장음표시 사용
91쪽
ouoniam in hoc Iibroconsiderantur primae, de clementares passiones circvioram, propterea prius aliquae definitiones
Recta linea circulum tangere dicitur, cum in circulum i nci dens, eum non Iec ti. CiscuIus circuIum tangere dic1tur, Cum.. F visius peripheria, in alteram incidens. non iecat circulum. B P sto circulo BFD,si aliqua recta AB, im 'cidens in circulum, produlta eum non secat si l Tangens vocabitur; parite ue peripheria B H. I si incidat ire circulum B D, O eum non secet, F Dd Tangenia sellabitur . , si producta circulum Z Iecat, νocabitur Secans.
Recta linea dicitur applicari, seu coaptari ci
η'i', q*m qiui xcrmini fuerint ad circuli
peripheriam. Vt recta linea a B coaptata erit, vel applicata ei e Io ABC, quando termini A, in B ipsius rem lines fuerint in ipsa peripheria circuli A B.
Segmentum circuli est figura, quae sub recta linea, dc circuli peripheria comprehemditura
92쪽
LIBER II et Ut si in ebolo ducatur qur libet recta linea B D ,
vel EG, aut M O, secans ereculum' erit tam spatii 8 A D, qtiam M N O,νel E F GJ mentum circuli. Nec autem segmenta varia non a sortiuntur. Si Belum centrum circuli fuerit intra eius superficiem: A- cetur segmentum maius , H est E F G ; si vero extra lipum fuerit , Min BAD: dicetur lumentum mn imi. Et tandem si centrum fuerit in ina recta linea secante, ut in O . tales mentum avectabitat semicire vi soAngulus in segmento dicitur ille, qui . dum 'bus rectis lineis,cocurrentibus in uno pun-
concurrentes in quolibet eius pancto B, , et rem A C misis A , C, esiciant angulum AB c , consituram . indicto Emento . .
Duo circuli, quorum radixsunt inter se aequales, eruntequa.les inter se. Et contra circulorum aequalium radij aequae
ua esum est eos circulos squileiesse, quorum superficies sibi mismo commune e Sea Pomam si e reos hincs aequales reuolaantur masano circa acterum eius punctum fixum, quo que redeant is, locnmis, Hae moueri coeperam, necesse est, is circulissimilist mutua commam. quanaoquidem rects lines reuoluis spatia equalia determinant, eo quod ip esemper inter esunt aequales. Unde liquet ebentos, qtiorum diametrisquales sunt inter se, es e quo ue squale , in e contra. Et, si radius reius cuneati MI aiametere magor fuerit radio, Pes diametro auratus eniculi, erit De maior isto care Io, contra maior Graiam mviorem radι-
- diametrum habebit. 2.2. , et . -
93쪽
Data circuli peripheria, reperire centrum circuli , euius ill Iest peripheria. Sit data circunferentia ABC, siue integra. Me non . D het reperiri centrum illius circuli, cuius ABC est peripheria. Sumantur in dicta circunferentia tria quaelibet puncta A, B, dc C, dc conuvigantur rectae A B, & B C. Postea a ambebifariam secentur in punctis D dc E, af H quibus excitentur , perpendiculares, D F quidem supra A B, dc E F super Bl C. Et quia tres anguli. simul sumpti, interni, dc ad easdem partes, scilicet duo anguli recti F D B, F E B, una cum angula D B E, minores sunt quatuor B D rectis. Ergo e D F, E F conuenient ut '' ,-F.eoneulsus tectarum linearum D F, E F ; ideoque
D BD aequalia, & D H commune, atque bases AH B Houales, cum sint radii circuli. Ergo d anguli A D H. B D His ouales sunt sideoque erecti: erat autem angulus ADF rcctus Igitur anguli ADF,& AD H aequales limi inter seu
pars, & totum 'quod est impossibile fNon Ergo petunt et
aliud, quam F, esse potest centrum circuli. A B C . propre et ipsum punctum Fcentrum crit. Quod erat faciendum. c
c F comuntiis. Et quoniam in triamulis ADF, BDFGrca
94쪽
ctos aequaera in D sunt larea A D, B D squialia, atque DF commune . Ergo b AF equalis es F B. Eadem ratione C F pquasis erit eidem F B. Et ii . propterea ires rects F-, F B , , F C squales erum. ideoque centro F, raaio F Craulus descriptus transbit per puncta A, B, C - d.
