장음표시 사용
131쪽
astra'. I . D et mctrum P D. Et quia AE in quadrato AC angulus A rectus est, di duol tela D A, dc A B siuit equalia , erit triangulum B A D isoscelium, rectangulum. Quare facta, B Eaequali ipsi A B secari cpotest latus A B in F, ut sit minus segmentum AF atouale D E, differentiq duarum AB. S D B: pariterque, facta
F G touali A F,secari potest A F in H, ut si minus segmentum A H quale G B, ditarentiq ipsarum AF & F B: & facta H Κ equali A in denuo secari potest A H in O, ut sit segmentum A o equale
N F, disterentiae ipsarum AH,&H F.&hoc semper fieri poetest, quousque postremum legmentum, quod sit ' O minus si quacunque data recta R. Et quoniam ponitur recta Rmensura ipsius A B, atque alterius D B; estque EB aequalis A B. Ergo recta R mensurat totam D B,& ablatam B E .Qu d ah gii. red recta R mensurabit ovoque residuam disterentiam D h: estque A F aequalis ipsi DE. Igitur R metitur ipsam A Fg mensurabat autem prius totam A B. Ergo e eadem R mensu.e --...ci rabit Residuam F B, atque ipsam A F; & ideo etiam earum differentiam G B, seu A H (nuic aequalem mensurabit; sed etiam A F metiebatur eadem R. Igitur mensurabit quoque residuam H F; atque mensurabat pariter iplam A H. Quare R metitur earum disterentiam R F; & ideo ei aequalem A Q. es Def i s. Et proptereasrecta R aequalis, aut minor erit, quam A Olib. i. ( maior enim non potest mensurare minorem suod est in possibile. Facta enim fuit recta A O minor, quam R. Non ergo reperiri potest aliqua recta R, quantulacunque illa sit, quae metiatur diametrum B D,& latus A B, eiusdem quadrati A C, quod, &c. vocentur rectae lineae A B, & D B inter sic Incommensurabiles.
Si fuerint duq rect*linet incommensurabiles ; erunt spatia parallelogramma, vel triangula super ipsas descripta, qque alta inter te, incommensurabilia. . . ' Sint
132쪽
sint bases,eiusdem altitustriis parallelogrammorum R, dc S, vel triangulorum. Dico parallelogramma, mi triangula R., si S inter se esse incommensurabilia. S i enun hoc verum no est, habeant spatia R, dc S aliquam commune mimensuram,si fieri potest, quq ponatur esse X; dc quoties X metitur spatium Rina tot patres inter se equales A G, D U D DGH, H Κ. Κ B distribuatur recta linea A B: ih quoties X metitur spatiunt S. in tot partes qquales B M MO, O C distriduatur recta B C, dc . punctis G, H, Κ, M, O b ducantur
paralleis, essicientes parallelogram- A. G H N D m. o C sue
ma in primo casu, aut conuenientes p
in eodem puncto D, essicientes tri- ,-m i I . I
angula , ut in secundo casu: erunt e parallelogramma A G D, rpra .e. G H D, H Κ D Κ BD inter se aut trianula . qqualia; eo quod si p. l. bases eorum sutit equales, tu inter easdem parallelarum existunt. Pup. I rEt similiter erunt parallelogramma COD, O MD, M BD inter se, aut triangula equalia inter se. Et quoniam X toties mensurat spatiuna R, quoties X B mensurat basim B A; dc quoties N B mensurat basim B A, toties spatium N B D mensurat spatiuna R comparando semper parallelogranima in ter se, aut trian uia inter se T. Eoo, . Dgo X,& spatium N B D qque metiuntur spatium R; ideoque spatia X, dc Κ B D aequalia inter si sunt, clini sint qqualia cuilibet parti earuna, in quae resoluitur spatium R . Eadem ratione spatium M B D qquale erit spatio X.
