장음표시 사용
311쪽
Et si quidem perpendicularis a vertice incidat non extra basim: vocetur ula Directa. V II. i Si vero inusi ceciderit: vocetur Pyramis Inclinata . . Et recti a vertice ad angulum basis pyramidis: vocentur Latera eius.
IX. hEt quaelibet recta a vertice ad circunserentiam circuli hasis coni: eius Latus vocetur.
Atque recta a vertice ad centrum circuli basis: voceturmis Com. x I. Coni vero, quorum axes erecti fuerint ad basim et vocem tur Recti. XII. Et quorum axes inclinati sivit ad basim: vocentur Scalani. Si a perimetro figurq plane recta eleuata non in eius plano iacens reuoluatur semper sibi ipsi equidistanter constituta circa figurq perimetrum, quousque redeat ad locum, a quo moueri c*perat; atque superficies genita secetur plano equi- distante figure subiect*: vocabitur solidum genitum, si figinra subiecta rectilinea fuerit, Prisma.
XIV. Si vero fuerit circuIus vocetur Cylindrus. x V. Et figura subie cta vocetur eius Basis. /
312쪽
, xv I 2LA tque lineam centro basis. cylindri parallela lateri: Mis
, i x IX os . Et si latera perpendicularia fuerint ad bases: erunt Praena,
x x. Si vero inclinata fuerint vocentur Scinni.
Prisina a sex planis quadrilateris,quorum opposita sint phtutela, contentum: vG tur Parallelepipedum. o. XXII. Similes Coni,& Cylindri sunt, quorum axes aeque inclinati sunt ad basea , de phopor nastiIunt diametris basium Uisis erit fioraptiva AEc rectilinea, vel
ctam figuram planam ABC recti.meam: Hevb Utvr Hra . Si vero plana figura ABC fuerit B et
313쪽
per figurae in B C perimeremn semper tamen sibi ipsi equidistanter coia ituta cum movetur, quousque r.e- deat ad locum 'a quo moueri ce erat, atque superi / :.esei genita a rem in si revoluta secetur phrco E p.rs rallelo plavo figura A a Citti ve quidem solida figa rit. Icvita E ASC E habens subiectam figuram planam A a C remunia' , , abitur Primias illa Rerse , Who et quae Laho figurata Ad c in culum , vocetuν AP lindrus. lD Et punctum E in petramide, di Cono: Vertex v cetur a in omnibus autem dictis solidis figura plana AB c moleti, bases soli CE recta mea Eeyra lari, ad planam,ham ducta a vertice E, vela plano opposito bas: vocata alti,do solita H. E t in pyramide se dicta perpendicularis E G incidat non extra basim ABC: tune pyramis Meatur directa 33 ver. extra cadat, vocetur n-
Et recta linea E A translata, bicunque sumimur, vocatur latus eon , vel olindri; sed angulos bases contingens vocatur latus pyramidis, vel
Et recta linea E N d circuli centra H ad vertieem ducta in cono, pet allela lateri E A in e lindro, vocetur Axis eius. Coni, quorum axes perpendiculares puerint ad bases vocantur recti, reliqui vero Sc mi. Fri ma vero, di cylindrus, cuius latus mendie daris fuerit ad planum basis: vocabitur rectus; reliqui ver. Scalent.
Si Pyramis secetur plano parallelo basi , erit segmentum elus ad partes verticis, Pyramis similis date Pyramidi s dc sectio erit figura plana si lis basi, quserunt in duplicata ratione altitudinum earum pyramidum, quarum sunt bases.
