장음표시 사용
231쪽
libet angulus ad centrum tertia pars duorum rectorum.eo qhod sex squales anguli ad eentrum suatuor rectis sunt aequales. Ergo n reliqui duo anguli ad basim cuiuslibet trianguli eo celis aequales stini duabus tertiis duorum rectorum. Et propterea o quilibet rartim tertia pars erit duoruUrectorum. Quare triangulum quodlibet corum, in quae disrabhitur hexagonum in equi angulum: ideoque P effluaterum erit . di propterea latus trianguli, seu circuli radius, aqualis erit basi,seu lateri hexagoni. Notandum est non esse adhuc repertam artem describendi intra cirem tam polrionum regulare eui curq e nultitudinis laterum, ut heptet ni, nonecagoni, undecagoni, dic. di proprema vocabimus pol gona r
gularia, superius exposita s breuitaris gratia Polygona ret laria nota descriptionis.
Circulo dato triangulum dato triangulo aequi angulum ,&quodlibet polygonum regulare note descriptionis circum
Sit datus circulus ABC, cuius centrum F. debet circa ip-
morali nn amulagulum dato triangulo Z X T& quodlibet polygonum regulare note descriptionis. Im cribatur a triangulum ABC qquiangulum ipta triangulo ZXY, aut polygonum tot laterum, quot petuntur 3 & a centro F ducantur , perpendiculares P O, F R, F S, &c. super latera A B, B C, &c. que secent peripheriam in punctis O R, S, &c. & per hec puncta ducantur c circulum tangentes, H G, G Κ.&c. quousque compleantur figurq circunscript scumq: eisdem tangentibus . perpendiculares sint ijdem radii e ergo A B,&GH parallela: crunt, pariterque B c, H Κ, de sic reli quae qqui distabunt: ideoque fessicient ansulum G H Κ equa lem angulo A B C. Et similiter angulus Gostendetur equa lis angulo A. & angulus L equalis ostendetur angulo C , , sic reliqui. Quare triangulum, circunscriptum circulo GH Κ, equi angulum est triangulo dato TXY,&figura circunscripta G IH Κ N equi angula est ; cum elus anguli equales sint an
gulis figurq regularis inscriptae ABCE.' Postea in polygonis, ductis rectis F G, & F A,quia in trian
232쪽
LIBER U. 2I gulis G OF,&VGF duo glatera GO,&GV aequalia sunt, cum sint latera equalium quadratorum ex tangentibus, ab eodem puncto ductis, di radij F O, F V, inter se equales, atque latus F G commune: Ergo b anguli OGF,&VGF sunt inter se cquales; Se directa F A diuidit quoque bifariam figure inscriptet angulum B A E, & est angulus B A E squalis ostensias angulo H G N: Ergo eorum semisses, scilicet anguli
H G F, dc B A F oquales sunt estque H G parallela ipsi B A: Ergo h G Fparallela est ipsi A F, dcconueniunt in F : . Ergo una & eadem recta linea est F A G , ex centro perangulos utriusque figurae transiens. Eadem ratione recte linee erunt
angulos utriusque figi rq extenduntur. Deinde
quia B A parallela est HG, basi trianguli H F G: Erco M A B ad G H est, ut B F ad F
H. Eadem ratione B C ad H Κ est, ut eadem B F ad eandem F H; ideoque, n ut B A ad H G, ita est B C ad H Κ: & sunt antecedentes B A, & h C qquales in polygono inscripto regulari . Ergo o de consequentes H G S H Κ squales sunt inter se. Eadem ratione reli a latera L M, M N, N G squalia erunt inter se, & ipsis G H, H Κ. Quare figura G H Κ N qquilatera est; sed prius erat equ iangula. Ergo figura circunscripta GH Κ N regularis est. Quod erat faciendum.
Patet etiam, quod rects omnes extenm a centro circuli ad angulos figure revularis eircunscript q. diuidiant angulos figure bifariam . Ostensum enim fuit rectam F G secare angulum figure H G N bifariam.