Qiuere duo spatia N B D, & M BD aequalia crunt inter se,cum sint A G H Κ B M o et
aeqitalia ipsi X; dc sunt eiusdem altitudinis. Ergo eorum haesΚR, WB M aequales sunt inter se (nam si inaequales essiunt, pariter e parallelogramma, velftriangula N B D, dc M ' 'β
B D mequalia ement . quod est contra livpothesim) . sed N B Vr B, dc BM mensurat ipsam B C. Ergo duae rectae
. utae r .ae commenturabiles sunt; cum ab aequalibus ιμ. . n. o, re B M, seu eadem N B mensurentur, quod est contrae hypothesin. Positae enim fuerunt A B, dc R C incommensu- . O rabiles.
133쪽
rabiles.Non ergo spatia Rin S habere possitnraliquam eommunem mensuram ; ideoque incommensurabilia sunt.Qum
Patet ex demonstratione huius propositionis posse diuidi quodlibet parallelogrammum, aut quodlibet triangulum in Partes squales, quotcunque iusserit quispiam. sc MOLIUM.
neuti omnsum en lineas rectas , O spatia,triangula , vel parallel gramma esse posse incomensurabilia , ita oclendemus postea omnes quantitates continuas, ei dem generis , incommen urabiles inter se esse posi'. Debent tamen ex hac serie excludi Numeri; eo quod is numeris dia videndo potest deueniri ad minimum in eius genere, licet ad amitatem; Me autem in quantitate continisa minim8 locum habet , quia semper diis in uis es; in se non datur minimum in eius genere, quod possit esse
mesura communis duarum quantitarum conti in limis
134쪽
Postquam in superioribus libris ostensae sunt principes figurarum planarum passiones , ut possint aliae arcanss rarumdem figuratum propietates declarari , debent prius consid rari quantitatum comparationes, quae constituunt quantit tis speciem, ab aliis quantitatibus notis, diuersam. Harum ergo comparationum tractatio generica habetur in hoc te tio libro: Speculatio quidem non minus pulchra, dc utilis , uam miris difficultatibus inuoluta, in qua Antiqui valde efecerunt, ut postea ostendetur; & p pterea necesse est, ut uniueria a fundamentis testituatur , initio iumpto a demi
Pars die stur minor quantitas maioris quantitat1s , cum misnor aliquoties metiturmaiorem .
stumiam in isto libro tractatio instituenda est de coparationibus qua nigrum, quoad quaesitate pertinet, idest quoad squialiare, ' msqua-uam tem earum. Mani filium est qusitates,que aquales, rei inagnate/ in hie
dici nequeunt,comparabiles non es ,ri linea cum duperficie, enumerus eum corpore, luel motus cum pondere comparari non test propterea quod nec equalis, nec maior, aut minor alter alterius dici potest,cum sint diversorum generum et due veta lineae
inter se compatrari possunt, cum sint eius I ra ieem genero ; e sic duo numeri, duo motus, i l Bilhs superficies, dic. in inter omnes hec eis Iprima comparatio duarum quartim bet lquantitatum inter se. Di. iturque illa quantitas propria Pars alterius quantitatis, quyaliquoties mensurat illam quantitatem ; severo eam non metiatur, di sit minor ilia .l appellabitur portio, vel segmectim eius . Itaque antecedens quantitas pars crit consequenti O a quan-
135쪽
quantitatis B, si is aliquoties ipsam B metiatur; - bis, ter, quater , decies, centies, oec. Et denominatio cuiuslibet partis determinatur a multitudine partium, contentarum in consequenti, quarum quelibet r- qalis est antecedenti. Ut se B contineat tres partes equales ipse A, n omen a ternario designabitur, in dicetur A tertia pars ipsus B , se dereliquis . . l
. II. Multiplex autem dicitur maior quantitas minoris quantitatis, cum maior a minore men suratur.
