentem, vel solummodo angulos , quos facit ad subtensam, vel certe solum peripheriam segmenti : erunt pariter reliqua omnia bifarias ,
Sit circuli segmentum B E C, cuius centrum A; Ducantur rect* A B, A C; Et primo recta A D E ex centro secet angulum B A C bifariam. Dico tam rectam B C, quam angulos, supra B C factos a recta A D, quam peripheriam B C, secari quoque bifariam. Quoniam in triangulis A B D, A C D cir.
113쪽
E ca cquales augulos uerticules ad A radii A B, A C qq-les sunt , Sc A D communis; Ergo a bases BD, CD aequa- C les sinit, de anguli B D A. CD A pariter aequaleS sunt. Postea quoniam anguli ad centrum R A E, C A E insistulit peripher ijs R E, ct C E. Ergo, dequales Sut inter se. Secundo secet redia A T si ibi ensam B C bifariam in D. Dico reliqua omnia vera esse. Quoniam in triangulis B A D, CA D latera P A, C A eo ualia sunt di A D latus commune dc bases B D . c D posite simi quales: Ergo c apsul, B A D. CA D qquales erunt: sed otiando anguluS ad centrum A lec tur bifariam , sex pr nia parse huius )etiam anguli ad D suntae uales, & peripheri e BE, I C equales sunt. Ergo quando B C secatur hilari m. reliqua Cmnia vera sunt. Tertio faciat A D super B C angulos equales B D A , C DA. Dico reliqua omnia vera esse. Qi cmam reci . ADt ex Centro ducta ) secat aliam B C ad angulos squales, seu rectos. Ergo B C iecatur ansari na in Di Sed ( ex secunda parte huius quando B C secatur bifariam, reliqua pariter bifariam secant ur. Ergo si anguli ad D diuiduntur bifariam, etunt quoque reliqua secta bifariam Quarto secet A E peri Pheriam B C bifariam in E. Dico reliqua omnla vera ess . Quoniam periphebe B E, et E squales ponuntur: Ergo eanguli ad centrum, illis insistentes, sunte maes; ac sex prima pacto huius recta B bifariam secuetur, & anguli BD A, C DA equales sunt. Quare, &c.
spmp, u/- Hinc patet, qua acto quelibet circuli peripheria secari pos' sit bifariam. Namsti recta ex centro iccet angulium ad cen- ' 'P ' trum bifariam, aut rectam a B C, aut b angulos ad D; leniper
, , , ii. Peripherie k B E, C E equales erunt. PROPOS. XX. THEOR. XVIII.
Euc 3 i. III In semicirculo angulus rectus est;qui autem in maiori seg
114쪽
'Li3U R IL rex metit aclitus . qui vero in minori segmento obtusus est. Et lac, mutilaris rectum circuli segmentum est semicidi' 'euturum, As circa acutum angulum maius segmentum est, dc eirex Ohthsum est segmentum mhius. Incitet o ABC, cuius centium D sit
sui nas emicirculus A B C.& in eo angi, Ari
us A B C. Dico en est e tectun .coniunga- tur R D. QIPnia in triangulo A D B duo f latera A D. N B D qqu.lla, sunt. cum statim radii circuli: Ergo a anguli DAB, dc DbA L D C usIes fiunt inter se.Fade ratione in triangulo B D C duci an i tili DC B dc D B C equales erunt. Ergo duo anguli B A D. B C D. simul, qquales sunt duobus angulis A B D dc C BD idest integro angulo AB suntque tres anguli trian.
guli ABC qquales duobus rectis. Ergo angulus ABC se. missis erit duorum rectorum . ideoque rectus erit Merendo fit sin altera figura in sedimentra maiore ABC anguius En Di digre esse acinum. Ducta diametro A D , E, dceoniuncta C E erit in semicirculo faingultis A C E rectus ( ex prima parte di: Ergo'. AEC aeutus erit; estqne d anginlus B equalis angulo E , cum sint in eodem segmento. Ergo angulus A B C cutus erit. In tertia figura, sit in minori segmen- sto C A B angulus R. Dico eum esse obtusim .dtina diametro ADE,&iuncta P C E, erit angulus A CE rectus ( ex prisma parte ); & e A E C acutus ,rantque: j ccerat. 3.
