장음표시 사용
301쪽
gprap s. num subiectum E G;& propterea g D C,& H F parallele erunthmui inter se, ideoque per eas ducta plana A C, B F efficient communem sectionem A B parallelam cuilibet ipsarum C D: sedet, ... erat perpendicularis ad planum subiectum ergo A B pla- , I norum i communis sectio perpendicularis quoque erit ad subiectum planum E G, ut fuerat propositum. PROPOS. IX. THEOR. VIII. Si ad duo plana eadem recta linea perpendicularis fuerit omneu rectae linee inter se parallelae sectae in illis duobus planis, erunt aequales inter te. Uocentur illa duo plana pages-Iela inter se. Sint duo plana A B, ct D C, & una tantum linea M O pe pendicularis sit ad utrumque planum,& duae quaelibet rectae lineae EF, G H parallelae inter se secentur utrinque ab eisdem planis ua punctis E, F, G, H. Dico rectas E F, ct Gap .p. g. H aequales esse inter se. A punctis E, & Gaducantur re-haiu.. ctae E X., GN Perpendiculares ad reliquum planum CD,&coniungantur rectae N F. N H. Κ N, FH, dc E G. Quoniam rectae M O, dc E, perpendiculares sunt ad planum CD: Ergo rect* M O, E h. par illelaeu sunt inter se, & earum una o M perpendicularis est ad planum A B : Ergo reliquac k E perpendicularis ovoque N erit ad idem planum AB. Eaciem ratione recta V N, que perpendicularis ponitur ad planum C O erit quoquG, i., ' ad reliquum planum A B perpendicularis.dQuare duq recis Ex & G N perpendiculares quoque erunt ad rectaS contiguas epis .ii. E G , α Κ N in eisdem planis existentes. Et propterea e spati-ι,1. um rectangulum E GN Κ parallelograminum erit, cuius opposita latera E Κ.GN qqualia, & parallela erunt; nec nore duo latera E G, Κ N parallela erunt,& aequalia. Iam cum per duas parallelas E G, & Κ N ducantur duo plana E H,& N F se Drap. . secantia in recta F H: erit IF H parallela ipsi E G; sed posit*buiu . merant duae E F, dc G H parallelae inter te: Ergo a spatium Es G H F parallelogramum est, cuius opposita latera E F, & G H aequalia erunt. Eadem ratione relique omneS rectae parallelae ipsis E F, vel G H secis: a planis A B, & C D ostendentur
302쪽
LIBER VI. a So uales inter se, dc equales ipsis E F,G H.Quod erat ostenden dum. Uocentur iam duo plana A B, C D parallela inter se, &quqlibet recta M O perpendicularis ad utrunque planum vocetur Distantia eorum. COROLLARIVM I. Euri. is XIPatet , si recta linea ad unurn qqui distantium planorum perpendic utaris fuerit, esse quoque serpendicularem ad reli- . quum. Et si duo plana parallela secent ur ab alio plano, esse , cdmunes eorum sectiones parallelas. Et quelibet recta linea aut planum secans unum iquidistantium planorum secabit quoque reliquum. Na in tecta linea E Κ ducta fuit perpendicularis ad planum C D; ct ostensa fuit perpendicularis ad reliquum planum A Bparallelum ipsi CD. pariterque sectiones EG, FH, factea plano quolibet E H in planis parallelis A B, & CD ostensae fuerunt parallele inter se. Ruritas si quelibet recta linea E F secuerit planum A B in E, poterith per Educ E k perpedicularis ad planum CD,& pla- hnun per rectas L Κ & EF extensium necessario secabit planum CD in aliqua recta per punctum k extensa. . ideoquc re- . ictae k F, E F conuenie ni (cum angulus krectus sit, dcaligu- .lus k h F sit acutus contentus a k E Perpendiculari ad planum ' p p s, A B, ct ab E F, quae non iacet in dicto plano ) unde recta E F, - λ'& quodlibet planum per j piam ductum secabit quoque reliquum equidit antriuia planorum C D. COROLLARIUM II. Eus. i .
