장음표시 사용
201쪽
, C I; A sunt equales. Ergo e triangula C A B, C D A similia sunt inter se .ec BC ad C A est ut AC ad CD. Tandem in triangulis B A D, A C D duo angu IitH-B A D, & C aequales ostensi sunt, Sc duora anguli recti BD A, A D Cmua Ies sunt Ereto a triangula B A D, A CD similia quoque inter se sunt,& latera circa rectos angulos etequales proportionalia sunt: Ergo BD ad DA est ut AD ad CD.Sic enini homologa subtendunt angulos qquales: & A D media est trium continue proportionaliam B D, D A, D C. Quare patet propositum .s c H O t I r M.
Si a puncto istermedio datae recta linea eleuata perpendicularis in dia proportionalia fuerit inter segmema imui: tria puncta extrema in femicirculi peripheria rei fruat. Sit perpendicidaris D media proportionalis inter BD, D C. Di- eo per tria puncta B, C semicirculi peripheriam transire. Si enim hoe verum non est, e descripto semicirculo capiente angulum rectum, diamea troil C, transeat citra, vel Mira punctum A, se fieri potes: uende F perpendicularis ab angulo necto malar,vel minor, quam A D,media proporationalis erit inter B D, O DC, quod es contra Dpothesin. Non igitur semicirculi peripheria, diametro B c descripta, transit per aliud puniactum, quim per A.
Duabus datis rectis lineis, tertiam, vel mediam proporti nalem inuenire.
, Sint datq due rectae A B, & C, iis primo reperiri debet
tertia proportionalis. Super maiori A B describatur semicidiculus A DB,&ineo a accomodetur BD equalis C minori & a puncto D chdat , perpendicularis D E, secans A B in E.Dico BE esse tertiam proportionalem quaesitam. Coniuncta recta AD, eerit angulus A D B in semicirculo rectus, Ac ab angulo recto ducitur perpendicularis
D E ad basin trianguli rectanguli A D B. Ergo a vi A B ad B
202쪽
Secundo inter A B ,& C reperiri debet inedia proporti natis. Ex diametro AB. secetur B E aequalis C, dc leuetur - perpendicularis E D, copleaturq; g triangulu rectangulti A DB:erunt. l, ut prius, tres A B, B D, Sc B E, seu Scontinuae pro- h us sortionales. Quare B D est media quaesita. Ut erat faciendu. hu,ti,. PROPOS. XI. PROBL. II. Tribus Otis rectis lineis,quartam proportionilem inuenire. Datis tribus rectis AB, BC, & A D, debet reperiri quarta, ad quam A D eadem rationem habeat,quam A B habet ad B C. Continuentur in directum A B, B C, & D A essiciat quemlibet angulum cum C A.&
iungatur recta B D, atque a C E fiat parallela ipsi B D, Ad se - cet rectam A D, extensam in E. Dico D E esse quaesitam, ' Quoniam in triangulo C A E ducta est B D parallela basi C , E. Ergo, b ut A B ad B C, ita est A D ad D E. & hoc erat fg ,-
Datam rectam lineam secare secundum rationes datas. Data recta linea GE secari debet secundum proportiones A B ad B C, & B C ad CD. Continuentur in directum rectae lineq AB, BC, C D, a ponaturque ipsa AD parallela rect* GE; sta punctis A, Dad terminos G, dc E coniungantur rectae line* A G. dc D
cantur b rectae B F, CH parallelae ipsis A G, vel D E, secantes G E in F, & H Patet e rectam G E sectam esse a parallelis in G, F, H, E in eisdem proportiombus, atque A B se
Secundo A ta& D E concurrant in Nducanturque a puR-
203쪽
ctis B , C ad N recte linco B N. C Κ, secantes C E in F dc H. Et quia G F parallela est basii A B IErgo a triangula A Κ B, &G Κ F sim lia susit, ideoque ut B Κ ad F Κ ita est AR ad GF. Eadem ratione , ut eadem B Κ ad eandc m F Κ, ita est B Cad F H; dc ita etiam ostendetur C D ad H F. Quare e permutando, it A B ad B C, ita coit G Fad FH , dcvt BC ad C D, ita crit F H ad H E. Quare Patet propositum.
