장음표시 사용
141쪽
aeor incommensiurabili illa proportione, quam tenta C habet ad quartarum D. Et similiter reperiri poterit altera quantitas, ut G, qnast ad sectiv-dam B in eadem commensurabili proportione, quam H habet ad D ira fit ipsa G maior, quam prima AE, O H minor, quam tertia C. Ut Hrb definitio generalis fiat pro quantitatibus commensurabilibus, in incommensurabilibus , hoc modo dicemus: si proportio quantitatis prima ad secundam maior fuerit: at proportio quantitatis tertiae ad
quartam non si maior eadem commemsurabili proportione: tunc proporatio quantitatis prima ad secundam vocetur maior proportione ilia,qtiam tertia habet ad quartam CNam tune proportio magnitudinis tertie ad quartam eadem erit, vel minor tertia illa proportione commensurabili.
Et si proportio quantitatis prime ad secundam minor fuerit; sed propomtio quvntitatis tertie ad quartam non sit minor eadem commensu rabili proportione spic enim proportio tertis ad quartam eadem, aut maior esse potes eadem illa commensurabili proportione et tunc vocabitur pro sortio quantitatis prima ad secundam mmor illa proportione, quam h
et tertia quantitas ad qua tam . Sic enim comprehenduntur tam proin portiones commensurabiles, quam incommensurabiles.
XII. At in eisdem incommensurabilibus quatuor quantitatibus, si proportio quantitatis prim S ad secundam non fuerit m
ior , neque minor ea proportione incomensurabili, quam tertia habet ad qVartam quantitatem: vocetur incommemsurabilis proportio quantitatis prim* ad secundam eadem, vel similis proportioni, quam tertia habet ad quartam quantitatem. Et huius odi quatuor quantitates vocenturi proportionales incommensurabiles. Postiae eisdem quantitatibus in , B , c, O D; sint , ipsi B, nec non Cips D incommensurabiles; et quia supra declaratum est, quando prima
A habet maiorem, vel minorem pro--- portionem ad secundam B, quam tertia C habet ad quartam D . Si ergo propo o T, i tio ipsius A ad B non est maior, neque minor ea proportione incommensurabis Ii, quam C habet ad D n vocabitur proportio incommensurabilis primae Aad secundam B, eadem, vel sexcitis proportioni quantitatis tertis C ad quartam D. Et huiusmodi quatuor quantitates A , A , c , D dicentist proportionales incommensurabiles.
142쪽
si prima quantitas secundam metiatur, fecunda vero tertiam mensureis prima quoque tertiam metietur.
, t se quantitas in mensuret secumdam A C, in B C me uret teri am D E. Manifesum est primam A mensuraret quoque tertiam D E. Nam diuisa D E in partes DF, FG, GE, que singule squa- D -- - - Eiesset ipse Ac . cum A me aeret j. am BC, mensurabit quoque eadem A singulas partes D F, F G, G E ideo' a que a ina in totam D E ex dictis partitas conclantem, m ensurabit. lib.a
II. Tribus quantitatibus propositis, quam proportionem habet prima ad secundam, habebit tertia ad aliquam aliam quantitatem eiusdem generis. LII. Et quam proportionem habe r prima ad secundam, habebit aliqua alia quantitas eiusdein generis ad teritam.
Ut, se data sit aliqua proportio quantitatis A ad B. Manifestum stertiam quantitatem C tabere ad aliquam aliam quantitatem eiurumdemo generis, D eandem proportionem quam in ha- .hei ad B. Dcet cnim ignoretur interdum qua- onam sit illa quaκtitas quarta, certum eri eam reperiri in natura. Nam cuiuslibet duis qMV- B i litatis C datur quoque dupla eius, tripla,qua- l D ldrupla, di quaelibet alia mkltiplex illius. SL maliter datur in natura femi s ipsus C, nam tota C ex duabus eius m Aetatibus conflatur: Pari ratione datur eis dem C tertia pars, quarta , O quaelibet alia eius pars' Vnde eis idem partes omnes in natura exis fleat. Quare existente proportioue data ipsus A ad B commensurabili , dubitanaum non est ipsam c ad aliquam aliam habere posse eandem proportionem, quam habet A ad B. At si proportio A ad B fuerit incom- : memurabilis, is diametri ad lacus qua ruit, cium deutur omnes propo uoues commesurabiles, scilicet infinitae maiores, re in ita minores
143쪽
ilia , non repugnat quin detur etiam eadem incommenturabilis proportio inter terminum C, in aliquem alium eiu dem generis; qui erit latus alterius quadrati, cuius diameter est C. Animais e riendi, m tamen es innumeris hoc non semper veniari, nisi facti adhibeantur. Nam remarius ad nullam numerum integrum habebit proportionem duplam , aut quintuplam '. Ternarius enim diuidi nequit in duas, aut quinque partes aequales, nisi eius unitates lubdiuidam re o tunc semisi ternam, erit tres)emis es unitatis, in quinta pars ternar 'it tres quinta Partes
unitatis : O hoc incit ad die statem Axiomatis flabiliendam . IV. Si duarum quantitatum qqualium una partes fuerit alicuius tertiae: dc altera quoque eqdem partes erit eiusdem tertis,ac erat prima.
