장음표시 사용
331쪽
serpendicularis a communi vertice C ad planum D B ductaeari ratione due pyramides EDAC&ED FC habent bases squales L, A C,& D F C, & eandem altitudinem, scilicet pedipe ridicularem a vertice E ad planum F A ductam; Ergo a pyramis E i F Cequalis est eidem pyramidi EDA C: ideoque tres pyramides, in quae prisma resoluitur, squales inter se sunt;& propterea prisma DBF triplum erit puramidis E A BC: Est vero . pyramis x G HM equ uis pyramidi E A B C (cum eorum bases G H M, & ABC tant posite eouoles, & etiam altitudines equales . Ergo pyramis h G D M tertia pars estpri imatis DB F., Secundo in erismate polygonio dividantur ases parali squales, & innues A C, F D F m totidem triangula, ita ut duo quaelibet opposira similia parallela .& aeoualia sint ut A i, P
simile sit ipsi D E S, P B O ipsi s E
R, &c. dc g ductis planis per latera homo toga aequalia, dc parallela P B, S E , de per OR. Ac REdiuisum erit prisma DBF in totidem prismata triangularia . quot sunt triangula A B p. P B O . O BC in basi A C. Exii ad verticem E ducantur Plana per rectas A P, P O O C, P B, O B, erit pyramis EAC polygonia diuisa in totidem Pyramides triangulares, quot sunt triangula in basi A C : dc propterea tot erunt puramides triangulares E A B P, E P B O, E O B C quot sunt prismata triangularia D B S, S B R, R B R. dc erunt prismata, & puramides defcripte super casdem bases: triangulares, dc in eddem estitu drnibus. Unde (ex prima Padite huius pyramis triangularis E A B P tertia pars erit pris ma- , iis triangularis DBS , pariterque pyramis E P B O erit tertia pars ipsius prisidatis S B R , nec non pyramis E O B C ipsius. ptismatis R B A tertia pars erit; ideoque tota Pyramis polygoni EAC totius prismatis polygoni; D B F tertia pars erit rh Sed puram is kG HMqqualis est pyramidi E AC (quia b iis, o .. . . ses A C, dc G bl M N equales pCniae sunt, de eoru altitudines pr. auales . Ergo Puramis N GH M tertia pars est prismatis DB F. Quod erat, dcc.
332쪽
s c H o L I V M. . t Si fuerint duo prismata triangularia AEBD, S GNIAI, O basis GHI sitfemissi parallelogrammi B D, altitudo X O squalis seu perpendiculari E latere F E ad planum parallelogrammi B D ductae. Dico primata CP inter se aequalia. Ductis lineis rectis GT, H Κ, AC, AE, oe pIanis per easdem rectas extensis, erit i Dramis LG ipp.as.bus HI tertia pars primarii GN IM, pyramis AEDc tertia pars pesse l. i. matis F D B: Sed bases G Η I, A DC dictarum Dramidum sunt inter A Pr. ψ i, sesqnates scian , parallelogrammum B D duplum si trianguli A DCoe ex Dpothes duplum etiam erat trianguli GHII, altitudines NO, E se aquales etiam posita unt; Ergo i pyramides RG HI , et E Dc es i. aequales erunt inter se: unde m earum tripla,scilicet primata M H Fadi , , . it.
Si coni, dc cylindri bases, det altitudines equales inter se su rint, erit conus tertia pars cylindri. Sit conus E A, & cylindrus C B, quorum bases circuli A,Bsnt squales, pariterque eorum altitudines equales sint inter se.Dico conum E A tertiana partem esse cylindri C B. Adicribantur a cono E Adue pura deSED, FG,& E HI quarum differentia acono minor sit quacunque data magnitudine:& circulo B adscribaim turo duo potvsona
milia regularibus postgenet D E G, m cpr. L .r
cunscripta polygona D E G,o P QSqualia e ste, eo quod sium pr. io ..3. o o inter
333쪽
inter se ut quadrata radiorum , seu ut circuli aequales A . R, Cade ratione equalia et sit inscripta polygona HIT , & R , v.