Constat ex secunda parte huius demonstrationis, quod, si duae parallelae secentur a pluribus rectis lineis concurrentibus in uno puncto,sect* erunt ill* parallel cyroportionaliter.
c H O L I V M- Animaduertendum est Tria haec problemata adaptari posse spatiis remineis, si modo sint, vel essetant r parallelogramma , vel triangula et dem altitudinis. Nam i parat elogramma, vel triangula sque a tetra sunt inter se, ut bases. Ergo quidquid dictit m est Arectis Imris accomodari etiam potes basibui spatieram equalium alti,uinam; ideoqRei
sistat s. - PROPOS. XII l. THEOR. X.
Si duo triangula, vel duo parallelogramma, n abuerint umimangulum uni angulo qqualem, vel sinuit sumptos qquales duobus rcctis: habebunt rationem compositam ex rati nibus laterum, quae dictos angulos comprehendunt.
Sint duo trianaula, vel parallalogramma A B C, de D E F
quorum anguli B, & E aequales sint inter se, vel certe, simulsu napti, equales sint duobus rectis. Dico figuram A BC ad fguram D E E comparando semper eas, quae eiusdem speciei sunt, scilicet triangula inter se, aut parallelogramma Inter se habere propcrtisnem cCmpositam ex ratione lateris B C ad E F, ct c x xatione lateris A B ad larus D E. Fiata E Fad Κ, ut A B ad D E, & in latere eleuato D E secetur , E H equa- . lis lateri elauato A B alterius figurq, de copleatur illia 'Fulum,uci parallelogrammum H F F. Dianaaluo triangula vel duo
204쪽
LIBER IV. II tarallelogramma A B C, & H E F h. ent latera eleuata A B.
Eequalia in angulis D,& Eaequalibus, vel eiicientibus summam duorum rectorum. Ergo. figura A BC a s erat- c fr p. dem speciei figuram H EF eandem rationem habet, quam i bui .
basis BC ad basim E F. Ruti usa figura F H Ead eius lam i peciei figuram FDE est vi H E ad D E cum perpendicularis d 'm'. r. ab F ad H Educta comunis altitudo sit figurarum; est vero H - E,seue ei aequalis A B ad D E, ut E F ad N. Ergoffigura H E F i ad figuram D E F est, ut E F ad N. QuArei ex compositione f/ . , di 1s
ordinata, ut prima figura A B AP in F e P ap. ordinata , vi prima tigura A d a . C ad tertiam eiusdem speciei HI
D E F, ita est prima recta B Cad tertiam N. Sed B C ad N ha
tam ex ratione B C ad E F . de E Fex ratione ipsius E F ad x estque E F ad Κ, ut A B ad D E E ego , proportio figurae A B C ad eiuslam speciei figuram D E' ' Fex iisdem proportionibus Iaterum BC ad E F,atque AE a i'D E componitur. Quod erat ostendendum.
