장음표시 사용
361쪽
EUCLIDIS RESTITUTI COROLLARIVM I.
Constat ex postrema parte hu has propositionis rectam II. neam subtendentem angulum pentagoni dodecaedri squalem esse lateri cubi in eadem sphqra descripti.
Sphere diameter ad latus dotacaedri est ut latus trianguli equi lateri ad latus decagoni, & Potentia est, ut 3 quadrata imbris hexagoni ad quadratu latetisdecagoni, vel ut quadratum lateris hexagoni ad tertiam partem quadrati lateris do
rairrier. . Nam e quadratum diametri spheqrq A C mplum est qua-3- butu . drati S Qtateris cubi, sicuti squadratum lateris trianguli tri- pe svi I ritum quadrati lateris hexagoni: Ergo, ut A C ad Smta est ' latus trianguli regularis ad latus hexagoni ;& utS ao OP , . ab ., . scilicet ut maius ad segmentum minus recte extrema, de nihi '' dia ratione diu ist(vt in hae propositione ostensum est , uita x p .is. 3 est latu S hexagoni ad latus decagoni: ergo x ex compositione ordinata diameter spherq A C ad CP laius dodecatari erit,utypr. is i . latu S trianguli regularis ad latus decagoni. Et I potentia eadeerit, quq quadrati lateris trianguli,s eu tripli quadrati lateris hexagoni ad quadratum lateris decagoni, vel ut quadratum lateris hexagoni ad tertiam parte quadrati lateris decagorii.
Constat etiam dodecatarum distribui in duodecim pur mi des pentagonas, vertices in centro sphere habente Sicqua-a r. sa. d. lasa inter se; cum bases, scilicet pentagona dodecaedri equalia sint inter se, & perpendiculare, a centro spherae ad Psana b pr Q. , i, pelagonalia (que Radsi dodecaedri vocetur es ales Sur,. eo et ' quod radij circulorum circunscribentium daeta similia, & ad 2r i / -pentagona quales iunt inter se, dc propterea e Squali-e ter distant a centro circuli maxinu sphaerae. S c H O L I V M. Quod νero petier has quinque re viares solidus figuras, Oci non posist
362쪽
P alia , que a planis figuris aequalibus aquilateris, edi aequiangulis comtineatur, sic ostendetur. Ad conseitutionem angulisolidi requiruntur dua conditiones,d prima, ut amuli plani, eonstituentes solidim angulum,non sint pauciores, quam tres secunda, e M omnes, ut sumpti, minores sint quatuor rectis. M do .ruia sangulus trianguli equilateri tertia pars est duorum rectorums, ides sexta pars quatuor rectorum: erunt sex anguli trianguli aquilateri sex partes feris quaisor angulorum rectorum; ideoque aqualeg emunt amor rectis: Et propterea g plura, quam quinque triangula reuuat ra ad Mum punctum cum suis angulis comenientia non constituent m- gulam solidum, sed figura plana regulares, qua spatiumsolidum comprehendere debent, necesse est, is angulos tolidos constituant. Igitur praeter Tamidem, Octa,rum, di ico edrum aliam figuram solidam trian ipsa squilatera constituere non possunt. Secundo quia h angulus quadrati quarta ra est quatuor rectorum, erant quatuor avrui quadrati squales quamor rectis 3 ideoque i plura, quam tria Padrata ad esum punctum eum suis angulis conuenientia amgmam solidum non cient. Et propterea praeter cubum nullam agiam fguram solidam quadrata .psa constituere possunt. - Tertio quia x amatas pentagoni quinta pars est sex angula, rectorum, ides tres partes decima quatuor rectorum: erunt quatuor anguli pentagoni, mulsumpti, squales Sodecim partibus decimis quatuor rectorum, sinstet erunt maiores, quis quatuor rem: Et ideo l plura, quam tri, eo pentagona ad ymm punctum cum suis angulis convenientia non constituent angulum olidum. Igitur prater docteaedrum aliam figuram sol, tam penta na non conclituent.. uuarto quia m angulus hexagoni sexta pars es octo angulorum rect raran, Mia tertia pars quatuor rectorum: erunt tres anguli hexagonis,mul sumpti squatis quatuor angulis rectis; in propterea n tres anguli hexagon.iles ad unum punctum comementes non constituent angulum I iudium s ideoque hexagona, di sic relique omnes figure plana regulares, excedentes numerum senarium angulorum, in is erant ad anguli solidimnstrationem, e in pauciores, quam tres angusi plani olidum angulum novincianis in propterea quae bet figura plane regulares plurium, iam quinque avidorum corpus aliquod regulare con ponere nequeunt. Quapropter 'ster priamidem, Octatarum, cubum,fc aedrum, di d Aeaedrum Octa alia figura construi potest ex coaptatione rianarum S Drarum aquatium, di regularium. Quod erat ostendendum. d. sas,
363쪽
PROPOS. i. PROBL. I. In data sphita figuram solidam sub quatuor triangulis qqu
libus, th qquilateris contentam,inscribere. vocetur autem talis figura Tetraedrum.
