장음표시 사용
261쪽
vel rectilineae figurae inter se similes , dc si militer positae et erunt duae figurae ex algregato, dc ex differentia, simul sumptae,qquales duplo ligurarum ab inequalibus lineis datis descriptarum.
Super duabus rectis lineis inaequalibus A B, & B C, ik ea-rmn aggregato A C, earumque differentia A D sint de Ieripte quelibet circulares, aut rectit inee inter se si inllessi gurq, ct similiter positqR,S,M, &N. Dico duas figuras M ex amgregato, & N ex differentia datarum, simul iumptas, equales
TR esse duplo figurq R una cum duplo
figurq S. ex datis lineis descripta- in rum. Quoniam a figura M equalis ita , e ... I est figure Nuna cum quadruplo, spatij medii proportionalis inter M R. & S: Ergo addita commui iter figura N. erunt figure M. & Nequales s xlpatiis,lcilicet da- ficutae N& adruplo medii proportionalis inter figuras R. & S; sunt . vero figurq R , & S ex uaequalibus rectis A B, n Cctaei me ouales fi inure N ex differentia una cum duplo
gurae R. una cum duplo figure S squale est itidem lex spa- eiic Lollieet duolo figur*Nuna cum quadruplo medii pro.
gregato, & differentia descripteqqaales tuat dapIs heu te Runa cum duplo fi gurq S, quq ex in qualibus datis rectu, A B. BC describuntur. Quod erat ostendendum PROPOS. XXIV. THEOR. XVII .
Si super tota, & super segmentis recte lines extrema , ac media riutione diuisae descriptae fuerint figure circulares, vel rectilinee similes inter se, & similiter positae it que ex tota,& minori legmento vireque simul tripl* iunt ligure ex maiori segmento descriptq. Et si duq fgute ex tota, di ex minori segmento triple meritat ei IS, que ex maiori tegmento describitur: erit tota recta luIea tecta extrema, ac mediae
Sit recta A B secta extrema, & media ratione in C, cuius segmentum maius AC: & descript* iuvit super A B, AC, S C
262쪽
B tres circulares, aut rectilinee figure R, M, & S inter se similes,& similitcr posite. Dico figuram
R ex tota, una cum hgura S, ex minori segmento, triplam esse figurqM ex maiori segmento descripta . Quoniam super duas rectas inequales,B, & B C, atque earum differentiam AC descripte sunt tres fi eurq R, S&M similes, desi- . militer posit*: Ergo duq figure R, & S super in ectualibus re- buiis,.ctis A B, B C descripti qquales sunt figurae M ex differentiata, A C, una cum duplo spatii medii proportionalis inter figuras , renu. i. R, dc S: Estque o figura M media proportionalis inter figuras prop.ra. i. R, S ei similes Tropterea quod tres rect* A B, A QC B proportionales sunt. Ergo figurq R, & S squales sunt triplo ginrae M.
Secundo sint figurq R, dc S ex tota A B, & minori segmento C B, simul sumptae triplae figurae M illis simili. dc similiterposite ex maiori segmento A C. Dico rectam A B lectam esse ein C extrema, & media ratione. Quoniam e duq figurq R, &S equales sunt figurae M. ex differentia, una cum duplo medii proportionalis inter R. dc S ; erant autem due figurae R, dc Sqquales triplo figurq M: Ergo triplum figurae M qquale est mgura: M,una cum duplo medii proportionalis inter figuras R, α S; dc ablata communi figura M, erit duplum figurae M q- quale duplo medii proportionalis inter figuras R, & S; ideoque figura Al squalis erit spatio medio proportionali inter figuras ei similes R, & S. Quare a figurarum R, M, S tria ho- d eareu mologa latera A B, AC,&C B proportionalia erunt die pro- pra'. a. q. pterea recta AB Iecta erat in C extremi ,& media ratione. 't y--i ut erat propositum.
Si super asgregato totius & minoris segmenti, atque super maiori tegmento recte lineae extrema, ac media ratione di-Visae, d. lcrapi; fuerint figurq circulares, vel rectilinee simi-Ies , dc similiter positq, quq ex aggregato describitur figuractu intupla est eius, que ex maiori segmento describitur. Et si figura ex aggregato totius, & minoris segmenti descri-Pta quintulla fuerit eius, quq ex segmeto maiori describitur: erit ista recta linea ciuita extrema, ct media ratione.
