장음표시 사용
71쪽
A ADF fumi potest aliquod punctum M , a quo ad angulos figure cor iungi re nes possunt H A, H S, HE, Sc. ynde figura uersa dι-fribuetim in tot trian la , quot sunt eiuX latera; propterea quod latus cuiuslibet mure erit basis Uius triavx li , t A B hasis est trianguli A B U, O sic reliqur omnes s ct vertices oni nes predictorum trian-ergularem in eiam puncto H, intra figuram asumpto, coni emunt. Eru i cum tres an-etu cuiuslget trian si jint equales Aous rectis, debent toties lumi duo recti, quot sunt triangula, idest quot sunt eorum bases, seu quot sunt latera Polygoni. Exhi Lee omnibus angulis rectis tolli debent omnes vertices triangulorum , m e' 'ii. eo quod , unita n medio figurs , scilicet in H; sed m omnes anguli, qui fiunt circa unicum puncthm H, squales sunt quatuor rectis. Ergo ex irata summa angulorum rectorum, demptis quatuor, reliqui erunt squales omnibus angulis figure rectilines. Patet etiam, qhod,si larem cuiuslibet Tianoni extra figuram ex una parte tantum producantur , coli urgent anguli omnes externi F A E, GB A , H C B, cte. in quolibet Potnono , simul sumpti, squales quatuor rectis. Quoniam n quilibet externus F AE cum suo interno E AB Iummam duorum rectorum compler . Ergu Moesunt antiat, siue quot sunt latera in To- digres, toties sumi debent duo anguli recti, is sint aquales omnibus internis, er
nes interni sunt squales tot binis rectis , quot stivi eiur latera, demptis quatuorctis. Ergo quatuor recti sunt equatig --nibus eaternis angulis, simul umptis. apro .iet
Hinc manifestum est, si fuerint due figuri, eque multos adigulos habentes: esse omnes angulos Imus figurae, simul sumptos , aequales omnibus angulis alterius, simul sumptis.
Et si in eisdem figuris omnes anguli, Vm eXcepto eorum, qua
72쪽
LIRER I iqni in una figura sunt, equales fuerint omnibu, angulis alterius figure absque uno, erunt ill i duo anguli relicti aequales inter se. eo quod omnes anguli uni us figurae si mul sumpti, equales sunt omnibus angulis alterius, simul sumptis. PROPOS. XIX. THEOR. XII. Bue g. I. Omnis trianguli maius latus maiorem angulum subtendit.
Sit latus AC maius latere AB in triangulo A B C. Dico angulum B maiorem esse angulo C. Ex maiore latere A C secetura AD equalis A B minori; iungaturque BD. , Ergo trian pulum B AD isocelium erit; ideoque anguli supra basini A B D, dc A D R inter se qquales: Est autem angulus A BC maior angulo AB D, totum scilicet sua parte. Ergo angulus ARCmaior quoque erit angulo A D B. est e vero angulus A D B externus in triangulo B D C; dc ideo maior angulo C interno, &opposito. Ergo multo magis angulus ABC maior erit angulo C. Quare maiori lateri A C opponitur angulus maior AB C. Quod erat
Hinc patet in triangulo, cuius tria latera inqqualia sunt,(quod vocatur Scalenum tres angulos esse inaequales;quam doquidem tria eius latera inequalia sunt. In isosccle vero, quando hasis minor est utrol bet laterum equalium, tunc amgulus verticalis minor est virolibet angulorum, qui ad basim stini. si vero basis maior est, pariter angulus verticalis maior
Angulis qqualibus eiusdem trianguli opponuntur latera Pqualia. Et maiori angulo maius latus Opponitur.
