장음표시 사용
371쪽
(tot nimirum, quot iunt latera an bos una pentagonorum N o PF, & DHΚLo aequilatera sunt, & inter se, & prioribus aequalia.Quapropter viginti tri Bgula comprehendetia solidam figuram intra sphaeram descri- tam aequitatera sunt. dc intele aequalia. ut propositum fuerat. Vocetur huiusmodi figura solida Icosaedrum.
Sphaerae diameter ad latus leonedri est, ut latus hexagoni cum duplo lateris decagoni ad latus pentagoni; dc potentia P .it i. . est,ut s . quadrata lateris hexagoni ad quadratum lateris peditagoni , vel ut quadratum lateris hexagoni ad quintam partem quadrati lateris pentagoni . Nam in circulo DG est oriis , pr 3 latus pentagoni,&fradius D l, seu et aequalis IM est latus h ' xagoni ; estque IM maius segmentum rectae M A. diuuae ex- --8 3' treca, & media ratione: Ergo a minus eius segmentum AI, '' & ei aequalis M B sunt latera decagoni eiusdem circuli D G si di propterea diameter sphqrq A B ad latus icosaedri D H erit, vi summa lateris hexagoni IM, & dupli l ateris decagom AI ad latus pentagoni D Hab eodem circulo comprehensorinu. Rursus quia A B componitur ex A M diuisa in I extrema, &o . . media ratione, & ex minore eius tegmento M B: Ergo , quae dratum ex AB cuintuplum est quadrata maiora, tegmentis M, seu*I lateris hexagoni circuli D G: Ergo diameter IpnPrae potetia ad latus icosaedri D H est,ut 3 quadrata lateris hexagoni DI ad quadratum rectae D H, quq est latus pentagoni eiusdem circuli, seu erit, ut quadratum latetis hexagoni ad quintam partem quadrati lateris scutagoni.
Patet icolaedrum diuidi in viginti pyramides triangulares
G ιι verticem in centro sphqrq habentes, squales m inter te, cum bases, scilicet triangula icotaein squaliae suu inter se. -
372쪽
perpendiculares a centro iphere ad plana triangulo rumico- 1aedri (que vocentur Radii icolaedri) equales ii ni ; eo quod o myr. Dradij a circulorum circunscribentium dicta triangula tquit eratera&equalia, qquales iunt inter se; sc propterea in maxi- P mis circulis sph existeres equaliter distat a centro sphirq. '
PROPOS. V. PROBL. V. In data sphira figuram solidam sub duodecim pentagonis r
gularibus inter i e equalibus contentam, inlcribere. vocetur autem talis figura Dode caedrum. Sit sphera,cuius circulus maximus A B C D, cereum E. De- cribi debet intra eam imperata figura. Ducantur a tres di metri A C,B O F H.que sint ad inuice n perpendiculares; . ivsmetuae E G eqitalis radio cubi, seu medietati lateris cubi imscripti in eadem sphera: & e in plano A B C fiat quadratum EGI Κ, quod a cin tertia pars quadrati ex radio A E; & . secetur EG QM extrema, dc media ratione, cuius imius segm c- tum sit E M, Ieceturque G Nqqualis E M, iungaturque recta
N I,dc g a puncto M ducatur M R parallela ipsi G I, vel E B, secans a Ni productam in R, & k I in X; atque a puncto R ducatur R U parallela apsi HI, vel E Auecans E B in V,&iapumctis NI ad planum is E A eleuentur perpendiculares S I QUIN P( quq h. inter se paralleis erunt, ac in eodem planosin quo recta IL N iacer secenturque MNO, PO, singule squales ip
maiori reginento rect* E cs,divisqin M extrema, & mcdia ratione Igitur is E N, pariterque N M in Gin eadem Inedia,& extrema ratione secantur, eratque M N qqualis E G. Cumque o propter parallelas
GL M R sit R N ad 1 N, ut M N ad N G vel 3 ut N E ad E G satque propter parallelas E A, Κ I,V R sitv E ad k E, atque R M ad X M ut R N ad IN; Igitur e tam N R in I, quam
373쪽
quam M R in x, qua n E U in L secantur extrenta, Sc mediar peras . i. rationes suntquer maiora segmenta M, E equalia, clim
s r 3 i- , sint latera opposita parallelogrammi N M. &IE G, k E laterax P h id quadrati N G squalia sunt; Ergo i minora tegmenta V k, R X
up i5 ι.i. Uparallelogrammo V M. Et quia x PN perpendicularis ad x p i.ι. . planum A E B est quoque perpendicularis ad N existentem et pr. igi. s. in eodem plano; Elgo x in triangulo RNP quadratum ex Ry -r. 5. Pr, P qqule erit quadratis ex RN, dc ex PN, seu Fex No, velit,i ex RX ei qquali , & similiter propter angulum rectum
RMN quadratum ex R N equale est quadratis ex R M,& ex M N , vel ex ei qquali M T; