장음표시 사용
151쪽
non proportionales etiam si eas tolli in velit Euclides appe II
re proportion iteS; propterea explicandum est accuratius. Icc. Sed hic Perba rud intelligi debent:uam si nomen proportionalitatis lummodo illis magnitudinibus, hibeatibus talem conditiosen eque muratiplicium, impositum est, ct non . is quo modo dubitari potest an epUem
magnitudines sint Hre proportionales c Quare longe diuersa mihi vide tur intentio oculatisi ni Claui . Existimo enim considerahe νolui se methodum , qua bona desinat ones quaeri debent. Et re vera si ageretur in des
nitIone de nomine imponendo tantum , certam est, quod non debet re duratio, qu ire hoc homine potius, quam alio aliqua res disitatur,oe iis, ne r. quia etiam tractari debet de clectione proprietatis rei siluere dae , que non casu, neque arb/tr-rte i n. i csici, ed certis rationibus , aelethus , conuemcnter queri pras, quare in definitione adhibetur po ius hec , qua ui alia proprietas. N im, stre Pera non sit eius proprietas , ratnon sit notissma omnium, aut non sit expressa verbis signit antibus , non habebit num In scientia, di nou erit principium demonstrationis Ergo, scuti non potes quis petere quare in desinit. o. Euclides Imposuit illis magnitud/nibus nomen Troportionalium, ita bene Clauius qurrere posset quare Euclιdes in tali aefinitione elegit proprietatem illam aeque multia plicium potius, qkam aliam.
Huic dubitationi respondet, quod, si omnes magnitudines e stent inter se commensurabiles, nihil aliud preter sto. propos. lib. VII. desiderari posses viat quia definit. o. lib. V. complecti Mo-Iuit etiam incommensurabiles magnitudua es, quq illum respectum mutuum perceptibilem minime habere possunt; cum altera alterius, neque multiplex neque pars, neque Partes esse possit 1 propterea excogitauit Euclides proprietatem piandam , que magnitudinibus proportionalibus commen-urabilibus certe competit, fuit hμ ,Quod nimirum ipsarum eque multiplices haberent illam conditionem excessus, vel
Sed huiu modi ratiocinium potius coniecturam, quam necessitatem imducere PIdetur. Nam,licet proprietas tradita in o. desinit. lib. V. si aliaquId, quod certum se eonuenire magnitudinibus proportionalibus inter se commentur.ibilibus , C νt Hemet clauius ostendit in illis tuis quatuor Propositionibus o non dicentur iure optimo quatuor incommensurab Iesmagnitudines, etiam proportionales , si ipsis idem demonstretur conuennre ; propterea quod, Pt aliqua propriecasset mure alis, non ulmit, is solum ostendatur conuenire ueni particularium, nisi ratam demonsiretur conuenire reliquis omnibus particularibus ub uniuersali contentis; quod
inendi potest tali exemplo. si quis quareret ymuersalem passionem com
152쪽
petentem euilibet trianeula, ct putaret esse proprietate cuiuslibet trianguli habere duos angulos, quorum quilibet tertia pars sit duorum rectorum . Hic iam Uendere oo set quod praedicta proprietas competit triangulis squilateris : neque hac de cauta abcque alia demonstratione conclucere poterit, quod relique cpecies triangulorum , ut sunt ambligoni , Ooxigone , habem duos angulos , quorum quilibet tertia pars est duorum,
Non ieitur certe inrmari potest, quod proprietas illa aque multiplia
plicium certe comp tat maeuitussinibus proportionalibus inter se incommensurabilibus, non alia de cau a, nisi quia ostentum est commensurabralibus proportionalibus ceria competere aeque multiplicium proprietatem Hviti modi discultates oriri mihi andentur ex praeconcepta opinione, quod dentur quatuor magnitudines mcommensurabiles inter se, quarum labitudines, seu respectus eandem naturam habeant, quam magnitudines proportionales inter se commen urabiles habent. Et quia i ta definit hib. VII. afertur proprietas prima, ct euidenti et, qua declaratur u tura proportionalium commensurabilium, ex eo, quod antecedentes lunt Hud multiplices consequentium, vel eadem pars, vel sunt eadem partes;
ex qua euidentisma pasone distinguuntur proportionales a non proporationalibus ; di sic percipitur, quod an tecedentes possunt esse aena maiores,
aut rea minores consequentibus; at eius converum non Perificatur Non