233쪽
ret 6 E V CLIDIS RESTITUTI COROILARIUM IL
Parct, quod, si omnes anguli ad centrum circuli, vel eius peripheria distributa suerit in quotlibet partes squales ternario plures, & recte puncta das is uin coniungentes, intra circulum ducantur, nec non recty circulum tangentes parallele rectis coniunctis producantu r: descripta erunt duo polygona regularia parium laterum similia inter se, alterum circunscriptum, alterum Vero circulo inscriptum . Eritque circunscriptum ad inscriptum, ut quadratum radii unius ad quadratum radii alterius : de ut quadratum rects linee ex centro,
usque ad angulum circunscript* figurq ad quadratum radii circuli . Duciq enim suerunt in hac propc sitione tangentes
C H, H Κ,&c. parallelq lateribus AB, B C ,&c. & ostenta fuit figura G HM qquiangula figurq A B C D, di latera circa
angulos equales in eadem proportione squalitatis & rursus latus H G ad A B fuit, ut G F ad circuli radium F A, vel ut ra-s p v. ig. dius O F ad radium F P. Et proptereassuper his lateribus pro- lib. porrisonalibus erunt figurq si miles, ct similiter positc G H ΚM ad ABCD, in eadem ratione, quam habet quadratum ex F G ad quadratum radii F A, vel ut quadratum ex o F ad quadratum ex F P. Vocentur autem huiu unodi figurs i. brcuithris gratia o circulo adscripte .s c II O L I V M. Duo po gona regularia pariam lucrum uia sunt inter se.
Habeant duo pol gona regularia in B D , ct G H N squales multitu-t Scbct. h. dines laterum. Dico post na esse inter se ilia. uuia i omnes anguli Ir , 3- interni, tam polygoni in B D, quam postgoni G H N iunt aequales tot hianis rectis cilcmptis quatuor quot sunt eius latera Suntqtie ex Opoth i . . si tot latera in quot in alteropobgotio. Ergo u omnes anguli polygos hi ABD, simul umpti: equales sunt Oiavibus angulis po/ygoni G H N, in simul sumptis rusum s Pero Prad.ctorum anguloriam aenoquoque polygono regulari distributae sunt in angulos aquales ccum regulare pol num sit equiangulum : Ergo quilibet angulus in polygoni in B D squalis en chilibet angulo G pol goni GIIN. Cudique circa praedictos angulos di l .p. i . c quales larem tabesi ut carecin rationem squalitatis ccum regulare po-
234쪽
Circa quodlibet polygonum regulare circulum describere. Sit quodlibet potvgonum regulare A B D. Debet circa ipsum describi circulus. Ducta recta A C, circa triangulum A BC, describ.itur a circulus, cuius centrum Osdc coniunga- a Sch prpp. tur recta linea B D. Et quia in duobus triangulis A B c, dc D iψ C B duo latera AB & DC equalia linit, cuin sint latera regula i is figurae, dilatus is C est commune,atque anguli A B L. &D C B qquales sunt inter se: Ergo b anguli B A C , iSt C D B ae- U T ' quales sunt inter se, dc insistuns super eadent recta BC, ad easdem partes constituti Ergo . circun- A ferentia circuli cuius centrum O,per tria puncta A, b dc C ducta, transibit quoque per quartum punctum D. Eadem ratione Esperipheria circuli, cuius centrum O, quetransit per tria puncta B, C dc D transibit quoq; per punctum E, dc sic per reliqua. Lare a circuluS, radio O A descriptus, d D s.
Patet idem punctum Oesse centrum circuli , dc polygoni regulariS, In eo inscripti,punctum intermedium eque renaotum ab omnibus angulis eius. -
Intra triangulum , dc intra quodlibet polygonum regulare circulum micribere CS: t quodlibet triangulum aut potvgonum regulare A BC.D: Iet micribi circulus in his figuris. Er primo in triangulo secentur a anguli A, dc B bifariam a rectis A D, dc B D, quae apraP.M. i
235쪽
concurrent intra triangulum,ut in D, b a quo cadant perpendiculares DE, DF,& OG super trianguli latera. Quoniam in triangulis D B F. dc D B E duo anguli ad B equales facti sunt, & duo anguli ad E dc F sunt recti cquales quoque, atque latus D B est commune,&oppositum rectis angulis: Elgoc DF aequa-P. m C lis est ipsi DE. Eadem ratione in triangulis DEA ,& DG A , erunt latera D G. & D E qqualia inter se. Quare qquale s erunt tres perpendiculares D F, D E, dc D Ginter se, quq sunt distantie puncti D a lateribus trianguli. Secundo in polygono regulari circunscribatur a circulus, cuius centrum D . Et quia in circulo A B N rectar lineae applicat A B, B C, C N, &c. sunt inter se squales: ergo e equaliter distant a centro D; ideoque duct* perpendiculares D G,DE, D F, dcc. squales erunt inter se, ut aequales erant in triangulo. Et centro D radio D E, descripto circulo E F G, transibit necessario per puncta F, G, &c. & continget latera ligurarum in punctis E, F, G, &C. eo quod radi j D E, D F, D G, &c. perpen- H diculares sunt ad latera A B, b C, &c. Quare a circulus E F G inscriptus est mgurae ABC. Quod erat faciendum .