Sit primo in triangulo ABC angulus A aequalis angulo C. Dico latus C B equale esse lateri AB.Si enim hoc Verum Du
73쪽
est, sit B C maius, aut minus, quam A B. Ergo, ex praecedenti, angulus A maior aut minor erit, quam C; quod est contra hypothesin. Non ergo C B maius est, aut minus, quam A B. Quare illi esse qquale necesse est. Quod erat primo loco osten- Sit secundo angulus A maior, qinim B. Dico Iatus R C m ius esse latere A C, Si enim hoc verum non est: erit B C, auta 3 -.A. squale, aut minus, quam A C. Sit equale, si fieri potest. Ergo a anguli B, ct A qquales erunt inter se: positus autem mitangulus A maior, quam B. Ergo erunt aequalem dc inequales. quod est absitreum. Non ergo B C qquale est ipsi A C. Sit tertio minus, si fieri potest. Ergo ex 'hedenti minori lateri B C opsonitur minor angulus A, mod rursus est cointra livpothesin. supponebatur enim angulus A maior, quam B. Non ergo latus B C minus est latere A C, sed neque equ- Ie ostensum fuit. Ergo B C maius erit, quam A C .Quapropter, &c. Eus.1o.I. PROPOS XXI. THEOR. XIV. ' Cuiuslibet trianguli duo latera tertio sunt maiora ; dedisse
rentia duorum laterum minor est reliquo; atque tria latera,simul sumpta maiora sunt duplo unius: sed minora sunt duplo duorum laterum.
. Sit quodlibet triangulum A B C. Dico primo duo quaeibbet eius latera, ut B A. dc A C, sin ut sumpta, maiora esse tera rv s. tio latere B A. Producto latere C A verius C, seceturis D A qqualis ipsi B D, iungaturque recta B A. Quoniam in tria, b Pry 6. gulo B A D duo eius latera B A, & D A qqualia sunt inter se. Ergo b anguli ad Dasini D, & A B Dequales sunt inter se; estque angulus C BD maior partiali angulo A B D. Igitur angulus C B D maior est angulo D; & propterea in triangulo C B D erit latus C D, angulum maiorem iubtendens,maius latere B C:
sed D C equalis est duabus rectis lineis B A, de AC, simul sumptis eo quod squalibus B A, &DA additur comminnis
74쪽
nis AC Ergo duo latera B A, dc Ac , finivi sumpta, maiora sunt tertio latere B C. . Secundo ex maiore latere B C secetur . C H equalis AC; a P, i eritque R H differentia duorum lateru mB C, & C A. Dico iam B H minorem esse, A quam B A. Quia duo lateri B A , dc C A Zmaiora sunt, quam BC; si ab eis tollantur uales H C, & C A: erit e B A, residuum sic ' maioris aggregati, maior, quam B H. Tertio dico tria later 1B A, A C, dc CB, simul sumpta, maiora esse, quam duplum ipsius B C. Quoniam duo B A, do A t . . 'C maiora sunt, quam B C, addit communiter B C: erunt tria latera B A, A C, & C B maiora, quam latus B C, bis sumptum
Quarto dico tria latera B C, B A. & C A. simul sumpto , minora esse quam duplum iesius B A, una cum duplo ipsius C A. Quia R C minus es . qnam B A, una cum C A; additis hcommuniter duobus B A, & C A: erunt a tria latera B C. B A, dc C A Ru si inpia, minora, quam B A, bis sumptum, una cum C A. bis suinpto. QIs demonstransa erant.
Ne dvim in lateribus euiuslibet trianguli; sed in quibuslibet tribus quantitatibus, quarum sis quelibet tertia sint maiores, idem verifieatur. Erit enim quarumlibet earum deferentia minor tertia; ct tres, simia sumpte, majores erunt duplo miui s sed minorei duplo duarum reliqua.
PROPOS. XXII. THEOR. XU. Eua. ia. Si ab extremitatibus unius lateris trianguli duq rects lineet imira ipsum conueniant, hq, simul sumpte, minores erunt duobus reliquis trianguli lateribus, simul sumptis; mi rem vero angulum continebunt.
Sit triangulum A B C, dc a punctis B, C concurrant intrx triangulum duq rect* B D, & C D in D. Dico B D, C D simul, minores esse, quam B A, C A . simul sumptae; sed amgulum B D C maiorem esse angulo B A C. Producta B D, secet A C in E: erunt a B A, dc AE, simul sumPtae, maiores, atv r.