evim, se ambs antee edentes excedunt tuas consequentes, aut deficiunt ab eis, erunt proportionales : potest enim esse prima dupla ipsus secundae,in tertia tu intupla ipsius quarta, nec propterea erunt proportionales;qvam doquidem eque multiplices non sunt; di hic escendum est de reliquis. Pari modo percrpitur, quod excessus antecedentium, siue defectus posunt e see Males inter se. O etiam inaequales,ra multoties incomparabiles uam do nimirum duae quant tales sunt unius generis, re alia dus alterius generis . At in magnitudinibus incommemuralitibus, in quibus neque mulitiplicitas, neque identitas partis, aut partium reperiri potest,omnes iam
dicte proprietates in eis haud conspici possunt. Nam in illa ineffabili congerie partium, eu potius infinitate, incommen urabilium magnitu laum, non possunt eius proprietates comprehendi et Voluit iubilominus Euclides venari proprietatem competentem prsdiciis magnitudinIbus proporti AHibus inter se incommensurabilibus adi haec exposita fuit in exta delinitione et sed re νera dici non potest, quod gnata proprietas natura es rei definite declaret, di distinguat a qualibet alia ximo rem dijcilem obscuriorem reddit Primo enim ignoratur, an in natura reperiri piant quatuor quantitates, habentes talem pallionem, qued nimirum in usaeud multiplices antecedentium, si comparentur cum infinitis eque mulitiplicibus consequentium, debeant via excedere, vel via aquari, aut
153쪽
demere ab iliis. Sechndo infinita ille con parationes comprehendi nem possunt: in ideo hec passio non erit euidentissma, qualis tabet esse illa qua principiam scientia confituit. Tertia licet Dpothctice concedatur, adhhe ignotum est quidnam ex ambage illa in Itarum comparationtim, colligi debeat. Nam nee ip e Claui s expedite, O lumine naturr coli ure potuit ex passone aque multiplicium in munitudiniblis conm res rabilibus proportionalitatem; ted coactus fuit hoc demonstrare in suis illis quatuor propositionibus. Sed quomodo erit notissma illa passo,qua absque Arnonstratione acceptari non potest in magnitudinibus commemsurabilibus e di que in sciens iudicata fuit ab ipsemet Euclide,qMando proportionalitatem con n emurabilem iterani lib. VII. definiuit. Certum ergo est ob curam, O discitem esse prepractatcn proportionalium defianitionis exte 8, propterea quod nedum cuidenter nathram proportionalium incommemurabilium non declarat, M ao. definit. VII. facit , sed rursus squod mirum ess neque manifestat ea, qtia de re ipsa definienda prscvnodicebaN MI. Nam ex eo, quod quatuor magnitudinum rq e mulitiplices habent illam conditionem excessus, vel defctus, minime pere pitur quando, di quo modo, si antecedentes una excedant, aut re iam a suis con equentibus, sint proportionales s neque se ea cestus sent inter se aequales, nec ne . Nec demum hsc minima cognitio ex dicta proprierare colligi potest, quodscilicet: se quatuor magnitudines sent proportion lis, eum prima excedit secundam, necessario tertia magnitudo quartam superare debet quod clauius confitetur in Io propos.lib. U.elemetorum . Quis ergo dicet cxtam de finitionem esse bonam, o principium Ietemtiae, si tam obscuram assere coinitionem, di impers ctam e Videndummodo est in qua parte huius definitionis defecths lateat. Et quia in notamine ipso proportionat iratis defc ctus nullo piacto reperiri potes, is diactum es: Ad manet ergo, ut in proprietate definita peccatum lateat. Sed in proprietate tria considerari pollint; quod sit pol it is , in comperat subiecto definito: Iecundo isset exposita νocibus ιlare aliquid signi eantibus , Tertio risi proprietas prima, ct omnium notissima, que illi
subιecto competunt. Primum dici non potest , quia magnitudines , qu rum aqhe multiplic es habent dictam conditionem revera Iuni res demnite; ut postea ostendet tr. Neque secundum, nam verba seor definiti nis exponunt absque ambiguitate quid si talis proprieras .,em anet e go , Pt proprietas illa non sit noti ima, prima omnium , qus illi subiecto compe. urit. Et re Pera alia proprIetas incommensurabilium notior reperiri potest, qua naturam proportionalιum , di ea Omnia, que ex 2 propol. lib. VII. primo intuitu patent manifestisme declarat ; quod minime dici Potest de propractate sque mulii iιium tradita ab Eue haeriri dictum est.
