장음표시 사용
341쪽
rmimul sumptis, ut propositum fuerat.
Colligitur ex prima parte huius propositionis ,.quos 'Dpendicularis a centro spherq ad planum circuli minoris in ea ducti cadit in centrum eiusdem circuli. Ostensum enim est Perpendicularem A M a centro sphere ad pIanum circuli h Lduriam cadere in M centrum circuli N L.
Si hemisphqrium, eonus rectus, dc culindrus squales axes, de bases habuerint, possunt adscribi hemisphqrio, dc cono mgurq gradate ex culindris sque altis composit*, ita ut circunscripte,simul sumpis, maiores sint dato culindro excessu minore quocuque dato, duae inscript*, limul sumpte, minores sint dato cylindro defectu minore quocunquo
Sit hemisphaerium ABC, conus rectus D E R de cylindrus IH k R, quorum bases A,G, D sint circuli aequales, de altitudines perpendiculares A C, D F, I H sint aequales inter se. D a m. i. . bent adscribi, imperatae figurae. Secetur a latus IH cylindri se ', bifariam in M, ducaturqueo planum M N parallelum basi G. Manifestum este cylindrum I MN dimidium esse totius cy- . ...' IH hi dc si riirsus latus IM bifariam secetur in o , din caturque planum per o parallelum basi G: similiter erit c lindrus RIo dimidium cylindri IM N;dc si haec bipartitio,&productio planorum aequidistantium basi G semper repet d heri s. tius relinquetur , tandem culindrus aliquis, qui minor eriti et quacunque magnitudine proposita. Ponatur igitur postr mus culindrus RIo minor quacunque magnitudine data . . M.f. A. Ete M H bifariam secetur in inducaturque planum parali in eam pr. lum basi, Ac addatur in directum cylindrus P I R aequalis cy- R. Iindro R IO; seceturquenam altitudo A C, quam D F imit tot partes aequales in punctis S, T,U, x, TY, in quot secto sui I H. Patet a partes A V.Fvaeqnales e re cuilibet inter se (eo quod aeque multiplices earii .n A C, D F,& IH aequales sunt inter se ). Eadem ratione reliquae partes V T, TE, SC, YT,EX, XD, QM, Mo,ol, I P aequales inter so
342쪽
LIBER VI. asserunt. Deinde , per puncta diui- - et Isionum ducantur plana parallelaia, Ii2--- i Rhasibus A,&D, quaei circulos es ficient tam in hemispherio, quam seri
in cono, quorum circulorum ra- - - -
dch super circulo radii S ae deicribantur duo cylindri recti,
quorum altu udineS,C, 3 I., eorumq; semisectiones per axim sint parallelCgramma ructangula Cae, I aer estque pamrallelogrammum c in circunscriptum tegmento SLaecircin
circuli , clim m latus op- , tositum ac aequale ipsi m Q. ae minus sit, quam Ta, eo quod Ta minus distat a centro Acirculi B C, quam S a. Et quia altitudines S C, S T aequales
sunt,& basis communitare cylindrus circunscriptus segmento n raris.=n
sphqrae, cuius Iemitectio per axim est C ae, erit equam cylin- '. ero inscripto, cuius semisiectio est Ta. Eodem modo super reliquos circulos radiorum T AN NX Z LY re describanturhini cylindri, quorum unus extra solidum cadens aequalis erit reliquo intra ipsum cadenti, eo quod sunt omnes aque alti,dc. buu quilibet communem basim habent. Unde uniuersa figura gradata,ex cylindris sque altis composita,cuius semifectro
per axi S a A A A, quae est in scripta hemisphaerio, aequalis erit figurq gradais circunscriptae absque infimo cylindro, cuius semilectio per axim C aa A U. Similiter figura gradata ex cylindris sque altis composita, cuius semiserito per axim Da/AYmscripta cono qqualis ostendetur figurae gradatae circunscripis absq; infimo cylindro, cuius semisectio per axim
X e o is F. Quapropter bilis figurs gradatq inscriptae hemisphaerio,& cono, limul sumptae,aequales erunt duabus figuris gradatis circunscriptis hemisphaerio, di cono absque duobus infimis cylindris, quorum semisiectiones V B, & x E. Et quoniam puncta V,Y aeque recedunt a centro sphaerae A,dc a vertice coni F recti cylindri eaeque alii , quorum semilactiones M
343쪽
