장음표시 사용
241쪽
R, Sc S dupli sunt angulorum ad peripheriam A C R.& FH G: Ergo anguli R. & S qquales siliat, di circa eos latera, seu radii circuli itini in eadem ratione cqualitatis. Ergo e triangula AB R. & F G S similia sunt; proptereaque, . ut A B ad G F, ita erit radius A R ad F S: & . eorum duplicatq proportiones eq-dem quoque erunr habet vero
polygonum A B D ad polygoenum F G Κ duplicatam rationem lateris A B ad eius homologum F G. Ergo a proportio polygoni A B D ad polygonninis . . . - , . . FG Κ duplicata est proportio nis radis A R ad radium FS. Secundo in figuris circunseriptis ab angulis qqualibus A.& F. atane ab qqualibus B, dc G ad centra iung antur recte AR, F S. B R G & ad contactus N O, Xa radix coniungantiar N R, O S, X R. Z S. Quoniam h duq B N, B X squales sunt, cum sint latera squalium quadratorum ex tangentibus ab eo dem plincto ductis,& duo radij N R, X R squales ouooue,ataque R B communis: Ergo in duobus triangulis B N R vR sunt duo anguli RBN, & RBX Squal S, Idei olae angu
gulus R A N s nullis erit anguli B A E: pariterque inc cliqua figura angulus S G o sinn,assis anguli P Ivgoni F G H snee non angulus S F O semis' erit anguli G FM. Et quoniam duo anguli R A N d: S FOequales fiant,cum sint semipes angulorum eonalium B A E,& G h M ; sunt duo anguli recti ad N. & Ocquales Ergo i duo triangula A NR,S FOS similia sunt deoouem A Nad F Oerit,ur N R ad OS. Eadem ratione duo triangula B N R . & G OS similia erunt, ideoque n B N ad G O erir, ut eadem N R ad eandento S: Quaprontero duq A N, & N B simul ad duas F O, dc O G, idest latus A B ad F G: erit ut radius N R ad radium O, ,γdceorum duplicate proportiones ecdcm quoque ertant. Qriare,
Ut prius, polygonum A BD ad polygonum FG Κ habebit
242쪽
LIBER V. EI proportionem duplicatam eius. quam habet radius N Radradium O S. Ud erat propositum. - ROPOS. XI. THEOR. IV. Bus 33.
In eodem, vel emalibus cir lis anguli ad centrum, siue ad Peripherias, & lcctra res eandem rationem habent cum pe- rimeri is, quibus insistunt. In eodem, vel in circulis qqualibus sint primo duo anguli ad centrum A BC,& EB G, insistentes peripherijs AC, ScE G. Dico eandem rationem habere arcum ad EG, quam hibet angulus L B C ad angulum E B G. Secetur a arcus E G bifariam,& rursus bifariam, & sic successivo subdiui . Ah dantur arcus intercepti , quousque perueniatur ad arcum E γ θM. qui minor sit quotamque arcu assignabili: Et e in arcu C e coriat. i. A sumatur arcus CS multiplex ipsusEM , ita ut eius excesssus, vel defectus S A ab ipsa A C sit qqualis, aut minor, quam EM. iv Ideo minor quacunque data nia studine; Et conium gantur radii B M, B S. Quoniam a quoties arcus E M metitur d corali. . arcum E G, toties anguluq EB M mensurat angulum EB Gs P vo Isai pariterque quotie, arcus E M mensurat arcum C S, toties angulus EB M mensurat angulum S BC: Igitur earcus S C eaede Partes erit arcus E G,quemadmodu angulus S BC est par-
tunc paret pro situm . At ii ramus S C maior est smaam g e. in . . A C, necessario angulus SBq. maiori peripheris insistens, p . . ir.ι. erit maior, quam angultig ABC; Et si arcus S C minor fuerit , quam AC, erit angulus S B C minor angulo ABC. Quare sunt quatuor magnitudines arcus DA C prima at secunda est arcus h G; -
angulus ABC est tertia, i angulus I ME B G est quarta vi & insuper due aliis . . in Imagnitudines, scilicet arcus SC,& lanmilias S BC sunt ecdem pirtes coim I ii quentium, idcst ad eas habent ean- I ... Idem proportionem; det sunt una ma- iores , aut una minores antecedenti- l bus,ita ut excessus aut deiectus a pri- C h orop. a rma minor sit quacunque assignabili quantitate. Ergo b arcus. . i.
