장음표시 사용
281쪽
subiectum e planum E G in recta N A Κ. Et quia D C perpen- e prep. ridicularis est ad planum E G: Ergo u ei parallela H A perpendi- h- cularis quoque erit ad planum E G igitur eangulus H A k rectus erit; sed B A Perpendicularis quoque est ad planum E G. - Ergo angulus B A h rectus quoque est; dc - msunt anguli B A Κ, & H A X in eodem plano D DB A k: igitur totus angulus B Akcqualis est angulo H A usue parti, quod est absurdum. Non ergo alia recta,quam B A este Potest,parallela ipsi D C. Quare patet propositum.
Euci. Ii.Xi Hinc constat ab eodem puncto, sue in sublimi, siue in sin ibiecto plano . unam tantum rectam lineam serpendiculare messe posR ad subiectum planiam. Si erum dur L B, A H ad planum EG perpendiculares csse possent,inte separallesq essent ex hac propositione, & se secarent in A, quo est impossibile.
C O g O L L A RIVM II. o Prop. LConstat ex his duabus propositionibus , quod in quolibet rumi
plano ad subiectum planum erocto omnes recti lineq, que in eo existentes perpendiculariter ad comunem planorum sectionem ducuntur, iiiiii quoque pcrpendiculares ad subiectum planum. Et ista,quq a puncto subluni eiusdem plani erecti ducitur perpendiculariter ad subiectum planum cadet incDmtinem pilanorum sectionem. Nam ut planum aliquod DC Acen ieta debeat perpendiculare ad planum subiectum 'EG, necesse est,ut extendatur Per aliquam perpendicularem ad planum dubiectunt, ut per C D;&tunc a quelibet recta A . i. B cum AC communi iectione essiciens rectum angulum B 'AC, erit quoque parallela ipsi DC, eo quod reliquus internus D C A rectus quoque est. Unde ex propositione quarta A B quoque erit perpendicularis ad planum iubiectum E G. Si vero a puncto sublimi B, existente in plano B D C, erecto ad subiectum planum E G, cadat B A perpendicularis ad planum iubiectum , punctum casus A existct in recta A C communi sectione planorum ; eo quod ostensae sunt duae perpendiculares B A, ct D C paralIelae inter se in hac quinta propinsitione, di ideo recta B A existet in eode plano erecto C D B, in quo nimirum existit communis planorum sectio A C.
282쪽
A dato puncto in sublimi, aut in subiecto plano posito, ducere rectam lineam perpendicularem ad subiectum pla
Sit quodlibet planum E G: Debet a puncto A indicto plano, aut in iublimi posito duci recta i inea , quae perpendicularis sit ad sit biectum planum E G. Per punctum Aa ducatur quodlibet planum ABDC, secans , subiectum planum E Gin recta B C, atque e in plano A B C D a puncto A ducatur AF perpendiculatis ad rectam B C , & . in plano E G a puncto intersectionis rectarum BVA F ducatur H Κ perpendicularis ad eandem P C; tamdem in plano per rectas F A & H Κ e ex . tenso ducaturra puncto A recta AOper-- l pendicularis ad rectam H Κ. Dico Aod perpendicularem esse ad planum E G. .li Quoniam recta BC perpendicularis est ad duas rectas F A, & H Κ se secantes primo in A, secundo in FrE rgog recta BC perpendicularis est ad planum per rectas FA & H Κ ductu mi atque . planum E G extensum per eandem perpendicularem B Cerit quoque erectum ad idem planum : ergo dicissim planum per rectas F A, H Κ. ductum Aerpendiculare erit ad planum E G; & tecta A o existens in plano per F A, H Κ extenso vucitur perpendiculariter ad H k eorum communem sectionem. Ergo i recta A oderpendicu latis est ad planum E G s quod faciendum erat. PROPOS. VII. THEOR. VI. Si due recte line* vni tertie parallele suerint, no in eodem plano existentes, inter se quoque parallele erunt. Sint rectc A B.& C D parallelq eidem reine E F, & non sint omnes in uno plano. Dico rectas A B, & C D inter se paralle-
283쪽
LIBER UL aspias e me. A quolibet a puncto Grect* E F n nducantur in planis equidistantium rectS V - ia.
lineq G H & G Κ perpendiculares ad ean- i F idem E F. quq secent oppositas parallelas mi , , in id,& Κ,dcco iugatur recta H k.Quonia- eadem recta linea EG perpendicularis C N Dest ad duas rectas G H. G h: ergo E G - . Perpendicularis est ad planum G H Κ ; est vero A H parallela ' ipsi E G. Igitur e A H perpendicularis quoque est ad planli HG N. Eadem ratione C i 3 equi distans eidem E G perpendieii Iaris quoque erit ad planum H G Κ; cumque dias rectrum AH. d. - ,& C Κ sint perpendiculares ad planum HGk erunt A H di ta C N inter se parallel*Qclod erat ostendendum.