75쪽
quam BE;& addita communi EC. . b b. a. erunr b duae B A. & AEC maiores duabus B E, dc E C simul. Rursus e C E &ED simul. maiores sunt. quam C D; de addita communi D B: erunt a duae CE.&EDR simul, maiores duabus C D. & D B . are AB , & AC simul sumotae , multo maiores sunt , quam B D, dc
Postea e angulus B D C externus in triangulo E D C maior est interno, & opposito C E D: hic vero externus est in triangulo E A B s & ideo aior interno, dc opposito angulo A. Quare angulus B D C multo mior erit, quana angulus A Quod erat ostendendum.
Eure , I PROPOS. XXIII. PROBL. VIII.
Datis tribus rectis lineis, triangulum constituere , cuius sit, gula latera singulis datis rectis lineis equalia sint. Oportet autem, ut unaqusque datarum linearum minor sit reliquarum aggregato. Sint tres rectae linec A, B, & C, quarum duae auaelibet reli- cua sint maiores. Debet cianstitui triangulum, habenS tria latera equalia tribus datis rectiS lineis. Sumatur quaelibet recta linea D E indefinita,& in ea secetur D F aequalis ipsi A &ex reliqua lecetur FGaequalis B; dc tandem lece-tut G E reqvasis C. Deinde , centro C, interuallo G E circulus E N Κ describatur. Et centro F, interuallo F D alius circulus
D N H describatur. Et cuia singulae rect* D F, F G, & G E aequales sunt singulis AB, ct C atque unaquaeque harum minor est aggrcgato duarum reliquarum. Ergo duae quaelibet ipsarum, D F, F G, G Ee SeoI.srop. maiores sunt tertia. F stque circuli D N H diam ciet D H dii pia D I, S E T dupla ipsius c, h. Ibitur; D H, & E Κ si mul, maiora sunt, quani quae est nurima omnium tru
76쪽
ct ablata .r edmmiter D H, erit E Κ maioriquim H p.que est dresiduu psius DE. Ergo punctum H cadit ultra puctum N ad partes E. postea e quia D H dupla ipsiuis D F minor est, maria e 3 m. Omnium traum summa DE. Ergo puctum H figurae DNI F t v 'ecadit inter puncta E, dc Κ diametri Κ E, idest intra figuram NN E G dc propterea duae peripheriae DN H&ENNIe secat antequam ad pucta H A R pertingant.st iecolit in puncto N, & ducantur rectae F N ih G N. Et quia' N aequalis est ipsi D t. :F, cum a centro ad periphersam circuli DNH ducasini r i est ' que recta A aequalis eidem DF. Igitur g F N aequalis est ipsi A. Similiter G N,& G E sunt radii eiusdem circuli;& ideo hq- qua Ies: estque recta C aequali, eidem G E. Ergo N G aequa- h a, . in .lis est ipsi C: atque recta F G facta est equa lis ipsi B. Igitur trianguli FNG tria latera equalia sunt tribus datis rectis li- i . --. neis A, B, ct C. Quod erat propositum.
Constat, si tres linee D F, FG, G E, deinceps posts, fuerint peripherae eiusdem circuli, eus esciant arcum D F E minorem integra circuli peri- . 'pherias di due quelibet ex illis maiores sent tertia periphraia ; ψ-que D N, dupla ipsus D F , atqhe E R dupla ipsus E G. atque coniungantis recte linee D H, EL Ei necessario hydus rects linea se reabunt intra circulum, antequam ad puncta H ,=Κ pertingant . Nam punctum H lines DF H, cadit, is in propositione osten um est, inter puncta R , in Ealterius linee RG E, idest intra figuram EG EN. Et ruonia' h RG E dupla ipsius G E Misor . h Sciei. est, quam DRE. Ergo punctum D usi cadit inter puncta es , O T. Rum p v, fus quia DTE minor est peripheria integra circuli. Ergo punctum D non eadit inter E, OH: ideoque punctum D caditu extra figuram RG E T. Quare due lives D NI ,er E NE 'Iecabunt antequam ad puncta es,dix pertingant . di propterea intra circulum conuemum. Presens Troblema dicitur determinatum, eo quou non potes fieri nisi contrahatur eius uniuerialitas in illis verbis: oportet autem , dcc. Nam absque tali determinatione Problema esset impo Oile. Propriura est go determinationis destruere illam miser alitatem Ianostionis. Non enim Aeet ex tribus quibuslibet datis ri uis istis triangulam consentuere, nisi habeant, iam dictam, conaetionem s propterea l quod in quolim l Prop. et r. bet triangulo duo euslibetem latera reliquo debent esse maiora: mco G flat, Disii troes by Go le
77쪽
I at, qu)eresque illa determinatisne Nam propositiones demonNrat ede erit viper miliet iliter considera ideo cum in hypothesi dieiter: Datis tribus rectis lineis uen fas es quati cunque sint petActs lines , idest Mariata insevitis modis
memura ipsarum, triangulum constum debet. uer trop. 33. 1.