duo anguli oppositi E&Bin quadrilate- v cro A B C E, circulo inscripto, equales su Obus rectis. Ergo g angulus Bobtu-
Qu arto si angulas AP C rectura constituros in segmento C A D. Daeo eum esse semicirculum . Nam,si hoc verum non est erit segmentum maius,aut minus ideoque angulus ABC erit obtusus, vel acutus sex secunda,& tertia parte huius) quod est contra hvpothesin. Non ergo segmentum est maius, vel minus. unde semicirculus erit. Qui
115쪽
Quinto sit angulus B acutus. Dico segmentum AR C minus esse. Nam , si hoc verum non est, erit, aut semicirculus, aut segmentum minus, ideooue angulus Berit aut rectus. aut obtusus, quod est contra hypoti sin. Non ergo &c. Sexto si angulus B obtusus. Dico segmentum ARC --nus esse. Nam,si hoc verum non est, erit semicirculus, aut segmentum maius. ide ue angulus B erit rectus, vel acutus, quod repugnat hypothesi. Quapropter, &c.
Colligitur ex demonstratione primae partis huius propinsitionis, angulum trianguli, qui reliquis duobus angulis P qualis est, rectum esse.
sc NOLI WM. In hae propositione reperitur Porisma adulterinum, quod quidem D- peradditum esse propositioni Euclidis, constabit exschohos Aentis Pr positionis.Habet enim quod Angulus maioris segmenti recto quidem maior est;minoris autem segmeti angulus minor est rhcto. Et quoniam,ri dicetur,angulus miniis esset potes a linea recta, 'aliqua curua; propterea hae poserema verba res ei omnino debent ab hac propositionemnise quis velit mensuram anguli segmenti iuuer considerare .
Recta linea,quq ab extremitate diametri cuiuslibet circuli ad angulos rectos ducitur, extra circulum cadet, & in locum inter ipsam rectam lineam, dc peripheriam comprehcin sum, altera recta linea non cadct. In circulo A B H, cuius diameter A B, ab eius extremo puncto A ducatur a C A D peipendicularis ad rhctam lineam A B. Dico C A D cadere extra circulum s atque in locum a tangente DA. & peripheria comprenensum, rectam lineam duci non posse. Ducatur a puncto quolibet E, iumpto in recta linea AD ad alterum Disitipod by Cooste
116쪽
rum extremum diametri B, recta i inea E B, secans peripheriam in H. Et quoniam , rectarum B A, B H in circulo ductarum, maxima est aiameter R A. Ergoa ecta linea B A maior est, quam B H. Et quia in triangulo B A E rectus est angulus B A E. Ergo reliquus angui as Ah B est acutus; dc ideo mi nor recto Quare a latus B E, si ibtendens maiorem angulum, maius erit latere B A; erat autem B A maior, quam B H. Igitur B E maior erit, quam B H; estque punctum H in circuli peripheria. Ergo punctum E extra circulu cadit is & sic quodlibet aliud pr*ter punctum A . Igitur tota recta linea AD extra circulum cadit. Postea a puncto contactiis ducatur quelibet recta linea A G infra tangentem; & fiat eangulus A B H qqualis angulo D A G. Quia duo anguli A B H , & D G sunt equales, asdito communi angulo B A H;duobus angulis B A C, & G AD, qui rectu in angulum B A D constituunt, equales erunt duo anguli H B A dc B , H simul sumpti. Quare hi duo in quales sunt uni recto angulo; dc ita conueniunt rectar l, ' nee B H , AH, dc g esliciunt reliquum angulundi H B re- Ium, , qui in semicirculo erit; dc ideo recta G circulum et secat in punctis H, dc A. dc propterea recta linea H A intra c irculum cadit . eadem ratione qu*libet alia recta linea, timii fra tangentem ad punctum N ducta, necessario circulum se-s cabit. Quare duci non potest recta linea in locum a tangente, ac peripheria comprelaensum. Q od erat, &c.