154쪽
' Quod autem aliis proprietas ma itudinum proportionalium Ctior reperiri poscit aperte percipiet is, qui attente definitiones super us expostas considerauerit. Nam se fuerint quatuor magnitudines commensurabiles A B, C, H E, O G, utque priv a B I
partes: ponatur in B te quialtera ip- Dis lsus C; pariterque H E ponatur se qui- Etatera ipsius G : erunt iam ex Octauo Cnostri definitione quatuor praedictae o quantitates inter se proportionales 3 ed quod prima ipsius secunda es dem partes est,que tertia es partes quartas ct propterea rejectus, quo prima AB refretur ad secundam C, sistulis est respectui, quo tertia H E refertur ad quartam G. Intelligatur poclea qualibet particula F A addita ipsi in B,
ita ut con urgat tota F B, aut commensurabilis, aut non, ipsi C. Manis
sum est ipsam F A maiorem esse quam opus est, uel sit te uilatera ipsiua c. Et propterea F B maior erit, quam nee se est, vi sit ipsius C es dema
partes , quam est H E alterius G. Unde proportio F B ad C maior erit proportione ipsius HEad G, coe hec omnia conspicua sunt ex 2 . deinfinit. lib. VII. Euclidis, que supra relata fuit. Deinde ex tertia quantit te H E a cratur quslibet particula H D, cuiuscuna e paruitatis, ita ut
residuum D E itis ommensurabile sit ipsi G. Manifestum es stam D E m norem esse, quam sesquilatera alterius G ideo facili negotio quilibet percipiet, quod re pectus, quo D E refertur ad G minor est illo, quo H Erefertur ad eandem G, idest minor in re pectu, quo A B refertur ad c sed erat respectus, quo F B refertur ad c major illo, quo eadem A B r fertur ad eandem C . Nemo ergo negabit maiore respectu F B . e ferri ad
C, quam D E ad G. st propter si fuerint quatuor quantitates F B prisma , C secvuda , D E tertia, O G quarta, cliere F B ipsi C, atque D Eim G incommensurabiles sinto dubitandum non es primam ad secumdam maiorem proportionem habere, quam tertia habet ad quartam, ex eo quod proportio quant.tans prima F B ad fecundam C maior est temtia quadam commensurabili proportione, quam H E habet ad G a sed proportio tertia quantitatis D E ad quartam D minor est eadem comensurabili p. oportioue, quam H E habet ad G . Et haec erit proprietas a qua natura rei definita verid declaratur , di distinguitur a qualibet alia. Ero Mu.ili euidentia in magnitudinibus commensurabilious peracipitur , quando aena proportio maior est alia, ae dignoscitur, in hiice magnitud/nibus incommen urabilibur, per dictam proprietatem a ni excogitatam. Si ergo euidentisma, di omnium prima iudicatur passio illa, qua inaequalitasproportionum , in magnitudinibui commenturabis
155쪽
libus declaratur ex ao. definit. lib. VII. pariter prima, in evidentis
ma erit hac noua passio magnitudIni m incon mens rabilium , non proportionesium . Vresque enim per excessus, aut desi ctus proportionalium conmens rabilium declaranti r; qui quidem perceptibiles omnino funi,
possibiles , neque procedunt per an bages illas infinitarem eqtie mMDtiplicium ; sed primo intuitu absque His ratiocinio percipi, in admitti possunt, Iam ex dicta proprietate non troportismalium incommensurabilium, a me definita deduci potest, qi iut , si prima mannitido excesserit secundam , in tertia non superauerit quartam, sis in apposito exempla phreto prima ad secundam maiorem proportionem habebit, q5 .m tertia habet ad quartam. Nam facile percipitur,qubd aliqua quantitas maior, qudin tertia, aut i amet tertia, esse potest aequalia quarte: Ponebatur autem prima maior tecunda . Igitur proportio prin I ad secundam maior erit commensurabiti proportione equilitatis ; at proportio tertig ad quartam non est maior eadem equalitatis proportione. Rursus patet conuersum huius propositionis saltum esse . scilicet, si prima ad hec n-dam maiorem proportionem habuerit, quam tertia ad quartam, non es necesse, ut prima fecundam excedat, at tertia non superet quartam. Nam
