장음표시 사용
181쪽
in uertendo, ut Bad F, ita est DadH; sed A ad Best,ut C ad D : Ergo uomponendo Ordunate erit , ut A ad F, ita C ad H; .dc coniungendo e erunt A dc F ad F, ut C S H ad H : sed F ad Berat, ut Had D. Ergo a rurius, ex compositione ordinata, erunt AF si muta ad B, ut H C, simul sumpis, ad D. Quod
Hinc patet, quod, si cedem duq antecedentes ad quatuor consequetes habeant eandem ratione:antecedentes ad consequentes non eiusdem proportionalitatis, simul sumpt*, prinportionem eandem habebunt.
Nam ex eo, quod A ad B est, ut C ad D, nec non P ad Tribi ad D: sequitur inuertendo, . quod B ad A est . ut D ad C et atque Bad si est, ut D ad H: Et similiter ex eo. Iod summa A, F ad B est, ut summa C, H ad B. sequitur fiuuertendo, quod B ad siunmam A, F est, ut D ad iumma in .
Si merint quatuor quantitates, & quelibet alie proportion Ies,commensurabiliter consequentibus, fuerint una malin res, aut simul squales,aut una minores antecedentibus odidinat e: erunt quatuor ills quantitates proportionales.
Sint quatuor quantitates, prima A, secunda B, tertia G1de quarta D;& insuper quinta G ad B eandem rationem commensurabilem habeat, quam sexta Had Oh sintque dic qcommensurabiles proportiones, quelibet ex infinitis, que proponi possint; re quotiescumque G est squalis prim Asit pariter H equalis tertiq C, & quoties ci minor est,quam A, sit pariter H minor, quam C, de quotiestunqueC rmiorest, quam Areperiatur sere per H maior, quam C, dc hoc temper A verificetur in infinitis proportiona- C litatibus commensurandibus. Dico . primam A ad secundam is candem: i. t proportionem habere, quam tertiai J C ad quartam D: Si hoc veru m non iest, habebit A ad B maiorem, aut minoreIn rationem quam C ad D. Et
182쪽
LIBER III. IssEt sit primo proportio maior,si fieri potest. Ergo a proportio a Degio. A ad B maior erit, proportio vero C ad D no erit maior eadeproportione cominensurabili (qua intelligaui r habere G ad B, atque H ad D eritq; A maior,quam G,at C non erit maior,qua H.Quare duq quantitates G, & H eandem rationem c mensurabiId habentes,ad duas consequetes B. & D non erunt Una minores antecederibus, quod est contra hypothesin. Noergo A ad B maiorem proportionem habet, quam C ad D. Simili ratiocinio ostencietur C ad D non habere maiorem rationem , quam A ad B; Vnde A au B non habebit minorem proportionem, quam C ad D; sed neque maiorem rationemnahebat, ut ostensum est. Ergo, quatuor quantitates A, B, te D, sunt proportionales. Quod erat ostendendum.
PROPOS. xx IV. THEO R. XXIV. si fuerint quatuor quantitates, & dus alie proportionales
consequentibus sint una maiores, aut una minore, antec
dentibus excessu, vel desectu a prima minori quocunque dato, erunt ills proportionales. Sint quatuor quantitates A B, C, D, F, dc duq alim H, dc O quamlibet proportionem eandem habentes ad C, dc F, sint uni maiores, aut una minores antecedentibus A B & D , ita ut excessus vel defectus ipsius Ha prima AB minor sit quacunque assignabili quantitate ex infinitis, quq proponi possunt. Dico A B ad C esse in eadem ratione, ac D ad F. Si enim . a. hoc verum non est, aliqua a alia quantitas maior, Vel minor, hui- ' ruam AB in natura reperiri poterit, quS habeat ad Cem rationem, quam D habet G Rad F, dc sit illa,va vocetur G B. Aiquq primo sit minor, quam A
3, deficiens ab ipsa quocunque desectu A G. Et quoniam H, dco proportionales ipsis C, dc Fsupponuntur esse una minores
Utecedentibus A B, & D, ita ut desectus ipsius H a prima AB minor sit quacunque assignabili quantitate, poterit esse desectus ipsius H a prima A B minor, quam A G; dc ideo H maior erit,quam G R,dum O minor supponitur,quam D,est ve- b prop. s. io G B ad C in eadem ratione , lac D ad F. Igitur, H ad C hMias.
183쪽
maiorem proportionem habet, quam Oad F, quod est fabium;Supposita enim fuit H ad C,ut O ad F. Nulla ergo quam litas minor quam A B eadem rationem habebit ad C, quam D habet ad F.
