장음표시 사용
191쪽
Ii A B C qqualis est altitudini trianguli D EF. Unde patet
Quarto parallelogrammum B H ad parallelogrammum E Κ sit, ut basis B C ad E F. Dico paralleIogramma esse equer pre o. alta. Quoniam parallelogramma B H,& hΚstini inter se, ut bases. Ergo r eorum dimidia triangula A B C, D E F cIque iis, ut Parallelogramma i crunt quoque inter se, ut baies; t, b.,.ι , & icto M triangula A B C, D E F erunt inter se eque alta. Vim v ex te ita de parallelogramma B H F qque alta erunt. Quod erat
Hinc deducitur, quod, si parallelogramma, vel triangula fuerint qqualia, dc eque alta: habebunt bases squales. Et, siqqualia fuerint triangula, vel parallelogramma inter se ,&habeant bases qquales, qque alta erunt. Nam ex prima,& secunda parte huius propositionis,quam Proportionem qqualitatis habent sque alta parallelogramma, vel triangula, eandem habere debent bases, & ideo bases squales erunt: at ex tertia, & quarta parte huius propositi,nis, parallelogramma, ct triangula sunt in eadem dualitatis proportione, quam habent bases; ideoque sque alta erunt.
Facile etiam deducitur, quod, si duo triangula, vel duo parallelogramma habuerint bases qquales, erunt inter se, ut altitudines. Nam, si super basibus squalibus fiant x triangula, x vel pa-ap . . si . rallelogramma rectangula qualia prioribus: erunt super ba lib. . ' ses equales latera, perpendiculariter eleuata, equalia altitudin bus priorum figurarum, si modo usurpentur, ut bases, quae prius altitudines erant, atq; usurpentur, ut altitudines,quq prius bases qquales erant . priores figurae transformataryprop. t. erunt in duas alias figuras aeque altas; & ideor erret inter se, boui. Vt bases, scilicet, ut altitudines priorum figurarum. s C H O L I V M. Deducitur ex hac propositione, quod, s duo triangula, vel duo paras, les
192쪽
lelogrammasupra bases habuerint duo equalia latera, eleua in angulis aequalibus, aut aequalibas duobus rectis: erunt triangula inter se, vel parallelogramma, ut bases . A Nam ditia a triangula, vel Parallelogramma erunt aeque alta, b ideoque erunt, Pt bases.. Facili negotio ex hac propositione deducuntur tres prima propositiones, qua in fecundo libro satis prolixe demonserauit Euclides. Sit primo recta linea A infecta, OB C sectast in D. Dico parallelogram-mum rectangulum sub A, di BC com- aprehensum, cides cuius bases es B C, altitudo A circa angulum rectum quale esse rectangulis parallelogramis sub A OBD, atquesub Adi DC contentis. Quoniam hac omnia pavrauelogramma rectangula 'nt sqtie alta, eum habeant communem altitudinem mensuratam a recta A. Ergo c erunt inter', ut bases; sed bases B D, D c, semia sumpta, aequalis sunt base B C. Ergo d rectangula ex B D in A, O ex D C in re simulsumpta, aequalia sunt rectangulo extasi B C in altitudine A ducto. Quod erat probandum.. Secuta. supponatur insecta in aequalis tota B C, erit e dem ratione, parallelogrammum ex in in BC , , ex Acinc B, ides e quadratum ipsis a B c, squale duobas rectangulis ex A, seu BC in B D, in ex B cis CD semul sumptis. Tertio supponatur insecta in squalis segmento D C,erit rursus para telo grammum ex A, seu Dc in C B rquati duobus rectaviata ex Admc D in BD, et ex D c in D 'seu F quadrato ipsius D c.