243쪽
A C ad arctim E G est, ut angulus A B C ad angulum E B G:
quod erat ostendendum . . t .i
Secundo sint ad peripheriam duo anguli ADC, dc ED G institentes peripheriis A C. St E G eiusdem,vel equalium circulorum. Dico angulum A DC ad angulum E DG esse ut arcus A C est ad arcum E G. Fiant anguli ad centrum ABC,& E B G. Qusai angulus ADC iciarissis est anguli ad centrum A B C, ct angulus E D G semissis est anguli EB G. Ergo, hut angulus A B C ad angulum E B G, ita est angulus A DC ad angulum E D G; sed, ut angulus A B C ad angulum E BGata est periphetia A C ad peripheriam E G ( ex prima parte huius)Ergo ut angulus ADC ad angulum ED G, ita esst peripheria A C ad perpheriam E G. quod erat secundum. Tertio in eode, vel emalibus circulis dico sectorem A B Cad sectorem E B G habere eandem rationem , quam arcus AC, quq est basis illius, ad arcum E G , que est basis alterius sectoris. facta superiora constructione, ea omota, quq dicta su it de angulis ad centrum intelligantur dicta de sectoribus. Quapropter sector S B C erit eqde partes sectoris E BG , quemadmodumangulus S B C partes est anguli E B G, seu arcus S
C est partes arcus E G. Insuper ii arcus. SC arcu AC,atq; sector S uC tectore ABE una maiores,aur vim minoreS erunt. Quare' sunt quatuor magnitudines arcus A C, arcus E G, lector A BC, Ac tector E B G, atque due aliq scilicet arcus S C, dc sector SBC sunt eqdem partes consequentium, scilicet ipsius arcus E G, P sectoris E B G, que denominantur a numero ex
continua bipartit ione comessum tum orto , dc sunt una excedentes, vel una deficientes a prima, dc tertia, Icilicet ab a
cu AC, & a sectore AB C. cstque excessus ipsius S C a prima A C, vel desectus minor quolibet dato Erso in arcus A C ad arcum EG eandem rationem habet,quam sector A B C ad se. ctorem E B G. Quod erat postremo loco ostendendum.
Patet in eodem, vel squalibus circulis sectores esse inter se, ut sunt maguli ad centrum, sectores continentes. Ix Nan ambe proportiones e dem sunt, proportioni, quam habent arctis, quio us insistunt.
244쪽
Manisestsim quoque est, ut laut quatuor xecti ad angulum in cetro circuli, ita erae totam circuli peripheriam ad arcum illi angulo subtensam; & ita este circulum ad sectorem ab illo angulo contentum. Nam , ut angulus rectus in centro ad quemlibet angulum in centro, ita est quarta pars periphc- q ex prima tig totius ad arcum sublesum reliquo angulo, & r ita est quo- pari. Miui. que sector, qui quarta pars cst circuli ad lectorem a reliquo rierrassangu lo contentum. Et antecedentium quadrupla ad eadem il- consequentia proportionalia erunt, scilicet tota circuli peri epheria ad arcum reliquo angulo. subtensiim,& circulus to. t 'e' '' totus ad sectorem a reliquo angulo Contentum eandem ra: tionem. habebunt, quam quatuor recti ad angulum ad cen
Circuli inter se sunt in duplicata ratmiae radiorum.
Sint duo circuli R dc S, eorumque radii AE&F Κ, quorum Wrtius Propo tionalis sit X. Dico circulum R ad circulum Shabere di piscatam piportione citis,quam habet radius A Ead raditania R Micu pandem, quam A E habet ad X. Adscribantur a cjictiso R duolmavgotia repularia fiant
bantur circulo, duq figure F G HI, & QO V T similes ipsis figuris A B C D, & M N O P: erunte similes figurq circunscri- pirum M N O P, O V T inter se, nec non suntles figure micriptae ABCD.& F G HI inter se in duplicata ratione radii E A ad radium N F, seu d ut A E ad X. Et quoniam circuluS S d i , minor est polygono T OV ei circunscripto. gopolygo- lib. s. E e num
245쪽
eprep. 1 l. 3 num. M N O ad circulum S maiorem proportionem habet, quam ad potvgonum T O U; habet vero polygonum M N O rep.o...s ad polygonum QO V eandem proportionem, quam A E ad X . Ergo spolygonum M N CL( idest quantitas excedens circulum R excessu minore quocunque dito maiorem proportionem habet ad circulum S, quam A E ad X. Similiter quia circulus S maior est polygono ei inscripto FGH; EDgprip s. Wog polygonum ABC ad circulum S minorem proportio- , 3. nem habet, quam ad potvgonum F G H: Habet autem polygonum A B C ad polygonum Fcibi proportionem eandem, hyrap. s. quam A E ad X. Ergo b polymnum' inlcriptum A B C ( m -- 3- nor circulo R delectu mitiori quocunque dato ) minorem proportionem habet ad circuluin S, quam A E ad X ; ide Am pre ue, circulus R ad circulum S eandem duplicatam Proportionem habebit radi j A E ad radium P Κ. Quod erat ostendendum .