263쪽
Sit recta linea A B secta extrema,& media ratione in C, cuius segmentum minus C B;producaturque B D qqualis minori segmento C B; atque super A O aggregato duarum A B, ct B C, atque super differentia earum, seu maicari Legmento A C, facte sint quelibet figure circulares, vel rectiliae g R. iv Minter se si miles, , si militer posite. D co figuram R quintuplam esse figurq M.Quoniam a figura R ex A I aggregato in- squalium rectarum A B, & B D, seu B Qequalis est figure Mex AC illarum differentia una cum quadruplo spirii medii Proportionalis inter figuras super inequales AB,dc B C, que si miles sint, dc fimiliter positrum ipsis R, & M. Estque , figura Mmedia proportionalis inter figuras ei similes super A B, ct BC similiter descriptas cum recta A C media proportionalis sit posita inter A B , & B C . Ergo figura R quintupla est figurs M. Secundo sit figura R super aggregato totius A B, de segmenti CB deseripta, quintupla Agure M si milis ipsi R,qne super earum disterentia AC similiter describitur. Dico rcctam A B sectam eme extrema ,&A C B D media ratione in C, cu IUS minus, segmentum erit C B. Quoniam e fi-b gura R ex aggregato descripta e- qualis est figurq M ex differentia una cum quadruplo spatii medii proportionalis inter figuras similes eis. & simi Iiter postas super rectas A B, & B C; & ex livpothesi figura R qqualis est quintuplo figurq M: Ergo quin tuplufigure M qquale est figurq M una cum quadruplo dicti ipatii medii proportionalis;&ablata comuni figura M.' erit quadru- situ figure M equale quadruplo dicti spatii medii proportionais;ideoq; figura M qqualis crit spatio medio proportionali inter figuras ei similes super AB, dc BC similiter descriptas; proptereaque a tres rect* B A, A C, dc C B proportionale;
erunt; Sc e A B secta erit in C extrema, dc media ratione. derat ostendendum.
Si super aggregato minoris, & semissis maioris, atque super semime maioris segmentorum eiusdem recte linee extrema, ac media ratione diuise, descript* fuerint dus circula
264쪽
LIBER v. ar res , aut rectili nee figure inter se similes, & similiter posite : que ex aggregato describitur figura quintupla' st eius, itiq ex semisse maioris legmenti describitur. Et si figula ex aggregato minoris segmenti, & semisse maioris quintupla fuerit figurq que ex semisse maioris segmenti describitur: erit tota recta linea diuisa extrema, & media r
Sit tota recta B A ad A C, ut A C ad minus segmentum CB ; & secta sit A C bifariam in D; atque super B D aggregato segmenti minoris BC,& DC semisse maioris; nec non super DC semisse maioris descript* supponantur qu libet figur e R, & M circulares, vel rectiline q similes inter se.& similiter positq. Dico figuram R quintuplam esse figurq M. Sece- a prost y.I I tur C B bifariam in E. Et quia, DC ad C E est, ut AC du- op PD. plum prim; ad C B duplum secunde; & est A B secta in C ex- .
trema, & media ratione. Ergo et 3h quoque in C secatur ex P v c trema, & media ratione, cuius segmentum minus erit C E. '
Cumque sint descript* due figure similes, & similiter posite, R quidem super D B aggregato totius D E, & E B, seu E Cminoris segmenti; atque figura M super maiori segmento a . D C. Ergo a figura R quintupla est figurq M. Quod erat pri- btitui.
Secundo sit figura R, super D B aggregato segmenti minoris C B, & D C semissis descripta, quintupla figure Midi sinibli super D C semisse maioris segmenti A C similiter descripis. Dico rectam Hlotam A B sectam esse in C extrema,& media ratione. Secta e C B bifariam in E .Q ba figura R stiper aggregato totius D E, & minoris tegmenti C E, seu L B descripta,quintupla ponitur figure M smil i priori,sic pper maiori segmento D C similiter descripte. Ergo frecta D Elii C secatur extrema, & media ratione; sed .g ut D C ad C Ei v θ., ita est A C dupla prim* ad C B duplam secundq. Ergo b recta ii, , A B quoque secatur in C extrema,& media ratione,cui US se hprop. 56. mcntum minus est C B. Quod erat ostendendum . - . PROPOS. XX VII. THEOR. XX. i
Si super aggregato semissis totius,eiusque segmenti maioris
265쪽
atque super eadem semisse rect*linee diuise extrema, aemedia ratione, descripte sintdue ciue libet figure circulares, vel rectili nec si inites inter se, & similiter posite; quae ex aggregato describitur figura, quintupla est eius, que ex semisse totius describitur, figure. Et, si figura ex aggregato semissis totius rectae linee,eiusq; segmeti maioris quintupla fuerit figurq ei simili, oue ex semisse totius similiter descri-hitur:erit tota recta linea diuisa extrema,& media ratione.
