장음표시 사용
161쪽
Habeat secundo eadem C ad R eandem proportionem . quam ad B. Dico pariter A squalem esse ipsi B. Si enim A. non est qqualis B: erit aut maior, aut minor eadem. Quare b pro c. eadem , C ad A minorem, aut maiorem proportionem ha-huim. bebit, quam ad B, quod est contra hypothesin. Non ergo Amaior, aut minor est, ouam B. QMare necessario aequalis erit illi. Quod erat ostendendum Eus b. v. - Z ROPOS. V. THEOR. U. P.
Ad eandem quatitatem rationem habentium, que maiorem rationem habet, illa malos est. Et ad quam eadem mai rem rationem habet, illa minor est.
-- . - . Habeat primo A ad C maiorem rh. t tionem, quam B ad eandem C. Dico
, A , . -E . A maiorem esse apsa B . Nam, si h
- verum non est, erit A, aut squalis, aut i C . minor, quam iss&ideo A eatidem, haeiae . i 1 in minorem rationem habebit ad C qu,im B ad eandem C. quq sunt talia, & contra hvpothesin Non ergo A equalis, riit minor cst,quam B. re necesse est A ipsa B maiorem esse. Secundo eadem C habeat ad n maiorem proportionem . quam ad A. Dico B ipse A nutiorem esse. Nam, si hoc verum non est, erit B, aut musilis. aut maior, quam A; dc ideo C ade B c eandem, aut d minorem proportionem habebit, quam ad huiu, Ad que sunt contra livpothesinu Non ergo B squalis, aut im-d p .p. i. ior est ipsa A. Quare minor erat illa. Qus erant ostendenda.
Euctas.V. PROPOS. VI. THEOR. VI. Si duc proportiones similes fuerint inter se, ivvna illarum
maior, aut minor fuerit aliqua rertia Proportione: erit quoque reliqua maior, aut urinor eadem.
Sit A ad B, ut C ad D. & quilibet alia proportio F ad Κ: Et primo A ad B habeat maiorem rationem, quam F ad N. Dico C ad D maiocem proportionem quoque habere, quam a s f. io. F ad N. Quoniam A ad B maiorem rationem habet, quam F ad N. Ergo a proportio A ad B maior erit aliqua commensu- .rabili
162쪽
ad N eraunon maior ea rem commensurabili rutione, eiulisdem O ad N, Dico iam, quod proportio C ad D maior est commensurabili proportione O ad c Nam, si fieri potcit, sit proportio Cad D non maior eridem ratione commenturabith o ad N; i Acumq; proportio A ad B maior sit ea idem commemurabali proportionc O Bad Κ. Igitur re ad maiorem pro- portione habet, quam C ad D, quod est contra hypothesin. Non ergo proportio C ad O esse porc si non maior iratione comenturabili O ad.Κ ; ideo-
Thque maior erit illa rum inque proportio F ad N non maior ca- do isdem commenturabili ratione o ad N. Igitur C ad O maiore sui. . Igitui proportionem habebit, quam F ad Κ . . . Secundo quando A ad B minorem rationem habet, quam F ω Κ: pari modo ostendetur, quod propor- A et C a tio C ad D minor est commeriturabili ratio- B G D 1ane o ad X, dum proportio F ad N non minor est eadessi ratione commensurabili O ad L. Fi ae Unde C ad D minorem rationem habebit, Os quam F habet ad N. Quae erant ostendenda Κ 6
Proportiones , quae simi ecdem uni tertim sinat eaedem qu
. Sit proportio quantitatis A adi Beadem quae Cad D;S pariter E ad F sit, ut C ad D. Dico em: A ad B, ut E ad F. Si hoc verum vota est, habeat, si fieri potest, ri ad B maiorem proportionem, aut minorem, quam E
habet ad P . Et quia proportio E ad rex F eadem ius lita est , que C ad D, B & propiatio E ad F maior , aut mi senor concessu est proPortione magnitudinis A ad B. Ergo a C ad
maiore; n, aut minorem proportio-
nem habebit, quani R ad B , quod est contra hvpothesim . Erat etiam C ad D, ut A ad B. Non ergo A ad B maiorem ,
163쪽
aut minorem proportionem habere potest, q uam E ad F; &ideo A ad B Git, ut E ad F. Quod erat ostendendum.