Circulus aequalis est friangulo, cuius basis aequalis est perbpheriae circuli, altitudo vero aequaliS rassio circuli
Sit circulus X, c ius radius X s,dc tri
fulum H ΚM, cuius asis NM aequalis sit integrae perapheriq A
BD, re altitudo, seu Perpendicularis H Κaecivasis sit radio cir- culi X B. Dico circu-S M Ium aequalem Effita triangulo H Κ M. Adscribantur a cla Io X duo polygon regularia, & similia E F G extra, & A B C intra ipium, ita ut differentia eorum 1 circulo minor sit quacunque magnitudine proposita. Postea b ducta X O perpendic ari a centro ad latus figurae inscriptae, & coniungantur rectae X F , X E ocX A, do fiat LN qqualis perimetro circunscripti potvgoni EFGI,&k S qqualis perimetro figurq A GCD, dc Rkaeuaesis perpendiculari X O, di coniungantur rectae H N, & RS . Quonian i polygonum regulare EFG1 diuiditur in tot
246쪽
triangula isoscelia aequalia inter se, verticem incentro X habentia , quot simiqiuis latera dunt vero dicta triangula aeque alta, quia eorum altitudines sunt radis aequales ipn X L, leti
H N. Ergo e polygonum E F GI est tant multiplex trianguli E X F,quam perimeter eiusdem polygoni est multiplex unius Iaretis E F i sed N N est aequalis perimetro E F GI dicti Polygoni. Ergo vi ΚN ad EF, ita est polygonum EF II ad triangulum E x F; sed g triangulum ΚHN si triangulum EF X s cum habeant aequales altitudines, scilicet perpendiculares X L, & H k st, ut basis k N ad basim E F. Ergo h polygonum E EG d , & triangulum H h N eandem rationem ha Dent ad triangulum E F, ideoque i illa aequalia sunt inter se. Deinde x quia restiti lineae inflexae I E L, extra circulum cadentes, maiores sum, quam arcus I A L: Ergo perimeter figurae F G Imaior erit quam tota peripheria circuli X comprehensi ; sed E N qqualis posita fuit perimetro E F GI, dc ΚM equalis peripheriqcirculi X. Ergo k N maior est, quam k M Sed triangula H k N: H h M sunt aeque alta. Ergo i triangulum H k N maius erit triangulo H k M, sic tua porygonum E F Gl maius est circulo X. Similiter osteniretur polygonum A B C D squale triangulo R k S m eo ouod basis Κ S equalis Ponitur perimetro dacti polygoni, & altitudines R h . & X Oiunt etiam aequales; estque is perimeter polygoni ABC t in sc rapta, seu et aequalis, S minor peripheria cuculi X, seu ei aequali h M , & altitudo R k, seu X O minor altitudine H k,icu radio X L. Ergo triangulum R k S minus est triangulo HE M. acuti polygonum , B CD minus est circulo X . Iam quin ivgotium h E G aequale sit triangulo H k N ox triam gaium H k N maius sit triangulo H k M . Ergo circunscripta figura F E G (quae est maior circulo X excessii minori quocunque dato) est quoque maior triangulo H k M. Similiter cum figura n B O qqualis sic triangulo Rx S.& triangulum R k S minus sit triangulo M . Ergo inscripta figura A Bquae nimor est cuculo X detectu minori quocunque da, to est quoque minor triangulo H k M. Et propterea o circulus X aequalis est triangulo H k M. Quod erat ostendendum.
