장음표시 사용
251쪽
equalis radio R B,& basis HO qqualis peri- x. metro Ela F, dc iuganriar tecte N M , & Gl O. Quoniam i ii similibus figuris regulari - - bus vel in scctoribus similibus. aut circuli R, & S, , ut radius R B ad radium S F. ita est perimeter A B C ad perimemina D E F:esi. que NHequalis I B,&GH equalis SE; atque H M qqualis perimetro A BC necnon HO aequalis DEF.c Ergo ut NH ad GH,ita est M H ad NO;seda ut altitudo NHad G H,ita est trianguluN H M ad G H M cum habeant eandem ba- fm H M ;&, evibasis M H ad basim H O, seu j vi N H ad G H. ita hinitiangolum G HM ad triangulum GH O. Ergo tr iangulum G H M medium proportionale est inter duo triangula N H M. & G H O; est a veero triangulum rectangulum N H Mhprv. s. s P i o H aequale figura: R, cum contineatur, a radio i S perimetro diael figur*Rspariterque triangulum G H Oest: qquale figura: S: igitur , ut figura R ad triangulum GHM, ita est triangulum G H M ad fguram S: & propterea triangulum GHM medium propo . tionale est internguras R,&S. Quμderat ostendendum. S c u O L I V M.
Hic dmonstrari potest pulchcrrimum theor ma , cuius prima pars ex Snellio , secunda vetaea Gallico de umpta est. Inter figuras reuelares circtilo ad criptas, inscripta duplo laterum numero media proportioualis est. Et circAlus me dius proportet onalia es inter duas regulares Dies figuras, quarum Drusit clivuscripta circulo
i In circ ulo BG F primo a adscribant tir duae Lyhra reges res sev iles C D, di EH, H latera h n ologia sem parat cla; et u sectis peripherus mihi cenaevi: s bifariam inscribatur figlira regila-.ris B LG F duplo lateram ni mero . DIco furam regalaricu B EGF mcdiam proportionisem esse inter ad criptas id ras CD, CP EII. Ducitetur radius di
252쪽
adius A B, perans latera parallela adscriptarum figurarum perpendiculariter, bifariam sis inprop. 3. O . huius dictum est y in B, OO; comungaturque recta A C, qua, c ut dictum est, transibit per angulum cyrep. q. E. Et quia d triangulum CSA ad triangulum eque altum E B est,ri V - ,
bases C A ad basim E A , sede pol gonum C D ipsius trianguli C BA, atque polygonum BEGF ipsus trianguli E Boeque malit uia sunt. r ' 'Istudi i polygonum C Dad B EG F est, richad radium circuli EA ; , , ι , sed e figura circunscripta C Dad inscriptam ei similem E H est, H qua- g coroli. i.
dratum ex C A ad quadratum ea radio circuli EA, seu h in duplica- pro'. .h-ta risione lateris C A ad A E. Ergo i figura BEGF media proportio- tu . nalis es inter figuras adscriptas C D, O EN. hprop. X r. Secundo habeat polygonum regulare perimetrum aequalem circ-- . ' ferentis circuli EGF, oest simile circunscripto pol gono CD. Dico i' cireulum BG F medium proportionalem esse inter figuras C D,O I .Quia 'Dure regulares c D,, sunt simius:erit v trian tu recta guta d BA resa i. radio circuli, seu figura C D, Od perimetro figurae seu circunseren- huiuis. ita B G F ei equali contentum, medium proportionale inter dictas figu- I prop. is. rax ; sed I hoc triavidum squale es circula BGF. Ergo circulis BG F butui. medius proportionalis est ister figuras C D, cd . quod erat ostendendii.
PROPOS. XVIII. THEOR. XI. Emi. r. I.