Constat ex duabus hisce propositionibus, quod dus pro- sortiones inter se similes, una maiorcS, aut una minores , vel amby esdem erunt duabus aliis proportionibus inter se similibus. Posita G ad H, vi E ad F, quoniam duq similes rationes A ad B, ct C ad D ostensi; , sunt una maiores, aut una min res , vel ambq eedem rationi E ad F;CC atque duq similes rationes E ad F, dc e G ad H sunt una maiores, aut una minores, vel ambseedem rationi C ad
D. Ergo quando ratio A ad B maior est ratione E ad F, etiam proportio Cad D maior erit proportione G ad M. Et quando proportio A ad B minor est proportione E ad F, erit pariter proportio C ad D minor proportione G ad H: Atque cum proportio A ad D eadem est proportionix ad F, simulter eri, proportio C ad D eadem proportioni G
PROPOS. VIII. THEOR. VIII. Si fuerint quatuor quantitates proportionales, & quinta sit
maior, quam prima, di sexta non maior, quam certia: erit quinta ad secundam in maiori proportione, quam sexta ad suartam: Et quinta ad sextam in maiori Proportione, quam prima ad tertiam. Et, si quinta maior sat secunda, ct sexta non maior quarta, erit prima ad quintam in minori Proportione, quam secunda ad sextam. Sit A ad B in eadem ratione, quam C habet ad Dac E sit maior , quam A, dc H non sit maior, quam C. idest si H equalis, aut minor ipsa C. Dico primo E ad B maiorem proportionem habere, quam H ad O. Quia a maior E ad B maiorem ratio
164쪽
nem habet, quam minor ad cai cm B; estque C ad D, ut A ad B. Ergo b E ad B mmorem ratio m lotat, ouam C ad II; sed C equalis , aut maior est, quam H. Igitur C ad c eandem D eandem , aut a maiorem rationem habet, qtiam H ad D. Quare e proportio E ad B adhuc maior erit proportione , Η ad Oo Secundo dico E ad H maiorem proportionem habere qua A ad C. Quoniam E maior est quam A. Er- E H a gofE ad Pi maiorem ratione habebit, qua ii A G C so A ad eandem Hs estque H equalis,aut minor ipsa C. Igitur eadem A ad I g eandem, , aut B s D a Vmaiorem rationem habet, quam ad C. Et propterea , E adH adhuc maiorem proportionem habebit, quam A habet
Tertio sit E ita aior secunda B proportionalium, de H norist maior quam D. Dico A ad E minorem proportionem habere, quam C ad H. Quoniam E maior est, quam B,at non. eth maior, quam D. Ergo x eadem A A ad maiorem E habebit minorem proportionem, quam ad B minorem; est- B que C ad D, ut A ad B. Igitur. A ad E minorem proportionem nabet, quam
C ad D. Sed eadem C ad non maiorem H m eandem,autae ma torem proportionem habet, quam ad D. Igitur . proportio A ad E adhuc minor erit proportione Cad H. Vt pro Posi mi luerat.
Si prima quantitas ad secundam eandem rationem habuerit. quam tertia ad quartam, erit secunda ad primam, ut Quarta ad tertiam. Vocetur huiusinodi argumentandi forma Inuertio rationis.
A- Dico B ad A. eandem rationem habe
re, Suam D ad C. Si enim hoc verum non est, habebit B ad Amaiorem, aut minore proportione,quam D habet ad C; & sit eu potust, primo sit proportio maior. Ergo a proportio B ad W ymo A malor erat,propol tio vero D ad C non erit maior eade pro-l Ortione comensurabiliaeuq ponatur esse quantitatis E ad A, S atque
165쪽
atque H ad C st; dc propterea B ma- ior erit, quam E, scd D non erit ma-. ior, quani H. Et quoniam E ad A. atque H ad C in eadem fiunt pro-
- - portione cominetisurabili . , Igitur
cae, E ipsius A, atque H alterius C eque
naultiplices vel cadent pars, aut C dena partes erunt; & e coiitra o A ipsius E, nec ii C alterius H eadem pars, vel aeque multiplices, aut eedena partes trunt
Sideo a A ad E; atque C ad Hin eadem proportione erunt; elique B maior, quam Es at D non maior, quam H. Igitur e Aad B proportionem minorena habet, quana Cilia Mat ad D, quod est absurdum. Supposita enini fuit A ad B, ut C ad D. Quapropter B ad A no habet maiorem proportionem, quana D ad C. Si misiter ostendetur . quod D ad C non habet mai rem proportionem, quam B ad A; dc ideo B ad A neque minorem proportionem habebit, quam D ad C. Et propterea Bad A erit, ut D ad C. Quod erat ostendendum.