PROPOS. II. THEOR. II. Recta linea parallela basi trianguli secat proportionaliter
eius latera. Et recta, secans proportionaliter latera ut inguli, parallela est eius basi. Sit triangulum A B C, & D E recta parablata hasi B C secet eius latera in D,& E. Dico B D ad D A esse in eadem ratione , ac CE ad E A. Coniungantur rectae D C, E B. Quoniam duo triangula D B E, E C D eandem basim DE habent, &sunt inter paral- Hlelas DE, B C. Ergo a squalia inter se sunt,& ideo , ad idem triangulum A D E eandem mrationem habent: sed c triangulum B E D ad M
193쪽
triangulum D E A eandem rationem ha
bet. qnam basis B D ad basim D A eo quod perpendicularis, a puncto E super
rectam A B,communis altitudo est triangulorum D E B, DEA). Ergo a triangia, tum D C E ad triangulum D A E est . ut BD ad D A. e Rursus cum triangulum C DF ad triangulum ED A sit, ut basis C E ad basilia L A, quia sunt eiusdem altitudinis Ergo fui B D ad D A, ita est C E ad E A. od erat primo ostendendum. Secundo sit B D ad D A, ut C E ad EA. Dico D E parallelam esse basi B C. Si ... hoc verum non est, siti E H parallela basi BC; Ergo,, ut C E ad E A ita erit B H adH A: erat autem, ut C E ad E A, ite, B D ad D A; Ergo,, ut B H ad H A, ita esst .
BD ad D A. Et componendo e in primo casu, & per conuersionem l rationis inauersam in secundo, at diuidendo in in ter ditio casu, erit B A ad A D, ut B A ad A H., Quare is A D, dc A H equales erunt, pars,& totum, quod est absurdum. Non ergo h H, sed ipsa E D parallela est basi B C. erat probandum. S C,Mi O Li I U M.
Hine deducitur ,.qu.directe Ianee quotcunque, ferantur proportio-t onaliter a lineo parallelis inter P. Rectae lines A B , C D , E Ffecem ttir a parallelis A E, G R,M N, D F. Dico eas proportionalitersecari. Ducantur rectae F H O, dic N, conjungentes bina puncta Iectionum, , Iecantes reliquas parallelarin O, RG l I Quia in triangulo AI et C recta GH prio prop. x hu- B rallela est basi AC. Ergo odit A G ad y l Gau, ita est C H ad IIII: Similiter ra triangulo C MN, M. C Is ad N dis, ita es C S ad S N: Et in reiangulo C N E, i E. R H r ut C S ad S N , ita E N ad R N. p Ergo , i. mc H ad H M, seu A G ad G M, ita est EN ad T N. Postea q H G Mh ias. ad res, ita est H M M M D s rem triangulo D H F , ut H M ad M D,
194쪽
Constat ex secunda parte huius propositionis, quod latera trianguli proportionalia sunt segmentis factis a parallela basi usque ad verticem. Ostensum enim fuit B A ad A Desse,
ura , secans bifariam angulum verticis trianguli , se- iubasim in eadem ratione laterum, ita ut homol'ga: conterminalia. Et, si basis segmenta dissecta sint in ea- cui ne laterum, erit lectus bifaria angulus Imrtitis
, In triangulo A B G recta A D efficiat angulos D A B, D AC aequales inter se.Dico B D ad D C este, ut B A ad A C. Pis, duc C m ut fiat a E A qqualis si A,& iungatur E B. Quonbam, ansuli 1, dc A B E; oppysiti lateribus aequalibus B A, EA sunt in x se aequales g Ergo e externus angulus C AB duplus est an Pse,.. A
Vt erat probaudiam. l: Secundo sit B D ad D C, ut B A ad A C. Dico rectam D A secare bifaciam angulum B AC. Si hoc verum non est alia tecta H A secet angulum B A C bifariam. Iam , a vi B A ad AC, ita erit B H ad H C: erat autem, ut B A ad A C, ita uDad DC ; Ergo h ut B H adH C taeest B D ad DC;& componendo i BC adHC erit, ut B C ad CD. ideoque E CH&C U qquales sunt, pars dc totum, quod est absurdum. Non ergo aliqua alia recta preter D A secat bifariam angulum C A B. Quod erat ostendendam.
