장음표시 사용
321쪽
ON.O NH,dc comunis altitudo squalis est rect* P sunt inter se qualia: Ergo fi ab eis auferantur prismata recta aequalia , quorum bases triangula simit i a , & qqualia OLE , SOM E, - communis altitudo qualis P. remanebunt duo pri imata rhcta qqualia, quorum bases quadrilatera CFEN &HMEN, altitudines equales P. Et si rursus ab his auferantur prismata recta squalia quorum bases triangula similia, & aequalia ED N, & E G N, altituβines equales Pi, remanebunt duo prismata recta, quorum bases parallelogramma SE, A E l . ab v pro'. . titudines squales P,quqerut necessario equalia inter se. h stdou . prismata recta. quorum bases squales triangulum A, & pMrallelogrammum C E super squasi bus tectis descripta, alibtudines squale, P, sunt squalia inter se; pariterque prismata recta, quorum bases squales triangulum B v &Parallelogra mum E H, altitudines diuales P, iunt qqualia inter vi iugo duo prismata recta, quorum bases triangula A, dc B, qu .rum altitudines equum P, inter se Dualis sunt. Quod erat
Cuilibet puramidi triangulari direm figura composim ex
pialmatiuus rectis aeque altis eireunt crata posest, At altera inscribi fa ut circunstripta, vel micriptat differentia a nu ramide minor si quacunque data magnitudine. Uocci,
Sit pyramis triangularis D A BC, dco B perpendicularis, vertice incidat non extra basinu BC ,. h in data quaelibeta prv.f. magnitudo th. Dico fi rati posse quod proponitur. a cleuetur
E A perpendicularis ad se num Ab C. & reuoluatur vi H P ' cipit 1 def. secvn. huius, iactum erit priuna brectum is E Cori , ιλ s er basim ABC altitudine D B, ct haec altitudo diuidaturdi. .p .io bifariam L in M, dc . Per M ducatur planum parallelum baibuim. hus: erit iam viuuerimn pNima B E ia sectum in duo prisma- tarem aequalia ulterae leo quod tam bases ABC, EDs, quam altitudines perpendiculares M D, M B equales sunt imi ter sedi s Et si rurius M B bifariam secetur in G, di per G pl num G F H parallelum basibus ducatur: erit rursus pratana i : AG C s. Missis praeceduntis; Et si denuo haec bipartita tu, duusio residuarum altitudinum. & ductio planorum semper
322쪽
repetatur,remanebit e tandem aliquod pri ima minus quacuque magnitudine proposita . . Ergo repertum iam sit prisma BF C minus magnitudine &, perq;freliquas sectiones M Pequaliter diuidentes altitudinem B D. plana M L & O PQ ducantur parallela da si ABC a Postea a describantur duo pri sinata rectit super basim G I Κ supra, & i ra sectionem in planis immediate sequenti-
buSterminata, b quorum infi- Smum i B Κptisma inscriptumi erit frusto pyramidis inferiori A k B. & supernum prisma RG S circunscriptum erit frust superiori L M, quae duo
pri sinata erunt aeqlladia, Chun
eandem basim lG Κ,& equales altitudines Perpendi lares G M, GB habeant. Pari modo super basim LM N cum altitudinibus aequalibus M AM G describantur duo prismata aequalia, L G N inscriptum . frusto pyramidis LG Κ,& prisma LUM circunscriptum frusto pyramidis O N M. Similiter super basim o P Q cum squalibus altitudinibus P D, P M detcribantur duo pri imataequalia, O P inscriptum frusto pyramidis O N M.&prisma O Z P circiniscriptum frusto pyramidis D O QP, & sic ulterius procedatur in reliquis sectionibus , si plures exib
Patet ergo, quod pristrata omnia recta BI G L s, M O inscripta purramidi, simul sumpta,equalia sunt prismatis G Rk, M T N. P X Q circunscriptis pyramidi simul ivinptis, idest fi gura ex pr i imatis composita circunscripta pyramidi D A BC absque infimo prismate BFC equalis est figurg ex prismatis compositae inscripte eidem pyramidi. Quare excessuS, quo figura uniuersa circunscripta pyramidi superat figuram i scripta in eidem pyramidi aequalis est prismati B F C ; At solidum BEC Onus est proposita magnitudine dc: Ergo excessus quo