ex primo exemplo percipi potest, qLod tertia proportio com mensurabilis
potest esse multiplicitatis , H deiuria, o prima potest esse maior, quam
decupla secutas; at tertia minor, qhan decupla, di maior, quam octu-pla ipsus quaris; licet duae antecedentes FB , di DE simul, excedant,atit ma deficiant a suis concoquentibus C , G. Simili modo alis cognitiones proportionalii m in magni,dinibus inccn mensurabilibus percipi possunt ea dem facultate, qua con prehenduntis reperiri posse in magnitudinibus conmeiaturabitibus . Tandem si ii natura proportionalium commensurabiliam, pari rendentia declarari potuisset per proprietatem affirmativam, ac negatiaitani, diccndo: se prima n. V .it si ad seramdam non habuerit maporem, neque n inorem proportionem, qham tertia habet ad quartam et vocentur commensit rabiles ilis quantitates proportionales. quia quando respectus, quo prima resert- ad secundam non es revior, neque minor illo revectri, quo tertia comparatur quarte, necessari. illi re pectus smiles , equales erunt inter se. fc quando prima ipsus Iec uias non est maior, neque minoi,qudni opus est,ut eadem partes M, quae ita tia partes est quam
te, liccestario anti antecedentes erant e eden parto consequemium ; in drfinitio proportionalitim coren ens rabiliuni tam pre asyrmationem , qham per negationem propraeparas exponi posset. Nam utroque modo exponitur quid sit proportiona ras, O quare uis inguatur a non proporti OZ:bas , scilicet percipitur quando Ha proportio similis es alteri, cir
156쪽
quare differunt a proportionibus inaequalibus. Simili modo postquam in magn tudinibus incommensurabilibus eu denter percipitur quando, , quare uena proportio maior in alia, aut mi-vor, dici poterit: si prima magnitudo ad secundam non habuerit maiorem neque minorem proportionem incon n ensurabilem, quam tertia habet ad quartam centur dis Troportionales. Et re vera, se hic asseret posset proprietas alsi maliva esset eligenda; at quia hoc fieri nequit, recipi d bet ilia , quanquam negatiua , dummodo sit euidenter cognita. Non enim insolens di, ut negatiuae proprietates definiantur: Euclides cnim per negationem punctum, Ur lineas parallelas definivit. Unde nihil refert an proprietas sit negatiua, vel asematiua; sed susscit, H euidenter exponat naturam rei desiniis , id quod he mea definitio perfecte ex
Iam ex hae euidentissima definitione ignota ilia proprietates desinitionum sene, ' octaus Euclidis demonserari possum. Ex quia percepi duplici forma librum qui tim Euclidis restitui posse: primo se tantummodo proprietates definitimum sexta , , octauacum suis conuersis demonseruis fuissent, relictis omnibus propositionibus V. lib. ut ab Euclidearadita Iuras aut si nulla mentione facta illarum definitionum, omnia
hae mua methodo exposuissem .di licet hoc ne dum ob nouitatem, sed etiam propter euidentiam methodi non iniucundum fore perciperem, noui tamen definitiones illas Euclidis ommittere 3 tum quia in elemeniis usu rerepta sunt, eam etiam quia ab aliis, re prycipud ab Archimede in suis demonstrationibus adhibentur . Quare inediam viam elegi : Nam omnes proprietates proportionalium non per a-
qud multiplices tradidi, in etiam passones aque multiplicium demoniiraui: in sc puto hane preeipaeam Geometris partem hactenus dubiam, , imperceptibilem me re lituisse nisi forete me fallat, vel propriarum rerum propenso, vel amicorum summa nobilitate,ac doctrina praestantium, piaulus, quibus eum in biversa Sicilia, I Ams, Neapoli, Genue, ac Florentiae quindecim ab hinc annis ipsam commmmcctui.