Secundo sit G B maior, quam A B excessu quolibet G A. Et quia H, & o proportionales ipsis C dc F, supponuntur vita
maiores antecedentibus excessu a prima minori quocunque dato G A, propterea erit H m,nor, quam G B. Et, ut prius, instendetur O ad F maiorem Prinportionem habere, quam H ad C, quod est absurdum. Erant
enim ex hvpothesi H, dc o proportionales ipsis C, & F.Nulla ergo quantitas maior, quam A B, sicuti prius nulla minor,hadebit eandem rationem ad C, quam D habet ad F. Igitur ipsemet A B ad C eandem proportionem habebit, quam Dhabet ad F. Quod erat propositum
Constat, quod, si fuerint quatuor quantitates , dc quaeli-het aIice ad consequentes, eandem proportionem habentes, sint una maiores, aut una minores, aut Vna Squales antecedentibus, erunt illae proportionales. Nam inter quaslibet, idest inter infinitas proportionales consequentibus, que supponuntur esse una maiores,aut una minores antecedentibus, necessario debent illae comprehendi, quq differunt a prima excessu, aut defectu minore quo-eprop. x . cunque dato; & propterea e ut e quatuor quantitates probuiui. portionales erunt. SCHOLIUM. Praeter hos modos vereandi, an quatuor quantitates sint proportion Ira nec ne, datur hic alius, qui est valde distatus apud Eucsdem,, Amehimedem . Si quantitas maior, quam prima excessu minore quouis assignabili , habuerit ad secundam maiorem proportionem, quam tertia ad quartam, O quantitas minor, quam prima, defectu minore quocunque assignabili, habuerit ad secundam minorem proportionem, quam tertia ad qua
184쪽
rem: erit prima ad secundam, ut tertia ad quartam. Quoniam quant ratis, habentis maiorem,aut minorem proportionem ad secundam,quam tertia ad quartam, excesius , aut defectus d prima supponitur minor quacunque assignabili quantitate ex infinitis, qua proponi possunt; sed quaelibet quantitas maior, quam prima, aliquo excessu ipsam superat, qui minor erit aliqua assignabili quantitate. Ergo qualibet quantitas maior, quam prima , habet maiorem proportionem ad secundam, quam tertia habet ad quartam quantitatem; ideoque nulla quantitas maior, quam prima, habebit ad secundam eandem rationem, quam tertia habet ad quartam. Similiter qualibet quantitas minor, quam prima, deficit ab ead fectu minore aliqua assignabili quamitate ; di propterea nulla quant, eas minor, quam prima, habebit ad secundam eandem proportionem, quam tertia habet ad quartam . Cum ergo d aliqua quantitas reperim diur in naIura, qua sit ad Iechndam , t tertia ad quartam , in ilia non huiu, possit ese reaior, nec minor, quam prima, licet eiusdem generis sit. Igntur ipsa meip rima ad secundam habebit eandem proportionem, qua tatertia habet ad quartam.
PROPOS. XXV. THEOR. XXV. EM.Af. g.
Si aeque multiplicium quatuor quantitatum multiplex prunis excesserit multiplicem secundq, at multiplex tertiae non excesserit multiplicem quartae: tunc prima ad secundam maiorem rationem habebit,quam tertia ad quartam. Sint quatuor quantitates A, B, C, dc D s ct sumptis E, & Aeque multiplicibus antecedentium A, & C, nec non sumptis
G, &H aeque multiplicibus consequentium B, & D, sitque . E multiplex prime maior, quam G multipleX secundq; at Fmultiplex tertie non sit maior, quam rimultiplex quartae . Dico A ad B maiorem proporti nem habere, quam C ad D. Quia EE maior est, quam G, & F non est --- maior, quam H: Ergo a E ad G Imaiorem proportionem habet,
ad F, cuin sint illarum p rs ea sidem: Ergo c A ad G maiorem rationem nabet, quana C ad H: Et a metrursus a Gad beaevi Hadricum sint harueque mitiplices. hinus. Igitur
185쪽
. Igitur . A ad R maiorem rationem habet, quim C ad D. Quod erat ostendendum.. , PROPOS. XXVI. THEOR. XXVI.
Si prima quantitas ad secundam maiorem proportionem habuerit, quam tertia ad quartam,reperiri possunt eque multiplices antecedentium , atque aliq qque multiplices con- equentium , quarum multiplex prime excedat multipli-plicem secundq, at multiplex tertiS non excedat multiplicem quaris.