In sphera A.RCU cout axisi A C, circulus maximus A BC D, inscribenda est figura imperata. Secetur a C E, quae ter- . . ., tia pars sit axis AC, mr per si in duobus planis eleuenturi .. ER.&E G perpendiculares ad eandem A C; erunt caxis AC& circulus ABC perpendicularcs ad planum per B EG du-d, .s..ι ι ctum, quod esticiet a circulum BG DF,&o in eo inscribatur triangulum squilaterum BGF, iunganturque rect* AB, AF, sex'. io. AG, ostendendum est figuram A BFG esse qu*sitan .Qnoniam sin semicircino A B G recte lineae C A, A B, ' Es ' te, proportionales suin a veta tecta C A ad A E, ita erit quadra- h. ibis, tum ex C A ad quadratum ex A B; dc ita erit quadratum ex BA ad quadratum ex A E; sed aut
irri recta AE ad EC, ita est quadratum ex A E ad quadratum ex EB: Igitur ex compositione ordis nata erit, ut A C ad C E tertiam partem eius, ita quadratum A Bad quadratum E R& h. propterea quadratum ipsius AB triplum est quadrati ipsius E p s sed . quadratum ipsius F B, scilicet lateris trianguli qqui lateri, inscripti circinm 3ν .. s. - BD, talprum is quadrati radii eius E p. Ergo m quadrata n cor. 5.pr. rectarum A B, &BF equalia sunt inter ses de ae propterea re- I, ctae A B dc B F equales eroiit. Fodem ratione tam recta A F , im A G unis erit eidem F B. seu B G. vel F G; & propte-- ' i et rm ,quatuor triangula A B Fg A F G, AGB, dc BGF aeoui-babe , latera erunt di inter se equalia. Et hqc comprehendunt solbi,u dam figuram descriptam intra sphqram ABCD, quod imperatum fuerat. Vocetur dicta figura A B F G Tetraedrum.
364쪽
Diameter sphere potestate sesquialtera est lateris inseripti tetraedri. Nam facta est C A sesquialtera ipsius A E,& ut C A ad A Esita ostensum est in hac propositione quadratum ipsius C A ad quadratum A B lateris Tetraedri.
Altitudo tetraedii subsesquialtera est diametri sphqrae: de sesquitertia radii eiusdem. Nam secta fuit E C tertia pars diametri AC;&ideo qualium patituris A C est o. erit E C a,& A E dc H C, seu H Bsphqrq radius s. Et propterea A E altitudo ad AC erit ut o ad s. di ad radium aDiqic H B erit, ut ad 3.
Perpendiculatis 1 centro sphere ad planum basis inseripti tetraedri, que vocetur Radru, tetraedri, sexta pars est diametri, & terria pars radii sphqrq. . Nani perpendicularis H E qaalis est differentie astitudionis A E, dc radii Ipheie A H; sed altitudo A E est , dc radius 3 , illarum partium, quarum diameter AC est o. Ergo talis Perpedicularis H E sexta pus est diametri, & tertia radij AH.
Latus tetraedri ad eius altitudinem sesquialterum est potestate . Nam, ut C A ad A E , idcst, ut 3 ad a, ita ostensium, est quadratum B A ad quadratum A E in hac proPositione.