si applicatarum in circulo quaedam recta linea per centrum extenta, aliam, non per centrum ductam, bifariam secet d& ad angulos rectos eam lecabit. Et si ad angulos rectos eam secet, bifariam quoque lecabit. Per centrum A, circuli D B C, recta C E applicata,diuidat rectam B D,non per centrum extensam, bifariam in F. Dico rectam C F perpendicularem esse supra n D. Ductis radissRA,&AD, erunt in triangulis A F D,& A F B duo latera B F, & F D aequalia, ex hypothesi, dc F A commune, & bases A B, & A D aequales, cum sint radii
circuli. Frgoa anguli AFB, S AF DP quales erunt. ideoque , recti . Quod erat primum. si Secundo A F. per centrum ducta, sit Perpendicularis ad DB. Dico B D in F bifariam sectam esse. Si enim hoc verum non est, secetur e B D bifariam in H, alibi, quain in F; dc iun- c 're' gantur tectae linea: A H, A B, A D. Et quia A H,per centrum . h. a. extensa, secat rectam B D bifariam in Id. Ergo sex prima parte) angulus AH B rectus est: erat autem angulus A F B rectus. Igitur in triangulo A H F externus aengulus AH Baequalis est interno,& opposito angulo F;Qusda est absurdum. d c' 'a. I Non ergo B D alibi, quam in P, secari potest bifariam.Qua-- ''1c patet prvositum.
Ex demonstratione huius propositionis constat,m quolibet triangulo isoscelici lineam, secantem basim bifariam. cisse ad eandem basim perpendicularem.Et e contra,si ad basim perpendicularis iuerat, eam bifariam secabit. Nam in triam gulo iloscelio A B D recta A F, iccans bifariam basin is D, ensa est perpendicularis lupta BD ct e contra.
95쪽
si applicatarum in circulo duae rectae lineae se se mutuo seiscent, non per centrum extensae, se se mutuo bifariam non secabunt. In circulo A B D duae rectae lineae A B, & C ose mutuo secent in E, sed non ambae applicatae per centrum F sint ductae . Dico non posse sese mutuo bifariam secare. Si enim una e rum per centrum transit, non secabitur bifariam ab altera , non transeunte per cetrum; eo quod, solummodo in centro diameter bi-
partitur. Sed si neutra per centrum transit, ex centro F ducatur recta FI i l E ad concursum E. ostendendum est rectas A B. dc C D in puncto E se se
non secari bifariam. Si enim hoc rum non est, sint ambae in puncto Esectae bifariam. Et quoniam F E, Per centrum ducta, secat bifariam A B. Ergo a ad angulos rectos eam secabit. Eadem ratione recta C D ab ipsa F E secabitur ad rectos angulos. Quare anguli F E B. & F E D recti erunt. ideoque aequales inter se; pars, dctotum, quod est impo umbile. Non ergo ambae rectae A B, & C D in puncto E se te bis sariam secant. Quapropter, &c. .
Si in circuli peripheria duo quaelibet puncta accepta fuerint, recta linea ipsa puncta conitingen,, intra circulum cadet.
'' 'l' A B L recta linea AB cin
iungat duo quaeliber pucta,in eius peripheria assumpta, A dc B.Dico recta A Bintra circuiti cadere. Supto enim quin libet puncto intermedio D in recta AB; a centro C coniungantur rectae C A, CB. CD. Quoniam in triangulo is scelio C A B duo latera C A, dc C B in uualia sunt. E rgo a anguli, supra b
96쪽
rim, A. &B qquales inter se erunt. Est autem angulus C D Aererernus , maior interno B in triangulo C B D. Igitur idem , b corou. c. amgulus C D A maior erit angulo C A D; dc propterea c latus ''m . A C, oppositum maiori angulo, maius erit latere DC. 3- .' re recta CD minor erit radio circuli CA; ideoque CD ad Peripheriam circuli non peruenit . unde punctum D intra circulum existet. Eadem ratione quodlibet aliud punctum ipsius rectet AB intra circulum cadet , dc propterea ipsametrecta linea AB, intra circulum extensa erit. Quod erat stendendum.