PROPOS. VIII. THEOR. VII. Eues. I p.
Si duo plana se mutuo secantia per duas parallelas ductiusuerint . efficient communem lectionem utrique ipsarumcquid istantem. Et si a bo plana perpendicularia fuerint ad I ibiectum planum ; & communis eorum sectio ad planum subiectum perpendicularis erit. Primo per duas rectas 'quid istantes D Sih F H ducta sint duo plana Ac BF te secatia in recta linea AB.Dico A B parallelam esse utrique ipsarum D C, & F H Si enim hoc verum no est in duobus planis AC, A Ha a puncto cdmuni Asiectio. R 'rnis A B ducantur, A O quidem parallela ipsi DC,S A Nparallela ipsi F H. Et quoniam A O, F Fl parallelq sunt eidem D eriam inter se parallelrum quoque ;& fuit A N eidem F H pa- .rallela. Ergo i A O, & A Κ parallelae sunt inter se, & se secant .., in Aquod est impossibile.Non ergo alia me recta linea pr*ter A B communis planorum icinonis, esse potest parallela virique equid istantium D C, F H. Secundo plana A C,A H perpendicularia ad sit biectum planum E G , idque secaria in BC, BH se mutuo secet in recta A B. Dico A B perpendiculare esse ad pi 3 num EG . a quiduslibete punctis C,&H in planis erectis du ' cantur perpendiculares C D, H F ad communes sectiones B C, B H: erunt talia DC, quam H F PerPendiculares ad Pi
284쪽
pprop. s. num subiectum E G;& propterea g D C,& H F parallele erunt huiui inter se; ideoque per eas ducta plana A C, B F efficient com-h ex P imss munem sectionem A B parallelam cuilibet ipsarum C D: sed P' erat DC perpendicularis ad planum subiectum ergo A B pd- P v '' norum, communis sectio Perpendicularis quoque erat ad . subiectum planum E G, Vt iuerat propositum.
PROPOS. IX. THEOR. VIII. Si ad duo plana eadem recta linea perpendicularis fuerit omneu rectae Iime inter te parallelae iectae ab illis duobu* planis, erunt aequales inter se. Vocentur illa duo plana Parillela inter se. Sint duo plana A B, & D C, & una tantum linea M O pedipendicularis sit ad utrumque planum,& duae quae libet rectae lineae EF, G H parallelae inter te secentur utrinque ab eisdem 'planis in punctis E, F, G, H. Dico rectas E F, re GH aequales esse inter se. A punctis E, & Gaducantur rectae EF., GN perpendiculares ad reliquum planum CD,&coniungantur rectae N F. N H . Κ N, PH, ik E G. Quoniam rectae M o, dc Eli perpendiculares sunt ad planum CD: Ergo rect* M O, E h. par illelae sunt inter se, & earum una o M perpendicularis est ad planum A B: Ergo reliquac k E perpendicularis quoque erit ad idem planum A B. Eadem ratione recta G N, que perpendicularis ponitur ad planum C O erit quoque ad reliquum planum A B perpendicularis AQuare dus recte Ex & G N perpendiculares quoque erunt ad rectaS contiguas E G, & Κ N in eisdem planis existentes. Et propterea e spatium rectangulum E GN Κ parallelograminum erit, cuius
Ooposita latera E Κ.G N eoualia, & parallela ertuit; nec minduo latera E G, Κ N parallela erunt in aequalia. Iam cum Petduas parallelas E G, & Κ N ducamur duo Plaena E H,& N F se secantia in recta F H: erit fF A parallela ipsi E G ; sed posui fueram duae E F, & G H parallela: inter te. Ergog iparium EG H F parallelogramum est, cuius opposita latera E F, & UH aequalia erunt. Eadem ratione relique omneS rectae para
285쪽
LIBER VI. a Soequales inter se, dc qquales ipsis E F, G H.Qu'd erat ostenden dum. Uocentur iam duo plana A B, CD Parallela inter se, &quqlibet recta M O perpendicularis ad utrunque planum vocetur Distantia eorum. COROLLA RIVM I. Euri. is .XIPatet, si recta linea ad unum qquidistantium planorum perpendicularis fuerit, eme quoque perpendicularem ad reli- . quum. Et si duo plana parallela secentur ab alio plano, es comunes eorum lectiones parallelas. Et qu*libet recta linea aiat planum secans unum qquidistantium planorum secabit quoque reliquum.