Sit pyramis R A C B M secta plano G k H S parallelo basi
A C i, M , Ac R N sit altitudo pyramidis, leu perpendicularis a vertice ad basina ducta, quq secet planum G Κ S in O erita e.=.t. n. que ' R O perpendicularis quoque ad planum G h S paralle s. huia . tum ipsi ACM. Dico figuram solidam R G k H S pura mi-dem esse similem ipsi R A C B M & planam figuram V Κ H S sinulam eae basii A C BM, dc uiter te esse vi duplicata ratione
314쪽
altitudii ulm R O,&RN. moniam duo plana parallela A CB M dic HS secantur planis iis dena triangulorum R A C, R C RAB Mi & I: M A. Ergo , eorum, rumunes sectiones ii cor I tr. A C, (i k parallele sunt inter se, nec non C B. k M. PariterqueBM, IS atqtie M A, d Glma ulterea uidistatu . Undes hine . . planc A C is M, dc Gh H S equi angule sunt intersei nimie tri 'r' spe angula R AC, RG l cquiangula lims inter se & milia: P .itaterqtie triangula RCB,RkHatque etiam trianguli R , ic 'B M. Ru S, nee non triangula RM. A, R S G sunt intet se ae su tangi it i. dc similia .Quare anguli Idlidi A & G cequales sunt inter se, & circa yos latena R A ad A M proportionalia sunt Latera bus R Gad G S: parita Nise C A ad A Rerit, ut C G ad GR ; Unde e A compositione ordinata erit C A ad A M . vi k G ad G S. Eadem ratione any rili solidiue, & IJ. pariterque anguli solidi C , Κ: nee no solidi pinguis M S qquales crnyt, ex fonte ansulo solido R. comuni; de circa dictos angulos soljdos aequale, erunt, ut prius, latera proportionalia . Ergo e puramis RG Κ HS similis est pyramidi R ACB M. Et quonniana anguli frui i A, A G ostensi sunt squales: n. Igitur spetriri id cularis R N ad perperidicula- . rein R O est , v subhians R A ad homologam filiai meni CG , seu vhA C ad G k; ii int vero i' gurae planae a CBM,&GkH, equiangulq. Quorum latera icirca angulos squalcs s mi proportionalia, ut d tu est: Ergo g
rationem h .ibet altitudinis RN ad altitudinem RO. Qusderat ostendendum
In Prismate, vel cylindro latera omnia equ' lia sunt inter se, dc figura plana parallela basi equalis, & similis est basi. Sit Pri sim, vel Cylindrus A DG C ,& planum parallelum basi sit E F G . Ostendendum est latera omnia equalia esse inter se. & in prismate rectilineam figuram E F G equalem, dc si inueni esse basi A B C; in cylindro vero figuram h G circinin lum
315쪽
lum esse equale circulo AC A pusio os,ubi axis B F culindri secatur plano EGs, ducamur ad periniet iii figurq EG suae ib. e bet rectae F E, F G, ponatum re cylindri satera EZA, G C. iiin. is ganturque rectae AB, B C. Qin mamis in utrociue i do bi
F aequalia erunt. Fadem ratione B. t c, parallelogrammum erit. S C G
erant. Ergo pangulas A BC equalis est an pulo F FG . & si e reliqui omnes angui n nri ore ae libes mirit; arcue circa aequales angulos latera timi pri)y ri mnialia' cum d trosequalia A B, EF ad duo sequutiac B, G F in eademniar atione dc sic teliqua Omnia lateraeitca reliquos angis lovaci ales. Im-gpr. i5 a. turg figdra EFG simiIis kεta qualis est tecti linea: A BC: ctunqtie in cylindro iis uicto F si implo intra fgtiram E Gquelibet rectae E, F G eductae couatus sint rausis A D, CB, h f. 8 ii. di ideo eqriales inter se. Figobfviata E GUtentus est, citius centrum F cquatis i circulo A C: fuerunt autem latera A E, βxio. a. CG&sic reliqua omnia latera Ostensia equalia tam in prisnnue, quam in cylindro. Patet ergo propositum.
PROPOS. XVIII. THEOR. XVI. Si superbase pyramidis triangularis direct* duo prismata recta describantor infra verricem pertingentiari supremum pri iiDa circunicriptum, Sc matu, erat frusto pyramidis su-Frmo, de infimum prisma triscriptum, dc minus erit infixa ilirusto pyramidis .
Super base A BC triangularis directe pyramidis R A BC- det tria sint duo prasmata recta A B P, & A V B, quq lecent pyram idem mita verticem R in planis D E F. & G H Κ parablelis basi A BC. Dico supremum priima A v B circunscri-
316쪽
i T LIB. ER UI. aTIptum & maius esse frusto supremo tyramidis A F R , di infi mum pri sina A P B HIEgiptum & minus esse pyrasidis insimo frusto A k B. Et primo R B H perpem