195쪽
PROPOS. IV. TH EOR. Iv. Triangulorum inter seqquiangulorum proportionalia sunt latera, que circum equales angulos: Et homologa sunt,quq qqualibus angulis subtendusini r. Vocentur autem huiusmodi triangula Similia inter se. IIn triangulis A B C, DEF sint duo anguli As de Dqqn acetos *. Ies inter se; pariterque duo anguli B,&Eqquales; undenterer iij anguli C, & F squales erunt, cum sint complementa ad duos rectos in utroque triangulo. Dico esse A B ad B C, ut
DE ad EF,&B C ad C A, ut EF ad F D, atque C A ad AB. ut FD ad D E (hoc enim modo homo toga Iatera, idest antecedentia proportionalitatis,subtendunt angulos equales ... ' i' Secentur, GBqqualis DE,& NCtqualis DF;& ducame e. u. 3 . . tur G H quidem parallela A C., atque NΚ parallela B p .is i. 1. Quoniam eidem angulo A atqiualis est Dexa hypothesi, scdprop. is. BGH Propter parallelas G H, A C, qqualis est eidem A. E lib. i. go anguli B G H dc D equales sutar, & erant qquales anguli B & E, atque subiacentia latera G B, D E qqualia erant. E e Pr' - s, go e B H qqualis est E F. Eodem modo in triangulo N Κ Q. - - etit TCequalis 1 F. Postea quia CH parallela est A C. Er-f goIA B ad B G erit, ut C R ad B H: de permutandog A Bad BC erit, ut G Bad B Hi suntque G B, B H equales ipsis D E, E F. Ergo, b ut A R ad B C, ita est D E ad E F. Rursus i propter paralb
D. Ergo, is ex compositione ordinata, erit A B ad A C, ut DE ad D F. Quod erat probandum.
D s ciun heequales sint illis) ; cumque EF,&BC ad C A sit, ut EF ad FCOROLLARIUM I.
Patet, si in duobus triangulis duo anguli equales fuerintu coroll. t. duobus angillis, uterque utrique, en et is ian Sula similia .pi . i8 . i. 1 Nam n tres anguli unius trianguli sunt equales tribus angulis
196쪽
LIBER IU. viis alterius; cumque duo anguli unius trianguli suppo nam tur equales duobus angulis alterius, erit tertius angulus aeqrialis tertio. Et propterea triangula similia erunt.
Patet etiam in triangulis equiangulis latera uniusproportionalia esse lateribus alterius trianguli, singula singulis, quibus qquales anguli opponuntur. Positi enim fuerunt anguli A, b qquales, dc B, E etiam equales, nec non C, F equales inter se; dc ut latus A B ad D h, ita ostensum fuit A c. ad D F, atque ita BC ad E F. PROPOS. V. THEO R. V. . r
Si duo triangula latera proportionalia habuerint, eruntqqctiangula inter se.
In triangulis A BC, D E F sit A Bad B C, ut D E ad E F. &B C ad C A sit, ut E F ad F D, atque C A ad A B sit, vi F D ad
D E. Dico triangula eme equi angula. Fiat a regulus HBCCqualis angulo E, & angulus H C B fiat ii,. equalis angulo F: Essicietur hergo te rius angulus Id equalis angulo D. Q aare in triangulis equiangulis B C H, E FD erite H B ad B C, ut D E ad E F; sed A B ad B C erat, ut D E ad E F. d Ergo H B, B ad B C eandem rationem, habent ; ideoque e HB,& A B qquales uincer se sunt. Eadem ratione HC a:-
qualis erit AC;&cst BC basis communis. Ergo sanguli A, c ire H QqVales inter se erunt: erat autem angulus D equalis an ' 'AZ gulo M. Ergo duo anguli A,& D equales inter se stitit. Eade iii ratione anguli A B C,& E squales inter se erunt.Quare triangula ABC, DEF equiangula sinit. Quod erat ostedendi rari. PROPOS. VI. THEOR. VI. Si duo ii lagula unum angulum uni angulo equalem habuerint , ct circa equales angulos latera fuerint proportiona- Iia; triangula erunt similia.