Constat etiam duo plana parallela , scilicet ad quae eadem recta linea perpendicularis est, nunquam concurreret. Nam infinite productis paralles is planis A b, & C D ubiq;potest duci aliqua recta lanea G N, quae perpendicularis sit ad utrumque planum, & equalis erit uni perpendicularium E h.
is XI. Si duae recte linec se mutuo tangentes ad duas rectas se tangentes fuerint parallelae, illa: angulos ad easdem partes Κk a ver-
303쪽
vergentes aequales comprehendent. Et plana, quae per illas ducuntur . parallela erunt.
Sint duce rectae A B, A C se tangentes in A parallere duabus rectis D E, D F in alio plano existentibus, Sc se tangentibus in D. Dico primo ad easdem partes positos angulos BA C, & E D F cquales esse. Ducatura a puncto A ad planum E D F perpendicularis A bl incidens in punctu H, a quo in plano EDF ducantur b rectae I x parallela ipsi DE,&HNparallela relioue D F. Patete angulum k H N equalem c st angulo E D F. Secentura postea H h cqiralis A B, S H N aequalis AC, dc coniungantur rect c BC, kN, Bk, CN. Et quoniam drie recte A C. H N parallele sunt cidem D F : EDgo e A C, & H N inter se parallele sunt, Ac erant equales: lgitur arallelograminum est Ac NH; dc ideo CN qqualis est, ct parallela ipsi A H. Eodem modo A B, H k qquales inter se nnat .&gequi distant, cum sint parallele eidem D E: Ergo ut prius B kcqualis esti¶llela eidem A H;&propterca C N. dc B Κ equales inter ic, dc b parallely erunt . . und Paral telogi amum erit BCNL &eius latera opposita B C, N parallela. de equalia inter se crunt. hare in triangulis ABC, H Κ N nedum A b. H Κ cquales sinit, atque A C, FIN equales, sed etiam bases B C. , N sunt equales ; h. ideoque angulus B A C aequalis erit angulo N H N ; sed prius erat angulus E D F aequalis eidem angulo N H N. Igitur anguli B AC, dc E l F equales inter se sunt. Secundo dico plana B A C, dc E DF, que per easdem rectas ducuntur esse parallela inter se. Nam recta A H dueta est perpendiculariter ad planum EDF,& ideo i essicit in eo angulos A H N ih AH Κ rectos,& spatia A N & A R quae ostensa sunt parallelogramma, erunt, rectangula. Quare anguli HAC, H A B recti erunt di ideoque is eadem recta A H perpendicularis etiam erit ad planum A B C; & propterea' plana A B C, DE G parallela erunt. Vt erat proporitum. C
304쪽
Facili negotio per datum punctum extra datum planum duci poteli planum squidistans plano dato. Si enim per punctum A duci debeat planum qquidistans dato plano EO F ducenda est A H perpendicularis ad planum p - s. E U F,& q a puncto A super recta H A debent eleuari due per- hui . pendaculares C A,& B A, super planis N H A, Κ H A que non q ' sint: in directum posita; erit recta H A perpendicularis ad planum anguli BCD, dc ducta prius fuit perpendiculariter ad
PRO EOS XI. THEOR. X. Eus. I. TISi due recte linee plani, parallelis secentur,in easdem rationes
Duq recte A B, & C D, siue in eodem, vel diuersis planis quomodocunque Posits secentur a planis inter se paralleIis E F, G H, k M in punctis A O, B, QN, D. Dico eas secari Proportionaliter, idest esse A O ad O ti ut C N ad N D. Coniungantur recte A C, B D, dc A D. quq occurrat plano G H in puncto R, dc a puncto R ad O. & N recte O R, R N iungam tur. Quoniam pianum trianguli A C D secatur a duobus pia nis parallelis EF, GH,
nes sectiones A C, R Nparallele erunt, ideoque, ut A R ad R D , ita erit C N ad N D. Similiter quia planum a trianguli DA B secatur a duobus planis GH ΚM inter se pavrallelis Ergo e eorum communes sectionesd i B, O R inter se V - p v 'parallela: erunt, ideoque a vi A R ad R D. ita erit A O, ad O ' . B; ostensa autem fuit C N ad N D in eredem ratione eiusdem ' 'prae' A R ad eandem R D. Ergo e A O ad O B erit,ut C N ad N D. - , is, a Quod erat ostendendum. *prv I h3PR
305쪽
Eus.1o.xI PROPO S. II. THEOR. X s.
