장음표시 사용
291쪽
LT BER: V i a Trecta B A ad Yectas AR,& AΚ simul sumptas; estqueB A a:- 'I qualis duabus B Κ, Κ A. Ergo q figura N ex latere pentagoni q Ora D qualis est dolibus Duris: Rex latere hexagoni,&Sex latere sdecagoni simul sumptis. Quod erat ostendendum- ,
S i super latere hexagoni, pentagoni, & subtendente angulum pentagoni in eodem circulo inscriptorum sint descriptae quelibet figurq circulaeres, vel rectilineq similes, & similiter posite: erunt figure ex latere pentagoni, & ex subtendente angulum pentagoni,simul sumpt*, squales quivituplo figurae ex latere hexagoni, In circulo,cuiusradius E A, sint A B,& B C duo latera petagoni,& recta A C subtendat angulu pentagoni, atq;descriptae sint quelibet circulares, aut recti aee figurq similes, di similiter positq;M quidem super latere hexagoni,
ptas squales esse quia nupto figut herpaucatur diameter AED,&coniungatur recta C i Milonin , arcus A B quinta pars est totius Peripheriq A B D A: Ergo qualium partium peripheria circuli ABDAest decem erit peripheria A B due partes,' peripheria ABC quatuor: Ased earundem partium semicirculi peripheria AC Dest quinque: Ergo peripheria C D est una pars decima , Riotius Peripheriq circuli, & propter- Mea erecta CD erit latus inscripti de-cagoni regularis. Ponantur iam figurq X, dc Z similes ipsis M, R & S, atque similiter postq super diametrum AD,& superlatus decagoni C D. Quoniam a regulus AC Di semicirculo rectus est; Ergo e figura X ex livpothenuis aequa lis est duabus figuris Ri Z Amul sumptis;estques figura X quadrupla figure M (cimi diameter D A dupla sit radii A E ): Ergo duae figura: R, & Z simul sumptae qquales sunt quadruplo ligurq M. Et addita communiter sigura M erunt tres figura:
292쪽
Fry R, T,&M, simul simplq, aequales quintuplo figure M ;gsed duabus figuris T ex latere decagoni, & M ex latere nexagonis alis est figura S ex latere pentagoni siErgo dus figurq R, i& S aequales sunt tribus figuris R, T, di M. Et propterea duae figurae R, & S qquales erunt quintuplo figurae M . Quod erat
293쪽
Cum in quinquq pr*cedentibus librihelcimenta plana tradita sint, nedum per se utilia, & scitu iucunda, sed etiam omnino necessaria, ut passiones is dorum, siue corporum percipi possint: consequenter elementa prima, de si Mia. Dporu m tradentur, initio sumpto a definitionibus mole vometrico.
D, non in eodem plano iacentes anguli plani-D B , BD C, et C D A, non in eodem plano exictentes, O concumrentes in D, Ociunt angulum solidum D. Et siquidem anguli plani coniiuuentes solidum angulum D fuerint tres voeabitur talis . olidus angulus triangularis, s quatuor qμ drangularis, oesic Murιus. I I I. ,
Solida rectilinea, quae qquiangula inter se sunt, dc omnia latera circa angulos solidos equales proportionalia habent :vocentur similia.
Solida figura genita ex reuolutione semicirculi circa diametrum eiuS quieicentem,quousque redeat ad locum, a quo moueri ceperat; vocetur Sphqra. Et diameter quiescens,vincetur Axis spherq. Et centrum sphere erit idem, quod semi-Ii ' circuli.
294쪽
laeo reuolatio is ipsius i chleet in rces m C D saltem in aliquo punis cui P pi aeter Mnctum E ; o tunc cpetanum aes 'AU,φ-μr duo puncta prem E era sit necessari r recasse in B tramisit, quando- l ' quidem recta linea Eo tum potest planum ipsum con- l Mungere in duobus punctis D, d Eseextra ipsum exi- F
centa in linea NO. incolineam Norectam esse. Sumantur duo quilibet Nyuncta dc quq in linea communis Nisectionis exastant, idest iaceant in Viro-.quebano,& ayuncto N ad O coniun-igati r ecta linea. Quia , recta O pla-
no A C congruit, in quo puncta N , & O existunt, alias L non iis,ui. undequaque plano AC congrucret recta linea . Pariter recta di Ofano F G congruit, in quo pariter puncta N, dcoexastum. Ergo recta N O in utroque plano A C dc h G iacet,
est que communis sectio eorundem planorum linea unica , dam . r.( alias a plana se secantia haberent segmentum commianes, bu I. aut e Iolidam figuram comprehenderent: ergo recta N O est ,e axis. h. conant iis rectio rundem planorum . cla re, &c. - - .