Patet idem punctum D esse centrum circuli, atque pulmctu eque remotum a lateribus polygoni regularis circulo inscriPt1.
In pentagono regulari duae recte lineae subtendentes angulosngurs te mutuo secant extrema,& media ratione; de maiora iliarum segmenta squalia erunt pentagoni lateri. Sit pentagonum regulare A B D, & duc rectar linea: A C, BE subtendant angulos figure A BC&BAE, dc se secent in H. Dico tam C ri, quam E D secari in H extrema, de media ratione, & earum maiora tegmenta C H, & E H aequalia esse cuili-
236쪽
, LIBER U. . aos cuilibet lateri pentagoni B A. Describatur a circulus A B DCirca pentagonum. Quoniam , in quadrilatero B E D C, circulo inscripto duo oppositi anguli C B E, & D, simul ivinpti,qquales sunt duobus rectis: estque e angulus B C D squalis angulo D in resulari pentagono: Ergo duo anguli E B C, ct BC D, simul iumpti, qquales sunt duobus rectis; ideoque a dus rect* B E, & C D sunt inter se parallelq. Eadem ratione C A , di D E parallelq iunt. Quare vi CHED GParallelograminum erit, in quo latera Topposita C H,& D E qqualia erunt, & sic H E ipsi C D, vel cuilibet B A qquale eric Postea quia ansuli B A C, & A E B inistunt peripneriis aequalihus B C, & A B: ergo F anguli B A C, & A E B qquales sunt; estque angulus A B E communis: Ergo a triangula E B A , & A B H si in ilia sunt, ideoque E B ad B A erit, ut A B ad B H: fuit autem ostensia H E equalis ipsi B A. Ergo b tota B E ad H E est, ut HE ad H B; ideoquc B E lecta est in extrema, Ac media ratione , cuius maius segmentum H E qquale est ipsi B A lateri pentagoni . idem concludetur de subtensa C A. Quare patet Propositum. s c Η O L I U M.
Si in pentagono tres recty, angulos subtendentes, squales fuerint, edi ntermedia secuerit coctialcrales extrema, ct media rationc,quarum m
iora segmenta ad ea dem partes aqualia snt basi, atque utrinque reli quat portiones squales: erit tale pentagovum regulare. In pentagono ABC DE sint tres subtenis C A, B E, A D aequalis,di subim a B E secet in C, AD in N, O cxtrema di mcdia ratione, ut maiora , egmenta C N, DO Hua a sint c D, atque EO , BN snt squales. Dico pentagonum in B D regulare es'. Quoniam in triangulo AC D I-s ceuo proprer squalitatem laterum AC, AD p. es basis C O squaιis maiori emento C N lat
ris in C extrema, in mcdia ratione diuis. Emgo , νί in propomione prima huius osten um est, erit angvisa AC D au us anguli verticalis C, D. Eadem ratione angulus A DC duplus erit anguli C AD. orcuscribatur a rum circulustriangulo A C D, dic lacentur anguli AC D,
237쪽
peripheria in punctis Z, x; di coniungantur rccta x, x C, D Z, Edi xZ, patet angulos C A D, C D X,x D C Z, Z C D ad heriph d cor ut l. riam circuli aequales esse, di ideo d peripherae abscisia , em e recta su prep s. tensa aquales erunt: unde f pentagonum A XC D Z regulare erit, g imi subtensa x Z aequalis erit ipsis .AC, AD, ideoque ipsi S E ; hsiccabitqueg cor tu' bubtentas AC, AD, di bicissim ab eis secabitur extrema, di media ra-f d. . - r one , di maiora tegmenta equalia erunt ipse C D , di inter ea cir i ideos.',uiui minorasegmenta x N, O Z equalia erunt; sed ex Dpothes A E similiter g cor. prop. secabat ealdem subtentas in C, A D in N, O. Ergo x Z transi per ptinctas 3 ib. . N, O ; di propterea ablata portione N O communiter ab squalitas B E, b p v. r. XZ erunt duae residue BN, OE equales duabus residuis X N, OZ smis l
sumptis , di BN sem sis priorum equalis erit x N semis posteriorum:' si quare punctum B eadet in x. Et eadem ratione punctum E eadet in Z ' dinde Mura ABD E, O A X D Z sibi mi tuo . ongruent; in ideo figura A BcD E regularis quoque erit. Quod erat, era.
