장음표시 사용
351쪽
EVCLIDIS RESTITUTI CORO .LLAR IvM VI
Sit data sphera A BC D. citius centrum E. Describi debet intra eam figura imperata. Ducantur is tres diametri A C, BD, F G ad inuicem& C G. Quoniam in tribus triam gulis A E B A E F, B E F communia latera E B, A E, & E F sunt q- qualia, radii nimiru iphqrq ; Suntque anguli AEB, AEF, & BEFqquales, civia radii R E, B E, F Ead inuicem perpendiculares ducti sint. Igitur , isdscelium triangulorum bases A B, A F, F B qquales sunt inter se; ct propterea e triam tum A B F.equilaterum erit. Simili ratione reliqua o mnia
quilatera erunt; & a sunt inter se squalia,cuin bina qu*libet triangula habeant latera communia. Igitur figura solida A BCD GF intra sphqram descripta comprehensa erit sub oeto triangulis equIlateris, & inter se equalibus. & hoc erat faciendum. Vocetur huiusmodi figura lolida octaedrum.
Constat sphqrq diametrum potestate duplam esse; Et radium sphere potestate semissem esse lateris ostaedri. an Mi s. Nam in quolibet triangulo ABCe rect angulo in semicir- culo A BC, in quo duo latera AB, BC Squalia sunt, quadratum Diuitiaod by GOos e
352쪽
LIBER VII. 3oydratum ypothenusq, seu diametri spherq AC duplum est fp .is. t. quadrati lateris A B.dca quadratum radii E A, quod est quar- g cre ter tapars quadrati A C, erit semissis quadrati lateris AB.CO ROLLARIUM ILRadius spherq potestate sesquialter est radii circuli conti-
nentis triangulum Octaedri. hc. r. i. Nam 5 E potestate semissis est ipsius A B, dc i A B est tri- .pla potestate ipsius AH, radii nimirum circuli, continentis e r ' triangulum A B F,quae rationes componunt sesquialteram.
Perpendicularis 1 cetro spherq ad Planum trianguli Octaedii mut vocetur Radius octaeurio est ad radium sphqre pote' h e. or. s. state subtripla. nam a centro sphqri ducta perpendicularis . .. E H ad planum circuli continentis triangulum A B F cadet incentrum eiusdem circuli; idc ideo in triangulo rectangulo in t tr.iis.sΗ erit quadratum ex A E qquale duobus quadratis ex A H,&E H; dc qualium partium quadratum ex A E est 3 erat quadratum A H a Propterea quadratum ipsius EH erit una tertia pars quadrati A E.
Altitudo octaedri ad diametrum sphers potestate tertia
Nam perpendicularis E H producta ad oppositam basim CD G dupla est ipsius E H, sicuti A C dupla ea ipsius A E. COROLLARIUM U.
Latus octaedri ad eius altitudinem potestate sesquialterum esse constat.
Patet octaedriam diuidi in octo pyramides verticem in centro sphere habentes, que altitudines, dc bases aequales habent; & ideo m aequales erunt inter se. m 'm t M. PRO
353쪽
PROPOS. III. PROBL. III. In data sphaera solidam figuram inscribere sub sex quadratis
aequalibus contentam. vocetur talis figura, Cubus. Sit data sphaera A B D F,cuius centrum G, axis A D. Debet in ea inscribi figura imperata. Secetur recta L, H,quae media proportionalis sit inter radium sphaerae G A eiusque partem tertiam rerit, eius quadratum tertia pars quadrati ex radio
