장음표시 사용
221쪽
rallelograminum applicare deficiens , aut excedens parallelogrammo, ouod sunt te sit alteri dato: oportet autem quando parallelogrammiam deficiens applicandum est, datum spatium maius non esse parallelogrammo, super
dimidia descripto, quod simile sit parallelogrammo dato. Sit datum quodlibet spatium rectilineum C, dc parallelogrammum D, atque recta linea A B;& super eius medietate E B fiat a parallelogrammum i F simile ipsi D. Debet ad rectam A B applicari parallelograminum equale spatio C, ivdeficiens(in primo casu is aut excedens sin secundo casu)parallelogrammo , quod simile sit ipsi D: sed necesse est, in primo calii, vi spatium C non sit maius parallelogrammo EF. Fiat , parallelogrammum R simile ipsi E F. & equale spatio C, fitque N Seius latus homologum ipsi E B: Et Quia in V te prin o casu, ponitur spatium C , seu APIT U I et equale parallelogrammum R non maius parallelogrammo E F. e Ergo latus Κ S equale aut minus erit lat re ei homologo h B, scilicet medicitate ipsius A B. Quare recta A B a se. cari potest in H, sicuti in secundo ch
--a su e produci potest, ut rectangulum
A H b squale sit quadrato recte N S. Postea a puncto H ducatur IH N parallela ipsi F B. que lecabitur ga GB diametro parallelogrammi in N, &per N δucatur bON S parallela ipsi A B, extendaturque quo utque conueniat i cum A S, Par tela ipsi B O F, in S. Et quoniam h quadratum ex H B a i rectangulum B IH A est, ut B H ad H A cum habeant commu-Nem altitudinem H B s est quei parallelogrammum H Oad parallelogrammum S H, ut basis B H ad b. sim H A . in Ergo parallelogrammum H O ad parallelogran in una b H est , ut quadratum ex BH ad rectangulum B H A, seu is ad ei Pi quale quadratum recte N S. Est autem I parallelo pronum una E F ad parallel,
222쪽
LIBER IU. Iosque adratum rect* ΚS, ita est parallelogrammum E Fad parallelogrammum R, seuIad huic qquale spatium C. t Igitur sprop. I. I. sparallelogrammum E F eandem rationem habet ad paralle- t prpp rlogrammum S H, atque ad spatium C ideoque u applicatum v p O, P tr allelograminum S H equale est spatio dato C; u atque de - ficit in primo casu, & excedit in secundo in figura H O, que similis est ipsi E F, seu e parallelogrammo dato D. Quod erat fi .. F b.
T . o. v I. Propositam rectam lineam terminatam secare in duo segmenta, qta rum unum medium proportionale sit inter totam, dc reliquum segmentum. Vocetur autem recta, sic secta, secundum extremam, & mediam rationem diuisa. Data recta A B secari debet, vi proponitur. a producatur astra'. 3.
recta A B in C,ut ipsa A B sit media proportionalis inter pro- ,rum ut ductam A C, eiusque productionem B C; sece turque , B D hy v I equalis BC: erit C A ad A But AB ad 6 C, seu e ad ei equalem B D: de B i . - 'diuidendo a C B, sque ei aequalis DB - - - - dyro' at
pterea segmentum B D erit medium I Proportionale inter totam , B reliquumque eius segmentiam A D. Quod erat faciendum.U cetur recta A B hac ratione secta in D, diuisa secundum m
Patet, quod si recta linea secta fuerit extrema. 3c media rat iove, atq; ex maiori erus segmento detrahatur legmentum amnus: erit malus segmentum sectum extrema. & media ratione, cuius segmentum maius est illa,que prioris linee minus segimentum erat, facta en m fuit tota C A ad A B, ut AB ad B C. & ideo ex h ic propositione recta A C secta erit in B extrema, media rationet, cuiuq Ninu, segmentum erit BC: postea secta fuit R D aequalis ipsi B C: Sc ostensa fuit recta A BIcctae extrema dc media ratione in D. Bb a PRO.