Postea a puncto S anguli polygoni R S U,nq; a puncto incrud desis, factus polygoni O P Q ducantur a latera cylindri S L ct QM,
- - φ & hic reuoluantur semper sibi ipsis parallela per per i mora polygonoru R S U,dc O P in; cumque superficies inde geni- . R i secentur a plano circuli C paralicio subiecto circulo B: Et Aduis. uis, go edescripta erunt duo pri sinata, quorum bases RS v, dco P haltitudines veroqquales altitudini cylindri C B. Et Fd fig. quia fra n latera cylindri C B , quam prismatum RSUL,&fi eum huiu, O P M parallela fiunt ijsde cylindri lateribus L S,& M i g pr. r. b- gog illa omnia parallela stat inter se s & ideo latera cylindri , - - quq ab iisdem punctis peripherie circuli B , a quibus latera
Polygonorum ducuntur, erunt quoque latera prismatum;
h - --ir, alias o ab iisdem punctis peripherie circuli B duci possient due rect* lineae eidem S L, vel M Qs inter se parallel , quod est, M. i. s. impossibile. Et quoniam latera omnia polygoni RS V in
.., scripti secant circulum B: Ergo i plana, quae per latera polygoni R S V , dc per latera cylindri ducuntur, secat cylindrum, intra ipsu in cadunt; iraec vero plana saperficiem p rismatis R S UL essiciunt : Quare prisma R S U L intra cylindrum CB inscriptum erit. & minus erit cylindro. Similiter quia i tera polygoni N O P circunscripti tangunt circulum B: Er- pr.is. bu- go h plana, quae per latera polygoni N O P , ct per latera cy-
... sindri a contactibus ducta extenduntur, tangunt cylindriam,& extra ipsum cadunt, quae cum superficiein prismatis NoP QM componant, necessiario prit ma N O P QM comprehendet cylindrum C B, dc maius erit illo. Iam quonia sunt diis magnitudines prima conus EA, s cunda cylindrus C B, dc ratio data subtripla, dc pyramis E F GD conscripta, de maior pso cono excessu minori quacui, que magnitudine proposita ad prisma M O PQ quod conscriptum, Sc maius est cui indro C B, eande ratione data subtri-Ipr. 18.hκ- plas habet eo quod altitudines,dc bases qquales inter se habet
iis et ideoq; pyramis E F G D maior,est qua subtripla cylmdri C B.
Et ruri is pyramis E HIΚ inscripta, & minor cono E A desectu minore quacunque magnitudine proposita ad pri ima RQ, - . i. vs Linscriptuna,& minus cylindro CB eandem rationem ista, datam is sub triplam habet, ideoq; pyramis E HI k minor est parte tertia cylindri C B: Ergo rum prima ad secundam, idest, i. conus E A ad cylindrum C B erit vi ratione data subtripla. Est
334쪽
LIBER UL stygorgo conus E A tertia pals cylindri C B. Quod erat, deeC o R O L L A R I U M I. Emi. g.
Deducitur ex his duabus propositionibus, quod duo pris- mata, aut duo cylindri,quorum bases tum aequales,& altit dines equales, erunt aequales inter se. Nam puramis, cuius basis aequalis est basi, dc altitudo a qualis altitudini uniuscuiusque ex prismatis, est utriusque prismatis tertia pars ex ag. propos. praecedente; & ideo e prisnista squilia erunt inter se. Pari modo conus, cuius balis q- qualis est basi, dc altitudo equalis est altitudini tana primi, quam lacundi cylindri est utriusque cylindri tertia pars, ex , hac propositione ; & propterea p cylindri squales erunt linter sic.
, Et si prismata, & cylindri aequales bases habuerint, ina quales vero altitudines: erunt solida ivsa pariter inaequalia, oc maius illud, cuius altitudo maior est.
dirisma, aut cylindrus secetur plano aduersis basibus paralelo erunt prismata, vel cylindri secti inter se, ut eorum
a tera, ct ut corum altitudines.
Sit prisma, vel cylindrus D A, cuius latus A D, & altitudo C E , & sectum sit plano G parallelo basibus aduersis A, D, a quo iecetur altitudo C E in I. & latus A D in G. Dico solis dum A G ad solidum DG eandem rationem habere, quam habet altitudo C I ad altitudinem I E, & quam latus A G h
bet ad latus G D, si tamen comparentur ea, quae eiusdem sunt speciei, icilicet prismata inter se, di cylindri inter se. Secetura altitudo I E in quotcunque partes squales 1 B, B X, X .E, & b in recta IC producta s centur quotcunque partes I M, M P , P S singul:e aequales X E, ita ut recta IS sit qua libet eat . ii partes ipsius I E. Postea. per puncta S, P, M, B, X plana du- de uri r iocantur parallela basibus D, dc G, tam in cylindro, quam in , .m-.PVimate. Et quoniam prisma, vel cylindrus AD Iccaturoo a Planis .