spha rae G A, & fiat G O equalis G H, atque per duo puncta H, & O ducantur duo plana ad axim A D erecta, sicuti in prima propositione huius factum est,quq . emcient circulos BM F, C R E, & e ducantur due diametri B F,& M N ad inubcem perpendiculares , & in altero circulo ducaturIdiameter C E parallela ipsi B F.,atque R OS parallela ipsi M N, Iunganturque rectae L M, M FIN. N B, B c, MR,FE,NS,sta, CR, R E, & E S. Et quoniam nancta iecta C F in triangulo rectangulo F tamquadratum radii G, seu G A eo uase est duobus quadratis F H, & H G ; S erat quadratum radii A triplum quadrati ipsus G H: Ergo quadratum ipsius GF Ieu duo quadrata ipsarum h H, &H G tripla erunt quadrati ipsius GH;& propterea quadratum ipsius Fbl duplum erit quadrati ipsius H G; estque , quadratum ipsius h M d plum quadrati ipsus h H ( eo quod angulus bHMiectus est, dc FudcH M sunt radii aequales ciusdem circula BF) igitur quadratum ipsius PM quadruplum erit quadrati ipsius HGs Scyropterea rccta se M dupla erit ipsius hi G. Vnde F M aequalis cru H O. Eadcm ratione, gulae rectae F N, N B, B M, C R, RE, E S, AC aqualcs erunt cidem H O, suntque singulae B C, M R, F h, S N S parallele, & qquales eidem H O, propterea
quod coniungunt terminos radiorum parallelorum, di i inter se equalium, cum Squaliter distent a centro circuli maximi sphqrq. Igitur duodecim dicte recte squales sunt inter se; &
354쪽
LIRER VII. III B et M R, F E, N S parallelq sunt axi A D propterea eqdem
rectere perpendiculares erunt ad ipsas BM, M F,FN dcc. atq; npr. . .c ad C R,R E,dcc. in planis eorundem circulorum existentes.Similiter o anguli N B M. B M F, C R E, &c. recti erunt, cumn in 'pro Q semcirculis constituti sint. Quapropter a figuret sex BR, R F, PF S, S B, B F,& C E erunt quadrata,que comprehendunt figuram intra spheram descriptam quod fuit propositum.. Ocetur talis figura Cubus.
Patet sphqrq diametrum potestate triplam esse lateris cubi Nam sphere radius A G factus est tripIus potestate ipsius H G, estque A D dupla ipsius A G, atque latus cubi B C ostensum , est duplum ipsius H G. Ergo e quadratu A D triplum est qua- rdrati lateris cubi B C.
Radius circuli, continentis quadratum cubi, seu distantia perpendicularis a centro spherq ad latus cubi potestate subsesquialtera est radii spherq. ostensia enim fuit FH subsesquiaItera potestate ipsius A G; estq; e G U,perpendiculariter dista supra latus cubi F E,qq-lis P H illi opposite in parallelogrammo Hy.
Perpendicularis a centro sphqre ad planum quadrati cubi semissis est lateris cubi;dc est potestate tertia pars radij sphqr Facta enim fuit G H tentia pars potestate ipsius A G, & ostems a suit G Hsemissis ipsius BC lateris cubi. Vocetur autem thlas perpendicularis Radius cubi.
355쪽
3ir EUCLIDIS RESTITUTI COROLLARIUM V.
Tandem patet cubum distribui in sex pyramides quadram pes i. . gulares verticcs m centro syhqrq habentes, qu*Isunt eouales, cum bases quadratas habeant squales, atque altitudines perpendiculares a centro sphqrq , etiam squales inter se.
XIII. In data sphqra solidam figuram sub viginti triangulis mulIateris, & inter se q qualibus contentam inscribere. Vocetur autem tale solidum Icosaedrum. . In sphera,cuius axis A B centrum C, circulus maximus A., - , . . . D B F inscribi debet figura solida imperata. Secetur a C I,quq
h eor. s. γ . media proportionalis iit inter radium spherq A C, eiusq;pa tri .. tem quintam: erit , eius quadratum quinta pars quadrati ra-
d Pr . I.o ducantur duo plana, erecta ad axim A B , atque ad circulum
m 'rum in Pr, A D B (vt in prima propositione huius factum est quq a es i. ficient duos circulos D G,& E Fe inter se squales,&Iparalle. 8 'es' los; eo quod iuncti radii DI, & E M qqualiter distant a celine F .i ι ,. tro circuli A D B ; Ergin eisdem circulis inscribantur duo pentagona regularia D H k L. Sc F P O N, ita ut anguli D, di Fin puncta opposita sphaerae ta, & F incidant; & a polis sphaerae