ot duo triangula, vel duo parallelogramma unum anguIum 'nivm angulo qqualem, vel ambos simul duobus rectinoua aes habuerint, atque circa dictos angulos habuerint latera reciproce proportionalia, erunt aequalia inter se. Et si me
caeletli ,habebunt latera circa dictos angulos recipro
Sint pri mo duo triangula, vel duo parallelogramma A BL, dc D E F, quorum anguli B, ct E aequales sint inter se vel,si-Pul smari, aequales sint duobus revis: dc ut latus A B ad DE, nais FE ad CB sic enim a figurae ABC, DEF sunt rinciprocae, cum ABC contineatur a prima AB de quarta C B.ti tum D E F contineatur a secuncta D E, & tema E F quatuor rectarum proportionalium . Dico triangula ABC, & DE R inter se , vel parallelogramma aequalia esse. Fiat , EF ad G. hri AB ad DE. Quis EF ad BC est . - . t AB ad DE sacri AB ad DE,
na est E Fad G . Ergo e E F ad duas B C, Ac G eandem rationem habet; ideoque a B C, ,h G aequales sunt. e I g
205쪽
nem compositam ex ratione BC ad EF,&ex rationes ipsius EF ad G, idest lateris A Bad latus DE. Igitur dus rationesta, G loterum , quae angulos B, dc Ei ,---- Continet, cCmponunt propor-. I l tionem equalitatis B C ad G
n MC H E T composita est ex itidem proportionibus laterum B C ad E F, & A B ad D E. Vrgo . figura AB C ad eiusdem specie figiatam D E F habet eandem squalitatis proportionem, quam babet B C ad G. Quare patet prin
Sint secundo triangula A B C, & D E F inter se, vel parallelogramma squalia, ct anguli B, & E sint aequales, vel em-cientes summam duorum rectorum. Dico A Bad DE esse reciproce, ut E F ad B C. Si hoc verum non est, ut A B ad DE, i ita fiat E F ad B H maiorem, aut minorem, quam B C; ct compleatur triangulum, vel parallelograminum A B FI. Et quia duq figurq AB H, dc D E F eiusdem speciei habeut Iare- prima ra reciproci proporpionalia circa angulos B , dc E. Ergo fb
squales sunt inter se,pals iv totum,quod est impossibile.Non ergo E F ad maiorem, aut minorem, quam B C, habete Potest eandem ratiorum , quam A B ad U E; ideoque E E ad BC est reciproce, ut A B ad D E. Quod erat ostendendumis. EucI. i5. COROLLAR IV i I, .
Patet, si quatuor rectae line* proportionaleb fuerint, esse parallelograminum rectangulum, sub extremis contentiam, equale ei, quod sub mediis continetur. Et si duo Parallelo gramma rectangula equalia suerint ; erit Unum contenti ab extremis, alterum vero a mediis quatuor reoarum Pro portionalium. Nam duo parallelogramma rcct-ngui , qu rum Vnum continetur a prima, & quarta; alterum Vero a s cunda, & tertia quatuor rectarum proportionalium, habciati , .f. i . circa angulos rectos Squales latera reciproce proportionalia . Ergo sunt equalia inter se. Et si fuerint squ-lia, habem prat. t . bunt m latera circa rectos anguIos reciproce proportionalias, nu . ideoque unum continetur a pruna,& quarta, alterum verse i
206쪽
, LIBER IV. II secunda, dc tertia quatuor rectarum proportionalium.
ala,s tres recta i me proportionales fuerint, rectangulum, sub extremis eontenturni equale erit quadiato , a media descripto. Et si quadratum equale fuerit ressangulo, erit latus quadrati meaeum pr6pdrrionale iniet duo latera rectangulum continentia. Nam tres rectie proportionales possunt ec
Mis praediis equalibus continetur,idest ae quadrato medis propcretionali M Similliet existente quadrato riuale tectangulo, vh 'continebitur quadratum a duabus medijs squalibus, idest ab una media trium proportionali um .
Similia triangula, in duplicata ratione sunt laterum homol
Sint duo triangula A B C, & DE F inter se similia, quorum anguli B, dc E sint aequales , dc latera homologa AB dc D E,vel B C dc E F. Dico triangulum A B C ad triangulum DE F, esse induplicata proportione cuiuslibet lateris B C ad eius homologum E F.Fiat R EF ad G, apri . it. ut AB ad DE. Quoniam propter s- IA D buto.
Igitur, evi B C ad E F,ita est EF ad G. R C E FQuare/B C ad G duplicatam proportionem habet eius,quam' ' habet B C ad E F. seta A B ad D h. Est vero e proportio tri an- p .p. t s. guti A R C ad ei equiangulum D E F, ut B C ad G ( Vt Pot: hu,tij. composita ex rationibus laterum B C ad E F, & E F ad G, seu fhrop.r. I. 3A B ad D E). IgiturDriangulum A B C ad ei similem triangulum D E F duplicatam proportionem habet rationis cuiuslibet lateris homologi BC ad homologum E F. Quod
207쪽
Patet , si homologis lateribus dirorum triangulorum, Similium tertium proportionale reperiatur et esse, ut primum latus ad tertium proportionale , ita triangula inter is .
