장음표시 사용
211쪽
que erunt. Et si rectilinea similia suerint proportior Iia: erunt eoruni latera homologa proportionalia quoq uc. Fnt duae sigurq R,dc S sit miles inter se, pariterque duq figu- rq X,Y similes inter se: & sit primo A B, latus homologia m figure R, ad C D, latus homologum figures, in eadem rati ne,quam E F,latus homologia sigur*x, habet ad Iatus homo.logum G H ngure v. i ico figuram R ad S eandem rationem habere, quam X ad figuram T. Qopiam a figura Rad ei similem S duplicatam propo rtionem ha - Κ bet eius, quam habet latus AB ad eius homologum CD i, pariterque propor-C D tio figuri X ad ei similem Y duplicata est eius,quam latus E F habet ad homin logum o H. Sunt , vero proportiones - ins duplicatq equalium,vel earundem prinE M M portionum A B ad C D, atque E F ad GH e dem quoque, vel aequales. Ergo c proportio Iagurq R ad Seadem est, quq figuri X ad Y. Quod erat primum. Sit secundo figura R ad ei similem S, ut X ad ei similem Sguram Y, sintque A B, C DAE F,de G H latera homologa. Dico A B ad C D esse, ut E F ad G H. Quoniam proportiones mgurarum R ad ei similem S, dc X ad ei similem Y sunt cedem, seu qquales,& sunt a duplicats proportionum homologorum laterum. Ergo e earum subduplicatae, scilicet rationes laterum A B ad C D, atque E F ad G H eidem quoque sunt. Quare patet pro2ositum.
Hinc faci Ie deducitur artificium (datis tribus figuris rectrum Iineis, quarum diat similes inter se sint) imaeviendi quartam Proportionalem figuram similam relique. Si enim fuerint se gurae R, & S similes inter se, ct quclibet alia figura Xa dirit A B latvi prioris ad C D ei homologum latus alterius figur
212쪽
assm Manifestum est, quod, si inter duas figuras similes interponatur media proportionalis figura, que similis sit illis, erit eius latus medium quoque proportionale inter duo latera ei homologa extremarum figurarum, dc e contra si latus figu- rq intermediq similium figurarum medium proportionale fuerit inter duo ei homologa latera extremarumserit figura . illa media proportionalis inter extremas. Nam h Prima sigα- libi , .ra ad secundam ei similem,&secunda ad tertiam duplica- hvim. tam proportionem habet laterum homologorum; sed qua-do i ii inplq proportiones eqdem sunt,etiam eorum duplica- i coro II.; .is proportiones eaedem erunt,& contra. Ergo tam figura intermedia , quam eius Iatus vicem antecedentis iv consequentis obtinet. Et propterea medium proportionale crit inter extrema.
Parallelogramma circa qquales angulos, atque circa com--I. t munem diametrum constituta, latera in directum habentia, erunt inter se similia. Et si fuerint similia inter se, dc habeant latera homologa in directum posita, consistent circa communem diametrum. Atque duo parillelogramma complementi squalia erunt inter se. Duo parallelogramma A C, & E F constituta sint circa Communem diametrum D B G,circa angulos equales ABCα E B F, atque habeant latera homologa AB, BE in directui . Posita, pariterque latera CB, B P in directum. Dico primum parallelogramma AC, ec .-i- CE F si milia est e. Quoniam recta E G m. Uparallela ipsi D Abasi trianguli L, Bn,iecat duo elus laterar Igitur atria-
gulum A, B D sintile est triangulo EB G : Et propterea latera homologa B F CA B ad O E atque D ad E G, nec non D B ad B Gita eadesnratione erunt. Simili ratione quia F G paralleia est D C, basi trianguli C D B,erunt triangula C D B,G d F sinulta inter se,
ac viae,1as latera homologa C B ad B F, atque D C ad G FA a in
213쪽
in eadem ratione erunt eiusdem B D ad eandem B G. Ideoque o A B ad B E, AD ad E G, O C ad U F, atque C B ad B F in eadem
E, erit B A ad A D, ut B E ad E G, & sic reliqua omnia latera ueprop. - opposita. Quapropteris parallelogramma A C,& EF similia