Nam, si sis quantitates A, oe B aequales si rint , O A ipsius C partes fuerit, quarum communis mensura sit D: erit necessario D eadem, pars alterius B, qua erat ipsus A; eo quod in in B aequales ponuntur; ideoque B ipsius C erilem partes erit, qua A partes es eiusdem C.
Duae proportiones in tribus paucissimis terminis contineri ,
aut continuari possunt: si nimirum unus sit consequens, aut antecedens communis;vel si unus sit antecedens unius proportiovis, & consequens alterius. i Vidua proportiones A ad B, atque C ad Aeontinen tur in tribus terminis; eritque BDe-B ι-- . da, , quarta. Pari modo in duabus proportimnibus A ad B , atque A ad C erit A prima , OC ,-- tertia . Tandem dur proportiones A ad A , in Bad c continuantur in tribus terminis A , B, C, estque BIecunda rejectu prime A, di tertia respectu quaris C.
Si ouatuor quantitatum prima maior merit, quam secunda, sed tertia non sit maior, quam quarta: habebit prima ad te. cundam maiorem Proportionem, quam tertia habet ad
144쪽
ro non maiore ip ta D, proportio a quantitatis , -- prima ad secundam maior erit commensura-
bili proportione aqualitatis; cum prima M. A . - - maior sit secunda si at proportio tertiae C ad
quartam D non crit maior eadem commensurabili proportione aeqpalla tis; cum tertia ponat r non maior quarta. Vnde patet sex definitione
decima ad B male rem proportionem habere, quam C ad D. Liber quintus elementorum Euclidis adia disscitis , di imperceptibilis uenicuiq ue ν:detur, ut merisi dubitari possit aliquid in eo desiderari. Crtera enim spera Euclidis ita clare, in euidenter percipiuhtur, is ne vn. bram quidem di cultatis relinquant, sicuti puritas scientia demon- Aratius exigit. sua ceto ratione fieri 'sset, vi omnes, in hoc opere de proportionibus, tarquam insto lxm incidentes, haererent perplexi, radubb, nisi aliquid non rite, aut non clare expositum in prinemus asι--ptis, aut in progressu repmrctvr i Nec desuerunt quamplurimi,qui hane prscipuam Geometris partem restituere conati sint, sed infructuose, ut
M ltifariam dera ivit Euclides proportionalitatem, in libro quinto duplici modo, O aliter in septimo. In quinto enim 'bi agit de proportionibus in communi, scilicet de eis, quae in quibuscunque magnitudianibus reperiuntur, tam commensurabilibus, quam incommensurabra
ibus , ut omnes confitentur I dixit tertia definitione: proportionem esse duarum magnitudinum eiusdem generis, scilicet qua possunt multiplicata se te mutuo superare, Labitudinem quandam seli respectum secundum quantitatem. Poclea imquanta definitione addit proportionalitatem esse proportionum similitud inem. Deinde in exta dixit: in eadem proportione magnitudines dicuntur esse, prima ad secundam, Ac tertia ad quartam: cum prinas, & tertie qaue multiplicia a secunde, &quarte eque multiplicibus ( qualiscunque sit hqc multiplicatio) utrunque ab utroque, vel una deliciunt vel una excedunt , vel una qqualia sunt, IJ ea sumantur, quq inter se r
spondent. Et in octaua adiudit: cum vero eque multiplicium multiplex primc magnitudinis excesserit multiplicem secun-dq; at multiplex tertie non excesserit multiplicem quarte: tunc primam ad secundam habere maiorem proportionem, quam tertia habet ad quartam. Hi ce desinitionibus adrictis, noue quieuit Euclides, sed libri UII definit. Eo. agens de quadam Occla quantitatis, scilicet denumero, hanc aliam attulit des nitionem proportionalitatis : Numeri proportionales
145쪽
tionales sunt, cum primus secundi, & tertius quarti eque multiplex est, vel eadem pars, vel eidem partes.