Vt antecedens quantitas in mulinplex est consequentis B, quando B alnquoties ipsam A metitur , vel quando e multoties ipsam B continet, is bis , ter, decies, dic. diciturque A ipsus nil B dupla,tripla, quadrupla, dies toties B. Quam mensurat. EIII. Partes dicitur quan titas maior, siue minor , asterius quanti talis, cum reperiri potest tertia quantitas, quae illarum sit
communis mensur a. Quotiescunque fuerint sis quantitates A , in B, atque tertia quarit Os C aliquoties mensuret antecedentem A s nec non ipsemet C aliquoties metiatur consequenum B tunc antecedentis partes erit constauratis B, sue Ara rit maior, aut squalis, Mel miuor, quam B; qus partes numerantur a multitudineae so A
C partium, contentarum in antecedentes in denominantur d multitudine paritum,comi l tentarum in consequente. Ut, si C ter comtineatur in A, di quater in B , dicetur Atres quaras partes ipsus B. Et, s c quater contineatur in A, ter in B, dicetur Aquatuor partes tertie ipsius B. At si cquinquies contineatur in B, O quater lata A dicetur a quatuor partes qitivis ipsus B, disic de reliquis.
136쪽
. IV. . . iEadem pars dicitur prima quantitas secundae , ac est tertia quartae quantitatis; cum prima toties secundam metitur, quoties tertia quartam. Et sque multiplex dicitur prima quantitas secund(,ut est te tia quarte: cuin prima, & tertia eque mensurantur a secun- . da, di quarta.
Trius comparavimus Micam quantitatem a recedentem cum vnica consequente et Modo eo, Icparantur sis autecedentes cum duabo cons
quentibus. Et posum es due primi eiusdem, aut Buon eiusdem generis, cum duabus postremis ;- --- prima, in secunda possum est lime, atqueo due reliqus, scilicet tertia, di quamla, possunt quidem esse lines,= etiam
superficies, aut numeri, vel corpora, Mespondera, aut motus. Et siquidem prima quantitas a comparatur cum secunda B , di tertia C comparatur eum quarta D, atque antecedos in toties metitur consequentem B , quoties reliqua antecedens C mensurat reliquam consequentem D: DI-eetur prima in eadem parasecun c,quam tertia C pars es quarte qualitatis D. Itaque, se Hraque antecedentes quater mensurent utrasque ronsequentes, dicetur tam in ipsius B, qudm C alterius D, quarta pars rin, hepties eas meus urent, dicentur antecedentes suarum consequentium septima pars , disic in reliquis mensuris. E con- Atra, s.anteceaena Atoties mensuretur . sua con- so . .. . t e lsequeme B, quoties c mensuratur a sua eonsequere re. . D, duetur prima A ipsius B pque multiplex, ae B .-. V tertia suantitas C multiplex quaerae D. D lVI. Esdem partes dicitur prima quantitas secundq, quemadmoedum est tertia partes quart* quantitatis, cum duq quslibet
quantitates eque metiuntur prim m, &tertiam; parite que eque mensurent secundam, iv quartam. Vt si fuerint quatuor quantitates A, B, C, D, quarum entecedentes, Disecet prima A, re tertia C sque mensurenetur a quibuslibet quantitat, bis G, ct H; pariterque sis consequentes, scilicet secutida B, di quarta D sque men rentur ab eisdem mensuris G, ν Η, dicetur prima in ipsius
137쪽
l sc Tl secvnus B esdem partes, quemadmodum est tertia C partes quarte quantitatis D. Vel potius quando
ram numeratores inter se, quam denominatores
sunt inter se aequales: tunc prima ipsius fecunda , di tertia ipsius quarte eedem partes erunt. Vt hi, fuerit tres quinta partes ipsius B , sicuti C eri tres quinta partes ipsius Divel si tam .a ipsius B.quam C alterius D fuerint nouem quinte parris, in se in reliquis memi ris; tunc dicetur a inius B , atque C alterius D esdem partes.