In triangulis rectangulis quelibet figura rectilinea, veI circularis super hypothenusa descripta squalis est duabus figu- . ras super lateribus, rectum angulum continentibus,descriptis, quae illae iurules sinat,& similiter positae. Sit triangulum ABC rectangulum in A, dc super tribus eius lateribus describantur qu*lio et tres figurae X, R, & S in . ter te innites, & similiter positae, siue situ circuli, siue tectores, siue Aseg. nenia, siue gonae, siue figurae rectilineae. Ostendendum est figuram X luper hypothenusiam DC descriptam squalem esse duabus B figuris R , & s illis similibus, & sin iliter descriptis super lateribus B A, dc A C. Ducatur is ab angulo recto A perpendicularis A O si per B C . Manifestum est, CB ad BD duplicatam sationem habere eius, quam habet CB ad
253쪽
B Aspariterque B C ad C D duplicatam rationem habet eius, quam habet B C ad C A. Et quoniam e X ad R,cum sint figinirq similes, dc similiter positae, duplicatam rationem habet lateris B C ad eius homologum B A: hrgo X ad R est. vi C Bad B D. Eadem ratione figura X ad figuram S eandem ratio. nem habebit, quam BC ad CD : Ergo e figura X ad duas mguras R, ct S eandem rationem habebit, quam B C ad duas BD, DC simul sumptas , sed B C equalis est duabus B D ,& D C.Ergo figura X equalis est duabus figuris R,& S simul
sumptis. Quod erat ostendendum.
Si super duabus rectis lineis fit per eartim aggregato, atque media proportionali intereas detrahantux figurae circulares, vel rectilineae similes, de sintiliter positae; erit figura ex aggregato mualis aggregato ambaru figurarum ex illis r ctis cu duplo figurq ex media proportionali inter ealdem
Inter rectas lineas AB, B C sit media proportionalis D B, uae perpendicularis sit ad eas in directum positas, , A B, B
, eorunque aggregatum AC, atque BD sint radii circul, rum R, S, M. & Z, aut sectorum, au t Eonarum similium, aut figurarum regularium, vel certe sint iubtenue, vel latera limmologa figurarum circularium, vel rectilinearum similium V . Dico figuram M ex aggregmo descriptam aequalem esse aggregato duarum figurarum R i & S, cum duplo mgurae T. Super diametro re C describatur semicirculus V DC;& quia D
H S, B perpendicularis est ad AC, & est media proportionalis inter AB, , B
bri C: Ergo punctum D in peripheriam cadit coniunganturque recte A D, Se DC, super quas describantur figurae X &Y similes ,& sunt-liter positae figuris R, S. M, & sit. Quoniam in triangulo A DC, rectangulo in D equelibet figura M , super livpothenula A C descripta, aequalis est duabus figuris illi similibus X, dc Ysuper lateribus A D. & D C sintiliter descriptis, ted a In triam gulo A B D rectangulo in B figura X super hypothenusia A Ddeicripta equalis est duabus figuris R, & Z illi similibus,& Smliter
254쪽
. , LIBER V. alet militer positis super lateribus A B. & D B . pariterque in tria-gulo D B C sectangulo in B figura Y super DC descripta aequalisest duabus figaris uis sin illibus S, dc T, SI similireris istatis stipet CB,& D B. Ergo figura M aequalis est figuris illi similibus, ct similiter pontis R , PS,& duplo signre et . Quod
Manifestum est, quod,si duq recte lincq datq fuerint qquales inter te: erit Maauper aggregato euum descripta,quadrupla fim ex ma data rui que sit illi similis,dc similiter dea seripta. Nini, quando A B, & B c tant inter se equalessi erat BD, media proportimalis inter eas, dualis ipsi A B , vel B C, dc propterea e figura Tmualis erit ligurae I , vel S.Vnde Agu. e reu. rq R.S, cuanduplo figured simul sumpte , equales erunx quaa prvi I i. druplo figore R ; est vero in hac propoctione ostensa figura M equalis tauris Ru S .Ec duplo figure L. Ergo figura M uuadrupla est figur*R, vel S .
Et, si due figure fututiat qriadnata erit quadranim ex aggregato eqmicidiu vis qciadnuis ex datis rectris , & siplo piral- p ilelogram euinduli Iub datis rectis Conrant . Nainiqua- hiatu .draraetunt figure similes cum ita tregulares: unde ex hac propositione, quadratum M aequale erit duobus quadrat is R, & g eoult. xi Suna cum duplo quadrati Z sedg quadrarum Z equale est prop. ...
receingulo Drallelogrammo i A I in eo qaod perpendicularis B L media proportionalis est inces A is, &BC UErgo quadratutio ux aggregato squale est duobus quadraris R, Oc S ex rectis datas una cum duplo recta mi , BC siti rectis
Et si dicte figurq fuerint cinciui, sectores , aut rectilinee regulatra standes, figura ex aggregato equalis erit duabus righ ris ex datas rectis si milibus illi una cum duplo trianguli re a-guli contenti a radio vinus, & perimetro alterius figuraru cx h p v ii. datis reta is deliriptaru.Nana b triangulussiectangulu contentu huim.