Radius circuli comprehendentis triangulum tetraedes mcto non* partes est potestate radii spherq s Et octuplum p testate perpendicularis a centro iphqrq. Nam h H tertia pars est radij H B: Ergo q quadratum H E Ae....iona pars est quaviata I B; ideoque quadratum B E crIt g. ar i. i. '
365쪽
Patet tetraedrum diuidi inquatuor pyramides equales, quarum vertices in centro sphqrq,bales vero plana tetrae drubras I.;.6. eo r quod bases, & altitudines sunt inter se qquaIes. vet. i . PROPOS. II. PROBL. II. XIII. In data sphera solidam figuram sueb octo triangulis equitaterie inter te equalibus contentam inscribere. Uocetur autem talis figura octaedruni - . Sit data sphera A BCD, cuius centrum E. Describi debet testa eam figura imperata. Ducantur a tres diametri AC, B&CG. Quoniam in tribus tria, gulis AEB, AEF, BEF comminnia latera E B, A E,& E F iunt q- qualia, radii nimiru iphqrq ; Suntque anguli AEB, AEF, & B E F quales, cum radii A E, R E, F Ead inuicem perpendiculares ducti sint. Igitur , i sol celium triangulorum bases AB, AF, FB qquales sunt uiter se; ct propterea e triam tum A B F equi laterum erit. Simili ratione reliqua omnia
d yr. . i. equilatera erunt; & a iunt inter se qqualia, cum bina que libri triangula habeant latera communia. Igitur figura so lida ABC D G F intra spheram descripta comprehensa erit sub octo triangulis eqtulateris, & inter se equalibus.& hoc erat iaciendum. Vocetur huiusmodi figura I olida octaedrum.
Constat sphqrq diametrum potestate duplam esses Et radium sphere potestate semissem esse lateris o haedri. Nam in quolibet triangulo A B Ce rect ingulo in semicirculo A B C, in quo duo latera A B , B C squalia simi, quadratum
366쪽
dratum ypothenusq, seu diametri spherq AC duplum est fp .is. I. squadrati lateris A B.&g quadratum radii E A, quod est quar- g c*r, i erra pars quadrati A C, erit semissis quadrati lateris AB. is i- s,
Co. ROLLARIVM ILRadius sphqrq potestate sesquialter est radii circuli conti- .
nentis triangulum Octaedri. ncor. X. s.
Nam h Epotestate semissis est ipsius A B, dci AB est tri-a.. Pla potestate ipsius AH, radii nimirum circuli, continentis e ' et ' triangulum A B F,quae rationes componunt sesquialteram.
Perpendicularis a cetro spherq ad planum trianguli Octa dii mut vocetur Radius octaedri est ad radium sphqre pote' h .., M. st ite subtripla. nam h a centro sphq ducta perpendicularis i 5. E H ad planum circuli continentis triangulum A B F cadet incentrum eiusdem circuli si de ideo in triangulo rectangulo in i pr.iis.sH erit quadratum ex A E qquale duobus quadratis ex A H,&E H; & qualium partium quadratum ex A E est 3 erat quadratum A H aspropterea quadratum ipsius EH erit una tertia pus quadrati A E.
Altitudo octaedri ad diametrum spherq potestate tertia
Nam perpendicularis E H producta ad oppositam basim CD G dupla est ipsius E H, sicuti A C dupla est ipsius A E. COROLLARIUM U.
Latus octaedri ad eius altitudinem potestate sesquialterum esse constat.