323쪽
suo figura tota circunscripta puramidi superat figuram in scriptam eide pyramidi minor est magnitudine &; Sed pyrhmis D A B C pars est, ct ideo minor , quam figura pyramidicircunscripta,& eadem pyramis totum est, ct ideo maior figura eidem inscripta. Quare disserentia figurarum inscriptae pyramidi a circunscripta maior est, quam differentia inter mguram circunscriptam,aut inscriptam,& pyramidem ipsam: differentia vero dictarum figurarum circunscriptae, & inscriptae minor est magnitudine &. Ergo excessus, aut defectus, quo circunscripta, aut inscripta excedit, aut deficit a pyr mide, minor est magnitudine &. Quod fieri posse ostendem dum erat. Vocentur dicts figurq,ex prismatis rect is etque altis
composits,Gradais figurq pyramidi adscrip . PROPOS. XXIII. THEOR. XX. Si diic triangulares Pyramides directe habuerint bases , & ab
titudines squales: erunt inter se squales. Sint duae pyramides C A, D B, quarum bases triangula A, B equalia,& altitudines Imrpendiculares C A,D F, non extra bases cadentes , sint etiam squales . Dico pyramides ae-a p .ss. quales esse inter se. Adscribantura pyramidi C A dut figuraebmui. gradatae N LM circunscripta de No inscrina, ita ut diis rentia figurq k L M, aut N O . pyramide C A minor sit quacunque magnitudine data: sntque figure genitae a planis parallelis,basi triangula A , G, N, I, ct a titudines prismatum comprehendentium figuras adscriptas sint aequales ipsi H A. h M.fig La Postea b perpendicularis D F m tot partes aequales uni Q Fdic cor pr so stribuatur,in quot partes aequales uni A H diuila fuit perpen- huiu/ diculatis C A,& sper singula diuisionum puncta plana paral-d p v tela basi essiciant a triangula P,U , T similia ipsi is :&e com-ὰν ζ., pleantur fidum gradatae circunscripta R S F , di inscripta vhtiiu,. X. Et quoniam H A, Q Faequo metiuntur aequales altitudia D b. i. nes C A, D F : Em H A, QF aequales sunt, di sic reliquaegpm .ia, altitudines Prismatum rectorum aequales erunt: hahenig ve-
M /- ro triangula equalia A, B ad duo triangula illis sinusia G, Pii P i eandem proportionem duplicata altitudinis AC ad H C, seu F D , ad chi cum tam CA, D F,quam C H, D Qsquales sint. L ... i. Ergo i triangula GP aequalia sunt, eadem ratione aequalia huiui. erunt triangula Niv,&c. Tandem x Hismata recta, quorum
324쪽
bases triangula 'qualia A, B, altitudines H A, F aequales
etiam, erunt inter te aequalia: eadem ratione reliqua prismata recta numero aequalix
comprehendentia gradatas figuras circunscriptas, & inscri- ptas qqualia erunt inter se .
Quapropter duae figurae gradatq N L M, R S Fcircunscri-Ptae pyramidibus C A. D i, q- quales erunt: pariterque duae figure gradatq inscriptae NO,
V X erunt equales;& hoc semper verum erit quacunquo existente differentia pyramidis C A a figura gradata x L M, vel NO. Quapropter crimi duae magnitudines, prima pyra- . mis C A, iecunda pyramis DB. & figura gradata kLM, maior, quam prima exccssu minore quolibet dato, est quo- . que maior lecunda, cum figura kLM aequalis sit R S F ei,cunscripte, & ideo maioris pyran, ide D B, atque figura gradata N O minor, quam prinia defectu minore quolibet d to, est quoque minor iecunda, cum figura No squalis sit V l Ah.M. . X micriptae,& ideo minoris puramide DB. Ergo i pyramis M.f.