Solidi anguli triangularis duo quilibet citis pletari anguli tertio sunt maioreS.
Sit triangularis solidus angulus A constims ex tribus angulis planis B AD , D AC,&C A B. Dico duos quoslibet angulos B A D.& D AC, simul silmptos,maiores esse tertio a a prv. x . gulo B AC. In plano phr B A C ducto fiat in angulus B A Eae- , i, o qualis angulo B A D. & siquidem A E c ait seper A C, paterduos angulos' B A D, N. D A C maiores esse angulo B A C. Quando vero A E cadit inter recisis B A, A C,in; B E. C rectis A B. A C sumantur duo ouaelibet AT puncta B,&C,& iungatur recta BC, s eans interceptam A E in E At qu ando rin IV cta A E cadit extra angulum B A C. a quo-c x libet puncto Erectae A E coniungatur recta E B, secans interceptam rectam A C in h pr ,δ- , C, Et b secetur A Dequalis E A , iunganturque recte linee BD, D C, dc D E. Quoniam circa equales angulos B A D B Ac propct E sunt latera A D. A E qualia, S A B comune. Ergoc triar gulorum bases B D, B E aequales sunt. Quare C E erit clim dy ' rentia duorum laterum B D, BCs & propterea in triangulo vi ' e B D C laterum differentia C E minor erit base C D; cumque in triangulis D A C, E A C duo latera A D. A E sint qqualia, , , , & A C commune, & basis B C maior bale C E: ergo eanguit . . t Y lus D A C maior erit angulo E A C; sed erant anguli B A V., .. .ii B A E aequales. igitur Isumma unius equalium angulorum B A D, ct maioris ins qualium D AC maior erit angulo B AC, qtu est summa unius qqualium B A E , & n noras insqualium E A C in primo calu, vel eorum differentia in secundo. Quare patet propositum.
sues.1i,TI . PROP OS. XIII. THEOR. XII.
Omnis solidiis angulus subminoribus, quam quatuor rectis angulis planis contin tur. Sit angulus lolidus A contentus quotcunque angulis pla-
306쪽
sumptos minores esse quatuor planis angulis rectis. . Ducatur a i. et planum, secans omnes rectas angulum A continentes, ut ei-
ficiatur, figura rectilinea BCDEF tot laterum, quot sunt x plani anguli solidum angulum A continentes, & silmpto in tra polygonum B C E quodliber punctum G, ab eo ad angulos omnes polygoni ducantur rectae G B, G C, G D, G E , &G F. Et quoniam polygoni latera B C, C D, D E, E F, F B sitiathas cS, nedum triangulorum verticem habentium in G; led etiam triangulorum verticem in A habentium. Ergo tot sunt triangula verticem habentia in G,quot furit ea,que Verticem d-ium A si abent; sed e cuiuslibet trianguli tres anguli sunt Muales i id duobus rectis. Ergo Squali numero rectorum Squales erunt anguli onmes trianguloru verticem in G habentius atque an- glaei omnes triangulorum verticem in A habentium .hi propterea anguli omnes triangulorum verticem in G habetium, rimul suam pii, SqualeS erunt angulis omnibus, simul sumptis triangulorum Vertiacem habentium in A. Postea a in amgulo solido triangulari B duo plani anguli F B A, C B A maiores erunt angulo C B F; idest maiores erunt duobus angulas FBG, CBG, dc sic