Patet octaedrum diuidi in octo pyramides verticem in centro sphere habentes, que altitudines, dc bases aequales habent; & ideo aequales erunt inter se. mpe si M. in
367쪽
In data sphaera solidam figuram inscribere sub sex quadratis aequalibus contentam. Vocetur talis figura, Cubus. Sit data sphaera A B D F,cuius centrum G,axis A D. Debet inea inscribi figura imperata. Secetur a recta G H,quae media proportionalis sit inter radium sphaerae G A eiusque partem tertiam: erit , eius quadratum tertia pars quadrati ex radio sphaerae G A, & vi fiat G O equalis G H, arque per duo puncta H , & O ducantur duo plana ad axim A D erecta, sicuti in prima propositione huius factum est,qiis is efficient circulos BMF, CRE,&e ducantur due diametri B F, & M N ad inuicem perpendiculares, & in altero circulo ducaturIdiameter
C E parallela ipsi B Hatque R OS parallela ipsi M N, ningam
turque rectae pM, M F, I N, N B, BC, M R. FL,NS,sta, CR,RE,&ES. Et quoniam uincta ie Oa CF in triangulo rectangulo F C quadratum radii FG, seu G A emiale est duobus quadratis F H, dc HG; S erat quadratum radii A triplum quadrati ipsius G H: Ergo quadratum ipsius GF Icu duo quadrata ipsarum h H, dc H G tripla erunt quadrati apsius GH,& proptet ea quadratum ipsius FH duplum erit quadrati ipsius H Ggestque , quadratum ipsius h M duplum quadrati ipsus h H ( eo quod angulus P H M rectus est, & h H, αPI M Iunt radii aequales eiusdem circuli BF igitur quadratum is sius y At quadruplum erit quadrati ipsius Hia ; Scyropterea rcctab M dupla crat ipsius hi G. Vndeb M aequalis cru H O. Eadem ratione-singulae rectae F N, N B, B M, C R, RE, E S, AC a quales erunt cidem H O, iuntque singulae B C , M R, F h,&NS parallele, & squales eidem H O, proptCrea
quod coniungunt terminos radiorum parallelorum, dii inter se equalium, cum squaliter distent a centro circuli maximi splagis. Igitur duodecim dicte recte squalcS sunt inter te; det
368쪽
recte is perpendiculares erunt ad ipsas B M, M F,F N dcc. arq; ad C R,R E,&c. in planis eorundem circulorum existerires. Similitero anguli N B M. B M F, CR E, dcc. recti erunt. cu n in semcirculis constituti sint. Quapropter a figurq sex B R, R F, F S. S B, B F dc C E erunt quadrata,que comprehendunt figuram intra sphoram descriptam, quod fuit propositum. vocetur talis figura Cubus.
Patet sphqrq diametrum potestate triplam esse lateris cubi Nam sphere radius A G factus est tripIus potestate ipsius H G, estque A D dupla ipsius A G, atque latus cubi B C ostensum est duplum ipsius H G. Ergo i quadrata A D triplum est quadrati lateris cubi B C.
Radius circuli, continentis quadratum cubi, seu distantia perpendicularis a centro spherq ad latus cubi potestate subsesquialtera est radii spherq. ostensa enim fuit FH subsesquialtera potestate ipsius A G; estq; e G U,perpendiculariter ducta supra latus cubi F ERqu lis P H illi oppositq in parallelogrammo HM.
Perpendicularis a centro sphqrq ad planum quadrati cubi seminis est lateris cubi,dc est potestate tertia pars radi j sphere. Facta enim fuit G H tertia pars potestate ipsius A G, dc ostems a suit G H semissis ipsius BC lateris cubi. Vocetur autem thlis perpendicularis Radius cubi.
369쪽
EUCLIDIS RESTITUTI COROLLARI V M V.
Tandem patet cubum distribui in sex pyramides quadramor 3 ι.ε. gulares verticcs in centro sqhqiq habentes, qu*Isunt qauPles, cum bases quadratas habeant qquales, atque altitudines perpendiculares a centro sphqrq, etiam squales inter se. Eactis. lib. PROPOS. IV. PROBL IRXIII.