Secundo sint parallelogramma AC. E F similia, & habbeant latera homologa A B, B E in directum posita, S sic Iotera C B, iv B Fin directum;& ducantur diametri D B.& E G. Dico D BG unam rectam esse. Quoniam in duobus triangu, Iis D C B, B E G parallela sunt latera D C. dc d E, cum A B, Big. Ein directum sint posite,&e A B parallela sit opposito lateri D C in parallelogrammo C A. Eadem ratione parallela sunt latera C B, & E G: stantqueFanguli O C B, & B E G equales, propter similitudinem figurarum. Ergog bales D B, B G parallele sunt inter se s dcb se tangunt in B. Ergo in directum sunt positae. Tertio Dico paralleIogramma compIementi N B &Boequalia esse inter se.Quoniam i circa angulos qquales ad ve licem E BC. &FB AIatera sunt reciproce proportionalia: Nam ut A B ad B E, ita ostensa est B ad B F. Ergo h parallelogramma N B,& B O squalia sunt Quae erant ostendenda MI. PROPOS. XX PROBL. I Ad datam rectam applicare parallelogra quale recti lineo dato, in dato angulo Sit figura rectilinea R S, & mclibet recta data A B, angulus datus C. Debet ad rectam AB applicari parallelogramnium equale rectilineo R S in angulo C. Distribuatur rectilia ne uni in triangula I & S, ct fiat a parallelograminum L E Ssquale triangulo It in angulo E equali ipsi C, pariterque fiat parallelogrammum G L aequale triangulo S. cuius angulus H cqualis sit eidem angulo C: Postea, fiat angulus D A Trquatis angulo C, &, e ut B A ad D i , ita fiat F h ad A M iv compleatur parallelogrammum A N: Similiter fiat, ut N M
214쪽
tur parallelogrammum M O. Quoniam a duo parallelogramma AN &D F circa angulos squales A, dc E habent latera reciProce proportionalia; igitur qqualia iunt inter se ; est vero triangulum Rfactum equale parallelogrammo D F. Igitur parallelogramnium A N equale est tria lo R. Rursus e quia proptur parallelas AB. MN est angialus externus N M N eqia alis imterno ,& opposito angulo A, estque angulus H aequaIis angulo C, siue A. Igitur duo anguli H, & Κ M N qquales sunt pterea duo parallelogramma AN &MO, idest parallelograminum N A B O aequale erit duobus triangulis R ' S, siue rectilineo dato: Estque applicatum ad rectam A B in angulo qquali ipsi dato C. Factum est ergo Problema.
Patet qua ratione ad datam rectam applicari debeat parallelograminum squale triangulo dato, in dato angulo. Applicatumg enim est ad rectam A B parallelograminum gA N qquale triangulo R in angulo A qquali angulo dato et butui. PROPOS. XXI. PROBL. V. Datis duobus polygonis tertium describere, quod simile sit ' viai, dc qquale reliquo datorum. Sint datq due figurq rectilineq R,& S. Debet construi figura , que qqualis sit figurae S , at similis sit figurq R. Super amp. xo. quolibet latere A B figurq Rfiata parallelograminum AD --flui.qquale spatio R in quolibet angulo B A C; & producta A B h p v, i s. in E fit per B D in angulo EBO, qui qualis erit interno, S. opposito B A C, fiat s parallelogrammum B F equale spatio '' S. Patet parallelogramma A D, de BFeste inter easden pa- d o lorallelas A E, C F. Postea I er duas rectas A B, & B h a fiat hvivi
215쪽
media proportionalis G H, super quam fiat e figura x similis ipsi R. ita ut G H siit latus homologum ipsi A B. Quoniam Rih X sunt figuri milites, Fhabebit R ad X duplicatam rationem eius, quam habet latus AB ad eius homologum G H; sedg A B ad B E duplicatam rationem habet eius, quam liabet A B ad mediam propo tionalem G H. Ergo, b ut A B ad B E ,
ita est figura R ad figuram X; sed irallelogrammuna A O ad paralle graminum B F est, ut basis A B ad sim B E ctim sint inter easdem parallelas Ergo figura Rad figuram Test, vi parallelograminum A D ad parallelo graminum d F; est vero parallelogrammum N Dequale figurq R, dc parallelograminum B F eqv ile spatio S. . Ergo figura R ad figuram X est, ut figura R ad figuram S: ideoque figura nix equalis est spatio S,ix facta fuit figura X similis ipsi R. Quaderat faciendum.
