장음표시 사용
271쪽
a EVCLIDIS RESTITUTI COROLLARIUM
Constat ex hac propositione,quod circuli diameter sesquitertia est altitudinis trianguli, ik quadrupla radii eius , & circuli radius est subsesquialter altitudinis inscripti trianguli regularis , & duplus radij eius. Ostensa enim fuit diameter A Esesquitertia ipsius AH, ct quadruplaiysius D H, atq; radius DE duplus triangularis radii D Η, & subsesquialser altitudi
Si super lateribus altitudinibus, & radiis quadrata trianguli, thexagoni regularium ab eodem circulo Comprehensorum fiant qaaelibet figurq circulares,aut rectili nee similes, & imiliter posite: erit figura ex latere quadrati dupla figurae ex latere hexagoni subsesquialtera tigurs ex latere triam guti, quadrupla figurq ex radio quadrati, octupla figure ex radio trianguli , dupla supertripartiens tertias Igurs ex radio hexagoni, stibae siquias tera figurq altitudinis hexagoni, di subsesquioctava figurq altitudinis trianguli. In cireulo, cuius radius E A inscriptum sit quadratum A RC D, cuius radius E H, & descripis sint quelibet figurq circulares , vel rectilinee similes, & n militer posit , M quidem iu- Per quadrati latere A B, vel altitudine eius, X luper radio EM, & N super circuli radio A E, di alie iss similes ngure sinperlateribus,radiis, det altitudinibus triangultu hexagoni in eodem circvio inscriptorum . Ostendendum est figi iram M habere ad reliquas figuras proportiones expositas. Conuing, ex re . . tur recta EB. Quoniam a angulu, AEB ad centrum qua vi /- drari rectus est, & caditab angula recto perpendacularis E Hh P v super basim A Ream 3 diuidens in h bifariam, cum ex centi oci culli ducatur. Ergo e recta E A media proporrionalis est inter A B, A ri; pariterque rem E H media proportionalis
est inter equalia pegmenta B H, H A; & propterea E H equa- , u lis erit semissi ipsius A B: unde a figura M ex fier2 in 'axi erit quadrupla Mure X ex radio emissem 3 pariterque e figues
tra L V M id es similam figuram N er c ut d A ad eius siesu plani
A H; & propterea qualium partium figura M
272쪽
' LIBER V. figora X partesduq, dc figura Ne Aram Ddio circuli, seu sex latere inscripti hexagoni regri iris, erit partes quatuor; sed a qualium figura ex latere hexagoni est quatuor partes, fuit figura ex eius altitudine duodecim, & figura ex eius radio tres partes, atq; ear undem fuit figura lateris inscripti trianguli regularis duodecim partes, & figura ex eius altitudine partes nouem, & figura ex eius radio una pars . Igitur figura Mex latere quadrati, seu ex eius altitudine quadrupla erit figurae ex eius radio, dupla figurae ex latere hexagoni, subsesquialtera figurae altitudinis eius, dupla luperbipartiens tertia3 figurae ex radio eiusdem, atque subsesquiahera figurae lateris trianguli, octu pia fisurae radij eius, de subsesquioctava figutae ex altitudine eiusdem trianguli. Qibe erandostendenda - ffisi pratu
ratus inscripti quadrati medium proportionale en inter aggregatum lateris inscripti hexagoni di lateris inscripti decagoni, atque duplum lateris in cripti Acagoni . . Nam h recta composta ex latere hexagoni , in latere deca vi in ram h pras. t.
dem circulo descriptorum secatur extrema, di media ratione, cuius mam huius. ius segmentum est latus hexagoni. Ergo i parallato ammum rectangu- teorou s.
Ium sub aggregato lateris decagoni, di lateris hexagoni , rasub duplo Pre i s. lateris deeagoni equale es duplo quadrati ex latere hexagoni. Sed ex hac propositione quadratum circulo inscriptum duplum es quadrati ex laetere hexagoni Ergo quadratum circulo inscriptum equale est rectam-gulo parallelogrammo contento sub aggregato laterum decagoni di hexagoni , cd sub duplo lateris decagoni; ideoque h latus inscripti quadrati h cora a. medium proportionale in inter aggregatum Z aterum decetoni, in hexa- P v gom; atque cupium lauris decagoni
Si super lateribus pentagoni, hexagoni, dc decagoni regularium ab eodem circulo comprehensorum fiant quelibet figurq circulares, aut rectilines similes, & similiter positq: erit figura ex latere pentagonis qualis duabus figuris simul
suptis ex latere hexagoni, de eX latere decasoni deserici .