Super data recta linea describere PNygonum dato polygmno qquiangulum, de habens circa angulos ae ales latera proportionalia lateribus illius, ita ut data recta homolo ga sit dato Iateri Polygoni. vocentur huiusmodi polygona Similia inter se, dc Aper datas rectas homologas sinutiis
sit data quilibet figura polygonia CD G, debet super da
ta recta A B describi figura, cuius anguli singuli aequales sint singulis angulis figuri dat*,dc circa angulos equales Iat ra sint proportionalia, ita ut A B homologa sit dato lateri DC. Ab angulo C ad singulos oppositos angulos figuis ducam tur rect* C E, & C F. diuidentes figuram in triangula C DE, M p M, C E F, dc CFG; postea fiata angulus B A H qqualis D C E, de HAΚ equalis nat angulo ECF, atque angulus N A M tae ualis angulo F CG, dc sic ulterius, n plures extiterint; erit-- totus angulus B A M equalis angulo DC G. Deinde, i. DC ad CE ita fiat B A ad AH. dc ut EC ad CF, ita fiat ' HA ad AR, atque ut FC ad C G, ita fiat R A ad AM, ep .,. i.. st sic ulterius , Π opus est . Patet e ex compositione o tu . ,. dinata, esse B A ad A M. ut DC ad CG . Coniungam tur tandem rectet B H, H Κ, ik Κ M. Dico figuram AnM esse quesitam. Quoniam circa angulos qquales DC E, de B A H latera D C ad C E, & B A ad A H in eadem simi rati d N p.f. ne: Frgo a triangula D C E, de B A H simnia sunt; pariterque .silio, triangula E C F, ct H A Κ similia erunt ,& sic cliam triangi ep- - la F CG , Κ A M erunt similia. Quare eanguli C E D, A ri Bhq aequales sunt, & ut D E ad E C, ita est B H ad H As pariterque aniliali D, & B equales sunt, dc ut C DasD E, ita est A B adi B H. Rursas ropter similitudinem triangulorum E C F, de HAN anguli C E F, A H Κ equales sunt,st ut C E ad E F,ita est A H ad H Κs erat autem prius, ut D E ad E C, ita B H ad n A. I
208쪽
LIBER Hi V. Iga H A. Ergog ex compositione ordinata, ut D E ad E F, ita erit gyros B H ad H Κ; & sunt anguli D E C, B H A qquales, Fariterque anguli CE F. AH Κ aequales sunt ostensi. Ergo totus anginlus D E F aequalis est toti angulo BHΚ. Eadem 5 ratione angulus G aequalis erit angulo M, & F G ad G C erit, vi Κ M ad M,& erit angulus A LM aequalis angulo CFG,&AN ad T M etit, ut CF ad F G sati propter similitudinem triangu- . Iorum circa angulos aquales E F C, di H Κ A , latera E r ad sui .. F C.& H k ad k A sunt pro- Aportionalia. Ergo ex compositione ordinata I k ad k mM etit ut E F ad F G. sunt- D --
FG aequales inter se(nem-- ex aequalibus compositi)et sic de c*teris, si plures extiteriim Quare omnes anguli figurq AD M aequales sunt omnibus angulis figurq C DG singuli singuli, di circa angulos qquales late ra sunt proportionalia , quorum homologa sunt date rect* linee A B, c CD. Quppropter intum est , quod fuerat propositum. Vocentur autem huiusmodi polygona AB M ,: Sc CDG similia uiter se, de super homologa latera A B,& C D similiter
. Facile deducitur, quod qui eidem retilineo sunt similia ,& inter se similia sunt . . Nam, si eidem rectilineo C DE Ffiati vel supponantur similia duo rectilinea A B M, & R, idest eidem aequiangula, dc ' in eadem laterum ratione ; erunt ouoque duo rectilinea A B - . M ..& R squiangula inter se, dein nabentia circa angulos ae- tirri e quales late13 proportionalia. Et propterea suntlia erunt in
PROPOS. XVII. THEOR. X III. Similia Polygona in duplicata ratione sunt laterum hom-Iogorum .