Patet rectam lineam ab extremitate diametri, perpendi-3: culariter ductam ad circuli diametrum, circulum ipsium tam gere ; quia ostensum est cadere extra circulum, dc propterea eum non secabit.
s Patet etiam, qua arte per quodlibet punctum, in circundis; rentia circuli datum, tangens recta linea duci debeat. Si enim ex puncto A dato ducatur diameter A B, dc luper hanc agatur pcrpendiculariter A E, erit ducta A E circulum tangciis.
117쪽
S cIPOLIUM. Iter ea, qu eapolita sunt in hac propositione, adduntur in posmriori eius parte duo Porismata, eus re vera d Troclo, aut Throne, aut ab alio superaddita fuerunt, H Franciscus Uim censet hec autem eum a Mathematicis magni nominis re ciantur , in contra ab alvs mordicus retinenda ei' contendatur; vers pretium erit dicta Porismata expon re , in alia, que ab eis deducuntur; di postea rationes propter quas v
Habet ergo vulgata propositio Euclidis h c verba. Et semicircuIi quidem angulus quouis angulo acuto rectilineo maior est;
reliquus autem minor. Quoniam ostensum est quamlibet rectam ZAneam A Η, infra tangentem A E ductam , cadere necessars Intra ebctum , erit angulus acutus remi eo HA B minor angulo ex diametra B A, di periphreia AH cc reprehenso; ideoque angulissemicirculi re AB maior erit quolibet angula acuto rectilineo . Et e ho tria aviam a tangente E A, O peripheria in ri comprehensus, minor erit quoliber at gulo acuto rectilineo. . Ab his pori arabus deducant Proclus Cardams, in ari theoremata aliqua, quorum primum est.
Angulus contingentiae potest continuE, dc infinith augeri sangulus vero rectilineus minui: & tamen augmentum illius, quantumcumque sit, minus semper erit decrememto huiuS. II. Reperiri non potest angulus rectilineus aequali g mixto angulo dato. III. angulus comprehensus a duabus peripheriis circulorum aequalium potest esse aequalis alicui angulo rectilineo .
i VoTransitura minori ad maius, scilicet ab angulo acuto rectilineo ad angulum rectum; vel contra per omnia media; dc non transitur per aequale, scilicet per angulum aequalem angulo semicirculi.
118쪽
Nse lantentia prius a Telerario in dubium reda-est sed ratiorassus in i g. p .nhaud firmis, vi optime Clauius animaduertitaeo modum Franci Cus meis uos .stare. ta, inritiis Geometrii, a sentitur quidem sententie Peletare, ted firmioribus rationibus eam confine sque iuderi po sunt lis III. variorem Vt te cap. XIII. at eedem iu Ioanne Camillo Glorioso, in semuda Dea suarum exercitationum , examinate sint. Tmea Galileus preceptor noster in epiptota, ad Gloriosum missa , solide redarguit omnes Gloriose contradiisto ies, qus omnia videri po ut in Acade tertia eiusdem Glo- trim. Ego vero ponquam rationes, pro Hraque parte adductas, diligentius perpendi,in hanc sementiam Aulii Confectarium illis,quod non sene rhtione a Proclo uperadditum fuisse meta ee et , demonstratum non esse a quod nisi aliter constaret, cered ex dubitationibus preclarissimorum vIrorum mete, es Galilei elicitur. Nam Geometri demdstrationes eo nomine eelebrantur, quod tabitandi locum omnino tollant, O alienium Dditoris violenter extorqueant. Qua enim ratione dubitari posset,an diuerticuli, contingemis esset angulus minor quouis acuto rectilineo, si hoc ab Euelides, d Proclo demonsatum fuissete Et hi res attentius coaesideretur, ita se habere compertemus. Nam in summa Euclides nihil aliud demonstrauit, ni se quod in locum aeter circuli peripheriam, in tangentem interceptum c nitur nomine loci, non angulis recta linea duei non potest; in hoc dem rerum esL At postmodum, quod diuerticulum contingentissit angu- us minor quolibet acuto angulo rectilineo, nunquam vetes s , euidenter