273쪽
In e iren to A C B sit A B latius insta ripti pentagoni, E A lauasebor prop. tus inscriPti decagon i regularium , & radnas DB erii latus s. huius. inscripti hexagoni; &super his latcribus descripte sint queli. het circulares, vel rectili nee figure si miles, & mni ter posite, M quidem super A B, R super D B, & S super E A. Dico fictu.ram M qqualem est e duabus figuris; R.&S simul s impiis D cor. Prop. Secetur , arcus A E subtentus a l a tere decagoni bifaria in . . .. H, sicutic arcuS A B in E frustus fuerat bifaria im eritque arcus aia.., A H quarta pars arcus. A B, tertia pars arcus B H & iun d , . h. gatur radita D H secansu bifariam, & perpendiculariter latus decagoni in O, & A B in X. iunganturque EΚ;BE, Sc diameter A C. Quoniam in triangulis A O Κ, & E O N circa angulos rectos uales ad O sunt duo late ra A O, & E O qqualia, e prepis. x & O Κ commune. Ergo e anguluS Κ E H equalis est angulo R1prop. H. A Hin quales quoque sunt anguli EB A,& E A B, cton in sistat peripheriis squalibus E A, B E, ergo anguli A E Κ, A B Eqquales sunt,estq; angulus BAE comunis in triangulis B EA, E
erit, ut E A ad A Κ, ideoque , figura Mad ei similem, & fimiliter posita si-guram S erit ut B A ad Ak. Rursu S quia, ut arcus EA i decima pars est totius peripherie A BC A, ita at-cus i A H semissis illius decima pars est semiperspheriae ABCi& est arcus B H triplus arcus A H. Ergo qualium partiti in arcus 2 cereii. A BC est decem erit B H tres, & B C sex partes ; ideoque ar--, cus B C duplus erit ipsius arcus B H; S i angulus C D B duplusii. erit anguli B D H; sed is angulus L DB ad centium duplus estn coroli. i. anguli B A C ad peripheriam: Er go anguli B D H. & D A BProp. .i. . R qualeS inter se sunt; & anssulus B est communis. Ergo is duo triangula A B D, & D B Κ similia sitiat; proptereaque A B ad o t. .ιι ,. B D erit, ut D B ad B Κ. Vnde a figura M ad ei similem, .sc sii
pro . ii . . . militer positana figuram R erit, Vt A B ad B Κ, erat autem fi p cor. prop. gura ea scian M ad fieturam S, ut eadem recta A B ad A Κ . Et s. gop figura M ad ambas figuraFR,&S si uitillii inpias erat, ut rccha
274쪽
Si super Iatere hexagoni, pentagoni,& subtendente angulum pentagoni in eodem circulo inscriptorum sint descriptae quelibet figurq circulaeres, ubes rectilinee similes, & imiliter postq: erunt figure ex latere pentagoni, & ex subtendente angulum pentagoni,simul sumpt*, squales quintuplo figurae ex latere hexagoni. In circulo,cuiusradius E A,sint A B,& B C duo latera petagoni,& recta A C subtendat angulu pentagoni, atq;descriptae sint quelibet circulares, aut rectiunee figurq similes, & similiter positq;M quidem super se dic RA, sule a latere hexagoni, R super AC,&S super A B. Dicosio mas R, dc S mulsum ' ptas equales esse quintuplo ure M. Producatur diameter bis . . AED,&coniungatur recta C D. Qtiomam b arcus A B quim .... . e qta pars est totius peripheriq A BD AErgo qualium partium peripheria circuli ABDA est decem erit peripheria A B due partes,& peripheria AB C quatitor;
sed earundem partium semicirculi
peripheria A C D est quinque: Ergo si peripheria C D est una pars decima , i i
atque similiter postq supcr diame- . trum AD,& superlatus decagoni V D. Quoniam a regulus A C D in . dcmicirculo rectus est; Ergo e figura Xex hvpothenuis aequa- is est duabus figuris R.Z simul sumptis;estques figura X qua- tropia figure M (cimi diameter D A dupla sit radii A E ) Er c., v. s.ciuae figurae R . & Z simul sumptae qquales sunt quadruplo prop. ii.ι. agiars M. Et addita communiter sigura M erunt tres figurae
275쪽
t-is . R, T,&M, simul simpis, aequales quintuplo figure Mig sed . m. duabus figuris T ex latere decagoni, & M ex latere hexagoni qualis est figura Sex latere pentagoni s Ergo dus figur*R, . de S aequalesciuit tribus figuris R, T ,1 M. Et propterea duae figurae R, & S squales erunt quintuplo figurae M . Quod erat
276쪽
Cum in qninquet pr*cedentibus libri*el erga pIana tradita sint, nedum per se utilia, & scitu iucivida , sed etiam omnino necessaria, ut passiones smidorum, siue corporum pedicipi possint: consequenter elementa prima, &-P a. Dporu m tradentur, initio sumpto a definitionibus mole geometrico .