223쪽
Si duarum rectarum linearum, in eadem ratione diu i Stirum, una sit tecta extrema dc media ratione; altera quoque similiter secta erit. Et si duo recte, singule sect* suerint extrema, ct media ratione ambe in clidei rationibus secte
Sit A B sectain E cxtrema, ct mete a ratione, cuius maius segmentum A E; & ut B A ad A E, ita sit D C ad C F. Dico - C. D in F sectam quoque esse extre-- i-l-- B ma, & media ratione. Quoniam BA ad A E est, ut D C ad C F : Ergo F D diuidendo a B E ad E A . est ut D FO G TC ad FC;&inuertendo, erit A E ad E B, ut C Fad F D. Et quia A B secta est in E extrema, & media ratione: Ereo e A E ad E B est, ut B A ad AE; sed ut B A ad A E, ita crat D C ad C F. a Ergo D C ad C F est, ut A E ad E B: fuit autem, ut A E ad h B, ita C Fad F D: Ergo, e vi D C ad C F, ita cst C Fad FD. ideoque
C D in F secatur extrema, & media ratione. Secundo sint scctq due recte A B; sc C D ambe extrema, &media ratione in E,& F. Dico cas secari proportionaliter. Si hoc verum non est,sit C G maior,vel minor, quam D C ad C F, ut B A ad A E. Ergo, ut dictum st, sicuti A B in E , ita erit G C in F secta extrema, & mcdia ratione; ideoque g rectangulum F G C aequale erit quadrato mediae proportionalis C F s sed ex hypothesi C F erat media proportionalis inter F D, & C D. Ergo b parallelogrammum rectangulu mFDCqquale est quadrato eiu idem C F. Quare parallerogramma rectangula F G C; & F D Cequalia inter se erunt, pars, & totum, quod est impossibile. Non ergo aliqua G C maior, vel minor, quam D C habere potest ad C b eandem rationem, quam B A ad A E, ideooue ipsa met D C ad C F erit, ut B Aad AE. Et diuidendo, BE ad E A erit, ut D F ad FC,&km-ncrtendo A E ad E B erit, ut C F ad F D. Quare patet propositum
224쪽
XHI. Ex his duabus propositionibus deducitiir, quod, si alicui recte linee secundum extremam de mediam rationem diuise, addatur recta equalis maiori segmento: composita linea secundum extremam, dc mediam rationem secatur, & maius segmentum est, quae a principio recta linea. nam in propositioneas. secta fuit AB in Dextrema media ratione,&addita B C aequali maiori segmento B D, erat B D, seu et ae-galis C B ad B A ut A D ad D B: unde tam A B in D, quam: A in B in eadem ratione secantur 3 & propterea ex hac amyropositione recta C A in B extremo, de media ratione scet itur, sicuti A B in D extrema, & media ratione secta erat. Finis Libri quarti . Lb
225쪽
Figurx rectilinea inscribi in circulo dicitur, cum singuli eius anguli tangunt circuli peripheriam. Et circunscribi dicitur circulo, cum singvia figure latera tangunt circuli perispheriam,
E contra circulus inscribi dicitur in figura rectilinea, cum circuli peripheria tangit singula latera figurq. Et circun- scribi dicitur, cum circuli peripheria tangit omnes angulos figurS.
Vt rectilinea figura ABC D dicitur inferipta ei eula, cuius radius A E, quando singuli anguli A, B, C, D tangunt peripheriam circuli. Et figura F N d, citur circunscripta eidem, quando singula eius latera F G, G N,N Κ, Κ F tangunt peripheriain circuli impunctis B, C, D, A.
E contra iisdem positis eirculas, radis E A, erit inscriptus in figura FGN R, in circunscriptus figura ABC D. rchiisedis AXIO M A.
v v S a terminis rect c linee, subtendentis arcum alicuius circuli , ducantur duq recte line , concurrentes extra circulum, dc tote extra ipsum positae, vel simili modo ducatur una curua linea: erunt lineae coprqhendentes maiores peripheria comprehensa; subtensa vero recta linea minor erit e dem peripheria, seu curua. Sie
226쪽
Sit enim eirculi peripheria A E c, subten a vero recta AC, re curua A B C, atque duae tangentes circulum A D, C D, concurrentes in D, di extraocirculum cadentes. Manifestum es rectam A C misnore me peripheria in E C,nec non curua A B c,curecta sit omnium breui a : ' A E C minorem esse quam A B c, O AB C minorem esse, quam ADC . eo quod AEC minas recedit a rectitudinet , quam ABC, cthsc minus, quam ADC.