H inc manifestum est rectam Iineam, circulum tangentem in unico puncto ipsum tangere. Nam, si in duobus punctis eum tangeret, pars rectae, inter duo ipsa puncta intercepta , intra circulum caderet e dc sic circvium secaret s quod est contra hypothesin. PROPOS. V. THEOR. IV. Si duo circuli se se mutuo secent, si ue im
terius tangant, non erit eorum idem a centrum.
Sint duo circuIi A B dc A C, qui se se
secent, vel tangant in puncto A. Dico ipsos non habere idem centrum. Si enim fieri potest, sit utriusque centrum D; a quo recta D A ad tactum, vel sectionemucatur, dc altera D C B, secans utranque peri etiam in punctis C. dc B. Quoniam D est centrum circuli A B. Ergo a radius B D aequalis est radio D A. Rursus quinniam D ponatur centrum circuli A Caerit radius C D aequalis eidem radio DA: ideoqite duae recte B D, dc C D equales erunt inter se; pars, de totum, quod est abiurdum. Non ergo duo circuli A B, dc A. commune uentrum D habere possunt. Quod erat oste,dendam. Euri. s. or . III.
97쪽
EM. '.' . PROPOS. VI. THEOR. V. s. III. Rectarum, ad peripheriam cadentium a puncto, Quod circuli centrum non est, maxima est illa, quae per centrum transit; minima vero residui , vel prodii ctio diametri; reliquarum Vero, que maiorem angulum ad centrum subtendit.maior erit subtendente angulum minorem; dus autem solum rectae linea: equales ab eodem puncto ad utrasquc partes diametri cadent.
In circulo AGB. cutiss centrum C, sumatur quodlibet punctum D, aliud a centro siue intra , ut in prima figura, si- evro in secunda, siue in eius peripheria, ut in tertim; dc a puncto D ducatur ad circuis peripheriam Quotcunoue lineae
DA & DN, quarum DB percenitrum transcat. Dico rectam D R maximam esse omnium. A centro C ad puncta M , H , G , dcc. coniungantur radii C M. C H, C G, dec. Quoniam duo a radiic M. & C B equales sunt, addita communi C D: erunt duae recte M C dc C D simul, aequales rectae BI) ; sed . ID M minor est, Quam duo latera C M & C I simul, in triangulo M C D. Ergo M D minor est, quam B D. Eadem ratione minor erit D H, quam B D, & sic reliquq omncS D G, D F, &c. Quare ,
recta BD caiae per cetrum ducitur, maxima est omnium,dcci
est residuum diametri in pruna tagura , dc eius productio in secunda) est minima omnium rectarum,quq a puncto D duci possunt in circulo. Quoniam in triangulo
D C E est Daedine retia duorum laterum D C, dc E C; eo quod CE, dc C A, savii cir culi, qQuales minter se simi. Ergo cerit D A, disserenua laterum, minor, quam basis Diu iuretan ration
98쪽
erit D A minor qualibet alia D F, aut D G . aut D N. dcc. Quare DA minima est: omnium, quae a puncto D in circinium duci possunt. Quod erat secandum. Tertioquslibet rena DG subtendat angulum GCD. ad centrum, maiorem angulo F C D, subtenis i recta F D. Dico D G maiorem esse, quam D F: ct si quidem DG secat radium FC intra circulum in puncto o. Ut in primo. de tertio casu . Quoniam a in triangulo GOC duo latera G O ivo C maiora iunt, quam G C: pariterque in triangulo D O Fduo latera D O, dc o F simul sumpta, maiora sunt, quam F D. Quare quatuor rect* linee G O, O D, F O, Ac OC, idest due G D, dc FC, simul sum-pis , maiores erunt duabus F D dc GC; dc ab his aggregatis inequalibus auserantur equales radii GE&FC: relinquetur e G D maior, quam F D. Si vero D G non secat radium F C ut in secundo casu . Quoniam intra triangulum D G C concurrunt recte linee DF&CF. a terminis basis DC ductq. Ergo ueC G& G D, simul sumptq, maiores sunt, quam dueC F,hF D; iv ab his in equalibus aggregatis tollantur equales C G, C F, radii circuli: erit g residua G D maior residua F D. Quarto fiat o angulus ad centrum DCN qqualis angulo D C E, dc coniungatur D N. Quoniam in triangulis DCN,&DC E circa angulos equales ad centrum habent latera N C, ct C E qqualia ( cum stat radii circuli 3, 3c CD latus conaniae. Ergo h bases D N. dc D E equales sunt; sed quelibet alia, qtie ultra punctuna E, ut est DF, ducitur, maior ostensa est. Quana D E; eo quod maiorem angulum ad eentrum DCF subtendit. Ergo maior quoque erit, quam D N. Rursus quelibet alia ducta citra D E versus punctum A minor ostenta est, quam D E. ergo minor quoque erit, quam D N. Unde due solummodo D N dc D E cquales duci possunt ad utrasque partes diametri. Qnod erat ostendendum.