Patet triangulum, cuius basis squalis sit perimetro cuiuslibet figurs regulatis, & altitudo aequalis sit perpendiculari a E c a centro
247쪽
centro Murq ad cius latus ducte qquale esse ei ni regulari fiugure. Ostensum enim fuit triangulum H N N tabem dictas conditiones, aequale polygono regulari E F GI. i
Peripherit inter se eande m rationem habetit , quam radii eo
Sint circuli R.& S, quo, nam radii R AUS C. Dico, io radium R A ad radium iri: SC, ita e peripheriaem
V,cuius basiis F G aequalis sit peripherue A B A, &altitudo E F aequalis sit radio RA. Similiter intelligatur triangulum X, cuius basisΚM qq ualis sit peripheris C D C,& altitudo H Κ qquaIis sit radio S C. Patet a triangulum V squalem esse circulo R , atque triangulum X esse equalem circulo S, ideoque triangulum V ad triangulum X erit, ut circulus R ad circulum S. Et quia circulus . R ad circulum S duplicatam rationem habet eius, quam habet radius R A ad radium S C: Ergo a triangulum v ad triangulum X duplicatam rationem habet eiUS , quam habet R A ad S C, setis duplicatam rationem eius quam habet altitudo E F ad altitudinem H Κ cum R A, E F inter se, &SC, HX inter se qquales factae sint cumqties proportio trianguli V ad triangulum X sit compysita ex ratione lateris E F ad latus H Κ, & ex ratione basis F G ad basim N M,cian sint circa angulos rectos F, Κ, equales: Ergog proportio basis
F G ad basim N M eadem est, quam E F habet ad H Κ , , seu quam R A habet ad S C. Estque F G qqualis peripherie A B
248쪽
perimetri sunt proportionales rectis perpendicularibus ex cereris ad eorum latera dums . uoc enim ex hac, di praecedenti demonstration e , atque eius corollario facila concluditur.
Si duorum circulorum segmenta comprehendant ansulos q- quales , erunt suis circulis proportionalia & inter se rationem habebunt duplicatam subtensarum, vel radiorum, &eorum peripherie erunt inter se, ut subtensae, vel ut Radii, V ocentur autem huiusmodi segmenta similia.
Sint duo circulorum segmenta A B C , & F G H, in quibus anguli B, dc G sint aequales. Ductis radiis E A , E C, O F idc O H. Dico segmentum A B C ad circulum A B C D esth ut segmentum F G H ad circulum F G H Κ, & segmenta ABC,& F G H csse in duplicata ratione radiorum E A, dc O F, vel subtensarum A C, dc F H; & peripherias A B C , F G H esse, ut A C ad F H. Quoniam anguli B, dc G ponuntur qquales et
Ergo a eorum dupli ad centrum E, & O aequales erunt, ideoque, quatuor recti ad angulos equales E, dc O eandem ratio- nem habebunt; sed, cui quatuor recti ad angulum E, ita est j ' circulus B A C ad lectorem AEC A,atque etiam,vi quatuor c taroli. i. recti ad angulum O, ita est circulus G F H ad sectorem F O H pDp ii. F. Ergo, a vi circulus B A C ad sectorem A E C A ita erit cir- buiiii.culus C FH ad sectorem FOHF: Et e permutando ut circu- dprop. I. . lus A B D ad circulum F G Κ ,ita erit sector A E C D ad secto Frena F O H k: ted irculi sitiit inter se in duplicata ratione r 'P' 'diorum E A ad O F. Ergog sectores in eadem duplicata ratio- s' ait. ne radii B A ad O F erunt. Sunt, vero triangula A E C,& FO Hiis,. H similia (xum sint isoscelia, de habeant verticales angulos gprop. I. I. 3E, & O qquales): Ergo i triangulum E A C ad triangulum o F h prop. . i. H duplicatam rationem habet eius, quam habet radius EA i Prop. xl.
ad O F, vel tu enla A C ad F H. Quare, x vi sector E ADC ad sectorem O F Κ blita est triangulum E A C ad triangulum O F H: Vnde i residuum segmentum A C D ad segmentum
F RH crit in eadem ratione scetorum . vel circulorurii : dc 'propteream reliquum segmentum ABC ad segmentum FG m3 O is. Herat quoque in eadem ratione circuli A Bl ad circulum I F G H , is seu in duplicata proportione radii E A ad radium O nprop.r.Is F, vel Iubtente A ad subtentam E FI.