Ad datam rectam ineam, datu metue in ea punctum, dato anisi . gula aequalem angvium cinaestituerer
Sit data recta linea A B. ad punctam eius si debet constitui angulusqqiaalis dato angulo E. Diicarii utcunque . recta Da P v, 3, vitactriangulum DEF; postea a fiat triangulum C G H, . cuius latera aequalia sint tribus lateriabus trianguli D E F. singula singulis, ita ut ad punctum, Ciconueniant duo latera, C G quidem aequale ipsi D E, i ib& C H equase ipsi E F fieri enim hoei vi poterit , cari duo quaelibet latera ,
, D trianguli E D F reliquo sint maiora .
iam in his duobus triangulis omnia a latera unius squalia sunt omnibus Ia- , teribus alterius, singula singulis. E go b angulus C aequalis est angulo E (quia lateribiis G H. 8c D F aequali- hus subtenduntur Et hoc erat L
Patet eadem constructione fieri poste triangulum similiter aequale cuilibet dato triangulo . Nam si darum fuisset triangulum D E F , constructum effetalterum triangulum C G Hilli qquale, aequilaterum,&aequiangulum.
Si in duobus triangulis fuerint duo anguli unius equales dum bus angulis alterius, uterque utrique,& unum latus uni lateri aequale, quae siue aequalibus angulis adiaceant, siue
78쪽
In triangusis A BC.& DES sint latera AC,&DFequa- lia inter s., ct angulus B A C aequalis angulo D, atque angu- diis A BC aequatis angulo E siue sint anguli BAC,&De- quales: pariterque singuli A C B s P F inter se aequales. Pa- a Cerau. c. ret a in Vtroque calli tertium angustiami tilia sitrianguli ar- 'p. , --qualem esse postremo angulo alterius triam ii. Dico latera A B, & D E esse equam; pariter se latera C B, & F Eunerae equalia esse. Si enim hoc verum inon est, sitiAB masus, aut minus , quam D E; dc secetur , AH equaleb D E, iungatui que recta C Hi. Et quia ' icirca equale, tangit lorum Aq& D latera CA,& g D equari lunt; pariter o
erunt anguli A C H, dc F squales iliter te. Erat autem angulus AC Beqnalis eidem ansulo H Ergo a duo anguli A C H, d a,i. i. .&ACB equales sundinter se, pars., & totum, quod e est im- possibile. Quare recta linea B Aiaon est mai*x; neque minor, equam E D, ted equalis erit. Eadem ratione latera C B, & E Fequalia crinit. Quod erat probasidunt.
. i PRO POS. XXVI. THEOR. XVII.