A d datam rectam lineam, atque ad eius punctum, angulum describere, qui quinta pars fit quatuor rectorum. Ad datam rectam A B atque ad eius punctum B angulus efffici debet,qui sit quinta pars quatuor rectorum. Secetur a re- a prap. s, cta Iinea A B extrema,ix media ratione in C,cuius maiuS segmentum sit A C;& centro A, interuallo A B circulus B D describatur, in quo applicetur , b recta BD qqualis maiori segmento A C. Dico angulum A B D esse quae situm. Iungantur . recte A D,& C D. Quoniam c tres rectat B A, A C, & C B pro--.. portionales sui. Sc est B D qqualis AC, atq; radius A D squalis o prep. s. A B. Ergo in triangulis A B D, & D B C circa 'quales angu- hi. i. Ios A D B, & B. subtensos a radiis aequalibus, est A B, seu ei aequalis , D ad D B, ut D B ad B C. Quare e angulus C D B ae- τ preM. qualis est angulo A; & est A C ad C B, ut B A ad A C, seu ut ' A D ad O B: Ergofangulus A D B, sic uelqqualis B,duplus est anguli C D B, seu anguli A . Ergo qualium partium angulus ' Aest una, erit B duae partes,&D pariter duq. Quare anguli is rapi a. A, B, dc D, fimul sumpti,(quigequales sunt duobus anguliS L h. i. rectis aequales erunt quinque angulis, quorum quilibet qqualis est ipsi A;ideoque ansultis A quinta pars erit duorum rectorum. Sed quam proportionem duplam habet angulus Bad angulum A, eandem habent quatuor recti ad duos rectos: Et permutando iv angulus B ad quatuor rectos erit, ut angulus A ad duos rectos; sed angulus A quinta pars est duorum rectorum. Ergo, angulus B quinta pars est quatuor i D 8 I srectorum. Vt erat propositum. COM
227쪽
Hinc patet, qua ratione triangulum ita scelium colasti tui debeat, in quo quilibet angulorum ad basin duplus sit anguli verticalis .
PROPOS. II. PROBL. II. Angulum reperire, qui sit quintadecima pars quatuor recto,
Estici debet angulus, qui sit una pars, earum, qualium qua tuor recti in quindecim partes qquales diuidutur. Fiat a angu Ius A B C duplus unius anguli trianguli qqui lateri. Et quia, ut duo recti ad quatuor rectos, ita est angulus unita S triangu-Ii equilateri ad angulum ABC, utrique enim rationeS sunt, rubdupl* ; permutando, but duo rect i ad unum angulum trianguli squilateri, ita stat quatuor recti ad angulum A BC: est vero unus angulus trianguli aequi lateri tertia pars duorum rectorum: Ergo angulus ABC tertia pars est quatuor rectorum. Fiat rursus angulus L. B D tertia pars quatuor aequalis ipsi A B C. Et quia e anguli omnes circa punctum B aequales sunt quatuor rectis, suntq; duo anguli A B C, C B i duq tertie partes quatuor rector ergo reliquus angulus ABD tertia pars quina que erit quatuor rectoria Postea fiantranguli
3 R B E,E B F, F B G, G B H qui singuli aequales
' i . sint quintae parti quatuor rectorum Terit, ut antea, quintus angulus H B A equalis prioribus, & quinta pars quatuor rectorum. Et
G, cum uterq; cqualis sit duabus quuitis quatuor rectorum: Suntque duo anetuli A B C, S A B O aequales quoque . Ergo residui anguli e BF ct DBG equales crunt. Deinde quia ab equalibus angulis A C B, C B I aut e nubtur equa es anguli AB E, MFB G: Ergo residuus angillus EB C cqualis est duobus residuis angulis C B F, Sc G D O; sitiit vero ostensi anguli C B F, & G B D equales inter se. Ergo aibgtilus E B C duplus est anguli C B F & totus angulus E R Striplus Ah anguli C B F. Eadem ratione tam angulus A DF,
228쪽
quam A B H, quam H B G, dc quam F B G equalis est triplo anguli C B F. Quare omnes anguli F B E, E B A, A B H, H B
G, GB F, simul ii impii, quinquies suminam trium angulorum qqualium uni C B F , id in decies de quinquies angu luna CR F continebunt. Et propterea anguius C BF, decies dc quinquies sumptus,qquatur angulis omnibus circa punctum g cm . r. B, idesta quatuor rectis. Quod erat faciendum. prep. is. L
Intra datum circulum triangulum dato triangulo aequi angulum, dc polygonum Muilaterum , dc mutangulum trium, uatuor, quinque, dc quindecim laterum , dc quodlibet iud, quod ex continua duplicatione laterum eorundem Polygonorum consurgit, inscribere. Vocentur autem huiusmodi figurae aequilaterae , dc aequiangulae: figurae Regu