axim parallelogramma A A,dc Z re, simul sumpti, cquales , erunt cylindro QHk; propterea quod altitudines qquales . sunt, & circulus basis G qqualis est duabus basibus a radiis VA,&Yis descriptis. Eadem ratione duo cylindri, quorum semisectiones VA&Xo equales erunt culindro QM N;& duoi cylindri quorum sei sectiones T ae, D a equatas erunt culi dro OMN. Quare duq figurq gradate inscripte hemispheorio, & cono, quarum semictiones Aia S, dc Y- δa D nisnuit sumpt*,qquales erunt cylindro OH k; sed eisdem figuris inscriptis quales erant duq figur' gradat et circunscripte hemispherio ,& cono absque infimis cylindris, quorum semissectiones C AAU , dc Xapis F. Ergo duo figurae gradatqis, circunscripis heniasphaerio, & cono absque infimis cylindris....tatius equales erunt cylindro OH h: Aip infimus cylindrus circo
intram, cuius semisectio R U, equalis est cylindro O l R,
propterea quod bases, & altitudines aequales sunt: pariter que infimus cylindrus circa conum, cuius sennisectio E x se
ualis ea cylindro PIR: Igitur duae figure gradate circiliat cript* hemisphqrio, & cono, quaru se sectiones BA, & D Ea δ - F, simul sumpte qquales crunt cylindro P H Gestque cylindrus PIR excessus cylindri P H h supra cylii
i dium 1 H k, atque cylindrus PIR minor erat quacunque odata magnitudine. Igitur cus figurae gradata: circunscriptqhemisphqrio A B C, dc cono D E F, simul sumpt q, superant
cylindrum datum I H Κ excessu minore quacunque dIta magnitudine; Et duq figurq gradatq inscriptae hemisph aerio ABC, ct cono D E F,qtiae aequales erant cylindro O H Κ, deficiunt a cylindro IH Κ defectu OIR minore quacunque, data magnitudine. Quod fieri posse ostendendum erat.
hqra quadrupla est coni recti,cuius basis squalis est circulo maximo, axis vero squalis radio sphqrq. Sit sphtra A B C D, cuius circulus maximus per centrum E ductus sit A C, & conus F H G,cuius basis M nt equalis ci culo
344쪽
etulo E,& axes M G, B Esint qquales, ct perpenticulare ad plana b., id in E,& M. Dico sphera in BCD quadruplam esse coni recti F H G . Fiat rectus acu Andriis N Κ LO , cuius basis QTqualis
sit circulo E, vel M. Sc altitudo N k equalis sit axi B E, vel M G; Et b descri- - - hantur circa hemispheriuin A BC. Si circa conia FH G duae rigure grad ite ex culindris equE altis coin'Iqte , quarti m semilectiones per axim sint R, S: q, ita ut, simul sumpte, maiores sint cylindro NkLO excessu INO minori quacunque data magnitudine: pariterque he ni spherio, de cono inscribantur due figurg gradue, quaru ia foeni non eq T, ikZ, quq minores sint culindro NLLO defectu PNO minori quacunque data magnitudine. Et quoniam sunt due magni- prima culindrus N h LO, leeunda est hemispherium ABC, una cum cono F G H , dc dum aliq magnitudine, in rationeqqualitatis, scilicet cylini rus I R L, scdue figure gradatq, si nul sunt ptq, quarum semifestiones R , & Si quq runt una maiores prima,&iecunda, ( nani figure gradatq cir- , q3iartim semisectiones R, ikS maiores sunt hema Ipherio una cum cono , & cylindrus I k L maior est cylindro N ΚLO excelIu IN O minore quacunque data magnitudine: pariterq; sunt due aliq magnitudines scilicet culindrus P k L qui qqualis est duabus figuris gradatis inscriptis, quarus emi sectiones X, & Z, & sunt una minores prima,& secunda; estque deiectus cylindri P Κ L . prima, scilicet a cylindro Nh L O minor quacunque magnitudine data: Ergo e prima ad secundam, idest cylindrus Nae Lo ad hemisphirium ABC, una cum cono F G H eandem rationem qqualitatis habet. Est-oue. cylindrus N k L O triplus coni F H G qqualem basina, dc altitudinem cum illo habentis: Igiture hemisphettium AB Cuna cum cono FGH ad conum E G H triplam proportionem habet; Et diuidendo hemispherium A B C ad conum FG H duplam proportionem habebit: Estque sphera A BC Decipia hemisphqrij A B C: Ergo sphera A B C D quadrupla est coni F G H. Quod, &c. CO-
345쪽
EUCLIDIS RESTITUTI COROLLARIV M.