C A aequalis est pyramidi D B. Quyd,&c. - PROPOS. XXIV. THEOR. XXI.
si duae pyramides triangulares ambligoniae habuerint bases& altitudines aequaleb, erunt aequales inter te. Sint duae pyramides D ABC,&kGFH, quarum bases, triangula A B C, G F H aequalia inter se,& perpendiculares a Isummitatibus ad bales dilictae D E, kM sint aequales inter se , - cadant extra bases pyramidum. Dico pyramideS esse equules inter ie. A terminis perpendicularium E, & M ad angulos basiu coniungatur recte E A, E C, E B, M G, M F, & M H, & . in figulis E ABC, & MG bH sumantur puncta C, dc O, ubi
convcinunt triangula Gmnia, in quae dictae figurae resol- . ii
325쪽
sim A B E habent,& squales altitudines D E, R C, que nomincid unt extra barim: Ergo , pyramides DABE,& RABE quales sunt inter se. Rursus quia super eadem basii B C E cum di qualibus altitudinibus D E, R Cc non cadentibus extra basim fa-- E cti sunt duq pyramides triangulares D B E C,dc R B E C. e Ergo hq equales sunt inter se, quq n atrioribus qqualibus pyramidius DABE, RABE tollantur, remanebunt pyramides D A B CE,&RABCE qquales inter se. Et, si ab his tollantur duq triam
dines squales DE, R Cnon cadentes extra basim hunt pyramides D ABC,&R ABC qquales inter se.Post ea quoniam duq pyramides triangulares X FHM,&NFHMeandem basim F H M habent, dc qquales altitudines L M,N onon cadentes extra basim: erunt/ills pyramides uales ter se. Eadem ratione duq pyramides triangulares N F o i kFGMqquales erunt inter se. Ergo qqualibus addensqualia: erunt pyramides N GFHM,&NGFHM quadria latera qqualia inter se, a quibus si auferantur triangulares pyramides qquaIes kGHM,&NGHM( que eandem basim M G H habent, ,h qquales altitudines NM,NO non cademtes extra basim ) remanebunt pyramides X G F H,dc N G F Mqquales inter se; est vero . pyramidi N G F H qqualis pyramis R A B C,quia eorum bases G F H,& ABC squales suppossis sunt, dc estitudines NO, R Cnon cadentes extra bases sunt equales, cum sint squales duabus qqualibus X M, D E. Ergo
pyramis N G F H qqualis est pyramidi R A B C; sed eidem p ramidi R A B C ostensa fuit qualis pyramis D A B C. Ergo duet pyramides kGFH, DABC qquales sunt inter se. Quod
Hinc colligitur,quod si fuerint dus pyramides triangulares . sque
326쪽
temh aliq,& basis unius aliquoties basim alterius metiatur pyramis quoque toties reliquam pyramidem metietur, quomites basis basim metitur. Si enim in qoue altis pyramidibus triangularibus D AB E ,& N G F H bass o F H metiatur aliquoties basim A B E ,exempli gratia ter, ita ut triangula ACB, BCE, dc ECA sintqqualia inter se, & ipsi G F H , & compleantur pyramides tria angulares D ABC, DBCE, D E C A ,erunt quidem ex hac propositione equales inter se , ct ipsi pyramidi N G F H , cum sabae. i, earum bases, altitudines quales sint,&propterea, pyra- mis N G F H toties pyramidem D A B P metietur, quoties ib .lius basis G F H basin huius A B E metitur.
Quslibet pyramides eiusdem altitudinis sunt inter se , ut
Sint due pyramides primo triangulares D A B C, & M FGH.quarum altitudines D h. M O equales sint. Dico puram, dem D A B C ad pyramidem M F G H eandem proportionem habere , quam bans A B C ad basim F G H. Producatur H F apris 8. Sindefinite versus F, ut in S, di a secetur F O , quq sit quslibet mensura ipsus S sumatur Sy quqlibet multiplex eiusdem F O & coinpleantur pyramides triangulares M F O G,&dc M F G S. Et quia . quoties F O metitur F H, toties triangu- b e I. prilan F GO menturat triangulum FG H. atque equoties tria s ii gulum F G o metitur triangulum F G H, toties pyramis M FG o menturat pyramidem M F G H. Ergo a triangulum F G tu O, di pyramis M F G O qque metiuntur triangulum E G H, e odi pyramidem M F G H. eadem ratione quoties O F metitur ipsam F S , toties triangulum Fo G ipsum triangu- .