Nam recta linea E Κ ducta fuit perpendicularis ad planum C D; & ostensia fuit perpendicularis ad reliquum planum A Bparallelum ipsi C D. pariterque sectiones E G, F H, facte a plano quolibet E H m planis parallelis A B, & C D ostenta fuerunt parallelq inter se. Rursas si quelibet recta linea E F secuerit planum A B in E, poterat, per E duc E k perpedicularis ad planum CD,& pla- h prop. 6.
nun per rectas L Κ & EF extensum necessario iecabit pla- bumi.1ium c D in aliqua recta per punctuni extens a. ideoquc rem , ictae k F, E F conuenients cuna angulus k rectus sit angulus k h F sit acutus contentus a kE perpendiculari ad planum - s AB, &ab h F, quae non iacet in dicto plano) unde recta EF, dc quodlibet planum per ipsam duci iam secabit quoque reli quum equidistantium planorum C D.
Constat etiam duo plana parallela , scilicet ad quae eadem recta linea perpendicularis est, nunquam concurrere . Nam infinite productis parallelis planis A b, dc C D ubiq;potest duci aliqua recta linea G N, quae perpendicularis sit ad Utria naque planum, dc squalis erit uni perpendicularium E h.
PROPOS. X. THEOR. IX. Eues. id. et is XI. Si duae recte lince se mutuo tangentes ad duas rectas se tangentes fuerint parallelae, illae angulos ad easdem partes Κk a Ver-
286쪽
vergentes aequales comprehendent. Et plana, quae per illas ducuntur parallela crunt.
Sint duae rectae A B, A C se tangentes in A paralle ae dubbus rectis D E, D F in alio plano existentibus, S se tangentibus in D. Dico primo ad easdem partes positos an pillos BA C, & E D F cquales esse. Ducatur a a puncto A ad planum E D F perpendicularis A FI in.cidens in punctu H , a Quo ista plano E D F ducantur o rectae HL parallela ipsi DE, M H Nparallela relioue D F. Patete angulum k H N equalern c st angulo E DF. Secemura postea H k cqu tis A B , S MN aequalis A C, & conjungetiatur recte B C , k N , B k , C N. Et quoniam di erecte ASP N parallele sunt cidem D F : Ergo i A C, & H N inter se parallele sunt, & erant equales et igitur arallelogrammum est A CNH;& ideo CN cqualis est, dc parallela ipsi A H. Eodem modo A B, H k qquales inter se nant, equi distant, cum sint parallela eidem D E: Ergo ut prius B k equalis est,& parallela eidem A H;dc propterea C N. Ac B Κ equales inter se, & b parallelq erunt. , undeta parallelogi armam erit BCNk dc eius latera opposita BC, k N parallela. & equalia inter se erunt. Quare in trianguli SA B C, Pt X N nedum A b. H Κ ceuales sunt, atque A C, H Iros . r. i N qquales, sed etiam bases B C. N N Iunt equales; h ideoque angulus B A C aequalis erit angulo NHN; sed priuS erat angulus E D F aequalis eidem angulo NHN. Igitur anguli B AC, & E D F equales inter se sunt. Secundo dico plana B A C, & E D F, que per easdem rectas ducuntur esse parallela inter sc. Nam recta A FI dueta est perpendiculariter ad planum E D F; & ideo i essicit in eo angulos A H N,& AH Κ rectos,& spatia A N & A I quae ostensa sunt parallelogramma, erunt m rectangula. Qua re anguli HAC, H A B recti erunt , ideoque is eadem recta A H perpendicularis etiam erit ad planum A B S propterea' plana A B C,DE G parallela erunt. Vt erat propolitum.