deduci potest ; vis prius inendatur patium pudictum d tangente, di ci culi peripheria contentum esse angulum; quod quidem nec Euclides ostendit, neque forsan ostendi potest; cum S in demonstrationibus nihil, quod fit duoium, aut quod ab aduersario negari post, a pumet debeat; co quod prem e demonstrationum debent eis notissms s ideo dictum porimur
Et ne quis putet supplementum hoc ab aliquo E rpositorum superadditum fuisse, inspiciat XVI. Propos lib.III. Euclidi , ab eis demonstratam,
debit graetis assumi diuerticulum predictum, Ogulum esse. Clavgio tam tum modo , in dr μῖatione aduersus Peletarium, auctoruate Procli, erratonibus , laudere conatur de Irionem anguli plani accomodari posese etiam diuerticulo contimcntie ; sed iratio conatu, is ostendam. Exprimitur anguli piam nisura in eius definitione eum his passionibus: quod sit duarum linearum, in plano se mutuo tagentinim .dc non in directum iacentium, alterius ad alteram inclinatio.
Iam in recepta sentent i, se hsc definitio genetica est, ct competit ne dum angulis rec umeis, sed etiam curaIlineis, oe mixtis. Sen us eius talis est se due linea sue recis, siue curas, e rea recta, altera curua ,se tan-
119쪽
gant in Mo puncto aer non sint in directum poste,constituent certam quamdam inclinationem, qus angulus vocatur. Et siquidem due lines curus angulum planum constituere possunt. Igitur quotiescunq;sese tangunt in vno puncto no, furit in directu, O ed in Diet minclinantur, atque patium amplectuntur, angulum constituent: ted due circunferentie eiusdem circuli A B , B C sese tangunt in puncto B, O insuper nonsunt in directum pociis, ex Procli semientia. ait enim, prorsus fieri non pote stet, ut in directo orbiculares t ac e int immo superuacaneam iudicat particulam illam, in dire-
ictum iacere: siquidem alterius ad ali
C ram inclinatio angulum essicit. Denetque eedem liner A B, O C B ad inuicem inclinamtur, di inflectunt ur c adias in diramim iacerent , comprehenduntque spatium, quod mensurari, ac diuidi potest : estque talis inclinatio maior inclinatione unius anguli rem, sed minor inclinatione duorum rectorum. Ergo circuli peripheria in quolibet eius puncto B angulum ABC constituit, quod absurd um esse ipsemet adueCarv censent.b At si eircunferentia ABC, tota in directum eonstituta credatur, ut clauius des 8. lib. I. contendit, ducatur tangens E B; hse quidem cadit super lineam ABC, non quidem intra concauitatem , ed ad partes comueritatis eius si escit vero recta linea, super aliam lineam elevata, duos
ou Ni angulas, qui sunt deinceps ad easdem partes, ad quas
X l eleuatur, Ergo recta linea B E cum peripheria conu c xa escit duos angulos C B E , A B E extra circv-E Ium 'i , nullo modo recta B E inclinata erit cum conis caua peripheria AB, eo quod ilia eleuatur ad partes convexitatis. His positis dus repugnantie equuntur: prima est , quod inclinatio convexa perapherie in Betim tangente B E constituit angulum squalem angi.
