장음표시 사용
171쪽
r d. EUCLIDIS RESTITUTI seu ut A ad B. Et si rursus sit E ad F, ut C ad D. Quia A Cad x et g b Dest, ut eadem C ad eandem D. Ergo
n D p tic nates A C ad B D, ut Ead Fi &ideo, Vr ' prius A, C, E erunt ad B, D, F, ut E ad F, seu ut A ad B. Quod propositum iis crat.
Colligitur ex prima parte huius demonstrationis, quod, si aggregata ad ablata eandem proportionem habuerint,erunt aggregata ad residua in eadem ratione. Nam concestum suit A C ad C este, ut B D ad D r Et deinde ostensiim est A C ad A esse, ut B D ad B. Vocetur huiusmodi argumentandi forma Conuersio rationis.
Fc HOLTUM. Facili negotio ostendetur, quod, si prima ad secundam maiorem proportionem habuerit,quam tertia ad quartam : habebit prima chm tertia, ad secundam cκm quaria, maiorem proportionem, q&ἀm tertia habet ad quartam: sed minorem, qudni prima habet ad prandam. Quoniam A ad B, si habuerit maiorem proportionem , quam C ad D, permutando iri ad C maiorem proportionem habebit, quam B ad D et Et coniungendo k AC ad C maiorem proportionem habebat, quam X D ad D '-uerum permutando i A, C ad B, D malorem proportionem habebit, quam C ad D. insus quia prius habebat A ad Canai
B . t D MbIt, qcam Dad B: Et coniungendo ii C, A ad A minorem proportivam habebit, quam D Bad B: Et premutando o C A ad D B minorem proportionem habebit, quam A ad A. Vt propositum fuerat.
Colligitur, quod, si totum ad totum maiorem rationem habuerit, quam ablatum ad ablattim, crit totius ad totum minor proportio, quam reliqui ad reliquum. Habebat enim p A, C ad B, D maiorem proportionem,
172쪽
quam C ad D; & demonstratum est A, C ad B, D habere misnorem proportionem, quam A ad B .
Deducitur pariter, quod si totum ad ablatum maioren rrationem habuerit, quam totum ad alterum ablatum: habe- . . bit, per conuersionem rationis, totum ad eius residuum, mi. norem proportionem,quam aliud totum ad suum residuum. Fuit enim v A, C ad C in maiori proportione, quam BDq Schol. ad D, di demonstratum est A, C ad A minorem proportio-- s. Rem habere, quam BD ad B. . i. Q
PROPOS. XVI. THEOR. XVI. IMI.s i. v.
. .ai AE 3 p. I Si quatuor quantitates eiusdem generis proportionales fuerint: maxima, ct minima reliquis duabus maiores erunt.
Sint quatuor quantitates eiusdem generis A ad B in eadem proportione, ac C ad D; sitque A omnium maxima, dc D minima. Dico A dt D ; simul sumptas, maiores esse, quam B dc C simul. Ponatur F qqualis excessui maxime A supra G, & FI qualis excessui ipsius B supra minima D. Patet C & F simuliquales eta A, a tque D & H simul, squales esse B. Et quoniam, ut A ad B, seu , .ut totum FC ad totum H D, ita est Cad D ablatum ad ablatum. Ergo a residuum F ad residuum H erit, ut totum adtotum, scilicet, vi A ad D; sed quia A, ut maxima maior est, quam B: erit quoque F maior, quam H. ( Nam n non Amaior esset, haberet , A ad B maiorem proportionem , quam F ad H, quod est falsum: Ostense enim fuerunt A, B, F, H, proportionales , si igitur ins qualibus h , & H addantur communiter ambq C, D simul, erit e summa quantitatum F, C, dc D maior, quam summa quantitatum hi, D, dc C: Sunt vero F, C, Sc D equales A, dc D(ciun F C ostensa sit tqualis A, & D sit communis atque eadem ratione IL D, dc C qquales sunt B dc C. Quare maxima A cum minima D maiores sunt, quam B,C simul. Quod
173쪽
i s EUCLIDIS RESTITUTI COROLLARIUM I.
Manifestum est, quod, si quatuor quantitates proportionales fuerint, erunt directh, dc vicissim una maiores, aut uni aequales, aut uni minores. Fuit enim A ad B, ut F ad H, & ostensum est, . quando Amaior est , quam B, non esse F squalem , aut minorem ipsa ia, Ac contra. Igitur antecedentes A, dc F erunt una maiores, aut uni uales, aut una minores consequentibus B, & H. Rursus quia e vicissim A ad F est, ut B ad H. Igitur A, di Biunt una maiores, aut uni squales, aut simul minores ipsis F, dc H.