Sit recta linea A B secta in C extrema, & media ratione, cuius segmentum maius A C;& producta sit A D equalis medicitati totius A B; atque super D C aggregato segmenti maioris A C, & D A semisse totius; nec non super D A semisse totius descript supponantur dum figurq circula rerum vel rectilinee R,&M similes inter se,&fimiliter pCste. I acc figuren Rex aggregato quintuplam este figurq M ex semisse totius descria prv. y I. piq. Secetur a AC bifariam in E, & quia , D A ad A I, est, ut b prv- B A duplum prim ad A C duplum secundae x vel ut A C ad C. ., B, cum sit AB secta in C extrema, ac media ratione. Ergog, et E quoque in A extrema, ac D edla d prat. 16 -r. A. L c ae rotiCre se cotur cuius sero entumis. . M p ' minus est A E. Cun oue dum figurae similes, ct similiter pc site. R quidem
descripta est super aggregato totius A E. eiusque nunc,ris segnienti E C, vel A E ; & figura As descripta est luper eius maiori tegmento D A. Ergo e figura R quintupla est figurae M. Quod erat
R Secundo figura R super D C aggregato ipsius D A semisss totius A b, & segmenti maioris A c. descripta , quintuplast figurae M illi simili super D A se se totius A B similiter descriptae. Dico totam rectam lineam AB Iectam e ste in Cextrema, & media ratione. SeccturIA c bifariam in E. hisy ''' quoniarn figura R nTer DC apyrcyaro torius D E, eiusque segmenti minoris E C, vel A E descripta, qumtupla est figurae Mei simili super differentia, vel mai Cri segmcnto D Ag prv, i, descriptae: Frgoa D E secatur in A extrema, & mcdia ratio-i ne; sed, b ut D A ad A E, ita est B A dupla primae ad A C du-hu' plana iecitndq. Ergo i similiter recta A D sccatur in C extre-i Irop. 56. ma,& media ratione, cuius maius segmentum est A C.Quod . . erat ostcndendum.
266쪽
LIBER V. PROPOS. XXVIII. THEOR. XXI
Si super tribus lateribus trianguli ambligonis,atque super media proportionali inter latus circa,angulum obtusum eiusque productionem usque ad perpendicularem ab opponito angulo cadentem, describantur figurae circulares, vel rectili nee similes, ct similiter positae: erit figura ex latere obtusum angulum subtendente equalis summe figurarum ex lateribus obtusum angulum ambientibus una cum duplo figurq ex illa media proportionali descriptq. In triangulo A B C sit angulus C B A obtusus a ab angu- ah b. trito C ducta C Dpei pendi culari supra AB secante eam in D. ib i.
Pa tet , perpedicularem C D cadere extra triangulum ad par- b eorou.8.
tes oculi anguli CBDi & fiat e B E media proportionalis prv. s. rinter A B, & B D, & super lateribus AC. R C, A B, B E, A D, R - - - B D,&CD descript sint quelibcti '' gurae circulares, vel rectilineq X, S, R, Y,M,T, &N inter se similesin simili-
i ter positae. Dico figuram X ex latere
, I i subtendete obtusum angulum descri-
ira hi plani, aequalem esse duabus figuris R,
et I l &Sex lateribus continentibuS angu-I I D: lum obtutum, una cum duplo figurae. i. ' . di E F Y ex B E media proportionali inter R B, & B D. Quia in triangulo A D C re- .es eius est angulus D. Ergo a figura X ab ,--L ' qualis est duabus figuris M in N: sed figura . M ex A D aegregato rectarum A B, & B D aequalis . . iest duabus figuris Rin Zex eisdem rectis deicriptis,una cum hi tui. duplo figurae T. ex media proportionali inter A R dc B D- E go figura X aequalis est figuris R, T, dc N eum duplo figurae Y: Sedffigitta S equalis est duabus figuris T, & N propte- fprest is rea quod in triangulo CBD rectus est angulus D): Ergo fi- , iungura x equalis est duabus figuris R in Suna cum duplo figurae Y ex media proportionali inter latus A BAE productionem eius B D usque ad perpendicularem C D. Quod erat stendendam. Ch
267쪽
EVCL DIS RESTITUTI COROLLARIVM I.