335쪽
planis in N, T. G. T. T b isibus parallelis: Ergo e figure in I,
Κ, G, T. T similes,&aequales uuat figurae l), ct inter se; tasOnt altitudincs E X, X B, BI, IM, MP. PS aequales inrer se: Ergo innia prismata inter se vel omnes cylindri QN N Κ, Κ G. GL,LTT D aequales erunt inter se, Sctor numero sui quot fur equales a titudines
SP, P M,M I, IB, B X, X E Ergo ge ardem Partes erit prisma , vel cylindrus Q G ipsius prismatis, vel cylindri G o, ac est partes altitudo SI ipsius I E. Et quoniam sunt quatuor quantitate, , prima altitudo CI, secunda ab titudo I E, tertia prisma, vel cylindrus A G, & quarta prisma , vel cylindrus D dc duae aliae quantitates altitudo S l& prisma vel cylindrus Q G, quae , eandem, dc quamlibet ratione comesurabile habet ad cosequetes; naqu*libet partes eede sui, . SI qvide ipsius se- cudi I E, dc soliduQG ipsius quart* solidi GD comparando temper prismata inter se, Meylindios inter se j; Et quotiescunque S I equalis est prin)q CI, necessario solidum Q G equale est solido A G (quoniam eandem basim G, & qquales altitudines habent perpendiculares a puncto Cad planum G , & quoties SI maior fuerit, quam C I, necessario solidum Q G maius erit solido G A , Et quotiescuitque S I minor fuerit . quam C I, necessario solidum Q G inlinus erit solido G A: Ergo i prima quantitas C I ad secundam IE eandem rationem habebit, quam tertia, que est solidum A G ad quartam, scilicet ad solidum G D. Quare ut altitudo C I ad altiiudigem I γ, ita erit Prilma A G ad prisma G D, vel cylindrus A G ad cylindrum G D. Tandem quoniam dias rhli nee C E, & A b iecantur a planis D , G, dc A parallelis inter se: Ergo is ut C I ad IE, ita est A G ad G D. Quare ut solidum A Gad solidum G D, ita est illius latus A G ad huius latus G D. Quapropter, dcc. PROPOS XXXI. THEOR. XXVII.
Qvqlibet duo prismata, cylindri, pyramides, aut coni propo tionem habent composita ex rationibus baiun, Sc altitu-
336쪽
LIBER VI. etor Sint duo prismata , vel cylindri, aut pyramides, vel certe duo coni AB CD, quorum baies B, O, ct altitudines sint FE, GO. Dico solida eiusdem speciei, scilicet prismata inter se, dc culindros inter se, atque pyramides inter se, nec
non conos habere proportionem compositam ex ratione balis B ad basilin D , ct ex ratione altitudinis F E ad altitudinem G O. Et si quidem A B, C D me rint pyramides, aut coni, fiant a stipet m. eisdem basibus, & in eisdem altitudini ubus prismata aut cylindri A B, C D, contra si fuerint prismata aut cylindri, fiant , super cisdem basibus, ct in eisdem altitudinibus pyramides, aut coni A B, CD; postea e secetur altitudo Io equalis altitudini FE,& ducatu ra planum I Hrarallelum bas D, efficiens e figuram H qqualem. & similem basi D, ut sit H Dptilina,fvel cylindrus ; vel certh punctum aliquod H fiat vertex pyramidis, aut coni H D. Et quia duae pyramides, aut duo coni AB.H D equales altitudines habent Ergog sunt inter se,ut bases B, D: sed tam pyramides,quam coni q-que metiuntur prismata,& cylindros AB, H D, cuni quodli-het lolidum correspondentis so- qidi eiusdem speciei tertia pars st: Igitur prisma, aut cylindrus a B ad ipsum H D habet eandem proPOxtionem, q uam basis B ad basi si D. Postea quia prisma, vel cylindrus C D hcatur plano Haduersis basibus parallelo: Ergo prismata h H D,& CD, aut cylindri inter se sunt,ut altitudines I O G O ; sed tam prismata, quam culindri eque multiplices sunt pyramidum,ivel conorum H D, . D,cum i quodlibet solidum correspondentis eiusdem speciei solidi triplum sit: igitur m pyramis, vel conus H Dadciusdem speciei solidum CD eandem proportionem habet, quam ali itudo I O ad altitudinem G Orest vero is proportio solidi A B ad solidum C Dcomposita ex rationibus intermediis, scilicet ex ratione solidi A B ad H D, dc ex ratione H l) ad C D comparando sem
ater ea,que eiusdem speciei stat otque est solidum A B ad H
337쪽
D, ut basis B ad D, de solidum H Dad CD est, ut altitudo Io. ostr .i I. velo et equalis p Ead altitudinem GO ergo solidum A Bad pye is i.3 eiusdem speciei solidum C D habet proportionem compositam ex ratione bass B ad basim D, & ex ratione altitudinis FE ad altitudinem G O. Quod erat ostendendum.