Hinc manifestum est si cylindrus rectus basim habuerit aetatem maximo spherq circulo, altitudinem Luero aequalemiametro eiusdem sphqrq, esie cylindrum sesquialterum ipsius sphaere. Quia culindrus N Κ L O, ex hac propositione, squaIis est ponas. hemisphqrio ABC una cum cono F G H; est veror cylindrus uim. triplus coni: Ergo , per conuersionem rationis cylindrus N Elicet ea s, L A sesquialter est hemisphqrii A B C, et i duplum ad duplu ' in eade.ratione quoque erit; idest cylindrus cuius basis squa- ip Π 'i' itso maximo sphqr circulo,altitudo vero squalis diametro
sphqrq,sesquialter erit sphqrce A B C D. Eucl.33.XI PRO POS. XXXVII. THEOR. XXXII.
Pyramides, prismata, coni, cylindri similes, & sphaeret in tri. plicata sunt ratione homologorum laterum, vel suorum
Sint duq pyramides, aut prismata, aut contra aut cyIindri si miles, aut duq qu libet sphqre ABCD, ScFGHk, quarum latera homologa, seu axes A B, & F G. Dico solidum ad simi te solidum triplicatam habere proportionem lateris, seu axis A B ad latus,seu axim FG. Demitta , tur a a summitatibus solidorum ad plana basium perpediculares A M,& F N, quq altitudines eorum deis terminabunt . Quoniam , propter similitudinem pyramidu, aut prismatum anguli solidi B, ct G qqu les sut,dc ideo planis angulis squalibus C B D,& HGk insist entes A B,& F G cum lineis primo positis aequales anguloS continent: harevi B A ad G F, ita erit perpendicularis, seu altitudo A M ad M.titudinem F N : Cumque propter sim litudinem triangulorum, vel Parallelogrammorum C B A, Κ G F sit , ut A B ad B
346쪽
mut1xis A Badaxin FG, ita est liameter C Deirculi b sis ad diametrum H Κ, seu grydius B i , ad radetum G, V anguli A B D, dc F G h equales lunt: pariterque an ali ad 'd , v Nucti: Ergo h triangula A BM, Sc FGN similia iunt; in etre ut axis A Badaxini F G, ita est. A M altitudo eiusdem tolidi ,
ad FN altitudinem alterius solidi. Patet ergo ,quod in omnibus pr*dictis solidis similibus, ut est latus, vel axis A B ad latus, seu axim F G. ita est altitudo A M ad altitudinem FN: dc ita pariter est B D ad GAEqpae iii isut latera homologa potvgonorum hasium, vel semidiametri circuloruhasium B D ih G Κ dictorum solidorum de quoniam h solida, que eiusdem speciei sunt, idest coni inter se Rcomparati, dcc. proportionem habent inter se compositam ex proportione basium B C D & Gh H, dc ex ratione altitudiis num AM , dc F N: Est vero I proportio duplicata lateris, seu semidiametri C B ad latus, seu semidiametrum G keaden, lyr. F-
'ue basis BCD ad ei similem basimo k H; sed ut C Bad Gg, et ita est A B ad F G: Ergo is proportio duplicata lateris, seu axis A B ad latus, seu axim F G, eadem est, que basis B D C ad basim G H Κ; Postea simplex proportio A B ad F G eade est,qui altitudinis A M ad altitudinem F N: Ergo proportio solidi AB C D ad solidum F G H Κ componitur ex duplicata proportione, Sc rursus ex simplici ipsius A B ad F G; Hec is vero triplicata proportio e st lateris, vel axis A B ad F G. quare solida similia A B CD, dc F G H Κ tripli eatam proportionem habent laterum homologorum, siue axium A B ad ad F G. In sphqris autem A C B D, dc F LH G H intelligantur circunscripti culindri resti M L, dc NO, quoru bases M P, de N R. equales sint
maximo spherq circulo, dc altitudines LP OR equales diametro eiusdem spherae. Et quoniam cu-
lindri M Lix No similes sunt, eo quod
347쪽
luod sunt recti,dc eandem aequalitatis rationem babet axis A ad axim F G, quam M P diameteo circuli sui basis' ad N Ro pae.'rima diametrum basis alterius: Ergo e cylindrus M L ad cylindrum butue, O proportionem triplicata habet axis A B ad axim F G Est Pcee r 3 3 vero p cylindrus M L sesquialter sph ACBD; Pariterque'. I, cylindrus N O tesquialter sphqre F HG k:Ergo e permutando ut cylindrus M Lad cylindrum N O, idest ut triplicata proeh.i. portio axis A B ad axim LG, ita est 6htra A B C D ad sphae. ram F HGk. Quod erat ostendendum. -
348쪽
De quinque corporibus regularibu&.il i
Cuiuslibet recta lineae quadratum, vocetur eius Potentia et Et proportio quadratoria quarunt ibet linearum, vocetur e rundem linearum propcrtio potentialis, vel in potentia. t.