Quadrilaterum, cuius opPosita latera sunt parallela, habet angulos oppositos, & late a op sta equalia inter se; atque diameter ipsiim secat bifariam , sed diametri vicissilia se te bifariam secant. Vocetur talis figura Parallelogram-mum. Et perpendicularis, a summitate ad oppositam b sim ducta, vocetur Altitudo Parallelogramini. Sit quadrilaterum B in cuius diameter A C, sintque latera 'A B , ct D C parallela inter se; pariterq; latera AD B C sint parallela. Dico primo latera A B, & D C inter te, nec non latera A D, & B C squalia esse; Secundo angulos B, & D inter se, nec non angulos B A D, B C D inter ie squales esset i ;Tertio triangula A B C, dc A D C. secta a diametro, dualiae sies Quarto diametros AC, dc BD le te mutuo his irram G a secare
79쪽
secare in E. Quonia in in quadrilatero AC latera opposita o B, DC sunt parallela, dc secantur ab A C. Ergo a anguli alterni R AC . dc D CA aequales inter se sunt Similiter qui a b rectae A D. B C sunt parallele,& secantur a recta A C. Ergo alterni annuli B C A, & D A C aequales sunt nater se. mare in triangulo B A C duo anguli supra basim AC aequales sunt dum hus angulis trianguli D A C, super eandem bosim adiacentibus, singuli singulis; & ideo c erunt triangula B A C.& D AC similiter equalia;& propterea quadrilateruna ipsum B D, sectum erit a diametro A C bifariam. Postea latera AB.&D C, opposita angulis aequalibus alterni S Inter se; nec non latera opposita A D, & B C qqualia erunt. Deinde duo anguli oppositi B. & D aequales erunt, quia eidem bisi AC opponunrur. Rursus quia aequalibus angulis D A C, dc B C A ad diantur anguli aeo uales BA &DCA. Ergo Moti anguli oppositi DA B,& B C D aequales inter se erunt.Tandem quia in triangulis A B E, & C D E duo anguli B A E, &:D C E te quales ostensi sunt, de anguli A E B, de C E D ad verticem Dunt . aequales; de duo latera A B, & C D, subtendentia angulos aequales, ostensa sunt aequalia. Ergos A E ipsi E C aequaulis est ; nec non B E ipsi E D aequalis est. Quare patet propositum. Vocetur figura ABCD parallelogramma. Et recta a supremo latere A B ad oppositam basim D C pe pendiculariter ducta ; vocetur Altitudo parallelogram .
Hinc colligitur, quod ,si fuerint duo parallelogramina,quet habeant unum angulum uni angulo equalem, erunt reliquianguli unius parallelogrammi aequales reliquis angulis alter pro'. s. rius parallelogrammi, singuli singulis. Nam g duo quilibeth prv. oppositi aequales sunt inter se , & interni, b dc ad easdem partes duobus rectis sunt aequaleS.
Si in quadrilatero anguli oppositi inter se, aut latera opposita tuerint squalia, vel duo latera oyposita tantaen sin t paralella,
80쪽
rallela, ili aequalia, vel duo latera opposita parallela & duo anguli oppositi equales, sue duo latera opposita paralle. Ia, dctriangula facta a diametro qqualia, siue duq diametri mutuo se secet bifariat erit semper Parallelogiamum.
Sint primo in quad rilatero B D anguli B, dc D inter se, pariterque A, & C aequales. Dico B D parallelogrammum esse. Quoniam A, & C aequalibus, si addantur anguli aequales D ipsi A vB ipsi C . erunt a anguli A . dc D simul, squales duobus C, & B: sed quatuor , anguli cuiuslibet quadrilateri aequales sunt quatuor rectis. Ergo duo anguli A, & D simul, duobus rectis sunt q quales et& sunt interni ad easdem partes. Ergoc A B, dc D C paralli elae sunt. Eadem ratione A D, dc B C parallelae erunt; ideoque spatium B D parallelum grammum erit. Sint secundo duo latera opposita AB, & D C equalia ii, ter se, pariterque D A, & B C equalia. Dico spatium este parallelograminum. Ducta diametro BD, a Gerivit in triangulis A B D, & C B D sngula latera singulis lateribus qqualia, dc B D latus commune. Ergo a erunt similiter squalia, ideoq; anguli oppositi A, dc in C qquales erut,atq; A D B,C B D inter se, Diaec no anguli A B D, C D B equales erutinter se. are e duo ansuli A D B, Sc CDB,simul sumpti,atq;C B A B D, simul sumeti,qquales erunt inter se. Igitur exprima parte huius spatium ipsum erit parallelogrammum . Tertio sint latera opposita A B, ct C D parallela, dc qqualia tantummodo, idem sequetur. Si enim hoc verum non est , ducta IBE parallela ipsi A D. fiat parallel graminum A D E B. Cadet ergo re--aBE citra, aut ultra punctum C. Ergo g latus D E aequale erit opposito A B, seu D C. pars, de totum 'squod est impossibile. Non ergo albbi , quiuia in C puncto, cadit B E parallela ipsi A D. Quare spatium A C parallelogrammum est.