. Patet, si tres quantitates proporti . di i . nales fuerint,esse duas extremas, simul rum sumptas, maiores, quam duplum me-m B Sit enim maxima A ad R. ut B ad C, in Mi- & fiat Em Iis B: erit A ad E. ut B ad si C , ideoque maxima A di minima C maiores erunt, quam E. st B simul iidest malores, quim duplum mediae
Si fuerint tres Pantitate; proportionales: emessis, Ps maximas perat mediam, mator erit excessu media supra minimam . Sit maxima A ais B, ut B ad minimam C . Sitq; N exec's A supra B, atque Osit excesses B supra c. Dico N maiorem esse, quam S. Nam, vi et totum A ad totam B, ita es B, ablatum ex in , ad C, ahlarem ex B. Ergo N, residuum ipsitis A, ad O, residaeum alteming g, reu, M totam Aad totum B ,siae, ut maxima in ad mediam B. Et ideo h N maior erit. qvam O.
Si duabus similibus proportionibus commensurabilibus dus aliq similes proportiones commensurabiles continuentur,
174쪽
termin Uriores ad posteriores erunt in eadem eo inmensu,
Sit A ad B in eadem commensurabili ratione, quam habet C ad D ; atque B ad E sit in eadem commensurabili proportione , quam D habet ad F. Dico A ad E in eadem ration commensurabili esse, in qua C ad F. Sit G communis mensura ipsaru m A, B s atque H sit communis mensura duarum B, E; re intelligatura ia toties metiri ipsam G, quoties H ipsam a . . s. B metitur. Ergo permutando N toties metietur ipsam H, quoties G ipsam B mensurat; cumque H mensuret ipsas B, b prv. Io. Ac E: Igitur c Κ metitur ipsas B, & E. Rutius quia Κ metitur ipsam G, sed G mensurat ipsas A, B. Ergo a eadem R. met, ., ' '
A ad Κ, pariterque N sit ad IID i G
o, ut E ad te. Et quoniam , Η A , dc M aeque multiplices osunt ipsarum ic dc o, pari. di
Deducit ex demonstratione lautus pnopositonis, quod duq quantitates, que uni tertiq commensurabiles sunt, inter se quoquc nam commensurabis s. Nam A, di h eidem B coinmentarabiles posit* fueranti eo quod G erat communis mensura ipsarum A, dc B; nec non Herat communis mensi ira ipsarum B , di E; & ostensum sit m= b. t r. Κ communi mentura extremas A, & E metiri. bui s.
175쪽
r g EUCLIDIS RESTITUTI PROPOS. XUIII. THEOR. XVIII
Si fuerint quatuor quantitates proportionales, habebunt antecedentes eandem rationem quos; ad duas quantitates, eandem proportionem commensurabilem habentes, ad easdem consequentes.
Habeat A ad B eandem proportionem, quam C ad D , 5 habeat E ad B eandem proportionem comtaIensurabilem, quam H habet ad D. Dico A ad E esse, ut C ad H. Si enim hoc verum non est habebit A ad E maiorem, aut minorem proportionem , quam C ad H. Et sit primo proportio maior, si fieri potest. a Ergo proportio A. ad E maior erit, proportio vero C ad H non erit maior eadem proportione commens, rabili ( quam habeat N ad E, atque O ad H) ;& ideo A maior A erit, quam N, sed C non erit ma-
ior, quam O. Et quoniam N ad E, atque O ad H sunt in eadem rati l ne commenturabili; pariterque Et ad B, atque H ad D Iunt in eadem proportione commensurabili. EDI i go, Nad B est in eadem propo tione commensurabili, quam o habet ad D;estque A maior, quam N, & C non maior, quam O. Igitur e A ad B maiorem proportionem habebit, quam C ad D, quod est impossibile: Suppostq enim fuerunt A, B, C,D proportionales . Non ergo A ad E habebit maiorem proportionem , quam C ad H. Similiter ostendetur, quod C ad H non habet maiorem proportionem, quam re ad E; & ideo , ad Eneque minorem proportionem habebit, quam C ad H Quare A ad E est, ut C ad H. Quod erat probandum. Euci. s .v. PROPOS. XIX. THEOR. XIX. Si proportionibus si milibus pares multitudines proportionum si milium addantur ordinate, erunt termini priores ad posteriores in eadem ratione. Vocetur talis argumentandi forma, compositio ordinata proportionum.