Habeat A B ad C malorem proportionem, quam D ad E. Dico fieri posse , quod prohonitur. Quon iam A B a d C maiorem rationem habet, quam D ad h. Ergo a alicua quantitas minor, quam prima A B eandem rationem habebit ad
secundam C, quam tertia D ad quartam E: vocetur illa A F, di sumantur quantitatum A RA B iv I qque multiplices MI, M N S N, hac lege. vi x I, earum differentia,maior sit,quam C. Postea lumantur eque multiplices RS ipsius C, & X alterius E, hac tamen lege, ut R S lit minima omnium. exccdemtium ipsam MI, ita ut excessus sit minor, aut equalis uni eius parti R V, seu C; ideoque excessiis ipsius R S, supra M l erit minor,quana I Κ,que maior facta emquam C: unde M Κ m ior erit, quam RS,&M l minor eadem R S. Ostendendummodo est in hisce sque multiplicibus, quod dum M Κ maior est ipsa R S, ipsam N, aut equalem, aut minorem e ste ipsa X. Quoniam , ut A F ad C, ita est D ad E , & sumpti sunt due M l, & N eque multiplices ipsarum antecedentium A R& D, nec nondu*RS ih X eque multiplices consequentium C,& E. Eigo, ut M Iad RS, ita est Nad X. QDare csicut MI minor est. quam R S, ita N minor c. it, quam x: fuit autem ostensa M Κ maior quam R S. Igitur quando M Κ maior est, quam R S, non est N maior,quam X. Quod erat propositum.
186쪽
Si merint quatuor quantitates, de antecedetium equo multuplicia ab mita multiplicibus consequentium qualiscunqm. Athh multiplicatio utrimque ab utroque, vel uni deficiunt, vel una qqualia sunt, vel una excedunt, si ea sit man tur, qtiq inter se respondent: erunt ill* quatuor quantit tes proportionales, Sint q uatuor quantitates A, B, C, & D; dc sint E&Fqu cunque sque multiplices antecedentium A& C ex infinitisqque multiplicibus, quq a haripossunt; nec non sint G,&H quecunque ectue multiplices, idest valeant pro infinitis aliis qqud multiplicibus consequem Ptium B dc D;& quotiescunque E ma- - - , J.- ior est, quam G semper sit F maior, in cquam H dc quotiescunque E equalis est ipsi G sit pariter F equalis ipsi H, de in quacunque multaphcationem E minor est, quam G, semper sit FH, O riminor quam H . Dico A ad eand ationem habere, quam C ad D. Si enim hoc-habebit A ad B, aut maIorem, aut minorem rationem, quam C ad D: Et in quocunque a casu, si multiplex E excesserit ipsum G, ali- , quando F non excedet ipsam H,vel si F excedit ipsa H in ali- UT 'tua multiplicatione, E non excedet ipsam G, que sunt salsa, & contra hypothesin. Non ergo A ad B maiorem,aut min rem proportionem habere potest, quam C ad D. Quare , A, b Def. B,C,& D erum proportionales. Quod erat ostendendum . . im.
s C Η O L I r M. In his tribus propositionibus demonstrati sunt passiones ilia pulche
rimae proportionalium, di non proportionalium, qua inter de itiones positae Dei unt ab Euclide. Et sicut hactenus admodum licentiose inter':ncipia receptr fuerunt he propositiones, sic modo, ut theoremat iam demonstrata, poterunt tute Curpari in Geometria. Eas data v ra in fine huiuae libri apponere volui, licet in eius principio post pauco propositiones demon Irari potuit ut, tum quia methodus inerata pediturbari non debebat, cum etiam quia hic breuissime, di facillime absque auxilio
187쪽
mxilio plurium lemmatum demonstrari potuerunt. Sed interim animaduersone dignum est tres adductos modos inuenigandi proportionalitatem feta idem vecte: nam proportiones quantitatum incommensurabilium, eum minime exprimi pol ira per determinatas mensuras earumdem partium , edi Hud murtiplicium; assequuntur tamen per ambages excessuum, di defectuum earundem partium, in sque multipli,
188쪽
Postquam in tertio de proportionibus in genere egimus, modo considerantur proportiones linearum, triangulorum, ili Parallelogrammorum; Sed prius aliquq definitiones declarari debent.
Reciproca triangula, vel parallelogramma sunt, cum duo latera circa angulum unius fuerint duo extrema, dc duo latera circa angulum alterius figurq fuerint duo media quatuor proportionalium.