Ex hae demonstratione colligitur, quod, si prima ad seeum dana maiorem proportionem habuerit, quam tertia ad quam tam : inuertendo secunda ad primam minorem rationem habebit, quam quarta ad tertiam. Ex eo enim, quod proportio
B ad A posita fuit maior, quam D ad C, demonstrata fuit pro portio A ad Eminor proportione ipsius C ad D. FROPOS. x. THEOR. X.
Si quatuor quantitatum eiusdem generis dus antecedentes ouarum consequentium eque multiplices fuerint; dc antei cedens antecedentis tantima, vel consequens consequentis tantum multiplex fuerit: erunt vicissim proportionales.
Sint quatuor quantitates eiusdem generis, A B quidem ipsus E,dc CD ipsius F aeque multiplices. Et primo rit E ipsius F multiplex. Dico A B ad C D esse, ut E ad F. Quoniam A B,& C D ipsarum E, & F eque multiplices sunt, lactis antecedentibus in suas partes, erunt a in A B tot partes A G, G H,
166쪽
Id ipsius HB. Ergo equoties F Finultiplicata equalis sit ipsi E, i
toties C I multiplicata Dualis fit ipsi A G , ct toties lia.. multiplacata estier uri equalis apsi GH, nec lania leto toties riui it iplicata em citur inuasis i u A B , ct sic reli qua tegmenta, si plura extiterim, que tota l*m sunt in C Di quot si1 A B iErgo quoties F multiplicata equalis fit ipsi E, toties ipse C I, I k. k O, idest ipla C D multiplicata essicitur aequalis ii sis AG, GH, H B, seu ipsi A B. Et propterea C D toties mensurat si O, ipsam AB, quoties F metitur ipsam E. deiideo a A B ipsius situ, 'CD tam multiplex est, quam E ipsius F. Ut erat proban
Secundo iisdein positis sit A B multiplex ipsius CD. Dico esse Ead F, ut Bad CD. Fiat M ipsius F tam multiplex , quam LMpsius C D, estque pars CD multipleX ipsius F. Edi eoae Friis ago. AB ad Mem ut C Oad F, erat autem, ut CD ad F ita L ne B ad E. Ergo adem A B ad duas M , ct E eandem rationem sprep r. habet; ideoque g E , & M inter se equales simi. Unde h AB ouisi. ipsius C D, S E ipsius E eque multiplices erunt. Qitare &c. g 8 P
Eiusdem generis partes cum pariter multiplicibus in eadem sant ratione. Sint A ipsius B, S: C alterius D eque multiplices,tu eiusdem generis. Dico A ad Cesse, ut d ad D. Si enim hoc verum non est, habeat primo, si fieri potest, A ad C maiorem proportionem,quam B ad D. Ergo a proportio A ad C maior erit; proe a et, vi portio vero B ad D non erit maior eadem proportione com- huis mensurabili ( quam intelligatur habere E ad C,atque id ad II;& iplarum communes mensurg eedem sint R, Sc , . Qaare Amaior erit quam E,at B non erit maior,quam id. Et quoniam sunt C, D equales, vel eque multiplices ipsarum R, dc S cum b p .p.,shq eque metiantur illas, & est C ipsius D multiplex. Ergo b R his,u,.