lum S F G , atque pyramis M MFo G pyramidem M F S G
327쪽
unde erunt quatuor magnitudines prim a basiS ABC, secum da basis F G H, tertia pyramis D A BC, otia i ta pyramis M FGH,&duae alie, scilicet triangulum F S G. & pyramis M F SG, quq fiunt qu libet, & eedern partes consequentium i idest habent ad triangulum F G H & ad puram idem M F GH qu
libet dc eandem rationem commensurabilem, e IqUOtres
triangula S F G & A B C squalia sunt, etiam eque aliq pur mides M FSG&D ABC sunt qquiales ;& quoties triangulum S F G maius est triangulo ABC, etiam pyramis M F SG maior est pyramide D A BC,& quotiescunque illud minus est, hec quoque est minor illa. Ergo a basis A B C ad basim F G H eandem rationem habet, quam pyramis D A B Cad py ramidemM F G H. Sint secundo due pyramides AC F,&IΚMqque alte, bases vero quscunque polygona F C, kM. Dco esse pyramidem ACF ad puramidem IT M , ut basis C F ad basim h M . Dipidantur polygona basium in triangulae . ductis rectis BD, BE&GO, dc plana per has rectas ad vertices coniungantur. Quoniam b ut basis B CD ad B D E ita est pyramis A B C D ad pyramidem A B D E (eo quod lunt triangularia, ct eiusdem altitudinis erit leoniungendo ut polygonum CE ad triangulum B D E, ita pyramis A C E ad pyramidem A BD E. Et rursus quia, ut basis B D E ad B E F, ita pyramis triam gularis A B D E ad puramidem A B E F qque altam:ergo ex compositione ordinata ut polygonum C E ad triangulum B EF,ita est pyramis A C E,ad pyramidem AB E F;3c iterum ι ciniungendo erit, ut potvgonum C F ad triangulum B F E, ita pyramis A C F ad puramidem A B E F. Eadem ratione erit,ut triangulum G ΚO id potvgonum k M ita pyramis I k G Oad puramidem I Κ M: Est alitem ire ut basis trianguli B F E ad triangulum G Κ O, ita pyramis A B F E ad puramidem IN G o(propterea quod altitudines ambarum pyramidum triangularium qquales sunt ex hypothesi . Ergon ex compositione ordinata ratio polygoni C F ad polygonum N M eadem erit,quq pyramidis A C E ad pyramidem IN M. Quod erat, dcc. PR,
328쪽
In cono dato possibile est Pyramidem circunscribere, dc alte- , ram inscribere, ita ut illarum differentia a cono minor sit , ' quacunque magnitudine proposita. Uocentur huiusmodi
Pyramides adscriptae cono . , 3 a
Sit conus cuius vertex B. basis circulus A. & quaelibet margnitudo X. Dico posse circunscribi, & inscribi in dato cono duas pyramides, quarum differentia a cono minor sit magnitudine X. Ada planum cuiuslibet reianguli DEF eleuetur. a prv. 3 Perpendicularis c. F, quae . secetur aeq'aiis atritudini coni R buturA, deductis planis compleatur pyramis CDFE. iam si a C 3, i per rectam F G Iecantem e triangulum F D E bifariam duca-. i tur planum,d tecabitur pyramis C D F E bifariam, & si rursus d .., , aliud planum a C per FH secantem triangulum FGEbifa- hu,M.riam ducatur, erit pyramis C G F E iech hilariam, iv cta hoc semper fieri possit: nmanifestum est e telinqui c-ns, i escholeri ex ea tadem aliquam pu- I Is ramidem minorem qu
scribatur, ita ut illorum Met differentia minor sit base F H Esa diductis planis per omnia latera polygonoru ad ver epes. i. ilicem B, descriptae erunt duae pyramides, habentes commu- buiui nem verticem B, quarum bases h M N, & O PQ ideoque, eiusdem altitudinis cum cono, & pyramide C F H E. Et quiniam omnia latera polygoni o P in cat circulum A ,& omnia latera figurat , M N tangunt circulum A : Ergo o planc, b pre . is omnia pyramidis B O PQconum secabunt, tu omnia plana iapyramidis B k M N extra conum cadent; ideoque pyramis BO P innscripta, dc minor erit cono B A, dc pyramis B Κ MN circunscripta,& maior erit cono B A. Pt quoniam,'ut py- i prop. aramis B k M N ad pyramidem B O P rum sint eiusdem al- hia . titudinis, ita est basis, MN ad OP Ergo diuidendo ut h/m31 a