Si duq quantitates duarum quantitatum suerint eque multiplices, erunt vicissim una cituales,aut una maiores, aut mi
sim quatuor quantitates, siue magnitudines, siue numeri A B, E, C D,& F,omnes eiusdem generis, thsit A B tam mulatiplex ipsius E, quana CD est multiplex alterius F; sitque pri-R mo
157쪽
A B,, C Li diuise in suas ParteS. - .F Mani fistum a cst tot partes AA C U H - . ., C CH, H B contulari in AB, ......... i . . P sins uic CC Uales ipsi F, quot par-- - . . tcb C I, I Κ, dc Κ D continemur M. T in CD, singule eouales eidem. F. Ergo AU,& C Icti sint quales squalibus E, dc F. inter se Cuoq; Squales erunt, Pariterq: GH, I Κ, nec non H B, dc Κ D qquales erunt inter se. Iana si c- is qualibus A G, C I addantur quales G H, I Κ: erunt , totq Ae H, dc C Κ equales inter sic: Et sit eisdem rursus qquales H B, dcΚ Dadd.uitur, erunt totq A B, & C D equales inter se. Quare quando E squalis est D etiam A B. qqualis est ipsi C D. Sit iecundo h maior quam F. Dico A B maiorem e ste ,qua D. Duillis eque multiplicibus, ut prius: erit AG maior, quam C I, eo quod illa maiori E , hec vero minori 1 equalis est. Pari ratione G H maior erit , Quam I N , dc HB maior, quam X D. Iam, si maiori A G maior ta H addatur, det minori CI nutior I Κ coniungatiar.& rursus eiidem eodem ordine aliqpartes inqqualas superaddantur,Crit tota A B maior, quam C D. yi . Tertio sit h minor quam F. Dico eε,, ι-. A B minorem esse, quam CD. Quia Eminor est, quam F., HI Er o F maior e rit, quam Er ideoque e C D etiam maior erit,
' quam AB. Quarto sit A B aequalis C D. Dico E aequalem esse ipsi F. Si
hoc verum non est : erit E maior, aut minor, quam F. Ergo, ex secunda, dc tertia parte huius, A B maior, aut minor erit,
quam C D, quod est contra hvpothesin. Ergo E ipsi F aequa
Quinto sit A B maiori quam C D. Dico E maiorem esse , Tuam F. Sin minus, erit E aequalis , aut nainor, quam F. Vne, ex prima, & tertia parte huius, A B aequalis erit, aut minor quam L. D, quod est contra livpothesin. Quare h maior est, quam F. Vnde patet proposituu . .
158쪽
Pstet, quod si duq quantitates fuerint duarum quantitatum eqdem partes, erunt vicissim viii maiores, aut una mii M
Nam, si ponantur M. Ac N eque intritiplices earundem E, dc F: erunt a Ajg ipsius m atque CD ibsius N eedempartes; de sicuti e E maior, vel minor, aut equat is est ipsi F; sic pariter M maior, vetessirior, aur qqualis erit ipsi N: nec non A Beo- deni modo maior,vel minor, aut qqualis em ipsi C D.