Si recta linea incidens in comunem sectione duaru rectarum lingarum pexpendicularis iuerit ad utranque, illa perpendiculari, cruautauinei rectas lineaS, a quibus illa tangitur, qu que in plano per dxias illas rectas lineas ducto untis vocetiar tali, ecta iubivitis Erecta, seu Perpendicularis id planum sudiectum. Duc rects linet C D, F E in plano M N existentes se secent in puncto B, dc recta A B efficiat tam angulum ABC, quam I i a angum
295쪽
angulum A B F rectum. Et ducatura puncto B in plano NM quelibet Ct NT recta B Κ, cadens intra quemlibet IN angulorum C BF. Dico rectam AA B esse quoque perpendioilarem ad
. cetur bifariam in O, coniunganturque recte O B, A G,A O, A Κ, A H. Quia in triangulo is stelio B H G basis GH bifariam secatur a recta B O; Ergo. o B perpendicul aris est ad H G. Postea quoniam in triangulis AG B, A H B duo latera G B, & H B equalia sunt, & A B com- i. a. pendicularis est ad basim G H. Et quia in triangulo AB HD P. 1 g. rectangulo in B quadrato A H equalia fiant duo duadrata R B.B H, stititque et quadrato B H equalia duo quasirata B o, OH, eum angulus O rectus sit: Ergo quadrato A H e aliae sunt tr ia quadrata A B, B O . O n . Similiter in triangulo AOH rectangulo in O Hilem quadrato A H qqualia sunt duo quadrata AO OH. Igitur tria qOdfata A B, B O , orii . . . equalia fiant duobus quadratis OH, O A in ablato communi
h e. at . quadrato OH,erunt duo quadrata A B,B O cqualia quadrato pro iv.ι , A O di proptereah angulus A B O rectus erit. Quare si recte B h & BO coiiaci nt,erit angulus A B k rectus; si vero nom ip=-.is. coincidit, addit scdmmi ni quadrato oΚ, eront duo quae- Ab s. drata A O, O , idest quadratum X A propter angulum re-- ὰ ι- ctum k OB) quali, tribum drarisae Og, B A; sed similiter duobus quadratis kO, OB aequale est quadratum N
B propter angulum rectum N O B AIgitur quadratum k rilicemus. aequale est duobus quadratis X B, B A :dc propterea h angui res prv. s. i. i A Bh rectus est: Quare recta linea A B perpendicularis est taciqamlibet rectam Bli, quae a puncto B ducitur in plano MM Quod erat ostendendum. Vocetur ipsit tecta A B Perpendico laris ad planum M N, quod per rectas C D, E E ducitur 'PR
296쪽
PROPOS. III. TH EOR. III. s XI. Si recta linea incidens in communem sectionem trium re ctarum ad singulas perpendicularis fuerit: ille tres rectae lineae in uno sunt plano. Recta linea A B incidat in B, & efficiat cum tribus B C, BD, B E, se tangentibus in B,rectos angulos. Dico tres rectas BC, B.D, d E in uno plano esse. Si enim B E non iacet in plano C H , quod per rectas C B, & B O duci poetest , producatur planum H C quousque secet , planum per rectas A B, R E ex te n- sum in recta B G . Quoniam A B ponitur Derpendicularis ad duas BC, B D:e Ergo AB perpendicularis est ad rectam BG posi- . tam in eodem plano per rectas B C, B D extenso;iud erat quoque A B perpendicularis ad B E, dc iacet BE in plano A BG. Ergo duo anguli recti A BE & A BGaequales sunt inter se , pars & totum: quod est impossibile. Non - ergo recta B E extra planum C H iacet; ideoque rectae B C , B, D, B E in uno sunt plano. QuDd erat ostendendum.
PROPOS. IV. THEOR. IU. Eus 8.er
Si in quolibet plano per rectam lineam ad subiectum planum
Perpendicularem extenta , recta eidem perpendiculari pa-: rallela ducta suerit: eritjlla perpendicularis quoque ad pla-. num subiectum. Vocetur autem sublime planu Erectum, . seu Perpendiculare ad planum subiectum.