255쪽
a radio figurq S, dc perimetro figurq Rest medium propori rarori. s. tionale inter figuras similes R, & S ; est vero x figura Z media Pru id i q. proportionalis inter figuras R, S,co quod A B, B D, B C proportionales sunt,atque figura M qqualis est figuris R,& S una cum duplo figure T. Ergo figura M equalis est figuris R, & Silli similibus, una cum duplo trianguli rectanguli contenti a
radio figurq S, & perimetro figurq R. COROLL A RIVM IV.
Tandem existentibus quibuscunque figuris similibus, & similiter positis super datis rectis,& earum aggregato deicriptis: erunt due figurq super datis rectis descript simul sum. v erum pru- .pte imperimetre figurq ex aggregato earundem. Nam , h. Vt h radij, seu latera homologa, ita iunt inter se perimetri figura, rum similium: estque figurq M latus A C equale lateribus,
, T , di homologis A b, & B C figurarum R . de S. Ergo iperime-T ter figurq M tqualis est perimctris figurarum R, & S. , PROPOS. XX. THEOR. XIII.
Si super duabus rectis lineis, super earum differentia,atque super media proportionali , inter eas describantur figure circulares , vel rectiline; similes , & sim liter positae: erit figmra ex differentia equalis differetiq duarum figurarum ex illis rectis a duplo figurq ex media proportionali inter eab
Sit recta A B maior, & B C minoriearimq; differentia A C,& in semicirculo ADB descripto super A B , eleuata sit perpendicularis CD,& ducta D B. atque super AB, B C, A C, BD,C D descripte sint quslibet figurq circulares, vel rectili nec smiles & similiter ponisat in prqcedeti propositione Iacrum est. Dico figuram M ex differentia A C descriptam, equalem esse differentiae inter summam figurarum R, & S ex inaequali-
bus dercriptatus& duplum figurq Z ex me- prest y I. dia a proportionali B D inter A B, dc B C. Quoniam , figura R ex summa ipsarum AC & C B qqualis est summe figurarum S, M,& duplo figurq Y ex media propoditionali inter A Q& C B. Ergo addita coh
256쪽
LIBER v. stas muni figura S: erunt figurae R, & S, simul sumpt . qquale, si-gurae M duplo figurae Y & duplo figurae S,fimul sumptis. Sed in e triangulo reliangulo B C D,duplum figure Z ex livpothe- e prop. ig. nuta equale est duplo figurq Suna cum duplo ilgure v. Igiturdus figurq R,& S, simul sumpt*,qquales sunt figure M una caduplo figure T; & ablato comuniter duplo figure Trerit figara M ex differentia A C, qqualis ea cessiri duaru figurarum R,S S supra duplu figure Z ex media proportionali inter A B,&B C. Quod erat ostendendum. COROLLA RIUM L EMI. .II.
Manifestum est, si dicte figurq fuerint quadrata , esse quadratum super differentia datarum linearum descriptum, aequale differentie inter duo quadrata super eisdem lineis descripta, ct duplum parallelogrammi rectanguli sub datis re
Nam ex hac propositione quadratum M equale est excessui duorum ei similium quadratorum R, & S supra duplum
quadrati Zased a quadratum L aequale est rectangulo A B Cm, dic eo quod e D B media proportionalis est inter rectas A B, &B C propter perpendici stare DC . Ergo quadratum M squa- te xli edicesilai quadratfrum R, & S supra duplum rectanguli ABC.
Et, si dicte figure suerint circuli, sectores, aut rectilineq regulares similes: figura ex datarum linearum differentia squalis erit excessui duarum figurarum similium illis super datis lineis descriptarum supra duplum trianguli rectanguli comtenti a radio unius, ct perimetro alterius figurarum ex datis rectis descriptarum. Nam triangulu rectangulu contentum a radio figurs S, &-1 F. perimetro figure R, est mediu proportionale inter Aguras si- bulti . miles R, &S.&ideo g qquale erit figure Z. Et est figura Mq- g-s
qualis detiferentiq inter figuras R,S,ih duplu figure Z ex media pra' i . Aproportionali inter A R, & B C, ex hac propositione. Ergo fi- ' i' gura M est a qualis excessui duarum figurarum R, S supra du- β'plum trianguli rectanguli, contenti a radio figurae S , & perbmetro figurae R. C
257쪽
aso EUCLIDIS RESTITUTI COROLLARIUM III.