er '. PROPOS. VIII. THEOR. I L
Si figurarum regularium eodem circulo inscriptarum lateri hexagoni addatur, vel tollatur, latus decagoni: efficietur recta linea extrema, dc media ratione secta, maiusque coimpositq segmentum erit hexagoni latus, & maius segmentum diminute erit latus decagoni. In circulo A B C sit recta linea A B latus decagoni regularis, dc ei in directum addatur B E qqualis radio eiusdem cucu- a se, pr./. li, & proinde a qqualis lateri hexagoni regularis eidem circu-3. humi. I o incriptibilis. Dico rectam A E secari in B extrema, & media ratione, cuius maius segmentum erit E B. Ducantur recte byev. y, cx centro D A, D B, & Li E. Quoniam 5 angulus ad centrum ' A D B, cui subtenditur A B latus decagoni regularis, decima pars est: quatuor rectorum, siue quinta pars duorum r ctorum, santque e tres anguli trianguli istoscelii A D B equales duobus rectis: Ergo quilibet angulus D B A ad basim qqualis d, o est dilabus quintis duorum rectorum;& Propterea angulus Tib i. ' DBA duplus est anguli A D B. sed a angulus A B D externus in triangulo D B E equalis est duobus internas,& oppositis alme prop.6.I. i gulis B D E, dc E qui e sunt squales, cum subtensa latera E B, D B qqualia sint, facta enim fuit E B qqualis radio circuli . Ergo a uius A B D duplus est anguli E,vti prius duplus erat aimili ADI & propterea angula E, B DA aequales inter se
238쪽
LIBER V. a Issunt & est angulus A communis :FErgo duo triangula EDA,&DBA sinat tua sunt, ideoque E A ad A D est, ut D A ad A B: estque E B qqualis radio D A: Ergo sicut prius A D, ita nunc E B mcdia proportionalis erit inter E A, & B A ;Proptereaque g E A secta erit in B extrema,ch media ratione, cuius maius segmentum erit E B latus hexagoni, & B Aminus segmentum latus decagoni regularium in eodem est
Secundo ex latere hexagoni E B, siue ex radio circuli ausearatur tecta B H qqualis ipsi s A lateri decaeoni eiusdem eidieuli . Dico E B secari in H extrema, & media ratione, cuius maius segmentum erit B H latus decamni. Nam ex E B maiori segmento ipsius E A, sectae extrema, de media ratione. tollitur B H legmento minori B A equalis. Ergo b ipsa B E se catur quoque extrema, de media ratione, cuius segmentum maius erit B H. Quod erat ostendendum.
s C H O L I U M. si liner rectae diuise ea trema, O media ratio re fuerit maius sermem tuis latus hexagoni,erit reliquum segmentum latus deca in re larium, ab eodem circulo comprehensorum; dis minui segmentum fuerit latu, deeagoni, erit reliquum latus hexagoni: Et se maius segmentum fuerit
latus decagoni, erit tota latus hexagoni. sit recta C AB ecta extrema, di media ratione. Et primo CB edimentum maius sit laras hexagoui: Secundo C A segmentum minus sit latu, decagoni: Tertio A C segmentum maius - si latus deca ni. Dico m primo casu B A es et A.
se latus decagoni; in secundo vero, di tertio B erit latus hexagoni. Si hoc verum nomes sit B E latus decagoni in primo casu,= l tus hexagoni in secundo, O tertio casu: erit esrecta i C B E ectis cxtrema, di media rati ne ; sed ex opothes C B A ecatur extrema,hmedia ratione: h Ergo ambae secantur in eaderti rationc: Deoque C B ad B E erit,ut C B ad B A. t prop. I. id dare iB E, di BAt squales sunt, pari , totum, quod es impossbile . Quare patet propositum.