197쪽
, In triangulis A BC, DEF sint anguli A dc D aequales , dc, ut B A ad A C, ita sit D E ad D F. Dico triangula esse simi lia. Secetur a ' G aequalis D E, dc A H fiat aequalis D F, de coniungatur G Hsciunque anguli A, D aequales sint, erunt , duo triangula A G H, D E F aequalia, equiangula, & aequilatera inter se; Est vero B A ad A C, o E D ad D F, seu e ut G A ad A H. ( propter aequalitatem ). Ergo . permutando B A ad AG erit, ut CA ad A H; ideoque e G H parallela erit ipsi A C: 1 Vndefangulus B aequalis erit angulo A G H, I sed eidem angulo A G H squalis erat anguluso E. Ergo anguli B, dc E aequales inter se erunt : HNE F Erant autem prius anguli A, dc D aequales. Ergoa triangula A B C, D E F inter se aequiangu- A CN Ia, dc similia sunt. Quod erat ostendendum.
Patet, si in triangulo ducatur recta linea parallela basi, abscindere triangulum illi simile. Fuit enim G H parallela BC, & triangulum A G H ostensum fuit aequiangulum, ideoque h. simile ipsi ABC. ,
Colligitur etiam si duo latera unius trianguli proporti nalia fuerint duobus lateribus alterius trianguli, , comprehendant dicta latera angulos aequales, esse triangula similia. PROPOS. VII. THEOR. VII. Si in duobus triangulis duo latera duobus lateribus proportionalia fuerint, ita ut homologa sint inter se parallela,&tendant duo priora ad easdem partes, ad quas tendunt posteriora latera, vel ad oppositas; erunt triangula similia, ct bases parallele, vcl in directum positq. aut si tria latera tribus lateribus parallelae suerint singula singulis, erunt triangula similia.
198쪽
LIBER IV. I ID F procedant a punctis A,D versus easdem partes, aut A B, AC versus unam, & D E, O F versus oppositas. Dico triangula A B C, dc D E F similia esse, dc bases B C, E F parallelas esse, aut in directum positas. Quoniam diis rect* B A, & B C
secant unam parallelarum A C, secabunt a quoque reliquam a cor . prppi D F, secent eam productam si opus est, in punctis G , dc H: y, h. t .
Pariter C B, secans ipsam A B, secet quoque ei parallelam D E in o. Et quia recta G H parallela est basii A C tria li A BC. Ergo b triangulum D GH qquiangulum est triangulo BA C ;& ideo vi B L ad A C, ita erit B G ad G H. Ruritis quia bis D O parallela est G B basi trianguli H G B, erit, ut prius, O D tu, ad D H, ut B G ad G H; & propterea e O D ad D H erit, ut B c t .p. r. A ad A C ; ponebatur autem E D ad D F, ut B A ad A C. Igi- ob t. tur . O D ad D H erit, ut E D ad D F; suntque anguli O D H, dprap. r. & E O F aequales ad e verticem, vel unus & idem ( propterea quod DE,OD in directum sunt,&sic D . F, H D, atque recte D E, & D F tendunt Rad partes easdem , ad quas dirigun- , PT ' ra
F aequiangula lunt inter se, de habent la- D gprap. s. tera proportionalia ; & ideo g basis E F r F baiul. parallela est ipsi O H, seu B C , aut h in cor, prep. directum erunt posts, si se contingunt: o et h erat autem triangulum ABC aequian- . . ' gulum triangulo D O H. Ergo triansula ABC, dc DEFa:- quiangula sunt anter se, & ideo , similia. Secundo sint A B, D E aequid istantes, pariterque A C, D Faequidistent, nec non B C, de E F sint parallelae . Dico rursus triangula ABC, DEF esse similia. nam facta eadem constructione, Ostendetur, ut prius, triangulum O DH simile triangulo BA C. Ducitur vero E F parallela ipsi OH basi histam . trianguli O O H. igitur x triangulum D EF qquiangulum est 3 v o. hu- ipsi triangulo DOH, siue triangulo ABC. Quod erat,&c. mi.
Constat, quod, si duae recte, angulum continentes, parallelae tuerint duabi: s aliis,&omnes tendant, & producantur ad easdem partes, vel postrems ad partes aduertas erunt ain
199쪽
guli, ab eis contenti, duales inter se. Ostensii enim Me tanguli A, dc D qquales inter se, ex eo, quod rectae BA, ct AC parallela: erant ipsis E D, dc D F.