In circulo B C D , cui tig radius A B inscribendae sunt figuri imperatae. Et primo triangulum quod sit aequiangulum dato β' triangulo Z X T. Abscindatur a circuli segmentum BDC, b . capieris angulta in aequalemipsi angulo V, & iungatur recta B hc Z C,& in opposita paric abscindatur b segmentum BC D, capiens angulum aequalem angulo X, dc coniungantur rectae B D, de C D. Patet angulum D equalem esse angulo Y, dc angulum C aequalem esse ipsi X : ideoqtaec triangulum inscriptum circulo B C D qquiangulum erit triangulo dato Z X Y Sectando pro triangulo aequilatero. dc aequiangulo diuidentur, sui in praecedenti factum est omnes ad centrum, idest quator recti, in tres angulos B A C, C A D, & D A B qui singuli sint aequales tertiae parti quatuor d p o rectoriam Pro quadrato vero fiant a quatuor anguli ad cen- trum BAC, CA D, D AE,&E AB, singuli squales quarte parti quatuor rectorum, seu recti; Atque pro pentacono re v
singuli Cquales quinte parti quatuor rectoruimTandem pro h tu . quin tici agono ad centrum fiantrauindecim anguli B A C,
CAD, D A E,E AF, &c. singuli aequales decimaequintae. C c parti
229쪽
parti quatuor rectorum. Manifest ina est in qualibet ex his diuisionibus angulos circa centrum distribui in partes equales. At in omnibus producantur radii A v. A C, AD, &c. usque ad circuli periphetiam in punctis B, C, D, &c. de coniungantur rectet BC, CD, D E.&c. quousque compla antur figurae . Ostendendum est omnia praedicta potvgona esse equi latera,& equi angula. Oniam omnes anguli BAC, CA ii &c. verticales ad centrum Aequales facti sunt. & radii omnes sunt pariter quales. Ergog omnia triangula is dicetia BAC CAD, DAE,&c. sunt silaniliter equalia, qque alta, & equiangula inter se, ct eorum bases BC, C io, DE, &c. COHales erunt. Quare figura BC D E F dcc. equi latera erit. Et quia anguli omnes ad bases istosceliuin, ut sunt BCA. ACD,
Z I C L A A is E, dcc. cquales ostens lunt C Ergo bini binis qquales erunt sideoque /l angulus B C D qqualis erit angulo C D E, -& sic reliqui omnes. Quare quelibet figu
E gula est, Ac aequilatera, Postea patet,quod si in qualibet ex dictis figuris dividantur
omnes, anguli ad centrum bifariam,& rursus bifariam. Ac sic ulterius, atque in peripheria circuli rectae, subtendentes aequales angulos ad centrum, ducantur quousque figurae coimpleantur , dc scriptae erunt aliae figurae aequilaterae, & aequiam gulae ; dc sic in triangulo aequi latero ex bibartita diuisione trium angulo-lorum BAC, C A D. L, AB coniti seget figura hexagona , secundo figura duodecim laterum, tertio figura viginti quatuor laterii & sic ulterius in quadrato vero ex bipartita diuisione angulorum ad centiu colurgit.figura octo laterum,postea sexdecim, postea duoriun dc triginta, &c. At in pentagono consurgit primo figura decem laterum, postea vi inti,
230쪽
postea quadraginta laterum,dcc.Tandem in quintidecagono consurgit figura triginta laterum , postea sexaginta , &e. quae omnes, ut prius Cuendentur aequilaterae , & aequiangulae, x tcst imperatum. Vocentur autem liuiusmodi sigurae aequilat rae, dc aequiangulae, Regulares si gute.
Manifestum est rectas lineas omnes, quae ducuntur acen tro circuli ad angulos polygoni regularis, circulo inscripti, aequales csse inter se, di bifariam secare angulos figurae et eo quod radii sunt eiusdem circ uli.
Rursus recte omnes, quae a circuli centro perpendiculai iter ad latera polygoni ducuntur,equales sunt inter se;eo quod in circulo polygoni latera, equalia inter se, id istant squalitera centro ; & propterea centrum circuli erit quoque centrum polygoni inscripti. Vocentur autem huiusmodi perpendicularcs Rad ij figure regularis.
Constat etiam polygonum regulare distribui in tot triaim fula isoscclia aequiangula.& aequilatera inter se, verticem ha-entia in centro circula quot sunt polygoni latera.
Manifestum est etiam quodlibet polygonum equilaterum, circulo inscriptum, este quoque qquiangulum. Nam h latera squalia auferunt peripherias equales ideoque, sit btendunt anguloS Cquales ad centrum dc propterea, ut in hac propositionc dictum cst, efficiunt figuram squiangulam. SCHOLIUM. Facile deducitur, quod latus hexagoni regularis aequale est radio circuli,in quo figura in cripta est.Nam he xagonum dis icitur m in ex triangulia hoscesia, verticem habentia in centro circuli, o figura , dies qui-C c a libet