167쪽
ipsius S, dcc ipsius D qquhmurum ,----Triplices sunt. Rursus quia E, & Η - equales , vel qque multiplices sunt ipsarum R dc Sac R est mul-- D tiplex ipsius S. Ergo: E ipsius Hes m tam multiplex est,quam R ipsius S, seu a quam C ipssus D: est ve-m Aipsius B tam multiplex , quam C ipsius D: Ergo e Eipsius H tam multiplex ess, quam N est multiplex ipsus B; ideoquessicuti E minor est, quam A, ita H minor est, quam B s sed concessa fuit H non minor, quam B, quod est absurdum, Non ergo A. ad C maiorem proportionem habet, qua B ad O. Eadem ratione ostendetur A ad G non habere minorem proportionem, qua in B ad D. Quarea A ad C erit, ut Bad D. Quod erat probandum.
Si quatuor quantitates eiusdem generis proportionales fuerint, dc vicissim proportionales erunt. Vocetur autem talis argumentandi forma Permutatio rationis.
Sit A ad B, ut Cad D; sintque omnes eiusdem generis.Dico esse A ad C, ut B ad D. Si enim hoc verum non est, habebit A ad C maiorem, aut minorem Proportion em, quam Bad D. Et primo sit proportio maior, si fieri potest. Ergo a proportio A ad C maior erit, proportio vero B ad D no erit maior, eadem proportione commensurabili (quam intelligatur haberc E ad D,at que H ad D,&ipsarum communes mensure caedem sint k, ct N ): quare A maior erit, quam E, sed B non
A R e. erit maior, quam H; cumqtre , - - - ,--- sit E ad D, vi H ad D. bigiturm maior erit proportio A ad B,
quam N ad H; sed . k ad N est, Η - - ut E ad H(cum ille sint harum P a , . caedent mensurq) Ergo a A ad B maiorem proportionem habet, quam k ad N ; est vero . C ad D, vi k ad N cum hae sintillarum eaedem mensure . Igitur A ad B maiorem proportionem habet, quam C ad D. quod est absurdum. Supposita enim suit A ad B, ut C ad D. Quapropter A ad C non libbeb:t
168쪽
LIRER III. I Ibebit maiorem proportione m. qtiam B, ad D. Similiter ostenderi od B ad D non habet maiore proportionem, quam A an C & dco A ad Ceae goarinorein proportionem habebit, qua B ad l). Quare , ad . eandem ra- ia tionem habebit, quam R h ibet ad . V propnsit uias fuerat.
vocetur hqc argumentandi forma permatatio rationiS.
Deducitur ex hac demonstratione, quod si prima quantitas ad secundam habuerit maiorem rationem, quam tertia habet ad quartam; permutando prima ad tertiam maiorem rationem nabebit, quani secunda ad quartam. Nam ex positione, quod A ad C habet maiorem proportionem, quam
B ad D, consequitur, permutando, habere A ad B maeiorem proportionem, quam C ad D. PROPOS. XIII. THEOR. XIII. Eucl. II. Si coniuncte quantitates proportionales suerint, hq quoque
diuise proportionales erunt. Vocetur huiusmodi argumentandi fiorma Diuisio terminorum rationis.
Sint A dc B, simul sumpte, ad B, ut C & D, simul sumpte,
ad D. Dico A ad B esse, ut C ad D.Si enim hoc verum non est habebit A ad B maiorem, aut minorem proportionem, quam C habet ad D. Et sit primo proportio maior .a Ergo Desi P. proportio A ad B maior erit, proportio vero C ad D non erit maior, eadem proportione conimensurabili quam habeat E ad B, atque H ad Os dc ipsarum communes mensure e dem sint Κ dc N ) . Quare A maior erit, quam E, sed C non erit maior, quam H. Et quia E,& H eque mensurantur ab ipsis X, & N. Ergo , tot partes erunt in E , singulq equales X, quot sunt in Id, singule equales N. Rursus quia x , N qque metiuntur ipsis B, & D, tot c partes eriint in B, singule equa' e D r les x, quor i t in D singule qquales N. Quapropter, si equa- hu, is, .libus multitudinibus partium contentarum in E, dc H addantur equales multitudines partium ipsarum B, & D: erunt in E B, simul sumptis, tot partes equales ipsi ae , quot sunt partes in ageregato H , D contentae, mensurataeque ab N;& d D fideo a E B erit ecdem partes ipsius B, quam est H, D parteS bmua .