Eadem ergo res, eodem nomine proportionalitatis signata, tribus m
dis ab Euelide definitur, adhibitis tribus passionibus diuersis inter se. Et quoniam , is dictum Gi, Definitio , qia est principium scientia , d bet exponi per pasonem omnium notisse uam, di primam earum , qua subiecto definito conuenient: chmique tres dura passiones non pol t eL se omnium noti me , di prima; necessar o aliqua ex eis , se non omnes,
super e, aut adulterinae, aut praue erunt. Hoc autem satis declaratur ab ipfomet Euclide, qui in lib. V. attulit Miuersalem definitionem, comprehendentem etiam commensurabiles quantitates , O pr ptere comprehendet etiam numeros, qui quantitates inter se conmiensurabiles
sunt: Ergo se definitiones lib. V. declarantur per passones euidentit mas, di primas, ides, si sunt principia Scientia, aptissma erunt ad declarandam proportionalitatem numericam. Quare aut superfluus fuit Euclides, quando nouam definitionem proportionalitatis nimerica imlib. VII. attulit; aut non omnino susscientes, aut perfectas esse definistiones lib.U. iudicauit. Similiter in lib. V. definit. exposuit proportionalium naturam per
ilitudinem respectus, quo ad quantitatem pertinet; at se hac passo est omnium notissma, in prima c qualis debet esse illa , qus desinitionem, scientificam constituito : Quare propositiones lib. V. per hanc definiti nem non demonstrauit e Et se libuit eas demonstrare per passonem eque multiplicium t quare non Uendit Euclides, quod magnitudines, quarum aqud multiplicia habent iliam proprietatem, habeant similes re pectus, seu habitudincs ,ri iure merito proportionales appellari possente Velecontra, quare non demonstravit, quod magnitudines, habentes respectum similem, necessario habent illam palponem aeque multiplicium, me qua dein stratione omnes propositiones lib. V. cuidenter ostensae nomerunt e Quare ne prestantissimo Geometr imperitia Zetices immerito rebbtiatur , dicendum est definitiones tertiam, di quartam adulterinas, di apposititias esse. Et sane cum νideo propositiones lib. V. demonsratas fui se ab Euclide per proprietatem eque multiplicium sexta desinit;onis, persuaderi non possum eundem Euclidem 3. oe g. desivitisnes in eodem libro apposuis', qus superflue omnivosunt,st ordinem perturbant. Nam in prima de nitiove quid sit pars declarat. In secunda , que sint ma studines aliarum muItaplices, di aeque multiplices. Tertio loco, in s. definitione, declarat proprietatem, per quam antecedeus magnitudo, comparata coc equeuti, dicitur habere rat onem ,seu proportionen s curata
sellicet quq libet multiplex antecedentis, cxcedit, squalis est, aut deficit a quacunque multiplice consequentis. Euarto loco
146쪽
am, m S de . Dicuntur in eadem ratione esse prima ad secunda, ur tertia ad quar iam, cum quilibet eque multiplicia antecedentium a quibuscunque eque multiplicibus cosequentium utrunque ab utroque una deficiunt, vel una equalia sunt, vel una excedunt. Et in his duabus postremis definitionibus, quid si proportio , di quid sit proportionalitas aperte declaratur, ex quibus Omnes propositiones lib. V. ostenduntur, nunquam facta mentione definitionistrati es ut quarte. Verisimile etiam est definitiones d. O 6. duas distinctas non esse, di separatas s sed confrituere Micam tantum, O continuari debere,ut semius st: Magnitudines proportionales sunt ill*, quq habent similes respectus:& tunc respectus similes inter se dicuntur, cumqque multiplices earum habent dictam conditionem: O sic non est opus, ut ostendatur, quod magnitudines habentes similes
respectus, habeant conditionem sextae definitionis, nec e contra . nam
hoc in definitione suppomum fuerat nomine proportionalitatis significari debere.