xi Patet, quod prismata,&cylindri qqualium altitudinum sunt inter te, ut bases: dc pyramides aut coni equalium basium sunt inter se,ut altitudines. Ostensa enim rii it proportio Prismatum,vel cylindrorum A B, H D aequalium altitudinum eadem,ac est proportio basium B, D;atque proportio pyrambdum H D, & C D habentium qquales bases eadem suit ac habent altitudines I O, & G O.
Aequalium pyramidum. eonorum,pri smatum, cy lindrorum, reciprocantur bases, & altitudines; dc quorum bases,' alibtudines reciprocantur, squales sunt inter se. Sint primo equales inter se duae pyramides, vel coni, aut prismata, aut cylindri A B, de C D, quorum bases B, D, &altitudines A E, C F. Dico,ut basis B ad D, ita esse reciproce altitudinem C F ad altitidinem A E. Sint due quqlibet figurae M , dc N qquales inter se & ut B ad D ita sit M ad O. Et quoniam sicut M equalis est N, ita solida A B, & C D qqualia sunt
inter se(dummodo semper ea comparentur, quq eius de generis sunt :& qqualitatis proportio a solidi AB ad solidum C D componitur ex rationibus basis B ad basim D , de altitudinis A E ad altitudinem c HEst vero M ad O, ut B ad D: o Ergo residua proportio O ad N eade moest,
338쪽
est. qtre altitudinis A E ad altitudinem C F; dc e inirertendo e LAN1do est, ut CF ad A E; sed . N ad O est, ut M ad Oseo, 3 is, quod M,&Nq quales sunt . Ergo ealtitudo CF ad altitudi- 'Penem A E eandem ratio nem habet, quam basis B ad basim D. Secundo in omnibus dictis solidis (comparando semper ea, ue eiusdem sunt speciei sit basis B ad D reciproce ut altituo C F ad altitudinem A E. Dico solida i psa qqualia eme inter se. Quonia quales M,& N ad eande o eade ratione habent,& iPr i' i' est is ad D, ut M ad O, & C F ad A h est, ut B ad D, ieu, ut Mad o: Ergo C F ad 3 A E est ut N ad O, ct inuertendo , A E 5 ad C F est, ut O ad N; sedi proportio M ad N componi- r, ., ιι.tur ex rationibus M ad O, & O ad N: Ergo proportio M ad N , . . ,a., componitur ex rationibus B ad D, & A E ad C F. Est vero s i. proportio h solidi A B ad talidum C D compofita ex iisdem . hama. rationibus basis B ad basim D, dc altitudinis A E ad altitudinem C F: Ergo ut M ad N, ita est solidum A B ad solidum CD; sed erat M equalis N. Ergo solidum A B t quale est solido C D. Quod erat, &c.
PROPOS. XXXIII. THEOR. XXIX. Emiraria
Si fuerint duq pyramides, vel duo prismata, quorum bases sint triangula, vel parallelograma, dc habeant unum amgulum solidum contentum a media trium proportionalium Mualem angulo solido contento a tribus proportionalibus: erui solida,que eiusdem speciei sui, squalia inter se. Sint anguli solidi B & E equales inter se, dc angulus B comtineatur a tribus rectis proportionalibus A B, CB, DB,&-gulus E contineatur a tribus F E, G E, E squalibus medis CB trium proportionalium, dc compleantur triangula A B D, F E H, atque parallelogramma N B, M E.Dico pruno pyramideS, quarum vertices C dc o, bases vero triangula ABI. . D dc F E H, vel parallelcgrammata, X B,& M E equales esse inter se. A terminis a C,G sublimium . , ι - qualium B C, & E G homologarum cadant perpendiculares CN Go ad subiecta plana: Erunt, perpendiculares CN, Sc bpr.is. C O equales inter se. Et quoniam anguli ABD, dc FE Hae- huiunquales sunt inter se, di est A B ad F E, ita reciproce H E ad D , B: Ergo
339쪽
e .i . . . B: Ergo e trian Ia A B D, de F F Hequalia sunt inter se, pars terque paralle logramma X B. & M E eQuolia erunt inter se. . Cum ergo pyramidum C AB, &c FE H, bases A B D. FE Fl equales sint, & altitudines CNNO etiam emiales eruntd,, . i. i. pyramides d Quales pariterque que i a bases kB . M E eo uales s.lia.. sunt, haltitudines CN,GO etiam qQuales; erunt e pyrambe p . s. des C k B.& G M E in eadem proportione equalitatis. bulbi. . Secundo iisdem positis. Dico prismata,quorum latera C B. G E.&bases triangula A BD,&FEH, vel parallelogramma N B, & M E esse equalia inter se ..Qnoniam Predicta prismata altitudines habent equales ipsis CN.&GO equalibus; ideoque eque alta erunt,& bases A B D,& F E H equales sunt, F cor i pr. nec non bases k B, et M E. Ergo r*dicta prismata qqualia
af --. inter se erunt. Quod erat, etc.