287쪽
a61 Facili negotio per datum punctum extra datum planum duci potest planum squidistans plano dato Si enim per punctum A duci debeat planum qquid istans da- ' plany E HEi ducenda est A H perpendicularis ad planum p pro' si E D F,oc e a puncto A super recta H A debent eleuari due per- bui i. pcnssiculares C A,& B A, super planis N HA, Κ H A que non ' P vrint in directum posita; erit e recta H A perpendicularis ad planum anguli BCD, ct ducta prius fuit perpendiculariter ad Se planum E D F. Ergo, erit planum anguli B A C am vidistans . Plano E F. - . - T.
Si duq recte linee plani, parallelis secentur,in easdem rationes
Duq recte A B, dc C D , siue in eodem, ves diuersis planis quomodocunque possitqsecentur a planis inter se parallelis E F, G H, k M in punctis A O, B, C,N, D. Dico eas secari proportionaliter, idest esse A O ad O d ut C N ad N D. Conium gantur recte AC, B D , & A D. quq occurrat plano G H in puncto R, dc a puncto Rado,&N recte OR,RN iungam tur. Quoniam pianum trianguli A C D secatur a duobus pla, Dis parallelis E F, G H,
nes lectiones A C,R Nparallela erunt, ideoque, ut A R ad R D , ita erit C N ad N D.Similiter quia planum strianguli DA B secatur a duobus planis GH ΚM inter se pavrallelis Ergo e corum communes sectionesda B, O R inter se p 'parallelae erunt, ideoque a vi A R ad R D. ita erit A O, ad O .E ; ostensa autem fuit CN ad N D in eadem ratione eiusdem v v 'A R ad eandem R D. Ergo A O ad O B erit,ut C N ad N D, d , Quod erat ostendendum . t T '
288쪽
a6, EUCLIDIS RESTITUTII PROPOS. VII. T EOR. X l.
Solidi anguli triangularis duo quilibet eius platai anguli tertio sunt m ioreS.
Sit triangularis solidus angulus A constans ex tribus angulis planis B AD DAC &C A B. Dico duos quoslibet angulos B A D.& D AC, simul silmptos, maiores esse tertio amgulo B AC. In plano phr B A C ducto fiat a angulus B A Eaequalis angulo B A D. & siquidem A E c ait super A C, paterduos anguloe B A D, DAC maiores esse angulo B A C. Quando vero A E cadit inter rems B A, A C,in . t , B E- rectis A B. A Cistimantur duo ouaelibet T puncta B, & C, ct iungatur recta B C, si R eans interceptam A E in E At qu ando reis l cta AE cadit extra angulum B A C. a quo-c in libet puncto E rectae A E coniungatur recta E B, secans interceptam rectam A C in h prv I ii C, Eth secetur A Dequalis E A , iunganturque recte linee BD, DC, dc DE. Quoniam circa equales angulos B A D B Acprv ' Esunt latera A D. A Eqqualia, dc A B comune. Ergo et Nar gulorum bases BD, BE aequales sunt. Quare C E erit cliis dy U rentia duorum laterum BD, BC s&propterea in triangulo hi ' - B L, C laterum differentia C E minor erit base C D ; cumque in triangulis D AC, EA L duo latera A D. A E sint squalia, , dc A C commune, & basis BC maior base C E : ergo eangin. i '' lus D A C maior erit angulo E A C ; sed erant anguli B A V., ... .i i B A E aequales. igitur Flumina Vmus equalium angulorum B A D, dc maioris in qualium D AC maior erit angulo B AC, qua est summa unius equalium B A E, & minoris inqqualium E A C in primo casu, vel eorum differentia vi secundo. Quare patet propositum
Omnis solitas angulus subminoribus, quam quatuor rectis angulis plani S continetur. Sit angulus lolidus A contentus quotcunque angulis pla-
289쪽
nis B A C, C A D, DA E, EA F,F A B. Dico eos omnes simul