Hanc sextam definitionem, Euclidisque methodum primus omnium improbauit Amratus filius Ioseph, qui epistolam edidit de proportione, O proportionalitate s xt refert CampanusI. Successit pos alios Ioan- in commennes Baptista Benedictus, post eum alii plures viri docti, inprestan- te .e'. ι rismi, qui aperte pronum tant propositiones lib. V. minimd demonser, lib. v a re to esse ; cum originem trahant ab ignoto, di obscuro principio ,scilicet a definitione 6. qua principium scientia esse nequit, clim sit theorem demonstrahite, , non sene maxima disscultare: di evnsent recipi debere quartam definitionem, a qua euidentius declaratur natura proporti nulitatis , per similitudincm respectus, ex qua passove clare percipitur, qudd n agnitudines squales ad eandem magnitudinem habent eandem proportionem;quia ad eam habent randem revectum, seu habitudinem, O ό cordiae rure ne quod meqrealium maior ad eandem maiorem proportionem habet, quam minor spropterea quod respectus ille maior in isto, in contra Similiter deducunt, quod proportiones, qus sunt eaedem uni tertis,eedem quoque 'nt inter es cum respectus similes rei tertio, inter se quoque sin uessent. Pan modo aiunt, euidemur percipere, Pod si duaproportiones fuerint similes inter se, quarum Pna maior fuerit tertias quadam proportione: erit reliqua etiam maior . Itaque putam Euclidis propositames T. g. s. I S. II. II. esse euidenti a pronunciata lumine vnatuet cognita, ex quibas in cRobus thesrematibus demonstrative o lendunt vera esse ea, qus in definitionibus o. oe g. upponit Euclides. Et postea inmisones, permutationes, compositiones, diuisiones proporti
147쪽
num , O reliquos modos argumentandi in proportionalibus, ex diffistheorematibus deducunt. At ego huic sententis acquievere non possum eo quod fundamentum eius, quod nimirum definit. lib. V. Euclidis solitarie sumptas sit bona, o scientifica, mihi flabile non videtur, ut mor Uendam. sthelibet res in mente preconcepta non potest declarari, in exponi absque vocabulis, significantibus illam rem propterea pro tali declaratione inepta erunt vocabula ambigua , consuma, di non expressiua . Nam ab his auditores non percipient mentem prsceptoris cs , si non percipitur significatus orationis, quo modo sciri potest an ea , quae proferuntur Pera sint, vel fassa, O au competant alicui subiecto e Et propterea ignota omnino erunt. Iam passo adhibita in definitione proportionalitatis, qus est similitudo respectitum, quo ad quantit
tem pertinet, si exponitur vocabulis ambiguis, di Obscuris, cum nox, declaret euidentcr quid proportionales sint, di quare dictinguantur a ceteris rebus, erit ignota; di propterea non erit bona definitio, idest nompoterit esse principiumscientis ; quandoquidem ne dum certam, di mi- dentem cognitionem non assere, sed potius incertitudinem , di ignoran
Uidendum modo est, an νoces, quibus passio proportionalium exponitur in dicta definitione quarta, sent ambigus, an vero nO , evident ma significationis: Pro qua inquisitione animaduertendum est, quod vocabula illa, quorum significatus simplex est, non equivocus , P u receptus , di ri talis ab omnibus percipitur ahque hastatione, acceptantur inscienti I mathematicis , nec indigent declaratione; uel irint haec vocabula : Totum, Postvo, Aequale, Maius, Minus, Excessus, Defcctus, alia qisamplurima, quorum germanam significationem nemo est, qui non intestigat: Reliqua νero Pocabula, que non sunt huius generis non admi tuntur in mathematicis, nisi prius expre se declaretur quid nam per illa significari velimus, is aequinocationes omnino tollan ur. Dico iam,quod
νoces iste: similitudo respectuum , quo ad quantitatem pertinet, uon sunt prioris generis. Nam Euclides ipse vocem smilitudims d elarauit in tertio libro dum ait: circulorum vegmenta si initia esse, quando anguli in segmentis qquales sunt. Et in lib. VI. alitere..m exposum, dum ait: triangula, Sc polygona sunt si milia, quando sitiat equiangula, dc circa ansulos equales latera sunt Pro- Portionalia . Samaliter in lib. XI. solida si milia esse dixit, quq ex paribus multitudinibus polygonorum similium cotinentur; atque conos, & cylindros similes inter se esse, quorum axes , quc inclinati ad bales proportionales sunt diametris basiti. uuare mani sum es vocem similitumuis esse ambigus significationis; Areo en us hora verborum; similitudo respectum, quo ad quam litatem
148쪽
litatem pertinet, erit confli 'e figuificationis ; propterea quod similia vocantur ea; qus in aliquo conueniunt, idest, qus habent aliquam iden-ilitatem. Nam similem habitudinem , quo ad quantitatem, idest quo admenltiram , habere dicuntur duo magna comparata cum duobus paruis; eandem enim comparationem , seu re pectum maioritatis habent imbe, antecedentes ad suas consequentes. Para modo conuenientiam, O identitatem habent re pectus duarum magnitudinum paruarum, si con parentur cum duabus quantitatibus mutis. Iui enim respectus similes sunt in minoritate.