m quotiescunque dicetur recta ad rectam B esse potentia, ut a ad 3,sensus erat, quadratum ipsius ad Madratum alterio recta B habere proportionem tib e quialteram, messem et ad s. d
. - A . . : . in . ... . . . v
Solida figura in sphera inscribi dicitur de sphera circunscri- hi figurq solid*,quando omnes anguli 1dlidy fiburg tangunt . superficiem Uhqrq. - III. Z - lSolida figura sphaerae circunscribi dieitur,dc sphaera inscribi dicitur in figura solida, quando omnia plana figurae lolidat . t
Nomina trianguli, quadrati, pentagonii hexagoni,deca - ni , abique alastud eraddita declarationes gnificent tantummodo eas figuras regulares, quq ab eodem circulo comprehendi possunt;pariterque nomina figurarum solidarum signi
ficabinit loliunmodo eas, quq vi eadem sphqra inscribi Pos
349쪽
In data sphira figuram solidam sub quatuor triangulis qqualibus, & qquilateris contentam,inscribere. Vocetur autem talis figura Tetra ruin. In sphera A.RCU. culus axisi AC, circulus maximus A Ba D C D, inscribenda est figura imperata. Secetur a C E, quae ter-hy P tia pars sit axis AC,'pet E in duobus planis eleuentur P ' .E R. E G perpendiculares ad eandem A C; erunt e axis AC& circulus ABC perpendicularcs ad planum per B E G du-d , .D.ι ι ctum, quod eitaiet a circulum BC D F, ,hom eo inscribatur epr.3.ι. s. triangulum Squilaterum B G F ,iunganturque rect* AB, A F, fere r. io. dc A G . ostendendum est figuram A B FG esse quesitam . iamsi nimiicircino ABC recte lineae CA AB, AEs e pra proportionales suin 3 via tectac A ad A E, ita erit quadratum ex C A ad uuadratum ex A B; dc ita erit quadratum ex B
A ad quadratum ex A E; sed o ut tecta A E ad E C, ita est quadratum ex ' E ad quadratum ex EB: Igituri ex compositione ordinata erit, ut A C ad C E tertiam partem eius, ita quadratum A Bad quadratum E B dc propterea quadratum ipsius AB triplum est quadrati ipsius E p s sed . quadratum ipsius F B, scilicet lateris tri- anguli qqui lateri, inscripti circi m=ν ..is. TOMI, eripvim en madrati radi s eius E p. Ergo quadrata n cor.x.pr. rectaerum A B,&BF equalia sunt inter aes & ae propterea re- r. . ctae A B, Sc BF equales erruit. Fadem ratione tam recta A F, quino A G equalis erit eidem F B. seeu B G. vel F G; de propte--yr i, rm .iquatuor triangula A BF, AFG, AGB, dc BG Faequi- latera erunt & inter se equalia. Et hqc comprehendum soli- dam figuram pdescriptam intra sphqram ABC D, quod imperatum suerat. Vocetur dicta figura A B F G Tetraedrum.
350쪽
Diameter sphere potestate sesquialtera est lateris inscripti tetraedri. Nam facta est C A sesquialtera ipsusAE,&vt C re ad A Esita ostensum est in hac propositione quadratum ipsius C A ad quadratum A B lateras Tetraedri.
Altitudo tetraedri subsesquialtera est diametri sphtrae: de
sesquitertia radij eiusdem . . ldiam lacta luit EC tertia pars diametri AC; & ideo qualium partium A C est o. erit E C a, ct A E , ,hHC, seu HB sphqrs radius s. Et propterea A E altitudo ad AC erit ut o ad e, dc ad radium abii IcH Berit, ut ad 3. J
Perpendicularis I centro sphere ad planum bias inseripti tetraedri, que vocetur Radiu, tetraedri, sexta pars est d1M metri, ct terria pars radii sphqrq. . Nam perpendicularis It Eqqaalis est differenti q altitudinis A E, & radii sphei e A H; led altitudo A E est . dc radius 3 , illarum partium, quarum diameter AC est o. Ergo talis Perpedicularis H E sexta pus est diametri, de tertia radu AH.
Latus tetraedri ad eius altitudinem sesquialterum est pitestate. Nam, ut C A ad A E, idest, ut 3 ad a, ita Ostensiim est quadratum B A ad quadratum A E in hac propositione.
Radius circuli comprehendentis triangulum tetraedes mcto non* partes est potestate radii spheris Et octuplum p testate perpendicularis a centro iphqrq. Nam h H tertia pars est radij H B: Ergo e quadratum H E qe,. . nona pars est quadrata H B, ideoque quadratum B E erit A. ii l. a C