239쪽
EUCLIDIS RESTITUTIA/cbim. PROPOS. IX. PROBL. VII.
delphqr, et Circulo dato adscribere duas figuras regulares inter se sim, ' les, ita ut circunscripte, vel inscriptae differentia a circulo minor sit quacunque magnitudine proposita. Sit datus circulus ABC,&quqlibet superficies X cultiscunque paruitatis. Debent circulo adscribi imperate figuret Circunscribatura circulo ABC quadratum E H, & ad con tactum A coniungatur radius D A;& ut fictum, quadratumqquale spatio X una cum quadrato E H est ad quadratum EH. ita enat quadratum radis A D ad quadratum rectae linec DG, & ducatur a a puncto G recta G N perpendicularis ad diametrum , secans peripheriam in N . seceturque e semicirculi peripheria A C B difariam, di rursus bitariam & sic semper, quousquefarcus L F minor sit, quam AN; Et seceture u cus A O equalis A F, coniunganturque recta F O, qui h secabitur a radio A O in X bifariam & perpendiculariter Et quia tres rects S A,F Κ, N G perpendiculares sunt ad radium D A, erunti viter se parallelq cadit vero punctum Finter extremas parallelas A S, G N , eo quod arcus NA maior cst,qua F A : Ergo punctum N cadit inter puncta A, & G; & prinpterea recta DΚ maior erit, quam D G; & sicut A F metitur semiperipheriam A F B, ita h O F duplum ipsius A Fmetietur totam circuIi peripheriam. Distribuatur iam tinta circuli peripheria in partes C F, F O , o P, P m&c. inter se equales ; ct coniungantur rectae linet C F , F O, O P. Pin&c. atque i ias parallele ducantur tangentes S R , R S, TL,&c. quousque compleantur figure in regulares similes, circunscripta SRTU, inscripta
vero C F O P B. Patet figuram S R T V ad figuram C F O PB esse, ut quadratum radi j illius D A ad quadratum radi j D Ret huius
240쪽
huius; scdn idem quadratum ex D A ad quadratum ex ma- Dpmp. a. iori D Κ minorem rationem habet, quam ad quadratum ex I
minori I)G, & ut quadratum ex DA ad quadratum ex DG, ita erat imma spatii X, & quadrati E H ad quadratum EH: Ergo . figura SRTV ad figuram CFO P B minorem, 'si's roportionem habet, quam sunama spatij X & quadrati E ' H ad quadratum E H; Et diuidendost differentia figurarum , i. I sS R T U, & C F O B, ad figuram C F O B minorem propor- q pop. a. tionem habet, quam spatium X habet ad quadratum E H ι. s. habet e vero idem spatium X ad inscriptam figuram C F O Bmaiorem proportionem, qUam ad circunscii plum quadratum E H, s ciuia hoc maius sit illo): Ergo differentia figura. 'rum S R T V. & C F O B ad figuram CFO B minorem proportionem habet, quam spatium X ad eandem figuram inscriptam C F O Ba dc propterea e differentia figurarum S R T ip p. Du, ct C F O B minor erit spatio X. Cumque, circulus ABC . maior sit figura inscripta C F O R,& minor figura circunscri- '' ipta SRT v : erit excessus figurq circunscripte supra circin 'lima, vel destinis figurq inscripis ab eodem circulo, minor, quam sit differentia figurq circunscript* S R T V, dc inscri-pic CFOB; Sed differentia harum figurarum adscriptarum minoi qnsa est magnitudine X. Igitur differentia circun- scriptq figure S R T V , vel inscripte C F O B ab eodem circulo Aia C , minor est quacunque magnitudine proposita X. Quod erat faciendum.
Que in circulis polygona similia, siue circunscripta inter se,s iue inscripta inter se, sunt in duplicata ratione rassiorum.
Sint duo polygona similia A B D, & F G Κ inscripta, siue
circunscripta circulis, quorum centra R & S. Dico inscripta inter se, siue circunscripta inter se habere proportionem duplicatam radiorum eorundem circuloruin. Et primo inimscriptis ducantur recte A C, H F subtendentes angulos aequales B & G, & coniungantur radia R A RBS F, dcSG. Quinniam circa angulos aequales B, ct G latera AB ad BC, dcFG ,- . ad G H sunt proportionalia (propter similitudinem figura- 'tum . Ergo a triangula A B C, & F G H similia sunt, ideoque b b. is anguli A C B , di F H G squales sunt 1 sed , anguli ad centrum hb. s.