reliqui omnes. Qupre omnes anguli, qui sunt ad baseS trian- .gulorum verticem in A habentium, simul sumpti, maiores erunt omnibus angulis, qui sunt ad bases triangulorum verticem in G habentium: ideoque residui anguli omnes Vertic Ies , qui solidum angulum ' efficiunt. minores erunt residuis omnibus angulis, qui in G verticem habent; sed eanguli om- eeorou. a. nes, qui in G verticem habent,quatuor angulis rectis siliat ae- Pryprum I. uales. Igitur anguli plani omnes, qui solidu A componunt, imul sumpti,quatuor rectIS minores erunt.Quod erat osten
Euc s.XIEx tribus angulis planis, quorum duo quilibet tertio sint maiores , & tres simul quatuor rectis minores sint, solidum angulum constituere
Sint tres anguli A, B, C, qui simul sumpti sint minores quatuor
307쪽
tuor rectis; sed dilo quilibet ex eis tertio sint maiores. Debet enici angulus solidus, cuius tres anguli sint ipsis . B , Caequales. In quolibet circulo D G H, cuius radius F D, fiant a ad centrum anguli D FE squalis angulo A,& E F G qqualis angulo B, atque G F H equalis angulo C: erunt , tres arcus D E, E G. G H minores integra circuli peripheria, & duo ex eis maiores tertia, sicuti anguli A, B, C, seu ias equales anguli ad centrum F, qui proportionales sunt peripherias subtensis. minores sunt quatuor rectis, & duo quilibet maiores sunt tertio. Et ae punctis D, dc H ad radios E F, G F ducantur perpendiculares DR H M. Patet a rectas D R, H M essicere arcum D ER duplum arcus DE & arcum MCM duplum arcus HG: Quare e recte D R, H M antequam ad puncta R, & M pertin-. gant se s ecabunt intra ci cillum. vi in O; Sc proptere rectangula parallel
iam a puncto O recta O Sperpendios laris ad planum R H. cuius bouodratiam sit equale rict .ingulo DoR . vel H O M , erit OS nedum i perpendicularis ad rectas D R, H M in subiecto plano existentes; sed etiam x erith cer pr proportionalis tam inter D O, O R, quam inter H O, OM; de propterea i tria puncta D, S R in semicirculi periph Z 8 '' ria existent erecti m ad planum D G H, cum per S O erectam m .p .. ad idem planum dricatur: non sectis tria puncm H, S. M , in peripheria semicirculi erecti ad idem planum existent. Coniungantur tandem recte N S. k S. Et quoniam planum O RHostensum est perpendiculare ad planum sen circuli D, R; estque EF N in uno eorum potita perpendicularis ad D Rcommunem planorum sectionem: Ergon E F N perpendicularis est ad planum D S R; & propterea , EF N perpendicularis est ad rectam N S in eo positam. Quare in dia obus triangulis FNS, FND circa duos angi itos rectos SN F, DN sunt duo latera D N, N S squalia . cum sint radii circuli DS R & FN commune: hrgop anguli S F ND F N equales sunt; estq;angulus A equalis angulo i FN vel D F l in primo casu,vel angulo DF E complemento ipsius D FN iii Iecundo casu. Ergo
308쪽
Ergo angulus S F E aequalis erit angulo A.
HFΚ, seu angulus SFG qqua- lis angulo H FG, vel angulo C. At si duo anguli A, dc C, suae eis aequales D F E, H F G sint recti a puncto F eleue tur recta linea F S perpenducularis ad planum linguli EFG. Manilethain est rectam SF perpedicularem esse ad ambas rectas F E, & F G, dc proepterea angulus S F E aequalis erit angulo recto A. di angulus S F G equalis eri r recto anetulo C factus autem fuit angulus L F Gequalis angulo B. Igitur tres anguli plani E FS SE G, G F E componentes angulum solidum F squales sunt dutis angulis A, B, C. Quod faciendum erat.