Asmiscstum est, si dictae figurae fuerint quadrata e me quadrat una ex latere sit btendente anslatum Obtusum equale duobus quadratis ex lateribus d :ctum obtusum angulum ambientibUS , vi acuti duplo parallelcgran mi rectanguli sub uno latere circa obtusum angulum,& sub eius productione usque ad perpendicularem ab Opposito angulo cadentem. g coroII. a. Nam g parallelogramum rectangulum A B D aequale este v. .i. quadrato Y ex B E media proportionali inter A B.& B D, c st-que quadratum X equale quadratis R. & S, & duplo quadrati V (ex hac propositione, cum quadrata sint inter se si milia): Ergo quadratum X qquale est quadratis R, dc S, dc duplo rectanguli parallelogrammi A B D.
Et si dictae figurae fuerint circuli, sectores, aut rectilinee regulares similes & similiter posite, erit figura ex latere subtendente angulum obtusum aequalis duabus figuris ex lateribus obrutum angulum ambientibus, una cum duplo trianguli rectanguli contenti sub radio figurae ex latere circa angulum Vbi usum, & sub perimetro figurq ex productione ciusdem usque ad Ferpcndicularc m ab ol posito angulo cadcntum, de
h prv I. Nam, tria gulum rectangulu contentum sub radio figurae R , d perimetro figure Z est medium proportionale inter figuras regulares similes, vel circulos R, S T, & ideo, equale. I, i est fgure Y,que pariter media pi oportionalis est inter Aguraso θ. r. R,S Z, cum latera A B, B E, & B D prc portionalia sint. Quare tibi s. figura X cqualis erit figuris R,&Suna cum duplo trianguli rectanguli sub radio figurq I ,& perimetro figurae Z contenti. PROP. O S. XXIX. THEOR. XXII.
Si super tribus lateribus cuiuslibet trianguli, atque silper media pri portionali inter latus circa angulum acutum, eiul- qi e tegmentum vique ad perpcndicularem ab Opposito angulo cadentcna , descripte suerint qCelibet figure circu- Iarcs, vel rectiline q similes inter se, de sinulater Posite ; crit
268쪽
ssignia ex latere acutum anguluin subtendente equalis excessui duarum figararum ex latcribus evnsim acutum angulum continentibus sura duplum figurae ex illa mediata Proportionali.
In triangulo A A C lli angulus p acutus ;& stipera latus A aB acutum angulum continens cadat ab Opposito angulo CP erpendicu lara s C D, secans. latus A B ad partes acuti anguli b R' 'a 3 .
n alis inter B A , dc B D , & super A C U. Et Lm .i o. C, A B, BC, EB, AD, DB, dc CD stant figurae quasibet GR,S,M,Z,Y, ct N circulares, vel rectilines sinables,dc similiter posite. Dico figuram
X ex latere subterulante gngulum : I riaculum B,squalem esse excessui duarum figurarum R,& S ex lateribus Vm acutum angulum continentibus sinpta duplum figurq Y ex media proportionali E B. Quoniam a in triangulo A C D rectum est an- d strv. is. gulus D. Ergo figura x qualis est figuris M, & N; & figura X h cum duplo figurae Y,erit iqualis figuris MAE N cum duplo figurae Y; sed figuris R, Z aequalis est figura M ex differentia lateru A B, DB, duplo figurae v ex media proportionali.Ergo ' figura. X unacu duplo ngurq Yqquatur tribus figuris N, R, F, .,. iaci Z est ver figura S cqualis figuris N, & Z cum in trian- itiis,. gulo C D B angulus D rectus sit . Igitur figura X v na chi m. ' . duplo figurq Y squalis est duabus figuris R, &S, & ablato communiter duplo figurq Y: erit figura X qaualis excessui S gurarum M & S supra duplum figurq Y. Vt fuit propositum.
Manifestum est, si dicts figuri fuerint quadrata, esse quadratum lateris acutum angulum subtendentis equale excessini duorum quadratorum laterum, acutum angillum continentium supra duplum parallelogrammi rectanguli sub uno latere circa angulum acutum, de sub eius segmeto ab eodem acuto angulo usque ad perpendicularem ab opposito angulo cadentem, cqntenti. Nam g parallelograminum rectan- gearin s.
gulum A B D equale est quadrato Y ex media Proportionali Fropes .