A, & B ad langulos angulos pentagonorum rectae iungantur AD, AH, AN, AL &c. B F. B P, B O, D N. Sc. Ducanturque rectae N D, DO, O H, H P, P Κ, Κ F, P L, dcc. Ost Eladei, dum est viginti triangula, comprehendentia inscriptam filico M., y guram, Mualia, & aequilatera esse. Diuidaturo arcus ONι. i. bitariam in Es iunganturque rectae N E, D E, & D C . Quoi pr. 18 i s niam quadratum radii AC, siue DC quantuplum est quadrati ipsius I C: Suntque i duo qnadrata O I, ct IC aequalia quadrato radii DC (propterea quod angulus Di C rectus, pr.5 a. o. cst, cum k axis A B perpendicularis sit ad circulum D G. IIgitur duo quadrata DI, dcIC quintupla sunt quadrati ipsius IC; & propterea quadratum ipsius VI quadruplum erat qua-l e. . . F. drati ipsius t C. Vnde . recta linea DI dupla erit ipsius IC, est, =... s. aucem MI dupla eiusdem IC. Igitur rectae Di, & MI aequa m r. Io.ι. et i CS sunt inter te; estque m MEMualiscidem Di (cum aequalitcr
356쪽
liter distent 1 centro Ergo n figura D IM E cuius angulus I nes . irectus quadratu m est, & propterea recta D E aequalis erit DI, radio circuli D H G, sime radio M E; Cumque arcus N E sena istis sit arcus N O subtensi a l itere pentagoni : ierit recta Pyr 3 i s NE latus decagoni eiusdem circuli EO F, cuius/DE latus Di est inscripti hexagoni, clan sit aequalis radio circuli ME: Est vero axis AB perpendicularis ad circulum EO F, atque D E est
parallela ipsi A B ; Ergo e DE
perpendicularis quoque erit ad Aplanum circuli E O F;& propterear ad rectam EN in eo existe- .rem: Vnde in triangulo DNE erit angulus D E N rectus, de proptereas quadratum ipsius DN aequale erit quadrato lateris decagoni N E una cum quadrato lateris hexagoni D E eius dem circuli N O F: ct ideo i N D aequalis erit lateri pentago-m N O eiusdem circuli EO F. Eadem ratione singulae rectae D O, HO, H P, Κ P ΚF,LF &c. aequales erunt singulis lateribus pentagoni NO. OP PF dic. ideoque u suinque tria- u n. t.:gula N DO, OH P, PRF, &c. quorum bases sunt quinque T. i. 'latera pentagoni N O P F inter se aequalia,& aequi latera erur. Eadem ratione ostendentur quinque triangula D O H, H PΚ, ΚFL,&c. quorum bases sunt quinque latera pentaeoni DHΚL aequilatera, dc inter se,& prioribus aeqtialia. Tandem quoniam A C quintupludin potest ipsius IC, & est M l .
dupla ipsius IC; Ergo AM A in I secatur extrema, & media ratione, cuius segmentum maius erit MI; hoc autem aequale est circuli radio ID, scilicet 3 lateri hexagoni circuli D G, y I h Pt s. erit x minus segmentum A I aequale lateri decagoni eiusdem vi Circuli: ideoque a quadratum ex D A, quod aequale est duo, i hus quadratis ex DI, & I A ( cum axis A B perpendicularis sit a p . i g. I. sostentus ad eius raditura ID) erit , aequale quadrato lateris o pr. 31 I spentagoni ; dc propterea recta D A aequalis erit lateri penta- cor. pr.goni OH circulo D G inscripti, Ac sic reliquae omnes AH, I v. AN, AL, &c. pariterque B N, B O, is P, B F, ct c. erunt interie aequales, & aequales ipsis lateribus D H, H Κ, Κ L, NO, O d p .i .iri. P, c cc. Igitur decem a triangula vertices in A, & B habentia I. i.
357쪽
(tot nimirum, quot sunt latera an borum pentagonorum N o PF,& DHΚLo atqui latera sunt, de inter se, dc prioribus aequalia.Quapropter viginti tri Bgula comprehendetia solidam
figuram intra sphaeram descriptam aequilatera sunt. dc inter te aequalia. ut propositum fuerat . vocetur huiusmodi figura solida Icosaedrum.