COROLLA R Ii vii M. V, Eucta detIi Hinc patet artificium quomodo ad datam rectam eiusque punctum 'constitui possit angulus solidus, cuius anguli plani quales fini sui gulis angulis dati anguli solidi. Si enim datus angulus lolidus triangularis non e C ductisIplanis per binas squalque rectas lineas diuidi poterit datus angulus solidus iso M. Iures solidos angulos triangu lares , quorum singuli treban-. gulos Conditionatos habebunt,idest ierunt minores quatuor e proni I. rectis, & u duo quilibet tertio maiores. Ergo ex hac proposi huiu/etione cilici potes ad data recta eiusq:pucium angulus solidus u rep. triangularis qqualis uni angulo solidorem triangularium . Postea superaddi potest iecundus, & tertius, dcc. similiter positu, angulus Iolidus, quousque Oinues sinius anguli solidi triangulares squales sint ijs,in quos dami angulus lolidus resoluitur; & ideo patet propositum. i
309쪽
culares a sublimibus rectis lineis similiter positis ad planai
angulorurerunt inter se sublimes, ut perpendicularesidi pereas educta plana essicient angulos ad easdem partes squa
In duobus angulis solidis triangularibus A, & F sint anguli plani D A N,H E P qquales; pariterque anguli DA O, HEU inter se, nec non angiali N A O, P EQ stat 'quales, atque a puctis D,H suptis in iublimib' simili er saris D A HE cadit perpendiculares DN, H Mad plana N AO, P E QNico D A ad H E esse, ut D k ad H M, & plana A D k, EH M eine et, angulos N A O, ME Q aequales inter se. Secetur a S A emialis H E & ducatur b S R perpendicularis ad planum NAO, atquee unctis R. M:ncidentia tu ad rectas A NAO , E P, E Q ducatur perpendiculares R B .RC, MF,M Gg& colungatur re sRA, M Eai BAC,H F,HG.Quonia recta A C perpendicularis est ad RC communem sectionem Planorum S R C, dc B AC ad . inuicem perpedicularium ( cum planum S R C extendatur per S R erectam ad planti m BAC)e Ergos A C perpendicularis est ad planum S RC; id coque sangulus f Pr, .huius A C S rectus est eadem ratione anguis A BΣ , BG H, E F Hrecti erunt. Cumque in duobus triangulis RUS, EG H qqualia sint latera S A, H E subtendentia angulos tectos C, MIG, suntque duo anguli S A C, HE G equales: Ergog latera AC, EG qqualia sunt: eadem ratione C A, F E equalia erunt;& sunt duo angilli B A C, F EG riuales ,:atque anguli B, F,
C, G recti. Igitur iacta intellectuali. applicatione obfigurae
Congruent, ideoque recta G M super C R, nec non F M super BR cadent: Quare punctum n- cursus M cadet super R,& propterea rects ME, R Alibi' mutuo congruentes squales erunt; pariterque anguli G EM,C A Raequales erunt. Tandem quia in duobus triangulis SN . . A R,H E M duo latera S A, A R ad duo H E, E M habent ean-
. dem aequalitatis rationem, & anguli rect i , R A. i l M E (Ω- i. i. cti ia lineis S R. HM erectis ad plana subiccta opponuntur homologis S A, ,& h reliqui anguli bar acuti ergo i Ierpem
310쪽
diculares SR, H M aequales sunt: posita autem sult D k pedipendicularis quoque ad idem Flanum B A Ergo in D Κ,SR m M. sparallele sunt, dc in is eode plano' trianguli S A R mbiectam tui. planum secantis in eadem recta linea AR. k , quae essicit an- η gulum k AO aequalem ipsi M E dco propter similitudi- h nem triangulorum D Ak, SAR erit sublimis DA ad SA. - ri r laus, ad ei equalem H E , ut perpendicularis DR ad S R., seu re ad ei equalem H M. Quod erat ostendendum.. I I COROLLARIVM. e. . . Ut Manifestum est duas perpendiculares ab eade sublimi eius de angusti solide ductas caec se in eadem recta lineam per angulum subiectunt transeuntem. Os ensium enim fuit in hac fropositione perpendiculares DL,SR cadere in eandem reis am lineam N RA, que per punctum A anguli plani subiecti transit.
nea eleuata conuertatur circa figurq perimetrum, fixo m nente puncto iublimi, quousque redeat ad locum, a quo c*perat moueri: vocabitur soliduni genuum, si figura iubiecta rectilinea suerus Pyramis . .
. I I. Si vero fuerit circulus: vocetur Conus. VII. iEt punctum sublime fixum vocetur vertex Pyramidis, vel ni. .
Atque figura plana subiecta vocetur Basis eius. Et perpendicularis a vertice ad basim Pyramidis, vel coniducia: vocetur eius ovitudo I