Sit recta C D perpendicularis ad planum E G, & per C Dductum sit quodlibet planum C D B, dc in eo ducta sit AB parallela ipsi C D. Dico rectam A B ad idem planum E G perpendicularem esse. Iungatur recta B D. & in plano E G duc a prop. i tur recta a H B perpendicularis ad rectam B D, & coniungan- . t . turrecte H D, H C, Sc BC. Quoniam recta CD perpendicu- : 'Iaris est ad planum EG; Ergo, CD cificiet rectos angulos iucum rectis lineis D B, de H O in eodem plano extensis ad ter- minum D; ideoque e in triangulo C H D rectangulo in D erit d p v. ita quadratum C H equale duobus quadratis C D , & D HIAsed L s.
297쪽
quadrato D H equalia sunt duo quadrata H B, & B Ds propterea quod angulus H B D rectus iacius est . Igitur quadratta HC quale est tribus quadratis HB BD, Sc DC;est vero quadratremn Ce aleiduobus quadratis BD,&DC eo quod angulus C D B rectus est Ergo quadratum H C aequale est duo. ecorau. . bus quadratis HB,& B C; dc propterea e in triangulo C B HProp. 32, .s angulus H B C rectus erit , sed factus suit angulus H B Drectus riclitur recta H Bi,perpendicularis est ad duas BD,&x-- B C;d recte B C, de Ba iacent in eodem plano parallelarum ' A B, dc C D.m quo pulicta B , C. & D existunt: Ergo a recta HB perpendicularis quoque est ad rectam B A, quae in eodem plano C B D existit . Est , etiam angulus A B D rectus, cum re- Iiquus internus et CD B , & ad ea sdem .paries parallelarum st
quoque rectus: Ergo recta A BPerpendicularis est ac
ctasi B D, ct B H doncurrentes in B; Et propterea, A B perpendiculari erit ad planum E G, quod per rectas BD & B H ducitur . Quod e tat Ostendendum. vocetur quodlibet planum CD B ductum per rinctam CD perpendicularem ad subiectum planum , Erectum , seu Perpendiculare ad idem planum E G.
. Recta linea duo puncta coniungens in duabus parallelis sumpta in eodeni plano parallelarum iacet. Sumpta eIum fuerunt puncta B C in parallelis A B ,1. D , & ostenta ivit recta B C in plano parallelarum A B, C D iacere.
PROPOS. V. THEOR. U. A Si dito rectead idem phimum perpendiculares fuerint, Parab
. . Sint due recte B A, & D C perpendiculares ad planum E G.
it, i. Dico rectas B A, &DC parallelas esse. Si enun B Ano est pa-i s. I i. rallela D C,iiM plano DCA,a puncto A ducatur AH parallela huius , lipsi CD, dc, per rectas A Η,& AB extendatur planumsecans
298쪽
subiectum e planum E G in recta N A Κ. Et quia D C perpen- e prv. et idicularis est adplanum E G:Ergo a ei parallela H A perpendi. cularis quoque erit ad planum E G:igiture angulus H Ak re- 'ctus erit; sed B A eripendicularis quoque est ad planum E GErgo angulus B A k rectus quoque est s ix sunt anguli B A Κ,&H A X in eodem Plano B A k: igitur totus angulus B A k equalis est se soangulaal A viue parti, quod est absurdum. Di sNon ergo alia relia,quam B A esse potest,pa- l erallela ipsi D C. Quare patet propolitum. R A.
ri Hinc constat ab eodem puncto, siue in sublimi, siue in sin ibiecto plano , vitam tantum tectamirum expendiculare messe possae ad subiectum planiam. Si enim dur L B, A H ad planum E G perpenda lares csse possent, tutet separalleis essent ex hac propositione, di te secarent in A, qtio est impossibile.
Constat ex his duabus propositioniblis, Modin quolibet wi plano ad subiectum planum e recto omnes recte line*, que in
eo existentes perpendiculariter ad comunem planorum sectionem ducuntur, timi quoque pcrpendiculares ad subiectum planum. Et ista,quq a puncto subiimi eiusdem plani erecti ducitur perpendiculariter ad subiectum planum cadet in inmunem planorum sectionem. Nam ,fut planum aliquod P v DC Ac leta debeat perpendiculare ad planum subiectum 'EG, nec e est,ut extendatur per aliquam perpendicularem ad planum ubiectum, ut per C D;&tunca quelibet recta A ' . B cum A C communi iectione essiciens rectum angulum B 'A C, erit quoque parallela ipsi D C, eo quod reliquus internus DC Arectus quoque est. Unde ex propositione quarta A B quoque erit perpendiculaess ad plaini in iubiectum E G. Si vero a puncto sublimi B, existente in plano B D C, erecto ad subiectum planum E G, cadat B A perpendicularis ad planum subiectum, punctum casus A existet in recta A C communi sectione planorum ; eo quod ostensae lunt duae perpem diculares B A, & D C parallelae inter te in hac quinta propinsitione, & ideo recta B A existet in eode plano erecto C D B, in quo nimirum existat communis planinum sectio A C.