249쪽
Tandem quoniam anguli ad centra AEC,&Fo H equa les sunt. Ergo tota circuli peripheria A B C A est ad arcum ADC ut sunt quatuor recti ad angulum AEC, siue pei m ualem angulum FOH pariterque tota circuli peripheria F;HF ad arcum FΚHest in eadem ratione , ac sunt quatuor recti ad angulum FOH.q Ergo ut circuli peripheria A PC A ad arcum A D C ita erit peripheria circuli F G H F ad arcum F Κ H. Et r permutando circuli peripheria A B D ad circuli peripheriam F G X est , ut arcus A D C ad arcum F Κ H ideoque residua periphcria AB C ad residuam F G Herit,ut tota ad totam;sed i tota peripheria A B D ad totam peripheriam F G Κ est, ut radius E A ad radium O F, siue ut subtensa A C ad subtensam F H t eo quod suit A C ad F H, ut E A ad OF) Ergo M peripheria ABC ad peripheriam FGH est ut subtensa A L ad rectam subtensam F H siue ut radiusA E ad radium F O, ut mit propositum. Vocentur autem segmenta A B C,& F G H capientia angulos equales B,& G inter se Similia.
Patet ex hac propositione, quod in circulis in equalibus, ut sunt peripheris, quq sunt bases angulorum qqualium .d centrum, siue ad Peripheriam ita sunt circulorum integrq periapheri q inter se. Insuper circuli sunt inter se, ut sectore S ab aequalibus angulis comprehensi. vi I. Im. PROPOS. XVI. THEOR. IX.
In quolibet triangulo maior angulus ad minorem habet maiorem rationem, quam latus maiori angulo oppositum ad latus oppositum angulo minori. In triangulo ABC sit angulus C maior, de angulus A minor. Dico angulum C habere maiorem proportionem ad anguliun A, quam latus A B habet ad latus B C a Describatur,.. .v. . circa triangulum circuluS A BC,& secetur arcus BC vicun-
250쪽
LIBER V. artiaee CE, B E, A D, BD. Et quia e arcus A D B , cur maior angulus C insistit maior est, quam B E C, & arcus B D,& p EIunt qquales: Ergo residuus arcus A D maior erit residuo arcu CE,& ideo a angulus A B D maior erit angulo C B E. Fiat e laangulus A BO qqualis minori angulo E BC: Igitur angulus AB D maior erit angulo ABO & ideo ii 'recta Bo secabit rectam AD in puncto O posito inter A, & D. & ideo punctum oerit intra circuli segmentum ADB. Oescribatur, talia per tria puncta A, O, dc B circuli peripneria A O B.cadet illa intra segmentum A D B; Et omniam in triangulis A O B, dc C E Bouos anguli O A B, E C B equales sunt ceum peripherijs aequalibus BD. dt BE insistant a pariterque duo anguli OB L , E BC sunt aequales: Ergo b reliquianguli AOB, dc CEB qquales erunt; proptereaque perivphetia A O B ad peripheriam B E C erit, ut subtensa A B ad rectam lineam B C; est vero h arcus A D B maior, quam arcus A O B, eo quod hic ab illo comprehenditur. Igitur . adieus A D B maiorem rationem habet ad eundem arcum B C, quam arcus A O B ; dc ideo in arcus A D B ad arcum B E Cmaiorein rationem habebit, quam recta linea A B ad rectam B C. Et est re angulus B C A ad angulum B A C, ut arcus A DB ad arcum B E .Ergo e angulus B C A maiore rationem habet ad angulum B A C, quam subtensia A B habeat ad rectam lineam subtensam B C. Quod erat ostendendum.
Inter duas figuras similes regulares, vel circulos, aut sectoressianiles, medium proportionale est triangulum, cuius altis tudo squalis est radio unius, basis vero squalis est perime
Sint due qu*libet figure regulares similes inter se, vel duo sectores similcs, aut duo cuculi R, dc S, quorum radii R B dc SE; Sito; triangulum rectanguiu G H M cuius altitudo C Haequalis fit radio SE vnius figure S, dc basis H M equaIis in BA C perimetro figure R.Dico triangulum G bl M medium proportionale esse inter figuras R , sc S . a Fiat altitudo N Η apris, x qualis