sumptos minoreS esse quatuor planis angulis recti S.a Ducatur a post. I. Erplanum, secans omnes rectas angulum A continentes, ut es Aficiatur, figura rectilinea BCDEF tot laterum, quot sunt h- plani anguli solidum angulum A continentes, dc sumpto in h- 'tra polygonum B C Equodlibet punctum G, ab eo ad angulos omnes polygoni ducantur rectae G B, GC, GD, GE, MC F. Et quoniam polygoni latera B C, C D,D E, E F, F B sunt hases, nedum triangulorum verticem habentium in G; led etiam triangulorum verticem in A habentium. Ergo tot sit nitriangula verticem habentia in G,quot sunt ea,quq verticem in A Eabent; sede cuiuslibet trianguli tres anguli sunt squales duobus rectis. Ergo qquali numero rectorum quales erret angvii mnas trianguloria verticem in G habentius atque anguli omne&triangulorum verticem in A habentium .hi propterea anguli omnes triangulorum verticem in G habetium, simul sumpti , squales erunt angulis omnibus , simul sumptis triangulorum Vertiacem habentium in A. Postea a in a,
gulo solido triangulari B duo plani anguli F B A . C si A maiores erunt angulo C B F ; idest maiores erunt duobus angulis F R G, C B G , de fier*liqui omnes. Qisere omnes anguli, qui sunt ad bases triangulorum verticem in A habentium, simul sumpti, maiores erunt omnibus angulis, qui fiunt ad bases itiangulorum verticem in G habentium; ideoque residui anguli omnes vertica-Ies , qui solidum angulum ' effici mi. minores erunt residuis ommbus ansulis, qui in G verticem habent; sed e anguli om- e corali. s. nes, qui tu G verticem habent quatuor angulis rectis sunt ae- prv I. ivalem Igitur anguli plani omnes, qui solidu A componunt, nnui sumpti,quatuor rectis minores erunt Quod erat osten
Euc 3.x, Ex tribus angulis planis quorum duo quilibet tertio sint m iores , ct tres simul quatuor rectis minores sint, solidum angulum constituere.
Sint tres anguli A, B,C, qui simul sumpti sint minores quatuor Disiliam by Cooste
290쪽
In citento A C B sit A B latus inscripti pentagoni, E A la- ascist prep. tus inscripti decagoni regularium , & raditis D E erit latus 3- ,-- - inscripti hexagoni: dc super his lateribus descripte sint quelibet circulares, vel rectili nee figuressi miles, & similiter posit*.M quidem super o B, R super DB,& S sit per E A. Dico figuram M qquaelem esse duabus figurishR . & S simul l impris. Dur,pv. Secetur b arcus A E subtemus a la tere decagoni bifaria in H, sicuti carcus A B in E iectus fuerat bifariam; eritque arcus A H quarta pars arcus A B , de tertia pars arcus B H, & iungatur radius D H secansu bifariam, & perpendiculariter latus decagoni in O, & A B in Xriunganturque E N; B E, dc diameter A C. Quoniam in triangulis A O Κ, & E O Κ circa angulos rectos squales ad Osunt duo late ra A O, & E O equalia, e propa.M ' O Κ commune. Ergo e angulus N EH equalis est angulo Niprv. ir. A Hin quales quoque sunt anguli EB A,& E A B, cum insistat peripherijs squalibus E A B E, ergo anguli A E Κ, A B Esquales sunt,estq; angulus BAE comunis in triangulis B EA, E
N A: Ergoa inter se sunt similia. Quare B A ad A Eerit, ut E A ad A Κ, ideoqueb figura Mad ei similem & fimiliter posita si-guram S erit ut B A ad AΚ. Rursus quia, ut arcuS EA, decima pars est totius
peripheri q ABC A, ita arcus i A H semissis illius de
H triplus arcus A H. Ergo qualium partium arcust cereii. A B C est decem erit B H tres, & B C sex partes ; ideoque ar- , cus B C duplus erit ipsius arcus B i angulus C D B duplus i. i. erit anguli B D H; sed is angulus L D B ad centium duplus est neoroli. i. anguli B A C ad peripheriam: Ergo anguli BD H &D AB Irop. ... . a qualeS inter se sunt; & angulus B est communis. Ergon duo triangula A B D, & D B Κ similia sitiat; proptereaque A B ad . .. .u i. B D erit, ut D Bad B Κ. Vndeo figura Arad ci similem ,& si
p .p. ii. nil liter positam figuram R erit, ut A B ad B Κ: erat autem fi- p cor. prop. gura cadcm M ad figuram S, ut eadem recta A B ad A N. Eraxi.ι s. go P figura Mad ambas figuravR, &S simul sumptas erit, ut recta