299쪽
A dato puncto in sublimi, aut in subiecto plano posito , ducere rectam lineam perpendicularem ad subiectum pla
Sit quodlibet planum E G: Debet a puncto A in dicto plano, aut in sublimi posito duci recta linearum quae perpendicul ris sit ad subiectum planum E G. Per punctum Aa ducatur suodlibet planum ABDC, secans , subiectum planum E Gin recta B C, atque o in plano A B C D a puncto a ducatur AF perpend icularis ad rectam BC, Scam plano E G a puncto inrersectionis rectarum B C,A F ducatur H Κ perpendicularis ad eandem R tamdem in plano perrectas F A & H Κae ex . tenso ducatur pimcto A recta Ao pedipendicularis ad rectam H Κ. Dico A operpendicularem esse ad planum E G.
.II. Quoniam recta BC perpendicularis est ad duas rectas F A, dc H Κ se secantes primo in A, secundo in F: Ergog recta BC perpendicularis est ad planum per rectas FA, & H Κ ductum et atque , planum E G emtensum per eandem perpendicularem BC erit quoque erectum ad idem planum : ergo dici uim planum per rectas F A, H Κ ductum perpendiculare erit ad planum E G, dc recta A O existens in plano per F A, H Κ extenso vucitur perpendiculariter ad H k eorum communem sectionem. Ergo i recta A onerpendicu laris est ad planum E G s quod faciendum erat. Eues.s. XI PROPOS. VII. THEOR. VI.
Si due recte lineq uni tertie parallele suerint, no in eodem plano existentes,inter se quoque parallele erunt. Sint recte A B & C D parallelq eidem rect* E F, & non sint omnes in uno plano. Dico rectas A B, & C D inter se parallelas Disitigod b, Coosl
300쪽
LIBER UI. at Tias esse . A quolibet a puncto G rectq F A n vi
ducantur in planis qquidistant nun rectqlinet G H & G Κ perpendiculares ad eandem E F. que secent oppositas. parallelas in PL& Κ,& coitigatur recta H k.Quoniaeadem recta linea EG perpendicularis est ad duas rectas G H G h: ergo E G
perpendicularis est ad planum G H N ; est vero A H parallela ipsi E G. Igitur c A H perpendicularis quoque est ad planu HG Κ. Eadem ratione C i 3 equid istans eidem E G perpendien-laris quoque erit ad planum H G N; cumque dias rects A H.&CL sint perpendiculares ad planum H G k gerunt AHiscC Κ inter se parallel*Qood erat ostendendum.
PROPOS. VIII. THEOR. VII. Euchis.
Si duo plana se mutuo secantia per duas parallelas ducta fuerint . efficient communem lectionem virique ipsarumcqu distantem. Et si a bo plana perpendicularia fuerint ad subiectum planum ; & communis eorum sectio ad planum lubiectum perpendicularis erit. Primo per duas rectas qquid istantes D C, de F H ducta sint duo plana Ac BF te secatia in recta linea AB. Dico A B parablelam esse utrique ipsarum D C, & F H: Si enim hoc verum no est in duobus planis A C, A H a a puncto comuni A sectio. R prop.
nis A is ducantur, A O quidem parallela ipsi DC,& A Κparallela ipsi F H. Et quoniam A O, F H parallelq sunt eidem DC, erunt inter se parallele quoque; dc fuit A N eidem F H p, .rallela. Ergo cA O, & A Κ parallelae limi inter se, dc se secant ...., 'in A,a quod est impossibile. Non ergo alia recta linea pr*ter A B communis planorum sectionis. esse potest parallela virique equi distantium D C, F H. Secundo plana A C, A H perpendicularia ad subiectum planum E G , idquc secatia in BC, B H Ie mutuo iecet in recta A B. Dico A B perpendicusare esse ad pi 'num E G . a quibuslibete punctis C, dc H in planis erectis du- ' cantur perpendiculares C D, H F ad communes sectiones B pri , C, B H: erunt talu DC, quam EF Pe cndiculares ad Ia- s. huiu,.