dicularis a vertice R, incidat in angulum B. Quoniam duq rectae RH& VCP perpendiculares sunt ad planum A BC, siue ada planum GH Nei parallelum: bErgo anguli R BC VCB recti sunt, & U P parallela est ipsi R H, hein codem plano trianguli R H N existunt, in otio retae C B,dcBH iacent: Sed in triangulo R B C est angulus B rectus: ergo a angulus R C B est acutus; dc ideo perpendicularis V C cadit extra triagulum R Κ id & eius productio C P intra ide triagulti cadet: Eadem ratione recta S A intra tri angulum RG H , dc eius productio AZextra ipsum cadet Quare parallelogrammum A P intra puramidem. dc paralleolograminia in A V extra ipsam cadet ire propterea prisma AP B intra frustum A k B inscriptum erit, & minus erit illo.at que prisma A U B circunscriptum, & maius erit frusto pura-
Secundo cadat perpendicularis R N, aut in latere A B, aut intra triangulum A B C in puncto N, & Per latera puramidis. dc per perpendicularem R N plana Cducantur duusa erit pyramis in duaS, aut tres pyramides; de in qualibet earum perpendicularis a vertice incidit in angulum basis; &e propterea Omnia infima pris ata super bases descr ipta, idest Prasma ex eis composituna ABP intcriptum,&minus emrit infimo frusto pyramidis A B Κ,&omnia stiprema prismata luper easdem bales descripta, idest prisma ex eis compositum A B V circunicriptum, di maius erit pyramidis supremo frusto A B F. Quare patet propositum. I
317쪽
Si per tactam Iineam basim coni, vel cylindri secantem , vel tangentem, & per latuS lolidi planum ducatur quod persecantem ducitur intra solidum cadet; quoil vero per tam in gentem ducitur continget solici superficiem,& extra iolis
Sit conus; aut cylindrus, cuius bases BCD, summitas A,&recta linea B V secet basim tolidi, at recta B F tangat eam B, & posito lar te B A ducantur pigna ABCA.&ABFA. Dico planum A B C A intra lolidum eaderet & planum A BF A tangere solida superficiem sido extra ipsum cadere Qui latus A B ix superfitae lolidi exista, &est quoque in plano AB C A, vel jn plano A RE A GErgo a in eorum eommuni id ctione, vel c tactu existit. Quare planum A BC A; nec non planum A B FAiccat,vel tangit solidi cliperficiem in recta lianea A B. Eadem ratione planum A B C A secat solidi supe-ciem in latere A C a puncto C ducto. Postea sumpto quolibet puncto M inter puncta B & C, coniungatur recta M A ad ve licem in cono, & parallela cuilibet lateri B A in cylindro , &per M ducatur qu*libet recta linea M D, quae producta secet ubicunque circuli peripheriam A L in P D ; dc ducantur , solidi
lum B C D cadit;Ergo panctit m M inter B, Sc Cpositum intra circulum ipsum pariter caditi ideoque punctinu M inter qu libet puncta P . D, B, & C in circuli peripheria posita cadet. Ergo recta lineaeM A; quq ducta est intra triangula, vel parallelograma A XCA,&AP O A cadit inter qu*li beluatera PA,B A, C A, & O A, seu inter omnia latera quae duci possunt in supertate solidarergo recta linea M A cadit intra talidum se Eadem
318쪽
Eadem ratione ciuelibet alia recta intra triangulum,uel parallelogrammum , B C. R ducta extet intra Iolidum . Quare . planum , BC , intra tollidum cadet Sc ipsum secabit. Postremo in recta tangente i F a quolibet puncto F, quod non siit in contactu, ducatur recta F A ad verticem in cono,& e paral- empy.i6. tela lateri in cylindro,& ducatur a puncto F recta F D contingen , vel secans ubicunque circuli peripheriam in P, de D, atque latera solidi I A P A ducantur: erunt, vi prius, DR, P F A m eodem plano trianguli , vel parallelogrammi A PD A, dc puallelq intensem culindro i Et quia B F circulum BC O tangit in B: Ergo punctum F extra dicthun circulum, Dr.o. ix. cadit, & propterea punctum F non inter P dc D, sed ultra rectam P Dui circillo applieatiin cadet; sed trianguluin, vel parallelogrammiam A IPA secans imperficiem solidi in lateribus D A. & P A intra absidi superficiem includitar, & reliquum eiu idem plani extensi extra splidum cadi igitur recta F A extra figuram n DP Arositaexpia extra superficiem soli di cadet. Eadem ratione qumbet ulla recta in plano A B Fposita parallela lateri B A pratei tangentem Biri extra solidum cadet. Quare contingens planum ABF extra solidum
Si triangulum, & paralleIogrammum superiqualibus rectis lineis deleripta, meri ut inter. se Squalia: ierunt. super ea descripta prismata recta sque alia,qqualia inter se. Sint triangulum A B C, & parallelogrammum D G qqualia inter sequorum Litera B C, dc E G equalia inter se sint. Dico prismata recta super his spatiis descripta, quorum altitud i- . . nes equales sint recte lines T , esse inter se equalia. a Sccetur i. . em A C bifariam in O α δ per o ducatur recta O M parallela BC e pr. H. Itsecas AB in M. dcc fiat angulus CBP aequalis angulo E,div co- d pr xε ι. gpleatur parallelogra uti BPQC ducaturq;CN Parallelae B A, ecor. pr. is secans m P O in N. Quoniam duc recis AC, MN, conueni- entes in o secantur a parallelirum A M . dc C N: Ergo a triangu- R'er' ' la A Mo,&CNO n milia sunt, & habent latera homologa