si hemispherium, et conus rectus, aequales axes, et bases habentes, secentur planis parallelis basibus, et qqtie remotis a centro sphqrq et vertice coni, et super sectionibus, et smper circulo basis coni, vel hemisphqrij solida eque alta de-c ic ribantur: erunt sectiones genitae circuli, qui simul sumpti aequales erunt circulo basiis hemisphqris, vel coni sivsolida ipsa erunt cylindri aequales cylindro super circulo
basis coni, vel hemispherii descripto eiusdem altitudinis. Sit hemispherium B C D, & conus rectus F G H, quorum circuli basium A, & E sint aequales, & axes A B, & E F
sendiculares ad plana circulorum A, E, sint etiam aequales, et per puncta M & O aeque remota a centro sphqrce A,& veristice coni F ducantur plana N L& PQ parallela basibus A iv. E. Dico primo sphaerae sectionem circulum esse. Ducantur a puncto M in plano Κ L duae quaelibet rectat lineae MN, M N ad perimetrum eius, & iungantur rectae A k, A N. . e. . , . , . Quoniam A B axis perpendicularis est ad unum planorum , sitiiti . a quidistantium CD: Ergo a B A perpendicularis est quoqueb pHi.,a. ad planum reliquum LN Li dc ideo b A. M perpendicularis . . . erit ad rectas N M, & M N in eodem plano existentes; & pripterea triangula A M Κ, & A M N rectangula erunt in M, dc. sunt hypothenusiae A Κ, A N aequales, cimi sint radis sphaerae . di latus A M commune, atque reliqui anguli Κ, & N acuti.
340쪽
: LIBER . UL : . Set 'cum anguli ad M sint recti: Ibitur e triangula A M X A NI s c tr 8. I. . similia iunt, & habent latera homologa AN, Ak aequalia ,: Ergo a reliqua latera homolo a MN,&MN qqualia sunt. dc r. . e. Cumque qu*libet recte a puncto M ducte ad curvam N M L ' s in dicto plano sint aequales inter te; erit nDra k N L circu
Secundo dico siguram P inii cono genitam esse circulum; atque duos circulos k L, & P mimul sumptos,equales esset, circulo A, vel E. Oniam in cono FGH rectangulo duo plana parallela inter se G H, dc P si quomodolibet lecentur plano per axim ducto G FH, . necessario sectiones G E, & PO erunt parallelq inter se, &Iansuli ad O dc E erut recti, quia sp ., .huiu axis E F perpendicularis est ad dicta plana, ideoque ad rectas G E, P O existentes in ipsis. Under triangula G E F , & P O F g eor. r. p .
E F, ita erit P O ad O F, estque
P Q circulus erit, euius cetrum I--- UD .i Et quoniam , in triangulo pi pe i8 l. rectangulo A M Κ duo circuli a Oxad js Κ M, & M A descripti ab I quales ilint circulo a radio N A Vilescripto; estque circulus A, vel E aequalis circulo radii h A, eo quod rect* A Κ, A C, E G aequales sunt,atque circulus radii A M aequalis est circulo P . eo quod radis AM,&PO aequales sunt eidem P O, di inter se): Igitur circulus A, vel Eaequalis est duobus circulis N L, & P infimul sumptis. Tertio super circulos A, E , P Q, & X. L describantur cy- . vlindri qui alti C X D, T G H, U PUS RΚL. Dico cylindrum XCD, vel ZGH ualem esse duobus cylindris R k L,& V P Q simul sumptis Nam altitudines X C . vel Z G, dc 'R Κ, V P squales factae sunt: Ergo h cylindri XCD, RΚL,
V P inerunt ut bases , dc est basis circulus A, vel E aequalis 'duobus circulis N L, & P in mul sumptis. Igitur . culindrus is