Tandem in quibuscunque figuris similibus, & similiterpositis super dati, rectis lineis, & earum differentia: erit perimeter figure maioris maior ptrimetro figurae minoris, & excessus aequalis erit perimetro figurae ex differentia datarum h cerou. s. descript*. Nam h perimeter figurae Rex hvpothenaea trian-Prv- y, guli rectanguli A DBequalis est perimetris figurarum M, Sch S ex shgmentis descriptarum. Quare excessii S perimetri figu- A rae R maioris stipra perimetrum minoris figur; Sequalis est perimetro figurq M ex differentia datarum descriptae
Si super aggregato, dc disserentia duarum inaequ alium rectactum linearum di atque super media Prometia ali inter eas defcribaeitur finiis circulares,vcl rectiline* similes, & similiter posit*: erit figura ex aggregato equalis figurq ex direcentia una cum quadruplo ligatae cx media proporditio uali inter eassem. si I . hosp
. . Sit rursu, recta linea A R maior ,:&BCoutior ..& st B Daequalis minori BC; erit AC aggregatum, & disterentia AD, sitque B E media proportionalis inter AB,&BC,&iu- per eas deIcriprq sint figurae circulares , vel rectili iace similes, & similiterposim R, S, M, N, ct L. Luco figuram ex amrcgato inualem esse figura C N ex disterentia i una cum quadruplo figurae E ex medaa proportionali inter A B, ct B C. Quoniam a figura Mex aggregato iplarum A B , & B C aequalistist figuria R, ct S cum duplo figurae Z ; atque , due figure R ,.S , cqtiales inni figure N ex ditarentia A D una cunil duplo figitus T. Ergo figura M equalis est fissum N, quadruplo figuri Z, limul iumptis. Quod erat ostendendum. QUAE CO-
258쪽
Manifestum est, quod, si dictae figurae fuerint quadrata,erit quadratum ex aggresato ae quale quadrato ex differentia datarum linearum deaeripio, una cum quadruplo paralellogrami rectanguli sub inaequalibus rectis datis contenti.Nam quadrata R,S, N. M. dc Z iunt figurae similes; & ideo ( ex hac ipropositione) quadratum M aequale erit quadrato N una cum quadruplo quadrati Z mediae proportionalis BE inter inaequales rectas A B, & B C; estque e parallelograminum re- c corali. .ctangulum ABC aequale quadrato T. Ergo quadratum M squale est quadrato N una cum quadruplo rectanguli ABC.
Et, si dictae figure fuerint circuli,sectore aut rectilineae reingulares similes: erit figura ex aggregato equalis ei simili figurae ex differentia datarum linearum descripta una cum quadruplo trianguli rectanguli, contenti a radio figure ex una datarum, & perimetro ligure ex altera datarum. Nam a triangulum rectangulum,contentum a radio figurq ''S , S perimetro figurq R, est medium proportionale inter si- miles figuras R, & S, seu e equale est fgurq Z ex media pro' e c. .u. s. portionali inter A B, B C: Sed figura M equalis est figuriS N, F - . s.lib.& quadruplo Z. Ergo figura M qqualis est figurq Nuna cum . quadruplo trianguli rectanguli, contenti a radio figurq S, & lib. s.
Tandem Qualesconcure sint figure similes,& similiter pom te R, S,M N erit excessus perimetri figure M ex aggregato supra perinictrum figure N ex differentia datarum linearum,qquat is duplo perimctri minoris figure S. Nam xcessiis perimetri figure M supra perimetrum figu- f Coraxit. p.re R est peruncter figurq S; Et excesssus perimetri figure R su- prv. pra perimetrum figurSN qqualis est perimetro figure super B D, siue super ei qqualem B C descripte; idest perimetro figur*S.Quare excessuSperimetri figurq M supra perimetrum
259쪽
et a Si super duas rectas lineas inequales, atque super media proportionali inter aggregatum, differentiamque earundem, describantur figurae circulares, vel rectilinee similes, Ac similiter positae: erit differentia figurarum ex inqqualibus rectis lineis descriptarunt equalis figurae ex illa media prinportionali descripis.