recto E BII, O recto HBG, di mixto G B A, furia
sumptis; sed hi tres maiores sunt duobus rectis. Ergo angulas contentus a convexa AB, in tangente B E maior est duobus rectis, quod est inauditum in Geometria : Secunda est, quod recta E B incit angulum in B Ead paretes concauitatis, qui maior est quolibet obtuso rectilineo ; eo quod anguli, qui fieri possiunt super tangentem GE ad partes D squales sunt duobus rectis. Quare duo angiat ABG,, S E squales sunt duobus
rectis; estque contingentia angulus ABG minor quolibet acuto reLIII, neo. Ergo angulus A B E maior erit qκolibet obtuso angulo reinlineo . Sed se curua C B non concedatur inclinata ad curuam A B, multo minus recta linea E B, extra ipsam posita, inclinata erit ad curvam A B ;
120쪽
. pro crea AB E angulus non eretis. m 'Plus in inclinatione consistat ;
prius mensus fuit angulus quolibet obtuso maior, quod impollibile est.
Non igitur curuilinei, aut mixti veri sunt anguli. Et re vera mirum est Inuentorem horum mirabilium angulorum, postquam adnotauit angulum contingentis minorem esse q&olibet acuto rectilineo, di angulam hemiciretili maximum omnium acutorum rectilineorum, tertium, O Partum miracultim tacuisse; nimirum angulum a tangente E B opposita peri- . Pherea cmuea a B, contentum, duobus rectis maiorem elle . atque angulum a tangente E B, ct concaua peripheria in B comprehensum, maio-
. rem esse quolibet obtuso angulo rectilineo . At ego ex hae dissmulatione eonmcio percepisse auctorem ipsum curvam circuli peripheriam A B cumrangente B E in directum coutinuatam e sie: quod rationi, in nature valide consentaneum est. Ducta en m circuli peripheria N BO equali perni Pheriae circuli A B C , in tangente eam in B. manifestum est angvlmata, . contingentis N B E squalem esse angulo ABG ; di additis communirer duobus angulis A B D, O D B E, erunt tres anguli N B E, E B D , O DB A, id est duo anguli N B D, 'DBA, simul humpti, equales tribus amgulis G B A, A B D, D B E, idest duobus angulis rectis G B D, DB E,s-m I sumptis. Quare ad pi vctum B recte linea D B conueniunt dus linee in B, N B , non ad easdem partes Usectae, qus cum illa inciant duos an-
ulos, deinceps aequies duobus rectis s di propterea, si fieri potest, is sietinet curas continuentur directe absques actione, O inclinatione, k n h pr petiyrM linee A B , di BN in directum erunt continuate; cumque due, ' .euruae AB, B C sese in directum continuari concessae sint, cur eadem, linea curua A B cum intermedia recta tangente B E non dicetur in Arractam consitata, dum in puncto B ille lines non franguntur, neque infidictuntur e Nonne concipi potes puxctum fluere itinere curuo, di poclea dirigere suam cursum aeque ulla fractione, autfectioney Nonne lege n Tu re pila L in peripheria rote , vel fundI A B reuoluta, impetum acquirit circtilarem in B , O i mei circularis impetus postea continuatur, in dirigitur per rcctam tangentem B Ee Certum est ergo curuam periphea iam B A iv directum continuari non minus cum tangente B E, qudmchm peripherbs BN, aut B C propterea scuti non es inclinata pernpheria in B chm peripheria N B, vel cum C B, ita neque inclinata erit Peripheria in B cum tangente B E: ideoque peripheria C B, di tangens EB, neque ad inuicem inclinat s eunt; eo quod super aliquam lineam A BE quslibet linea eleuata duos angulos deinceps e cere debet, aut nullam.
Cumque linea curva C si cum curua A B, neqAe inclinationem, neque an- gulum esciat , nulla ratione spatium contingentiae C B EI, quod ei dei ceps es, inclinatio, aut angulus erat. Quod erat probandum.