176쪽
Sit proportio A ad B similis, vel eadem proportioni quantitatis C ad D,& ijs addantur viis proportiones similes, ut sit B ad G, ut D ad H. Ostendendum est proportionem A ad G, eandem esse, quae ipsius C ad H . Si enim hoc verum non est, habebit A ad G maiorem , aut minorem proportionem, quam C ad H. Et si fieri potest, sit primo proportio maior . . Ergo a proportio A ad G maior erit, proportio vero C ad H a Defio. non erit maior eadem proportione commensurabili ( quam brum ui . habeant Κ ad G, & N ad H): dc ideo A maior erit quam N, at C non erit maior, quam N. Quoniam B ad G est, ut D ad H ; atque N ad G eandem proportionem commensurabilem ha-her , quam N ad H. Ergo , ut B ad N, ita est D ad N; & inuer- : Prest, i a. tendo Κ ad B erit, ut N ad D: estque A maior, quam V at Ces' non maior, quam N. Ergo a A ad A bu . '
g mviorem proportionem habet quam C ad D, quod est absturdum. Supposita enim fuit A ad B, ut Cad D. Non ergo A ad G maiorem. Proportionem habet, quam Cad: H. Similiter ostendetur, quod C cita H iam habed maiorem propor tionem , quam A ad G ; & ideo A ad G neque minorem proportionem habebit, quam C ad H. di proptereae A ad G erit , ut C ad H. Et si rursus plures alie ' mi proportiones similes G ad S,&H ad R sucessive addantur, ' i
semper eodem modo considerando tres quantitates A, G, S, tres alias C, H, R; ut prius ostendentur composite prinportiones A ad S, & C ad R, simiserum esis . vi fuit propositum. Vocetur hu C .iusmodi argumentandi forma compositio ordinata proportionum. Et siqv idem componenim Proportiones continuatq A ad B, B is G, & G ad S me- . rint similes inter se; vocetur propor- S Rrio A ad G Duelicata proportionis A - ad B, vel B ad G; atque proportio A ad S vocetur Triplicata unius rationis A ad B, & Sesquialtera rationis A ad G . dc sic succestiue . Si vero proportiones continuate A ad B, dc B ad G, & G ad S non fuerint eedem inter se: vocabitur absolute proportio ipsius A ad S Composita ex intermediis proportionibus A ad D, B ad G, & G ad S.C NM
177쪽
EUCLIDIS RESTITUTI COROLLARIUM L
Si quatuor quantitates proportionales fuerint quelibetqque multiplices antecedentium ad quaslibet sque multiplices consequentium proportionales erant.
Nam, si B ad G est, ut D ad H, & iis alis proportiones similes addantur, ut sit A tam multiplex ipsius B, quim Calterius D, atque G eadem pars sit ipsius S atque H alterius R. Ergo est A ad S, ut Cad R.
Ex hac demonstratione colligitur, quod, si pares multitudines proportionum continuentur ordinath: erit quae ex maiori bus componitur maior, quam illa, quae ex minoribus proportionibus composita est. Nam g proportio A ad B composita erit ex proportionibus A ad O, & G adruatque proportio C ad D composita erit ex proportionibus C adH. oc H ad D , dc concessa fuit proportio A ad G maior proportione Cad H dc est inue .lendos G ad B, ut H ad D, fuitque ostensa proportio A ad Bmaior, quam C ad D -
inducitur etiam, quod duplicatae proportiones similium proportionum etdein quoqi vel si male, sunt; & subduplicate, seu medietates sinitium proportionum sunt quoqueb des inter se& idem dicendum cst de quibuscunque aliis paribus multitudinibus concinue proportionalium. Nam cae istentibus tam A, B, G continue proportionalibus, quam C, D, H,si supponatur A ad B esse t C ad D.ciun rationes B ad G, atque D ad H sine eedem proportionibus similiburum A ad B, dc C ad D, erunt ex hac piopositione d et icarae pro molaes A ad G, ct C aeda ieedem quoque interie. E contra, si supponatur A ad G esse. v Cad H necessario earum medietarcs, seu subduplicatae proportiones A ad B, ct C ad D si miles erunt s alias daq proportiones similes A ad B, de B ad G una maiores, aut una minores duabus propodition bus similibus C ad D, dc D ad hi mu componertur dinplica-
178쪽
LIBER III. I SI plicatam proportionem A ad G similem proportioni dupl-catae Cad H, ut in a. Corol.hinus propositionis ostentana est. PROPOS XX THEOR. XX. EucI.53.vSi profortionibus similibus aliq proportiones similes pertu
bate addantur et erunt proportiones, ex paribus multitudinibus proportionum compositq, sinules quoque inter se. Vocetur antem h- argumentandi tarma Compositio perturbata proportionum.