In data sphqra solidam figuram sub viginti triangulis mullateris, ct inter se equasibus contentam inscribere. Vocetur autem tale solidum Icosaedrum.. i. In sphera,cuius axis A B , centrum C , circulus maximus A i. i. DBF inscribi debet figura solida imperata. Secetur a C I,quq h eor. g. γ . meta proportionalis sit inter radium spherq A C, eiusq;padiis i .. tem quintam: erit , eius quadratum quinta pars quadrati ra' upr. s.; dijsynqrq AC,&e secetur M C equalis ipsi CI, dc per I , S Md Pr . . t.6 ducantur duo plana, erecta ad axim AB, atque ad circulum ' 'Pr AD B ut in prima propositione huius factum est quq ies ficient duos circulos DG,& E Fe inter se qquales,. cfparallo' e 'es' los; eo quod iuncti radij DI , & E M qqualiter distant a cen eis. . , tro circuli A D B ; Et g in eisdem circulis inscribantur duo pentagona regularia D H k L in F P O N, ita ut anguli D, & Fin puncta opposita sphaerae t , & F incidant; & a polis sphaerae
A, &B ad langulos angulos pentagonorum rectae iungantur AD, AH, AN, AL&c. BF. BP, BO, D N.&c. Ducantur' que rectae N D, DO, O H, H P, P Κ, Κ F,hL, i cc. Osseliden' dum est viginti triangula, comprehendentia inscripta in fi h cor pH i; g uram, qualia, & aequilatera esse. Diuidatur o arcus ON i. i. bitariam in Es iunganturque rectae N E , D E, dc D C. Quo i r . id i s niam quadratum radii AC, siue DC quintuplum est 'ua drati ipsius I C: Suntque i duo qnadrata ta I, & IC aequalia quadrato radii DC (propterea quod angulus Ius C rectui, r. 5. ι.ε. cst, cum e axis A B perpendicularis sit ad circulum OG.)lgi tur duo quadrata DI, dc IC quintupla sunt quadrati ipnu, IC; ct propterea quadratum ipsius DI quadrnplum erit qua l e.,. i. F. drati ipsius lC. Unde . recta linea III dupla erit ipsius IC; estis ... s. aucem MI diapta eiusdem IC. Igitur rectae DI ,& MI aequa mer. 1o.ι. a JUS sunt inter te; estque m ME aequalis eidem D l (cum aequa liter
370쪽
liter distent a centro Ergo is figura DIM E cuius angulus I n n. irectus quadratu na est, & propterea recta D E aequalis erit D I, radio circuli DHG, siue radio M E; Cumque arcus NE se-m istis sit arcus N O subtensi a latere pentagoni: o erit recta op i s NE latus decagoni eiusdem circuli E OF, cuius , DE latus Di est inscripti hexagoni, clan sit aequalis radio circul i M E: Est vero axis AB petpendicularis ad circulum EO F, atque D E est
perpendicularis quoque erit ad planum circuli E O F;& propterea r ad rectam E N in eo existerem: Vnde in triangulo D N Eerit angulus D E N rectus, dc proptereasqii ad ratum ipsius DN aequale erit quadrato lateris decagoni N E una cum quadrato Iareris hexagoni DEetuo dem circuli NOF: ct ideo i N D aequalis erit lateri pentago- tm N Oeiuldem circuli ECF. Eadem ratione singulae rectae D O, H O, H P, Κ P Κ F, L F. &c. aequales erunt singulis lateribus pentagoni N O. O P, P F dcc. ideoque u quinque tria- u pr. t. infula N GO, OH P, PN F,&c. quorum bases sunt quinque p. i. atera pentagoni N O P F inter sc aequalia,& aequi latera erur. Eadem ratione ostendentur quinque triangula D O H, H PΚ, ΚFL,&c. quorum bases sunt quinque latera pentagoni DHΚL aequilatera, dc interie,& prioribus aequalia. 1andem quoniam A C quintupludin potest ipsius IC, & est M l . dupla ipsius IC; Ergo a M A in I secatur extrema , ct media x'-- si
ratione, cuius segmentum maius erit MI; hoc autem aequale est circuli radio ID, scilicet 3 lateri hexagoni circuli D G, vsh p I erit x. minus tegmentum AI aequale lateri decagoni eiusdem . circuli: ideoque a quadratum ex DA, quod aequale est duo. 8 hus quadratis ex DI, & IA (ctun axis A B perpendicularis sit a p .i l. t. sostentus ad eius radium ID erit , aequale quadrato lateris o pr. 31 ι spentagoni ; & propterea recta D A aequalis erit lateri penta- c cor. 5 Pr. gona ta H circulo D G inscripti, & sic reliquae omnes A H, AN, AL &c. pariterque B N, B O, B P, B F, &c. erunt in rerie aequales, ct aequales ipsis lateribus D H, H Κ, Κ L, N O, O d p . i. et r. P, ct c. Igitur decem . triangula vertices in A, &B habentia ι. i.