. A T A (3 I Solidum, siue corpus, est, quod Iongitudinem, Iatitudinem promtiditatem habet, cuius extrema sunt superficies.
Solidus angulus est concursus plurium, quam duorum angulorum planorum o non eodem plano consistentium ad
unum punctum. - ..' I iUt si fuerint plures, quam duae recta AD, BD, CD, concurrentes in D, di non in eodem plano iacentes, iunguli plani AD B , BD C, ct C D A, non in eodem plano exictentes, di concura rentes in D, Ociunt angulum solidum D. Et siquidem anguli plani comtituentes olidum annium D fuerint tres v eabitur talis . Olidus angulus triangularis , si qFatuor quadrangularis, dis Murius.
III. Solida rectiIinea, quae qquiangula inter se sunt, dc omnia latera circa angulos solidos equales proportionalia habent . vocentur simula. '
Solida figura genita ex reuolutione semicirculi circa diametrum Cius quiescentem,quousque redeat ad locum, a quo moueri ceperat; vocetur Sphera. Et diameter quiescens, ocetur Axis spherq. Et centrum sphere erit idem, quod semi-Ii circuli. r.
277쪽
loco reuolati s ipsius pira re in rcu m C D saltem in aliquo puncto iiD in ster Mnctum E s ct tunc cplanum ipsum H,quo per duo puncta P, WE tran- A - - - si necessario per rectas tr insilist, quand quidem recta lutea ED van potes planum ipsum eon- l M itingere in Gobus punctis D, O E . oe extra ipsum exi A' ' et 'n
Si duo plana se mutuo secent, commurus eorum stoeo recta . linea est,
centa in lanea NO. incolineam Non rectam esse. Samantur duo quilibet 'puncta N & quq in linea communis uesectionisqxistant,adest iaceant in utroqve plano, istaPuncto Nado coniun- gat r .recta linea. Quia b recta N O pla-
no AC congruit, in quo puncta N, S O existunt, alias e non undequaque plano A C congrueret recta linea . Pariter recta di Sylano. F G copgruit, in quo pariter puncta N, deo existunt. Ergo recta N o in utroque plano AC&EG iacet,
e sique communis lectio eorundcm planorum linea unica . davis. r.( abas a plana se secantia haberent segmentum Commiane , humg. aut e solidam figuram combrehenderent: ergo recta N O est .e axio. g. conatu is sectio mrundem planorum. Orc, &c. ,- - .
Si recta linea incidens in comunem sectione duaru rectarum lis carum perpendicularis iuerit ad utranque, illa perpendi- culari, erit ad omnel rectas lineas, a quibus illa tangitur , qu sque in plano per dxias illas rectas lineas ducto,sunt i Vocetiar tali, ecta iubilavis Erecta, seu Perpendicularis id planum iubiectum. Dcic rectq linet C D, F E in plano M N existentes se secent in puncto B, dc recta A B efficiat tam angulum AB c , quam I i a angum
278쪽
angulum A B F rectum. Et ducatur
a prv.LMi se , angulorum C BF. Dico rectam Ao DI B eme quoque perpendicula rem ad
e .. . turque recte O B, A G, A O, A Κ, A H. Quia in triangulo iso stelio B H G basis G H bifariam secatur a recta B O; Ergoc o 3 perpendicul aris est ad H G. Postea quoniam in triangulis AGB, AH B duo latera G B, & H B equalia sunt , dc A B com-d - .hi mune, angulique A B G. A B H sunt recti: Ergo a A G. A Requales inter se sunt; estque tria nunti istoscetis G AH t basiserar.3 ρ. o F secta bifariam in Oa recta A Olgirure ipsi AD per. i. a. pendicularis est ad basim G H. Et quia in triangusta AB ED v i s. rectangulo in B, quadrato A H equalia sunt duo duadrata A ' i' B . B H, suntquθι quadrato B H equ alia duo quadrata B o ,s ' O H , cum angulus O rectus sit: Ergo quadrato A Requalia sunt tria quadrata A B, B O. di Ob. Similiter iri triangulo AOH rectangulo in O C dem quadrato A H equalia sunt duo quadrata AO O H. Igitur tria quod ala A B, B o, cilli equalia sunt duobus quadratis OH O A dt ablato communi h e. .it . quadrato OH,erunt duo quadrata A B.BO cqualia quadrato prop. iv.ι s A O di proptereah angulus A B O rectus erit. Quare si recte B h & B O coinci ni, erit angulas A B k rectus si vero non ip=-.is. Coincidit, addito communi quadrato oΚ, eroiul duo quali, s. drata A O, O k , idest quadratum N A propter angulum rectum k OB aequali, tribu siqvlidratis RP, DB, B A; sed G- militer duobus quadratis h O, O B aequale est quadrat una NB propter angulum rectum N O B s igitur quadratum k AE corou s. aequali est duobus quadratis N B, B A dc propterea h angui res rv. s. 3 A B k rectus est: Quare recta linea A B perpendicularis est ad qamlibet rectam Bli, quae a puncto B ducitur in plano M I, Quod erat ostendendum. Vocetur ipsa tecta A B Perpendicularis ad planum M N, quod per rectas C D, E E ducitur PR,
279쪽
PROPOS. III. THEOR. III. , s XI.