269쪽
inter A B,&B D. Ergo ex hac propositione defectus quadrati X qualis est differentiq duorum quadratorum R, & S a duplo parallelogrammi rectanguli A B D.
Patet ex his duabus propositionibus, quod si super tribus lateribus trianguli descriptae fuerint tres figuli similes, Ac similiter positae, quarum una aequalis fuerit reliquis duabus sit. mulsum etis: triangulum erit rectangulum. Nam fi acutam gulam est, vel obtusiangulum: erit figura ex latere angulum acutum, vel obtusum iubtendentemqqualis duabus figuris reliquis. Quod est contra livpothesin. /
Et, si dictae figurae fuerint circuli, sectores,aut rectiline, 'fi. furae regularcs similes : erit figura ex latere acutum angi um subtendente aequalis ditarentiae duarum figurarum ex lateribus acutum angulum continentibus a duplo trianguli rectanguli contenti sub radio figurae ex latere acutum angulum continente, & sub perimetro figurae ex segmento ejusdem lateris ab angulo acuto usque ad perpendicularem ab opposito angulo cadentem, descriptae. Nam h triangulum rectangulum contentum sub rad io figura: R,& perimetro figurae: medium proportionale est inter figuras similes regulares, vel circulares R; & Z; ideoque aequale crit figurae X. Quyre figura X aequalis est diaerentiae duarum figurarum R,&Sa duplo triangultrectaguli contenti a radio figura 'R,
st perimetro figurae Z. PROP OS. XXX. THEOR. XXIII. Si super lateribus, Qtitudinibus ,& radiit trian fili, c hexa
goni regularium ab eodem circuIF cohanen fisorum de scriptae fuerint quaelibet figurae ei ulares, vel rectilineae inter se similes ,& similiter positae et erit figura ex latere trianguli tripla figurae ex lateret hexagoni iesquitertia figurae ex eius altitudine, dc duodecupla figurae radii eiusdem trianguli, qqualis fisturae ex altitudine hexagoni, dc quadrupla figurae ex radio hexagoni descriptS. In
270쪽
LIBER V. a IIn circi Jo. cuius radius D A inscripta sint triangulum A BC, ct hexagonum A L B C regul aria, & radius A La, qui I a coroll. r. cat angulum B AC bifariam, secabit b quoque arcum BC in Prop. s. bME , dc subtensum latus B C bifariam , & perpendiculariter in i .H, & propterea ADE diameter erit: ducature postea DG b P P, p. perpendicularis super BE, iungaturque BD, & ponantur quelibet figurg circulares, vel rectilineo similes , ct sinu liter . 'poste, M quide super trianguli latere A B, N super hexagoni latere B E, X super trianguli altitudine A H, Z super trianguli radio D H . R super hexagoni radio D G. Dico figuram M equalem esse figurae ex altitudine hexagoni, Ac quadruplam figura: R, & triplam figurq N, & sesquitertiam figurq X, atque duodecuplam figure T. Quoniam duo a anguli E B A A F B tectistit in semicirculis EB A, dc F A B. Ergo . A B erit distantia laterum A F, B E ae- quid istantium in hexagono, ct ideo A B erit altitudo hexagoni. Postea quia striangulum DBE aequi laterum est, erit g perpendicularis D G a vertices 'r tu
ad basim qualis perpendiculari BI semissi lateris BC, vel f ' 'MA B trianguli A B & basis D E seda erit bifaria in H ; estq;radius A D equalis D E. Ergo A H altitudo trianguli tripla x. i. , erit ipsius H E, vel D H radij triaguli, & i propterea qualium i corou. I. partium figura Zest una, erit figura X partes nouem, atque prop. I.ι.
figura N partes quatuor ( eo quod B E latus hexagoni equale est radio circula D E duplo ipsius D HI Rursus quia in triangulo A B E ab angulo h recto B perpendicularis B H secat baia k -- sun A E in H; igitur . E A, B A , & A H proportionales sunt , i 'di propterea m figura M. ad Xerit in duplicata ratione late 'rum, idest ' ut E A ad n H seu vi quatuor ad tria, vel ut duo 've' ''
decim ad nouem: est vero D G seimssis ipsiuS A B;ergo a qua--io. Iium figura Al est: duodecim , erit figura R treS parteS, & ea- ι. . runde erat figura Z una pars. Igitur ilgura Al ex latere triangu- o cprou. g. li , ct ex altitudine hexagoni, duodecupla est figurqZ,ec tripla P v i I,