Manifestum est propinquiorem rectam lineam maximae remotiore senaper maiorem esse, si comparentur eae, quae incauam
99쪽
eallam peripheriam cadunt . E contra propinquiorem minLmq remotiore minorem eme,si comparentur uis, a* incomvexam peripheriam cadunt. -
Rucis. III. COROLLARIUM II. - , si in circulo acceptum fuerit punctum, de ab eo ad per D pheriam cadat plures,quam duae rectae lines qquales inter se: acceptum puninum centrum erit circuli. Quia a quolibet puncto, quod centrum non est.duq solummodo recim lines equales duci possunt, & non plureS, vr constat ex postremata parte propositiCnis. Ergo punctum, a quo se ires, quam clus recis, eouales cadunt. non poterit esse non in centro collocatum . Quare centrum sit necesse e st. Eas. I. COROLLARIUM III. .
COIIigitur ex tertia parte huius propositionis, quod si is rint duo triangula, habentia duo latera duobus lateribus adi, qualia,utrun iq;viriq; angulus vero copi ehensuS maior anginio comprehenio a victis lateribus: erit basid maior bate. In
triangulis enim DC M. & DCH latera MC, H C squaliaruerant , lattis D C commune, di angulus DC M malo; athgulo D C H, di ostenta sint basis D M maior bal e D H.
conuersum hiaui corollare facili Uendi poten. Suppositis lateribo utrumque Hrique equalibus, s bases ins quasti sint, erit angulas, d maiore bis, subtensus, maior reliquo. Nam, si maior non , erui squalis , aut minor illa ; O ideo bases equalis , aut minor ura mist, quod est co-Pra hypothesm: D ag enim m aior . Quare patet propositum.
100쪽
aum circulorum, qui radii aequales erunt intelle . Et quinniam intra circulum alium A BC F sumptum est punctum O. & m. ab eo cadunt in circuli peripheriam plures, quam duae rectili neas aequales o A. o B,&OD, t . rim ADIErgo, punctum O centrum est tui: O Hl jC circuli A BCF erat aute idem
pune tam O centrum alterius ' circuli A BH. Ergo duo circuli, he se secantes, habent idem cem relirum, quod c est absurdum. Non ergo duo circuli sele secani in pluribus, quanam duobus punctis. Quod erat ostenaen
Recta per centra duorum circulorum elangentium prodia cta, per contactum transibit. Q
Sint duo circuli A E, cuius centrum B,& A D,cuius cereuna C se id interius, vel E ellterius tangentes in puncto A. Dico tria /i puncta B A ct C in una recta linea esse. Si hoc verum non est. recta linea B C, cen- itra coni ungens sproducta', secet peri- itiphetiam circvii A E in punctis Hst E, dc peripherim circuli A D in puncto D. Et 'quoniani Thmptum est punctum C, quod , non est centrum circuli A E H cantra ipsum in prima figura, ct extra in sectinda , satatre a puncto C per centrum B ductaast trecta linea G E B Hi :nerit a C E , quae est Arellituum diastutri id Esminima omnium ses. rectarum, ex puncto C cadentium in pe- ripheriam circuli A LH. Ergo C E nunor Heis, quam C N estque OC A radius aequa- liis radio C D in circulo A D. Ergo C E in inor erit, quam C D, totum minus fila v. I rte , iasiod est abii irdum. Non ergo rc- N id B L, cqntra comungens vrodu sc- . l