329쪽
differentiasyramidum BN MN,&BO PQ ad puram idem B O P QIta erit di fetentia polygonorum X M N.& O P Q ad polygonum o P in Rursus ut i pyramis P O P Qad puramidem C F H E cum fiat eiusdem altitudinis, ita est bans ot PQ ad basim FHE. Ergo mox com Ic sitione ordinata, ut diffcrentia ramidum BN M N & B O P Q ad pyramidem C F H E, ita est differentia polygonortim NM N, di O P in ad planum F H E: sed differentia polygonorum x M N , & o P Q plano F H E minor est: Erpo is differentia pura duna RE M F., & B O P Q minor estPyramide C F H E; sed haec pyramis mi hor erat magnitudine X: Elgo differentia pyrami. dum B ΚMN. & Bo P adhuc: minor erit magni adinia X; Est vero conus B Almior priamide itiscripta BD P Osemihor pyramide cireunteripta B Κ M N hare excellasi, quo puramis rum k M superat cotium t aut deiectus, quo priramis 3 O P deficit it cono, multo minor erit, quina d: fidirentia p yramidum B h M N, & B O p QOdeooue minor qua-eunque data magni udrne X. Quod propositum luerat . -
PRO P o S. XXVII. THEOR. XXIII
Coni eiusdem altitudinis sunt inter se, ut buses.
Sint duo coni, quorum bases circuli A. dc B; velitices vera F, Η, & eorum altitudines F G,H O Squales sint.Dico conum. F A ad conum H Reatidem rationem habere,quam circi ius A ad circulum b. Adscribatur a C
retia a cono minor sit quacunque magnitudine proposi- ta. Postea b circulo
B circun cribatur polyxonum regulare P R S simile polygono C D N i Paritetoue eidem lascribatur polygonum regulare T V X smile potvgono h M N, & e ab ombibus lateribus dictarma figurarum eleuentur plana ad verticem H pertim
330쪽
gentia i ut perficiantur res pyramides, altera H P R S circun-Lripta, maior cono H B, altera vero H T V X inscripta; deae t. ri
ct ideo minor eodem cono. Et quoniam tam puramides cir- hv φ .cunt cripte, quam inscripte altitudines FG, H Oequales habent. e erunt inter se, ut bases; sed scircunscripta pol vgona , I v basili C D E. P R S sunt inter se in duplicata ratione radiorus fretus e via circuli A, B Pariterque polygona N MN,&TUX , sunt inter se, ut circuli A, &B: Ergo,, ut puramiSFCD E ad in p=. i.Ls. pyramidem H PRS, ita erit circulus A ad circulum B; dc in eadem ratione erit pyramis F k M N ad puram idem H T UX. Ergo simi due magnitudines, prima cosius F A, secunda contis H B, dc ratio data circuli A ad circulum B,& duq ahq una maiores prima; & secunda, scilicet pyramides FCDE, H PR . S conis circunscript* sunt in ratione A ad B, & excessus a prima , scilicet differenti pyramidis FCDEa cono F A minor est quacunque magnitudine datas pariterque duae aliae Una minores prima, st secunda, scilicet pyramides FΚ M N, Ac HTV X conis inscii piae, sunt in cadem ratione A ad B, dc defectus a prima, scilicet differentia pyramidis F Κ M N a cono FA minor est quacunque data magnitudine. Ergo prima ad impr. M secundam, scilicet conus F A ad conum H B est quoque in gadem data ratione circuli A ad circulum B, basis ad Dasim .
Si pyramis,& prisma quales bases,dc aequales altitudines Ita buerint, erit pyramis tertia pars prismatis.
Sit prisma D B F, dc pyramis T G H M, quarum altitudines sint equales, dc bases A B C,dc G H M sint pariter squales. Di copuramidem ipsius prismatis tertiam partem esse. Et ni mo iit prisma triangulare, R in tribus eius parallelogrmmis ducantur diametri D C, A E & C E, dc per duas quaslibet divi
metros ita Vno puncto couenientes a plana ducantur, Ut prisma
diuidatur in tres pyramides, quarum due , C B A E, & C A D E aequales sunt inter se, quia e bases BA E, D E A sunt equales, cium parallelogramu DB a diametroAE bifaria secetur,& altitudo e tum est eadem, scilicet eadem