Us duo triangula ABC , D E F , vel duo parallelogramma B G, E H emunt reciproca, si fuerit A Bad ED , MF Ead C B et Nac enim ratione angulus B --r Telogrammi EG, vel trianguli ABCeontinebitur a prima in B quarta cB ; in angulus E parallelogrammi E H, . . vel trianguli DEF continebitur a secunda DE di tertia E F, quatuor
Parallelogrammorum secundum aliquam rectam lineam applicatorum illud deficere dicitur,quod non occupat totam lineam: Excedere vero quando occupat maiorem lineam rectam, quam silex, secundum quam applicatur :Excessus vero, vel desectus dicitur pars, vel productio aeiusdem applicati parallelogrammi, quod super dem-
189쪽
E D - phssa grammum D applicatum super rectam in B, dicitur deficiens ,
quando eius latus .a C non occupat totam lineam A. B. Et dicitur exeddens, quando C maius est, quam A. A. Diciturque
defectus in primo casu, vel e xcesstis ins eundo , ipsum petra elogranimum c H.
Si ab eodem puncto diametri parallelogrammi ductae fuerint duae rect* parallelae lateribus ipsius. parallelogramma, quae a diametro bissecantur, vocentur circa diametrum constituta,&duo illa parallelogramma, que a diametronon bissecaentur; vocentur Patas Ielogramma complementi.
ctum O,in eius diametro C assumptum, durantur due recta, M OG -rdem parallela Iateri oc , seu in As atque . parallela late te A, vel D A. moeentur parallelogramma B DF , erque EG
parallelogramma D 'A O, que a ma- metro non bilyreantur et appellentur parallelogrammia complementi .
Triangula, & parallelogram eque alta sunt inter se,ut bases, Et , si fuerint inter se ut bases, squales altitudines h
sint primo duo triangula A B C,D EF qque alia,idest per- endiculares A R, D F a summitatibus A , D ad bases ducte, int equales anter se. Dido tria levium A B C ad triangulum D EF hqbcre eandem rettonem , qua in hasiis B C ad hasim EF. Secetur EF in quane unque multitudinem partium Squalium, quarum una sit EI, & in C B se matur S C,quq sit quelibet multiplex ipsusEI: erit, SC ipsius E F quaelibet partes , & coniungantur S A , ID . Quoniam c quoties basis E Imetatur basin E F, toties triangulum Et D metitur eque ab
190쪽
U LI B E lR IV. . IN tum triangulum; DEF, dc quoties a EI metitur CS; toties d corali. s triangulum D EI,metitur squealtu triagulum AS C.e Ergo i x triangulu A SC qu*libet &ee- dem partes est trianguli D E F, que admodum m est partes alterius E F . Sunt ergo quatuor magnitudines, prima B C, si cunda E F,tertia triangulum re
triangulum A S C sunt quslibet,ih eedem partes consequela' rtium E F, & trianguli DE F,idestfadeas habent quamlibet MY mi aes eandem rationem commenturabilem; & quoties S C est 'squalis prime B C, g necessario itiangulum ASG equale erit tertiq inlicet triangulo A B C s& quoties S C maior
est, quam B C, toties h AS C maius est, quam A B C, & cum h C. OII. i. S C minor est, quam B C, semper A S C minus erit, quam A pry s a. t. iB C. Ergo i prima isC ad secundam E F eandem rationem, i propos, habet quam tertia A B C triangulum, ad quartam magni- . b. s. tudinem, triangulum D E F. Quod erat ostendendum. t Secundo simi parallelogramma BH, E Neiusdem altitudinis Dico proportionalia esse basibus. Ductis diametris AC, D Fi mutui triangula A B C,D EF qque vita; & ideo x inter se P erunt, ut bases BC, EF; sed i ut triangulum A B C ad trian PR A u gulum D E F, ita duphim ad duplum i idest ui parallelogram- 'inum B H ad parallelogrammum EΚ. Ergo 'parallelogram' mprb ismum B H ad parallelograminum E Κ, erit ut basis BC ad tibi.
Tertio sit triangulum A B C ad tri angulum D E F, ut ba- b. s. sis B C ab basim h F. Dico altitudines triangulorum squales
esse. Si hoe verum non est, ipsi DE F qque altum secetur tr angulum M BC maius, aut minias, quam ABC: Ergo o erit triangulum M B C ad triangulum D E Lut basis B C ad basim E F; Erat autem, ut B C ad E F,ita A R C ad DE F. Ergo p triangula M BC, ct AB C eandem rationem habent ad idem triangulum D E F; ibideoque s M B Q& A B C cqualia sunt, pars & totum, quod est unpossim te. Non ergo alia altitudo, quam ipsius triangu-