Si antecedens quantitas merit multiplex, aut pars, partesue consequenti S, vocetur comparatio prime cum secunda Proportio commen surabit is; diceturque prima ad secumdam,proportionem mensurabilem habere. At si nulla alia quantitas, mensurabilem proportionem habens ad consequentem, esse potest qualis antecedenti, sed semper m ior,aut minor est illa;dicetur antecedens ad consequentem habere proportionem non mensurabilem. Agimus iam de noua specie quantitatis, qua licet sit diuersa a relia
quis quantitatibus notis, nihilominus in ei dem omnibus inuoluitur. Et primo certum es duas quantitates, inter se commensaerabilex, habere aliqua certam, , determinatam ha redinem, fecundum quam primet quantitas squa antecedens diciturct determinato numero multiplex essecunda quantitatis, seu con equentis, idest tot vices continet consequem tem; HI prima talis pars est secunde, aut prima tot, in tales partes in secunde; ris prima tripla sit secunda, Pel quarta pari fuerit secun , aut tres quarte partes fuerit secun : tunc talis respectus antecedentis ad consequentem meatur Proportio eu Ratio mensurabilis. At due qualitates inter e incommensurabiles eiusdem generis, is sunt laetus, in dimmerer quadrati, habem etiamsuum respectum, qui dignoscitur per hane passimem, quod quelibet linea, ea infinitis ales, que partes sit diametri ipsius quadrati, maior, aut minor, nunquam autem equalis es lateri eiu dem quadrati. Et talis re ectus ineffabilis per numeros, vocatur Proportio non memurab.tis; esque nihilominus haec proportio, seu respectus viscus,di determinaras in natura, ita vi quslibet alia linea maior, aut mitior latere eiusdem quadrati, non habeat ad eius diametrum eam proportiovem, quam habet latus. Quomodo vero determinatio quamn
138쪽
eatis proportionis nex mensurabilis reperiri posset, pillea docebit . - VIII. Si quatuor quantitatum s eiusdem generis, sue non prima ipsius secundq, de tertia quartqqque multiplices fuerinr, vel eadem pars, aut e dem partes: vocetur commensi irabilis proportio quantitatis prime ad secundam eadem, vel smilis proportioni quantitatis tertiq ad quartam; & huiusmodi quatuor quantitates vocentur proportionales commensurabiles. v o. ASO B
Ut se quatuor quantitatum A, B, C , D, sis A, B fuerint,nius gemmis C, D agi rius, vel omnes Anteiusdem, generis ; in prima antecedens quantitas is ipsius secund consequentis B set tam multu ex, quam tertia antecedens Cest multiplex alterius cotis quentis quaris D ; vel A e dem pars sit ipsus B, veluti C ipars est alterius D; aut A e dem partes fuerit ipsus B, quemadmodum C partes est alterius Det tune commensurabilis proportio quam antecedens is habet ad consequentem B, eadem, vel similis erit proportioni alterius antecedentis C ad suavia consequentem D. Et quatuor quantitates A, B, C , D, habentes dictas conditiones, vocentur proportionales commensurabiles. RA B
Si vero ouantitas prima maior fuerit illa quantitate, que ad secundam, eandem rationem commensurabilem habet, quam tertia habet ad quartam: vocetur proportio quantistatis prims ad secundam maior commensurabili propoditione quantitatis tertis ad quartam. Et, si prima minor fuerit quantitate illa, quq ad secundam eandem rationem commensurabilem, quam tertia, habet ad quartam: vocetur proportio quantitatis prim*ad secundam minor prinportione commensurabili, quam tertia habet ad quartam
139쪽
Ut.si fuerint quatuor quantitates A, B, C , D,mea, fueristunius generis, C, D alterius, sue omnes eiusdem generis ; ' tertia Cad quartam D habeat quamlib. t proportionem et mn ens rabilem: CSit exempli gratia c tres quaris partes ipsius Dy; O aliqua quantitas EA
siit minor, quam prima A; sitque E ad - fecundam B in eadem proportione Vm- mensurabili, qPam tertia C habet ad quartam D,ides, si E quoque fuerit tres m quarte partes ipsius B: Tunc prima Asmaior existens, quam E ct erit major, - quam opus est, ut ad secundam B eamdem rationem commensurabilem habeat , quam tertia C habet ad quartam D. His positis, vocetur proportio qua titatis A ad B maior illa proportione commensurabili, quam tertia C habet ad quartam D;. St.bro E Cmaior existens, quam A fuerit ad B in eadcm proportione eomm msurabiti, quam C habet ad D : Meabitur proponso prime quantitatis A ad secundam B minor proportione commensurabiti, quam tertia C hahet ad qua
Et, si quatuor quantitatum ( eiusdem generis, siue non antecedentes fuerint incommensit rabiles conseqentibus; &proportio quantitatis prinae ad secundam maior fuerit ata ue proportio quantitatis tertis ad quartam minor si te em tertia commensurabili proportione: Vocetur propoditio quantitatis prim* ad secundam maior illa incommensurabili proportione, quam tertia habet ad quartam quantitatem .