In qu Elium quantitatumi maior ad eandem maiorem prinportionem habet,quam minor. Et eadem ad minorem maiorhm proportionem habebit, quam acymaiorem ineqtui-
Sint due quantitates R maior, C minor, dc quelibet reselia D eiusdem generis. Dico primo A B ad D maiorem rationem habere quam c ad eadem D, Ex maiore A R intelligatur arini, ablata F B dimalis ipsiC,residua erit A Fra intelligaturo fes aD biseria, & biotia Occessive, quousqj repertinir eius pars G,
uus minor sit, ouam A F(quod neri posse constat licet in numeris multoties fracti adhiberi debeant):postea sumatur G semel, aut bis, vel ter, dc sic ulterius, quousque consurgat N, ex Gcomposita, quq proxime maior sit, quam F B, kilicet excessus ipsius N supra F B non fit maior, quam una eius particula Grcumque G minor fit,quam A F: erit excessus ipsius N supra F B minor, quam A F; dc ideo Nminor erit quam A Baed maior quam F B. leti maior, qua nCrevin C,& F B equales sint). Unde erunt qu ituor quantitates A B prima. D secunda, C tertia. dc oquarta sconcipitur bqnim D ,ut secunda, dc ut quarta . Estque , proportio quanti-R a talis
159쪽
tatis primq A B ad secundam D maior is IaAa Fg B. Cs commensurabili proportione, quam habet N ad eandem D (eo quod A B maior est, quam N ); atque e proportio quantitatis ter-Ns Gi i liq C ad quartam D minor est eadem com-T mensurabili proportione , quam habet N ad D(cum C. sit minor, quam N) Ergo a quanti-D a tas A B ad D maiorem proportionem naber, quam C ad D. Secundo dico eandem D ad minorem C habere maiorem proportionem, quam ad A B. ut prius, fiat N partes ipsius in ita ut sit minor quam A B, sed heses maior, quam C t intelli an- .. tur O quidem ipsus A B. arcue' ' H ipsius C emem partes, quae N D partes est ipsius N. Et e quia NA C minor est quam A B, erit D mu' - nor , quam O: pariterque quia N maior est, quam C, erit D maior, quam id. Q propter erunt quatuor quantitates,pri ma D, secunda C,tertia D (conacipitur enim D, ut prima,& ut tertia),& qua Oo ta A B;festque proportio primq D ad secum m Do dam C maior commensurabili illa proportione, quam habet H ad C siue O ad A B ( eo quod I minor, quam De est ad C, ut O ad ANbe Hs i B); atque , proportio tertie D ad quartam T AB minor est eadem commensurabili pror portione, quam habet O ad AB ceo quod D minor est, quam O . Ergo i D ad C mai, i rem rationem habet, quam D ad A B. Quod
Aequales quantitates ad eandem habent eandem proporti,nem, & eadem ad equales . . S nt ouantitates ciuesdem generis A, B, & C; & A sit qqualis B. Dico A ad C esse, ut B ad C. si enim hoc verum nomei, aliqua a quantitas reperietur in natura maiori, vel minor
160쪽
quim A, que ad C habeat ean- - dem rati ein, quam B habet A B lad eandem C. intelligatur illa , esse, seu vocari D. Et quia D, & D A inqquales ponuntur, estque B qualis A, Ergo D maior, aut minor est, quam B, &ideo, D
portionem habebit ad C, qtrimp habet ad eandem C, quod est impossibile: Posita enim fuit D ad C,ut B ad eandem C.Non ergo alia quantitas maior, aut minor, quam A, erit ad C, ut Bad C; ideoque ipsa mei A ad C erit, ut B ad C. Secundo dico C ad A , atque ad B eandem proportionem habere. Si enim hoc verum non est, quam e rationem habet g - , C ad n habebit Cad aliquam aliam quantitatem D. Et quia D dc A inaequales conceduntur,dc est B squalis A : Ergo D maior, aut minor est, quam B s Aas Bas.&ideo a C ad B maiorem, aut minorem rationem habebit, quam C habeat ad D, quod D. . . est inipossibile. Posita enim fuit C ad B, atque ad D in eadem ratione. Non ergo C ad mar C .
rem, vel minorem, quam A , eandem rationem habet, quam C ad B; ideoque C ad ipsam A eandem proportionem habet, quam ad B. Quyre patet propositum. PROPOS. IV. THEOR. Iv. v.
Quae ad eandem quantitatem eadem proportionem habent, aequales sunt inter se. Et ad quas eadem quantitas ean- dcm proportione habet, eae quoque inter se lunt squales. Sint tres quantitates A, B, dc C; &rimo A ad C eandem proportionem habeat,quam B ad eandem et Dico Aipsi B aequalem esse. Si enim Anon est equalis ipsi B, erit aut maior, aut minor eadem. Ergo a A ad C mai, rem, aut minorem proportionem habebit, quam B ad eandem C; quod est contra hypothesin. Non ergo A maior est, aut minor, quam B. unde a