Et si duo anguli equales inter se fuerint, & singuIq, circa singulos angulos, retas line* parallele fuerint inter se,& vehgant ad easdem partes: erunt reliquq rect* linee parallele inter se. Positis enim rectis A C, D F parallelis ostensi fuerunt anguli G, E D F qquales: igitur quando etiam sunt anguli BA C,E DF qquales, erunt duo anguli F DE , & G squaIes ini prep. is. ter se; & ideo i A B, & D E parallele erunt.
Si in duobus triangulis duo latera duobus Iateribus pro ditionalia fuerint, dc duo anguli, homologis lateribus op- Ositi, qquales inter se s atque duo anguli, reliquis homo-ogis oppositi, sint eiusdem speciei: erunt triangula similia inter te In triangulis ABC,&DEFfit AB ad AC in eadem rati one, atque E D ad D F ; dc sint anguli B, dc E qquales, qui nimirum opponuntur homologis A C, D F, atque duo anguli C dc F, oppositi reliquis homologis sint eiusdem speciei, ideshambo sint acuti, aut ambo obtusi: Dico triangula A B C, & D E
ceturque AH qqualis A B. iunganturque rect* C H , de BH. Q a Iniam c ae quales B A, Ac H A habent eandem ratio. nem ad eandem AC, estque El. ad D F, ut B A ad AC: Ergo ad a A C est, ut ED ad I F dc sunt anguli C A H , dc D qquales: igitur e triangula A C H, & E sunt equi angula, & idco anguli AH C , & E aequales sunt ; pariterque anguli A CH, dc F sunt inter se qquales: Erant autem anguli AC B, αγ eiusdem speciei: Ergo
200쪽
quando angulus AC B est acutus, erit mite angulus A CH acutus de quam do illa est obtusus, hic quoque obrusus erit, & propterea duo anguli A C B. dc AC H, sin mi sumpti,aut minores erunt, aut maiores duobus rectis; & ideorauae tecti B C,& C H in directum notrerunt, cieturque triangulum B C H Cumque duo anguli A B C,& A H C equales sint inter se, cum sint uales eidem am
gula Era pariterque duo anguli A B H; SPA H B sint quales (ctim latera A B, ct A bl equalia facta sint). Ergo compositi, vel differentiales anguli H B C, & B H C qquales inter se erunt; & propterea b re Eq B C, & H C qquales erunt: sed facta fuerunt latera A B, & A H equalia, & A C est commune. Ai angulus B A C equalis est angulo H A C; sed eidem h pres. r. angulo HAC qqualis erat angulos D. Ergo anguli B A C, iis. i. dc D riuales stat inter se. Et positi fuerunt anguli A B C, dc i crevi. ae E aequales. igitur . triangula ABC,& DEF similia sunt. p 'Quod erat ostendendum. Fm .
Perpendictalaris ab angulo recto trianguli rectanguIi adbasim ducta, diuidit ipsum in duo triangula similia toti,& in ter se, & est media proportionalis inter basis segmenta, de essicit utrunque segmentum tertium proportionale totius basis, & lateris dicto segmento conterminalis .
In triangulo ABC sit angulus B AC rectus,& ab A cadat perpendicularis AD ad basim, secans eam in D. Dico triangula B A D, AC D ct B C A similia esse inter se , & AD mediam proportionalem inter segmenta B D, & D C, atque C B ad B A esse , ut AB ad B D, pariterque tres B C, CA, D C csse proportionales. Quoniam in triangulis B A C, BD A angulus B est communis anguli rceii B AC, BD . t i5 A qquales sunt. Ergo a tertius angulus C equalis est angulo BAD; ideoque, triangula BAC, BD A similia sunt,& bj, . i.
circa communem angulum B latera C B ad B A erunt in ea- ham .dem ratione, quam A B habet ad B D. Similiter in triangulis C A B C D A angulus C est cominus. & duo recti C A T