Sint duae rectae A B maior , dc eius portio A C, dc a ipsi AC addatur D A aequalis maiori A B, erit D C summa, dc C Bdifferentia ipsarum AB,∾ ponaturque is C E media proportionalis inter D C, & C B; & super A B, A C, C E descriptae supponantur figurae R, S, & M circulares, vel rectilineae similes, dc similiter postq. Dico excessum figurae Rs pra figuram S equalem esse figurae M, ex media proportion li C E.Secetur e CB bifariam in G,idc F G fiat media proportionalis inter A. G, G B;& e su- er FG describatur figura Oimilis,& similiter posita ipsis R, S, & M . QuiaFD B ad eius dimidiam A B est, ut C Bad eius lubduplam BG: Ergo permutando A D B ad B C est, ut A is ad BG; o&diuidendo D C ad C B est vi A G ad G B. Qia re, earum subduplicatae rationes EC ad CB, & F G ad G is eaedem erunt L cum tres D C, C E, C B proportionales sint, pariterque tres A G, G F , C B sint proportionales ). Et iterum permutando h C ad F G erit, ut C B ad B G; est vero C h dupla ipsius G is: Igitur .EC dupla est ipsius F G. Et plinpterea m figura M quadrupla erit figurq o; cumque is quadruplum ligurrum o ex media proportionali inter A G dc G B sit ex- cc risiarc Rex aggregato iupra figuram Sex differentia
casulitiem A G, dc C B cum C G equalis facta sit ipsi G B . Iguvi figura M est excessus figurq R Iupra figuram S. QIod
260쪽
a 33 COROLLA R IV M. Euct sc Mani festum est differentiam duorum quadratorum equalem esse parallelogrammo rectangulo contento stib disterentia, aggregato laterum. Nam quadrata sunt figurq similes, Ac ideo , ex hac propositione, exces luS quadrati R supra quadratu Saequalis est quadrato M ex E C media proportionali inter aggregatum DC,&differentiam C B eorundem late. rum A B, A C descripto; sed quadrato. M aequale est parat o corolt x. lelogrammum rectangulum DC B, clim hoc ab extremis; propi I. . illud vero ex media trium proportionalium D C, C E, C B secta sint. Ergo excessius quadrati R supra quadratum Saequalis est rectangulo sub C B differentia laterum, & sub D Caggregato eorundem B A, & A C contento. s C H O L I U M. Et, se dicta figurae fuerint circuli, sectores, aut rectiliveae regulares s-
miles; erit dissereatia figurarum aequalis triangulo rectangulo contento a disserentia radiorum, di ab aggregato ambituum earundem figurarum.
Super aggregato DC, , disserentia C B ipsarum BA, AC descriptae suppon intur duae figura N, di sisim les ipsis R, S, M. Et p quoniam amia P cq eu bitus figura N ex aggregato ipsarum D A,seu BA, AC aequalis es P ''aggregato ambituum figurarum in radius sidiet se i d fer, tia earundem B A, A C descripte squalis est erferentis radiorum figurarum R, S, eo quod B A, A C, C B, aut sunt radii, aut latera homo- loga earun&m figurarum q proportionalia radijs. Tropterea triangulum , rectangulum, contentum sub ambis figurs N, raso figurae erit huius. coutentum sub aggregato ambrtuum, O di ferentia radiorum figurarum R. CpS. At r triangulum rectangulum contentum d radio figurae si, O rprop. tr.
amb tu figurae N equese est figurae M , cum ambo media proportionalia fiet inter semiles figuras N, ct e. Et ex hac propostione es AI excessus figur supra figuram S. Ergo triangulum rectangulum contentum sub aggregato ambituum, di disset entia radiorum figurarum IL, O S squale es disserenti e earundem figurarum .
P ROPOS. XXIII. THEOR. XVI. . Erumty.io.
Si super duabus rectis lineis inaequalibus, & earum aggregato,atque differentia descriptae fuerint quaslibet circulares,