Sit quantitas A ad B, ut C ad D,& his proportionibus simialibus addan tur due aliq proportiones similes, sed ordine perturbato ita ut si B ad E, sicut F ad C. Dico eroportionem A ad E, compositam ex proportionibus A ad n & B ad E eandeesse, quq iplius F ad D; que nimirum composita est ex lassidem proportionibus C ad D, F ad C Et quoniam quam prin
portionem habet B ad E, habebit aliqua alia quantitas ad ipsam Alicet ilia sit ignota, tamen quia d xi potest, iupponatur esse G, seu vocetur C Et quoniam Gad A est, ut B ad Es led F ad C est ut eadem Bad eandem E. Ergo b G ad A est, ut Fad C, dc A ad B e st, ut C ad D. Ergo e ex compositione o prop. i p. dinara erit G ad B, ut ad D. Postea quiae, ut G ad A. ita est huIus. B ad E. Ergo a permutando, ut G ad B, ita est A ad E: sed ut o p . i a. G ad B, sic sit ostensa F ad D. Igitur, ut A ad E, ita erit Fad Dis Si rursus plures alie proporti nes similes E ad H, de Nad F Hccestiue addantur, semper eodem modo considerando tres 'antitates A E, &H,& tres alis R, F,&D, ut prius ostendentur compositqpro portiones A ad H, & k ad D similes esse inter se. Quod
Similiter proportio composita ex maioribus proportionibus
179쪽
nibus perturbato ordine, erit maior, quam illa, quq ex tot, dem proportionibus minoribus componitur. Nam composite prop ortiones, siue ordinath, vel pertur, fC, .li x. bato disponantur, eede in sunt inter se; dc propterea ,ssi odi pro' i s. dinata maior est aliqua alia,etiam perturbata proportio ma-bviui. ior erit eadem proportione.
PROPOS. XXI. THEOR. XXI. Si a proportionibus similibus auferantur proportiones fimbies, siue ordinate, siue perturbate: residue proportiones, suntles quoque erunt.
Sit proportio cuiuslibet quantith
i ' i L c l tis A ad B. ut C ad D ; atque ab his
E ,--. proportionibus similibus, siue eisdem tollantur eqdemetoportioneS, Primo, i DTl ordinat' ita ut sit A ad E, ut C ad F. Dico residuas proportiones E ad B dc F ad D esse easdem. Quia ainuertendo, ut E ad A, ita est Fad C, & ut A ad B, ita esi C ad D. Ergo componendo , ordinate, ut E ad B, ita erit F ad D. Tollantur secundo perturbate proportiones 3dem, ita ut sit A ad E, ut F ad D. Dico residuas prinA g C portiones h ad B, ct Cad Feste easilem. E F o Quoniam inuertendo e est, ut B ad A , ita B o D s D ad C,& ut A ad E, ita est Fad D; Ergo ex a compositione perturbata . ut B ad E, ita est F ad C;8c inuertendo aut E ad inierat ostendendum..ita est C ad F.Quod
Fx tribus pricedentibus propositionibus elicitur, si aliquap portio composita fuerit ex aliquibus proportionibus, eam quoque componi ex ijsdem proportionibus, quocunque ordine positis. Si enim
180쪽
Si enim proportio A ad B, inter-Positis terminis C, D , dc E sit composita ex proportionibus I, 2, 3, , eadem erit composita ex eisdem proportionibus, sed ordine pertu bato a , I, g, 3, interpositis alijs
terminis F, G, & H. Nam, ut A ad D, ita est A ad G; & rursus,r ut D ad B, ita est Gad B. Ergo b A ad Best, ut A ad B alterius ordinis.
Patet etiam quamlibet proportionem propositam ex quotlibet proportionibus, excepta Postrema, componi. Nam qu*libet proportio A ad B, interpositis quibuslibet terminis C, D, E, erit composita ex proportionibus A ad C. C ad D, Dad Ei,dcli ad B. Et proportio, M ad S eomponi quidem po test ex toti- didem proportionibus .ex quot componi- itur A ad B; sed non omnes possimi es emem . Nam licet tres priores pro di O 'tiones X, a, dc 3 continuentur in qua- P ituor terminis M,N, o,&P: tamen postrema proportio P ad S non erit neces S --- sario eadem, quam habet E ad B, idest non erit s.
Si duq quantitates ad duas consequentes habuerint eande rationem , atq; duq alis ad easdem consequentes habeant etiaeandem rationem: habebunt antecedentes , simul sumpte, eandem rationem ad easdem consequentes. Sit A ad B, ut C ad D, atq; Fad eandem B sit, ut Had eamdem D. Dico duas antecedentes A & F simul, habere ad Beandem rationem, quam dus