. Sphaerae diameter ad latus leonedri est, ut latus hexagonicum duplo lateris decagoni ad latus pentagoni; dc potentia triit i. . est,ut s . quadrata lateris hexagoni ad quadratum lateris 'intagoni , vel ut quadratum lateris hexagoni ad quintam partem quadrati lateris pentagoni . Nam in circulo o Gest D His , ' i' latus pentagoni,&Fradius D l, seu et aequalis lM est latus h xagoni ; estque IM maius segmentum rectae M Adiuisae ex- trema,& media ratione: Ergog minus ejus segmentum AI,& ei a qualis M B sunt latera decagoni eiusdem circuli D G s& propterea diameter sphqrq A B ad latus icos aedit D H erit, vi summa lateris hexagoni IM, & dupli l ateris decagora AI
ad latus pentagoni D H ab eodem circulo comprehensorum. Rursus quia A B componitur ex A M diuisa in I extrema. M . . . i. , media ratione, & ex minore eius legmento M B: Ergo is quis dratum ex AB Quintuplum est quadraei maior, tegmenti II. s. M,seu D I lateris hexagoni circuli D G Ergo diameter sph*rae potetia ad latus icoiaedri D H est, ut , quadrata lateris hexagoni DI ad quadratum rectae D H, quq est latus pentagoni eiusdem circuli, seu erit, ut quadratum lateris hexagoni ad quintana partem quadrati lateris FCntagoni
Patet leolaedrum diuidi in viginti pyramides triangulares
m p .s 3Is verticem in centro sphqrs habentes, qquales in inter se, cumae pr. io . . bases, scilicet triangula icolaevit Squalia sint inter se,. v
358쪽
perpendiculares a centro Iphere ad plana triangulo rum ic 1 aedr i ( que vocentur Radii icolaedri) eo uales hi nt; eo quod o Myr. Draddo circalorum circuns cribentium dulta triangula qquila- 'e, te radcequalia, qquales sunt interies h propterea in maxi- mis circulis sphqrq existetes equaliter distat a centro sphqrq. t
In data sphira figuram solidam sub duodecim pentagonis r gularibus inter se equalibus contentam, inlcribere. vocetur aulcm talis figura DC de caedrum. Sit sphera,cuius circulus maximus A B C D, cetrum E. Dev a 3 . io. t. r scribi debet intra eam imperata figura. Ducantur a tres diam et pr.5 o s. metri A C,BD FH.que sinat ad inuicen perpendiculares; ae & h pr.3 . s. lec et M E G qqualis radio cubi, seu medietati lateris cubi im et cor 3 raescripti in eadem sphqra: & c in plano ABC fiat quadratum E GIN, quod a ein tertia pars quadrati ex radio AE;&. sece- 'turae G in M extrema, sc media ratione, cuius inaeius segm e- i
tum sit E M, Ieceturque G N qqualis E M iungaturque recta ere. s i. . N I dca a puncto M ducatur M R parallela ipsi G t,vel E B, se- str. s.lcans o Ni productam in R, dc k. I in X; atque a puncto R du- g cer r. m. catur R U patavi tela apsi NI, vel E Auecans EB in V,&iapumctis N J ad planum is E A eleuentur perpendiculares S I Q I b cer Pr. x di P (quq inter se paralleis erunt, x in eodem plano, in quo
recta R N iacer secenturque is, N O, P O, singule qquales ip- IV ' i' si GN, vel EM; ik, i, m fiant singule qquales ipsi E G, con i .. ' et iunganturque rect* R S, A O, P hQD, R E, R O, R P, S E, O ι ,. E, P E , I h. Patet figuram R S O P inua uno plano parallella' m pr. 3 s. i. rum S ino P existare. Et quoniam C N squalis facta est E Mmaiori ruginento rect* E G,diuisqin M extrema, & media ratione: Igitur is E N, pariterque N M in G
in ea leno Inedia, Sc extrema ratio
ne secantur, eritque M N qqualis E G. Cumque a propter parallelas
359쪽
quam M R in T, qua n E U in si iec intur extrema, dc mediar peras . I. rationes suntque e maiora segmenta M, HEequalia, cum sv pr ,6 I.i. mparallelogrammo UM. Et quia x PN perpendicularis ad x p ia 5. planum A E B est quoque perpendicularis ad N Rexistentem 23r. Is i. s. in eodem plano; Elgo x. in triangulo RNP quadratum ex Rycor. 5-pe. P qqule erit quadratis ex RN, dc ex PN, seu 3 ex NG, vel I i - ex R X ei qquali , dc si initi ter propter angulum rectum