XI. Si vero in eisdem quantitatibus incommensurabilibus proportio prim* quantitatis ad secundam fuerit minor dc prinportio quantitatis tertis ad quartam maior sit, eadem tertia commens irabili proportione: tunc vocabitur proptxtio quantitatis prime ad seeundam minor illa incommensurabili proportione . quam tertia habet ad quartam. , si fuerint quatuor quantitates A, B, C, Di sue A, O B fuerint aenius Severis, vi C, D alterius ; siue omnes sent eiusdem generis; atque
140쪽
A ira B, hee non e ipsi D incommensurabiles hiat: edi reperiri post temtia quedam proportio commensurabilis, quelibet ex infimis, q: s proponi posunt squy licet inter duos separatos terminos supponi po sit, nihil minus commoditatis gratia concipi polcri inter aenicum terminum separatum H, O quartum terminum D s Sitque proportio ipsius A ad B ma ior comensurabili proportione,quam habet H ad D nec non proportio temtie C ad quartam is sit minor eadem commensurabili proportioue , qaam habet M ad D r Tuue vocabitur proportio quantitaris prima A ad secundam B maior illa incommensurabili proportione , quam te
ia C habet ad quartam D . Vt tem verisicetur, quod proportio pri- ' me ad lacundam B sit maior commen- furabili illa proportione, quam H h bet ad D, poni debet alia quantitas G, et quae ad g habeat eandem commensu- Brabilem proportionem, quam H h bet ad D . O necesse est, ex nona definitione, ut prima A maior lit,quam G: sic enim A maior erit illa quantitate, que habet ad secundam B candem proportionem commensurabilem, quam H habet ad D. Simili modo, M ver icetur, quod proportio tertiae quantitatis c ad quartam D sit minac eadem commensurabili proportione, quam H habet ad D , necesse est, b H sit maior, quam C. Quare quotie cunque proportio prima Aad secundam B conceditur maior proportione is ommeaesurabili, quam tertia C habet ad quartam D: debet etiam concedi ex vi huius definiti uis , quod due alie quantitates reperiri possunt, aet unt G Ir es, qua habeant eandem proportionem commensurabilem ad consequentes A di D, ita H G minor sit, quam A; at H maior sit quam D . Et e conuerso, quando ha conditiones verisicari possunt, scilicet hi dua alie quantitates G Massignari posunt, eandem commensurabilem ranonem habentes ad con quentes B , D , qu trum G minor fit, quam is, cir es maior sit, qud n C: tunc vocabitur proportio prima A id fecunda B, Maior incommensurabili illa proportione, quam tertia C habet ad quartam quant,
Si dieia in eisdem incommensurabit, Atas quantitatibus proportio primI A ra
ad secundam B minor fuerit tret a Meuadam commensurabili proporti ne, quam II habet ad D Sed propo tio teri e C ad quartam D maior si cadem comn cncurabili proportione ipsus I ad D : tunc quidem proportio prims A ad secundam B νocasItur MD