169쪽
. alterius D. Cumque A maior cymB .cesta sit, quam E, addita B commu-l- ni: erit AB maior, quam EB. Et in uia C non maior cocessa est,quam, H,addita D communi: erit C D non maior, quam H D. Quare e E B ad Best, ut H D ad D, atque A B maiores L, quam EB,&C.L mnest ni toriqua in II id. Ergo A B ad B maiorem proportionem habebit, quam C D ad D, quod est absurdum. Erat enim ex hypothcsi A B ad B, ut C Dad D. Non ergo A ad n maiorem proportionem habebit, quam Cad D. Similiter ostendetur, quod Cad D non habet maiorem proportionem, quam A ad B; ct ideo A ad B neque minorem proportionem habebit, quam C ad D. X Quapropter A ad B erit in eadem proportione, quam C habet ad D. Quod erat ostendendum.
Hinc colligitur, quod, si prima ad secundam maiorem proportionem habuerit , qtiam tertia ad suartam, conuulgendo habebunt prima & secunda, si inui sumptae, ad secundam maioremi proportionem, quam tertia, & quarta, simul sumptae, ad quartam . Ex eo enim , quod proportio A ad BPosita fuit maior, quam C ad D, demonstratum est A, & Bnabere maiorem proportionem ad B, quam C, & D li . bent ad D.
Si diuist quantitates proportionales fuerint, he quoquo
coniunctae proportionales erunt. Vocetur laqc argia memtatio Coniunctio terminorum rationis.
Sit A ad B, ut C ad D. Dico csse A, B, simul sumptas, ad B in eadem ratione, ac sunt C, D , simul sumptae, ad D. Si hoc Verum non est, aliqua alia quantitas H B maior, vel minor, quam A, B habebit ad ipsani R eandem rationem,quam C, D ad D. Ergo a d illidendo H ad B erit, ut C ad D; sed Amaior, aut minor est, quam Fl eo quod H, B inequalis erat
170쪽
- . . LIBER IIL 1 iipsi A si, & tollitur B communis) Ergo b A ad B maiorem, aut minorem, proportionem habet, quam H ad eandem B; erat autem C ad D, vi H ad B. Igitur c A ad B maiorem, aut minorem proportionem habebit, quam C habet ad D, quod est ab- virdum. Supposita enim fuit A ad B, ut C ad D. Nonergo aliqua qualitas maior, vel minor, quam A Beandem rationem habere potest ad B, quam C D habet ad D, &ideo A, B ad B erit, ut C D ad D . quod erat probandum . Vocetur haec argumentandi mrma coniunctio terminorum rationis.
Colligitur pariter, quod, si quantitas prima cum secunda ad secundam habuerit maiorem Pr portionem , quam te tia cum qUarta ad quartam, diuidendo prima ad secundammai orem proportionem habebit, quam tertia ad quartam. Concestum enim fuit, quod A, B ad B habeat maiorem propor tionem, quam C, I ad D ; dc demonstratum d est Aad B maiorem proportionem habere, quam C ad D PROPOS. XV. THEOR. XU. Si quantitatum aggregata suerint, ut ablatq portiones: erunt residua, ut aggregata. Et si portiones proportionales suerint aggregata eande rationem habebul,quam portiones . Su primo aggregatum A, C ad aggregatum B, D, ut ablata portio C ad ablatam D. Dico residuum A ad residuum B esse ut A, C ad B D. Quoniam A C ad B, . in est, ut C ad D. Ergo a permutando A l l C lA, C ad C est, ut B, D ad D: Et diuidendo, A ad C erit ut B ad D: Et in- r mes uertendo e C ad A erit, ut D ad B ; Et , 'coniungendo a C A ad A erit ut D B ad B. Et iterum permutando e C, A ad D, B erit, ut A ad B. Quod erat primum.
Secundo sit A ad B, ut C ad D. Dico A, C ad B, D esse ut A ad B, vel ut C ad D. Quja A ad B est, ut C ad D,erit permutandosA ad C, ut B ad O: Et coniungendoa AC ad C ut BP ad D. Et iterum permutando h A C ad B D erit,ut C ad D,