RM N quadratum ex R N equale est quadratis ex R M,&ex M N, vel ex et squali M T; Ereto quadratum ex R P equale/ i est tribus quadratis ex M R. ex R X ,&ex X M: dca sunt duo quadrata ex tota M R, dc R X minori segmen to, recte diuiseextrema, dc media ratione,tripla quadrati ex maiori eius segmento MX: Igitur quadratum ex RP suadruplum est quadrati ex MX, seu quadrati LG: est vero b quadratum ex SQ
quadruplum quadrati N G, eo quod S a duplae est ipsius SI ieu IG: Ergo quadrata ex R P &ex SQ equalia sunt ideoque rect*c R P,S Qequales erunt. Eadem ratione ROMualis erit eidem S & ideo ipsi R P: Quare in pentagono R S P tres re-ctq O R, S P iubtendentes angulos eius inuales sunt i d pr. Er ter se, d intermedia S Q parallela basi O P secat iubtensas R P, ad i. R O extrema & media ratione. veluti secat ipsam R N in I, g p - 3- & maiora earum segmenta qqualia sunt basi V ri, eo quod. SP ' inlupla ipsius S I. vel M N ad O P duplam iptius N O , vel N G est ut M N ad eius maius segmentum N G rectae extrema,&f.., ,, i, me ua ratione diuist & sunt R O,R P aequales ipsi Nuh ex eat resita quututrinq; portiones equales;quial Sa equale, Sur de eorum portiones inter I,& iubtensas R O R P equales sunta cuti qquales sulit portiones O N, N P recte parallele ipsi S in igitur a pentagonum R S O P Q regulare est. Postea quia in triangulo E V R angulus V rectu, est . quadratum, ex ERae- pe 3.i-s quale erit duobus quadratis ex E V, hex U R, seu ex kV, que pe, ostensa suit ei aequalis; sed, duo quadrata ex E U , & ex eius et minori segmento V k tripla sunt quadrati maioris segmenti N' i E rect* diuite extrema, & media ratione; Ergo quadrarum exE R triplum est quadrati kG. Similiter quia in triangulo ENO angulus N rectus est,qaadratu ex Eoqquale erit duobus quadratis ex E N & ex Noaeta ex ei equali G Nuuntque duo quadrata ex EN,& ex minori segmento NG rqctg diuise
360쪽
extrema , dc media ratione tripla quadrati ex EG maiori segmemto ; Ergo quadratum ex E O tris
plum est quadrati k G: non sectis Iostendetur quadratum ex EP tti- plum quadrati H G: fuit autem, quadratum radii sphere EA triplu IC
E A equalia sunt, dc ideo k rect* E - h car. . prR, EO, EP equales erut radio sphe e iri re EA;dc propterea anguli R O. P in superficie sphqre existet. Deinde quia , verpendicularis est ad planum B EA, gerit 18 quoque erecta ad contiguam EI existentem in eodem plano ;&m est EI potestate dupla ipsius E G. AteiusdemGE tripla , MI est potestate semidiameter spherq E A: Ergo EI potestate su , set qui altera est radii sphaere, dc ideo is EI erit distantia lateris cubi a centro sphaerae; & est S Q hilariam secta in I & perpen- sui. dicula ris ad EI. atque est dupla semilateris cubi E G: Ergo S O .aep . a. Q est latus cubi inscripti in sphaera AB CH dc ideo anguli S, vivi. pentagoni R S P in sphaerae superficie existent. Si ergo com- Pleatur inscriptio cubi in sphaera, cuius unum latus est Sinde ab eodem puncto N radii E A super communi basi O P coi,
struatur aliud pentagonum regulare,& p priori aequale, verti- p cor. r. i cem habens versus D, habebit omnes angulos in superficiet, i. .
sphaerae,& recta linea subtendens angulum pentagoni parallela basi O P, pari modo applicata erit super latere inscripti cin
Et similiter in extremitatibus D, C, D, F, dc H reliquorum quinq; radioru construi possunt bina pelagona, regularia dc aequatia habentia angulos in superficie sphaerae, quorum rectae iubtendentes angulos pentagonoru aequid istantes basibus applicatae erunt reliquis de em lateribus inscripti cubi ;& propterea omnia dicta duodecim pentagona se te mutuo tagent, tum in eorum lateribus aequid istantibus lateribus cubi,quaruvnum est OP, tum inamentis inscripti cubi, ik ideo compo. ponent solidam figuram Unde q inscripta erit in sphaera figura q des solida comprehensa a duodecim pentagonis regularibuS,Ac q- hvim. qualibus. Qaod erat faciendam. Vocetur talis figura Dode-