Non secus due magnitudines similem respectum in equalitatis ad duas aetas habere possunt quando prima maior est ecunda, di tertia Onor est quarta. tunc enim semilitudo respectuum seruatur n eo, quod imbs
antecedentes in equalitatis respectum habent ad suas consequentes. Irata
etiam duo enedentia ad duo deficientia, si excessas aequales fuerint, Pelambo dupli, vel ambo tripli, die. smilem respectum, quo ad quantitatem , habebunt. nam conueniunt in excessus, vel defcctus equalitate
neque dici potest squalia inter se similia non esse: ct ideo squalitas excesius, vel defectus, indicat respectus esse omnino similes. Dubitandum ergo non est voces, quibus proprietas proportion ilium exprimitur habere amplismum , ambetuum, multiplicem sensicatum . Quapropter definitio quarta proportionalitatis ersi omnino iampe fecta. Nam , si queram quid nam demonstrari debeat, vi comea iturq ι ιtuor magnitu ines esse proportionales, ' non habere in equales proportiones e dicent, quod rebectus, seu h ιbitudo, quoad i lancit item peratinet , maguitudinis prime ad secund leti de noustrari debet similis re pectui, quo tertia refertur ad quartam. Sed rursus insto: quando, ' qu modo respeclitis A ess simi is es e Au tuando , rma magGitudo metior est jecunda , pariterque tertia D aior est' ertae Aa qu tudo primo minor est secunda tertia quoque minor est q. arta e .au si prima maior est secund is tertia vero minor est quartae Vel cum excesus ambartim antecedentium jura consequentes equales sueti inter se, aut potius, c; nambarum antecedevtium defectus . consequentibus equales Serint e In his enim omnibus similes sunt respere, x,aut in excedentia, divi in dificiem tia, aut in equalitate, dies in equali mensura exce*..um, vel defcctuum Neque negari potest esse tales re pectus , en habitud ues, qrio ad quantitatem pertinet et scimus tamen huiusmodi h rbitudines non me prop)rti nates . Ergo si queratur tantummodos mi. tudo h tbitu tim, dita re phctuum, quo ad quantitatem pertinet , affirmare possem magnat diues esse prypyrtionales, quando non iant f di negare possem alias e se proportionales , qMando re vera sunt. Nec autem erit illa tam exaggcrata certitudo ceteritte, an incertitudo, P Ecloravi.a s
149쪽
Sed dicet aequis exponi debere hanc definitionem ex mente elatam Euclidis in alio loco expre D. Nam in Eo. definitione lib. I. dicuntur esse quatuor numeri proportio*rtes, quando antecedecus sunt aeque mu tiplices , vel eadem p res, aut eedem partes consequentium. is non vi. det has habitudines, seu respectus esse omnino similes inter see Epeo eodem mndo relique omnes magnitudines debent habere respectus sim les inter se, ut iure mersia proportionales sint. ' Mitto, qudi non propterea excusatur obscuritas definitiovis quisne lib. Desude notandum est solummodo in magnituditatas commenta rab I bu, prem'i 'o se similitudinem re pectuum: At in magnitudin/bus incommensurabilibus, quando antecederater Uon possunt esse multipliceae, neque pars, neque partes conrequentium, qua eussidemia, immo qua n retia quis an madvertet in illa infinitate partium, similitudinem reo
ctus, 'eu habitudinis e Tapropter hi nulla cogitatione percipi potest rabdenter quid nam sit illud, per quod respectus prime magnitudinis ad se eundam sit similis re pectui tertis munitudinis ad quartam est impos bile, is predicta definitio . absque alia veraddita declarationem ba tia, in principium scientis. Neque admitti potest sententia prefiantissimi neoterici auctoriae, qui censet, quamquam expresse, O euidenter declarari nequeat, quid nam fit illud, per quod Ma proportio est similii alteri, sufficere tantum , Muna concedatur similis alteri, in denique admutatur in natura dari pro portisnalitatem. At inquam ego, quomodo possum hoc concedere, si non percipis quidnam proportionalitas siue Et quomodo distinguere possum quando uena habitudo, quo ad quantitatem pertinet, est similis, vel non, arteri, si hucu(que tradita non est passo prima , di euidenter cognita is , per quam similes repectus dignosci pol te Et tandem quomodo eo