Si recta linea incidens in communem sectionem trium re ctarum ad singulas perpendicularis fuerit: ille tres rectae lineae
Recta linea A B incidat in B, & effetat eum tribus B C,BD, B E,se tangentibus in B,rectos angulos. Dico tres rectas B FC, B D, is E in uno plano esse. Si enim B E non iacet in plano C H, quod per rectas C B, dc B O duci poetest, producatur planum H C quousque .secet, planum per rectas AB, B Eexten-- sumun recta BG. Quoniam A B poni rurDerpend icularis ad duas B C, B Dis Ergo AB perpendicularis est ad rectam BG posi- . tam in eodem plano per rectas B C, B D extenso;led erat quoque A B perpendicularis ad B E , dc iacet BE inplano A g G. Ergo duo anguli recti ABE, SABGae- . quaaesuiuat inter se, pars dc totum, quod est impossibile.Non ergo recta B E extra planum C H iacet; idenque rectae B C, B, D, B E in uno sunt plano. QuDd erat ostendendum.
PROPOS. IV. THEOR. IV. Eu es. g.Er
Si in quolibet plano per rectam lineam ad subiectum planum Perpendicularem extenso , recta eidem perpendiculari pa- C rallela ducta fuerit: eritilla perpendicularis quoque ad pla-. f num su biectum. Vocetur autem sublime planu Erectum, , leu Perpendiculare ad planum subiectum. Sit recta C D perpendicuIaris ad planum E G, dc per C Dductum sit quodlibet planum C D B, dc in eo ducta sit AB parallela ipsi C D. Dico rectam A B ad idem planum E G perpendicularem esse. Iungatur recta B D. & in plano E G duc a prop. 1 tur recta a HB perpendicularis ad rectam B D, & coniungin- ..i . tur recte H D, H C,& B C. Quoniam recta C D perpendicu- r Iaris est ad planum E G; Ergo b C D essiciet rectos angulos iacum rectis lineis D B , de H L in eodem plano extensis ad terminum D; ideoque cin triangulo CH Drectangulo in D erit d p v. ag. quadratum C H equa ae duobus quadratis C D, dc D H M. sed L s.
280쪽
quadrato D H equalia sunt duo quadrata H B , dc B Dc propterea quod angulus H B D rectus factus in . Igitur quadratuHC cquale est tribus quadratis HB BD, Sc DC;est vero quadratum DC celitate duobus quadratis BD, dc DC eo quod angulus Cl B rectus cst X Ergo quadratum H C aequale est duobus quadratis H B , & B C; dc proptereae in triangulo C B Hanetulus H B C rectus erit , sed iactus fuit angulus H B Drectus riclitur necta H B iperpendicularis est ad duas BD, ct , T C; dc recte BC, &I, 1 iacent in eodem plano parallelarum A B, ct CD,m quo inuncta B , C, & D existunt: Ergog recta HB perpendicularis quoque est ad rectam B A, quaean eodem plano C B D existit . Est 5 etiam angulus A B D rectus, cum reliquus internus et CD B , & ad easdem .partes parallelarum stquoque risuil: Ergo recta A Bperpendicularis in .ad duas recta, B D , S E H doncurrentes in B; Et propterea, A B perpendiculariverit ad Planum E G, quod per rceias BD & B H ducitur . Quod erat ostendendum. Vocetur quodlibet planum CD B ductum per rinctam C D perpendicularem ad subiectum planum, Erectum , seu Perpendiculare ad idem planurit E G.
. Recta linea duo piincta coniungens in duabus parallelis sumpta in eodeni plano parallelarum iacet. Sumpta EIum
fuerunt puncta B C in parallelis A BAED ,& ostenta ivit recta B C in plano parallelarum A B, C D iacere. PROPOS. V. THEOR. V.
Sidue rectead idem platium perpendiculares fuerint, Parab
. e. M.,Ag Sint due recte B A, & D C perpendiculares ad planum E G. tibi . Dico rectas B A, & D C parallelas esse. Si enim B A no est parallela DC, in a plano DCA,a puncto A ducatur AH parallela huiu/. - ipsi C D, dc , per rectas A ri, & A B extendatur planum secans