209쪽
Sint polygona similia R, & S, quorum homologa latera sitit A B, F G, vel B C, G H, dcc. Et quia, a vi A B ad B C. ita est F G ad G H. Ergo b permutando,ut A B ad F G, ita est B Cad G H. Eadem ratione C D ad eius homologum H Κ erit, ut B C ad GH;&sic reliqua latera homologa proportionalia erunt. Vnde e eorum duplicate proportione, eedem er tit.
Dico figuram Rad figuram S habere rationem duplicatam lateris A B ad eius homologunt F G. Ab angulis qqualibus BAE, dc GF Mad angulos qquales oppositos coniungantur rect*lin AC, AD, FH, F Κ, diuidentes figuras R, &Si neque multa triangula , eo quod . figurae similes equE multa latera habent. Et quoniam circa angulos equales B. & G latera A B ad B C, & F G ad G H in eadem sunt ratione. e Ergo
triangula A B C, & F G H similia sunt; ideoque anguli L CA,ta H F qquales sunt, dc A C ad C B est, ut F H ad H G;Tamdemstriangulum A B C ad ei simile triangulum F G H, ha
bet duplicatam proportionem eius, quam habet latus A B, ad eius homologum F G. Eadem ratione quia circa squales angulos E, M latera sunt proportionalia, erit triangulum AE O ad ei simile F MX in duplicata proportione lateris D Ead eius homologum latus N M, seu duplicata lateris A B ad FG. Postea quia anguli B CD, GH k qquales sunt, dc ablati B C A& GH F aequales ostensi sunt; Ergo residui anguli A C D, & FH k qquales sunt, & erat A C ad C B, ut F H ad H G.& B C ad C Dest,ut G H ad H h. (propter similitudinem pol vetonorum . Ergo g ex compositione ordinata erit A C ad C D, ut F H ad FI Κ; & comprehendunt angulos quales A C D. & F H k; Igitur h triangulum A C D simile est triangulo F H h, i iv ad cum habet proportionem duplicatam eius, quam habet latus C D ad eius homologum H Naeu duplicatam lateris A B ad F G. Eadem ratione reliqua triangula, s si plura extiterint erunt inter se in duplicata ratione lateris A B ad F G : ideoque x omnia triangula antecedentia, simul sumpta, ad omnia consequentia triangula simul, id est fetura Raa Sin eadem ratione erit, atque unum triangulum A BC ad unum F G H, seu habebit eandem duplicatam proportionem cuiuslibet lateris BC ad eius homologum G H. Quod erat ostendendum.
210쪽
Constat ex demonstratione huius propositionis, quod similia polygona distribui possunt in similia triangula, det numero aequalia, dc homologa totis . Ostensa enim fuerunt in Polygono R triangula ABC, A CD, ADE similia trian. gulis F G H,F H LF k M in figura S,quq numero qqualia sunt, oc quodlibet triangulum ad suum correspondens tri aga luna esse ut Rad S.
Patet etiam Polygona similia, quorum homologa laterasiant inter sic qquasia, esse quoque equalia inter se. Et e contra, si polygona similia fuerint qqualia, esse latera homologa inter se equalia. Quia i cum habeant duplicatam rationem tr. homologorum Iaterum qualium, habebut rationem q qua- h litati cum duplicata ratio squalitatis estiuiat proportionem 28 y-qqualitatis.
similiterpatet, quod, si duorum sinalium polygonorum latera homologa habeant rationem , quam duo numeri habent, scilicet commensurabilem, siue non,exit primi polygoni ad secundum eadem proportio, quam habet quadratum lateris primi ad quadratum lateris secundi, ve, ut latus primum ad tertium p sepoithonat avi ut prior nun tium proportionalem . Nam e ptoportio prioris tertium proportionalem duplicata est rationis inrmini primi ad secundum, vel secundi ad tertium, seu duplicata est ratio, nis literum homologorum, cuius proportionii laterum (exhair propositione duplicata quoque est ratio similium poly- gynorum, Tel quadratorum, quae , s clim sint eqmangula, ae p. a squilalpra, erunt similia inter se. . . ii
erus ad ter oprep. II. termini ad Is.
, vi. Si latera homologa quatuor figurarum similium proportionalia fuerint: rectuinea ipsa inter se proportionalia quo-