cedere possum reperiri in natura re pectus similes, quoad quantitatem pertinet, si horum dierborum germanam significationem non percipio e suam si ignoro, an in nathra dent r magnitudines proportionales re Dominus scio cui subiecto certe, euiderer passio proportionalitatis conumniar: Et quomodo distinguere possum magnitudines, qua certe absque hastatione sunt proportionales ab us , que proportionalis non fune estuare nullo pacto sciri potest an duae aequalis ad eandem magnitudinem habeam eamdem proportionem; neque, quod maior ad eanesm habeat maiorem proportionem, qiam minor; di similiter ea omnia, qua in propositionibus p. I o. II. di I . continemur ignota erunt. Et propterea in inter euidentissima axIomata connumerari nulla ratione po sunt. Nam iuxta prycepta bona logices axiomata raponunt euidentissimam,dipem ieeptibilem passionem alicuius subiecti, cMiui nomen receptum iam es. Et
hic obiter notandum est, quod proposito Utima Euclidii rationabilius,
150쪽
aei definitio , quam dii axioma afferri poterat , dicendo habitudine,, quibus duae magnitudines aequales eidem comparantur, vocentur sinules, o proportionales. Sed nihil ex tali definitione colligi potui sci , ut e onsed .ranti patebit. Vanus es ergo labor clarissimi huius auctoris in suo acutis io lib. V. de proportionibus, qui facta hac suppositione, quod nimis
rum dentur in natura magnitudines proportionales , que scilicet halent similes respectus, quo ad quantitatem pertinet, assumix propositiones T. g. O. IO. II. I3. Eucl/dis, ut per se notas , di ut axiomata. Deinde in duobus triangulis aeque altis probat basim aemus non esse maiorem, n me minorem, quam opus est, is ad basim alterius eandem proportionem habeat, quam triangulum ad triangulum: quod o tendit ex dictis pronum
cinis,more antiqvoru per deductionem ad inconveniem,mediante come
Drab se proportione trivulorum, di basium commensura hum. G prydictus progressus videtur obscumno imperfectus na tradita non es de L itio proportionalium, per aliquam primam, in euidenter cognita pals dem 3 qaandoquidem similitudo respectuum, quo ad quantitatem pertisnet ambigua, ct obscura est; ct ideo ignoratur an in natura dentur proportionales, O multo magis ignoratur, quando prima magnitudo est maior, aut minor, qnam opus est, dit ad fecundam habeat eandem proportionem, quam tertia habet ad quartam. Secundo impersctus es eius progressus , quia permutationes, compositiones, diuisones, di reliqui modi argumentandi proportionalitatis Uendunttir solummodo de lineis, e triavulis: O ine gratis assumit idem valere in retiquis quantu cibus , Icιlicet olidis, ansulis, numeris, motibus, dic. Igitur si liber Eue sedis imperfectus in, non erit talis propter rationes ab Ametto,Mab eius fautoribus addi ctas: neque correctiones ab ipsis excogitate haic defctui opport nae funt: alia enim es causa , longe Aueda, imprehction s p urcti volum nis , que ultimo loco in media, eis
Accedo ad Clarium, qui in Comm. lib. V. pon. S. definitionem quaerit , cur EuclideS quatuor magnitudines prc portionale dc non proportionales per earum qque multiplices defin uit. deipondet o. & g. definitiones esse impositiones nominum ad placitum; dc ideo queri non debet quare sic, vel aliter proportionales magnitudines Euclides definiuit, sed i utricit, ut in progressu demonstrationis,definitum de definitione,& e contra, non affirmetur , nisi demonstrative ostendatur definitionem traditam sit biecto definito competere. Et postea ubiungit sed quanquam hec responsio vera sit, ac propria; tamen quia non videtur colligi posse, vere magnitudineS, quarum eque multiplicia habent illam conditionem, esse proportioiialc , ,κ