qualia inter le sunt. dc quoniam, facta intellectuali applicatio- h cons. ne bales A M o x C N O iurules,& aequales sibi mutuo com ir.ι. . . . Mm et gruunt,
319쪽
gruunt, altitudines vero ab angulis A, M, O, C,N, perpendiculariter eleuatae ad plana triangulorum congru-P N entiunMcum ae' uases sint inter se, pariter sibi mutuo congruent caliasi ab iisdem punctis bins perpendiculares duci possent ad subiectum planum
quod est impossibile) Ergo plana per
congruentes perpendiculares extensa,& per earum sumnaitates ducta sibi mutuo congruent. Unde figorae ipse solidae conpraehensae sibi mutuo congruent; dc ideo prismata, quorum bases triangula AMO,&CNO, altitudines vero aequales rectae T, erunt inter se equalia, additoque communi prismate ricto eiusdem altitudinis scuius basis quadrilaterum M BCo, cum quo priora prismata recta triangularia qquh alta unicum ptisma consti tuent seo quo d a puncto O perpedicularis eleuata ad planum A B C O est latus commune trium Prismatum rectormn squorum bases conueniunt in o , dc sic relique perpendiculares) , erunt prismata recta altitudine T descripra, quorum M., quaIlaimi recta altitudine T descripta, qucts triangulum A B C, & parallelogrammum B N,si quonia super recta M o ductae sui Mindi iaparallele inter se, pariterque P B, QC parallelae inter se: Ergo triangula h M R P. & N C Q similia stini, dc ι qqualia, cum latera homologa MB,NCoppositam in parallelogrammo NB qqualia sint. Quare, ( ut prius dictum est Hismata recta altitudine T descripta, quorum bases triangula squalia, Ac tamilia M B P, N QC sunt equalia inter ses de addito communi prismate recto eiusdem altitudinis T , cuius basis quadrilat rum B P N C: erunt prismata recta altitudine T descripta , , quoru bases parallelogramum MBCN,& parallelogrammum P B C inequalia inter se, ideoque prismata recta altitudine , T descripta, quorum bases triangulum A BC, dc parallel grammum P B C QSqualia erunt inter se. Et quoniam Parablelogrammum E L squale erat triangulo ABC,& huic tria angulo squale est parallelogrammum M BCN,--PBC in cum qqualibus triangulis A M O,C N o addatur commune quadrilaterum M O C B ): Ergo paralle Iobramma E Κ, PB C Qequalia sunt, dc habent bases B C, E G equales; e ergo sunt sque altas quare ( ut in pr. 3 o, lib. I. ostensum est circa
320쪽
LIBER v I. a Tangulos P B C S E equales eorum latera eleuata P B, D E aequalia erunt ;dc propterea 3 cadem parallelogramma nurulia p Lis.I..erui. Quapropter prismata recta a stitudine T descripta, quorum bases parallelogramma E Κ, dc P i, Cin milia, de equalia: erunt pariter qqualia inter te. Ostensa aute fuerunt squalia inter se prismata recta altitudine T descripta, quorum bases triangulum A B C, dc parallelograminum P B C QIgitur prismata recta altitudine T descripta, quorum bases triangulum A B C, dc parallelogrammum E k qqualia erunt inter te.
PROPOS. XXI. THEOR. XIX. Si duo prismata recta triangularia bases,& altitudines qM , Ies habuerint: erunt inter se diualia
Sint duo prismata recta, quorum bases sint quailibet triam gula A, & B qqualia inter se, altitudines vero squales sint rhcte lineae P. Dico prismata ipsa esse inter se q quasia. Fiata pa- 'rallelogrammum C E squale triangulo A; dc parallelogram- 'mum M G qquale triangulo B in angulo GEM squali angulo D E F, quorum bases F E, dc E G c: hi in sint squales basibus trianguloriam, Ac ' Pinsponantur in directum, ut D E & E
M in dilectum pariter sint, , ( alias no l
efficerent angulos aequales ad Verti-
cem E); Et perficiantur e parallelogr maFM, D G, dco N, ducanturque et diametri NE, OE . Quoniam paral- RIelogramma C E, & E H qqualia sunt
Ergo ipsa parallelogramma erunt inter se qqualia: Quare . erit reciproco, ut F E ad E G, ita M E ad E D; & permutando, erit ut F E ad E M, ita G E ad E D,& sic reliqua latera proportionalia ostendentur: Quare Parallelogramma F M, & D G, que habent satera homologata, circa angulos aequales in directum posita, similia erunt inter i. i .ses dea propterea diametri O E,N E erunt in directum; , quq h ....i.xsecabunt lingula parallelogramma F M, D G, C H in duo triangula aequalia, ct similia, cum sint equiangula. Et quia i tr. i. .
prismata recta quorum bases triangula similia dc equalia C' odia