S c H O L I V AI. Tat et, quod propos et . lib. II. Euclidis pars est, ct comprehenditur in hac uniuersalisma propositione . Ibi enim precipitur, Pt quadratum ciatur aequale cuilibet patio rectiliveo; hic vero lue it quadratum, . me Potnonum euiuscunquespecies, describipotest figura X aequalis ipsis, di similis alteri
Em tD PROPOS. XXII. THEOR. XUII.
Si in circulo ducte fuerint duae rect( linee, se secantes: parallelogrammum rectangulum, comprehensum sub segmentis unius, equale erit ei. quod sub segmentis alterius conti- netur, rectangulo. Et si rectangula sub segmentis duarum rectarum, se secantium, qqualia fuerint: circuli peripheria Per quatuor terminos illarum transibit.
In circulo A B F due recte linee ductae A E B, & D E C se secent in E (siue ambe secent circuli peripheriam in duobus
216쪽
punctis, ut in prima, & secunda figura, siue una A EB eam secet in duobus punctis Adc B , altera vero recta DEC tangat ean- A, dem peripheriam in uno puncto a signis D,& C expressio, ut in tertia figura: siue ambecirculum tangant, ut in quarta figura . Di- c co parallelogran)mum rectangulum, contentum sub unius segmentis A Ei& E B, equale esse rectangulo, sub alterius segmentis D E ,& E C contento. Coniungam tur rectae , C, D , Quoniam duo anguli E DB,&E AC, equales stant, quia aut . sinat in eodem segmento C F B, ut in prima, & secunda figura, aut , angulus E O B continetura tangente E D,& secante B D, reliquus vero angulus E A C in alterno segmeto B F C existit, ut in tertia figura, aut e ambo anguli a tangentibus, & eadem secante contenti, aequales sunt ei, qui in alterno segmento B FC essici potest, ut in quarta figura; suntque anguli a AEC , & DE B qquales adverticem, vel unus, & idem .e Ergo duo triangula AEC,& DEB similia sunt Ideo, ut A E ad E C, ita est O Ead E B. Quapropter arallelogramum, rectangulum, sub prima,& quarta pr oportionalium contentum, id est rectangulum A E B, aequale erit rectangulo DE C,quod a secuda ,& tertia continetur. Secundo duq recte A E B, & D E C, se se cantes In E, essiciant rectangula A E B, & DE C qualia inter se;& per tria puncta A, C, Bducatura circuli peripneria. Dico eam transire per punctum O. Si enim hoc Verum non est, transeat per H citra, vel ultra punctum D. Ergo b rectangulum H E C equale erit rectangulo A E B; sed crat rectangulum DECequale eidem rectangulo A E B. Quyrerectangula bl E C, & DE C qqualia limi inter se, pars, dc totum; quod est impossib ile. Non ergo circuli periplaeria ACB transit per punctum H. Quapropter per pumcta A, B, C, D transibit. Ut erat propositum. Co
hex prima part buturo Disilired by Cooste
217쪽
EUCLIDIS RESTITUTI COROLLARIUM L
Manifestum est in primo casu si A B fuerit diameter circuisti,& C D perpendicularis ad A B,esse quadratum perpendicularis DE quale rectangulo A E B , sub segmentis diametrii pro . 5.ι contento.Nami diameter A B secat perpendicularem C D bi-k-3 , fariam in Elideoque x quadratum D E eouale erit rectangulo D EQ sed ex hac propositione rectangulum AE Bqquale est rectangulo DEC. Ergo quadratum ipsius D E equale estp rallelogrammo rectangulo A E B.
Constat in tertio casu, quod rectangulum A E B, sub stgmentis secantis contentum, squale est quadrato tangentis ED. Qivia signa C, D exprimunt unum punctum contactus; thi ' ideo i tectangulum C ED equale est quadrato unius equa- lium ED, vel EQ
Similiter eonstat in quarto casu, quod quadrata ta enistium A E, & E D ab eodem puncto cadentium equalia runt, ct tangentes AE, SED equales sunt , etiam g eo quod signa 'm, . . t . A, B unum punctum contactus exprimunt, & sic C, D. Quare M. i. rectangula M A E B, & C E D squalia sunt quadratis A E, S DE; & propterea sex coroll. a. prop. II. huius tangentes A E,
D E iquales erunt. COROLLARIUM IU.
Patet etiam, quod si quadratum E D equale fuerit rectangulo A E B, necessario E D tanget circulum in D s eo quod . .esseeun- recta E D non incidit in peripheriam circuli per A, B,& pulma. hane bu ctum C, seu D descripti,nisi in uno puncto tarum, quod is asilui propes, gnis D, C exprimitur. Qnareph D non secat, sed tangit cir
218쪽
Similiter constat ab eodem puncto externo non plures, quam duas rectas, tangentes circulum, duci posse, eos, quod pyra . c. ab externo puncto Eduae rectae tantummodo aequales inter lib. a. seduci possunt.
omnia rectangula, contenta sub fementis cuiusli- l H, bet anctarum mire summitate,di peripheriam,am; ch , Ipe cuicularem interceptis, aequalia inter se - TI In circulo ABC, euius diameter D ME A ducatur a IPE perpendis aris ad diamenrum D A, eam seram ira E ; per verticem- -
219쪽
B AH squale erit rectangulo DAE. Et pre-pterea omnia rectangula B AH, C A G , in DA E squalia erum inter se. Quod erat probam
Datis duabus rectis lineis, in altera earum punctum intra , aut extra reperire is, quod effetat duo segmenta, inter que reliqua sit media proportionalis. Oportet autem medietatem recte lines,1ntra quam punctum signari debet, non minorem esse reliqua . Sint dum recti Iinet AB &C debet reperiri punctum intra rectam lineam A B, ut in primo casu, vel extra eam in directum vi in secundo, ita ut recta linea C sit media proportionalis inter facta segmenta; sed in primo casu oportet, ut semissis ipsius A B non minor fit, qua C. Super diametro A E Bfiat circulus A E B, cuius centrum G; ih a a termino B ducatur B D perpendicularis ad A B, seceturque , B D squalis ipsi C. Postea a termino D c in primo casu ducatur c recta linea D E parallela ipsi A B,quq non cadet extra circulum eo quod semissis ipsius A B, idest radius, seu altitudo semicirculi A Bsupponitur qqualis, aut maior qua C ieu qua perpedicularis BD; & propterea DE tanget,aut secabit circulii in E: at in secindo casu coniungatur recta DG ad centrum circuli, secans peripheriam eius in E. Deinde . secetur recta B H qqualis ipsi D E, coniunganturque rect* E H, D H. Quoniam in duobus triangulis E D H, & B H O facta sunt duo latera B H, & D Eequalia, atque latus H Dest commune, & anguli comprehensi E DH, & b H D aequalcs sunt inter so( eo quod in primo casti e sunt alte ni in parallelis D E,de B A;in secundo vero casu Isunt ad basim trianguli iso Icelii DC H; propterea quod radiis equalibus G B, G E adduntur equales B H, E D . Igitu rae ba sis Eri eo ualis est B D, seu C; pariterque angulus DEH equalis
cli angulo D B H rectos ideoque b H h perpendicularis est ad D E,
220쪽
VE: & propterea in primo casui E Hlecat perpendiculariter is est iT. quoque diametrum B A equi distantem ipsi D E; at in secun- i . clo casu h H E continget circulum in puncto F. Igitur i pares ' ' lelograminum rectangulum A H B equale est quadrato rectqlinee H E;& ideo mH E, seu et aequalis C media proportiona- p lis erat inter tegmenta A H, & H B. Vt propositum fuerat. 5s,ui.
Si datae fuerint duq rcctq lineae, quarum una sit media, reliqua vero equalis sit aggregato extremarum trium proportionalium; traque extrema reperiri potest ex primo casu h ius propositionIS.
Constat etiam, quod data recta linea secari pote st, urr ctangulum iub eius segmentis contentum equale sit dato quadrato sied oportet , ut latus dati quadrati non sit maius, quam semissis datq rectae lineae. Nam in primo casu huius propositionis posita fuit C non maior, quam semissis A Bidcfactum fuit rectangulum A H B qquale quadrato ipsius C.
Patet, quod, si duarum linearum rectarum una sit media, reliqua vero sit differentia extremarum trium proportion lium; utraque extrema reperiri potest ex secundo casuhuius proposithom, .
Constat etiam, quod data recta linea produci potest ut rectangulum, excedens sub producta, & eius productione coim tentum, equale sit cuilibet dato quadrato. Factum enim fuit rectangulum A H Bequale quadrato cuiuslibet rectit C da re, in Iecundo calii huius propositionis.
Ad datam rectam lineam dato rectilineo spatio, equa Ie pM Bb rati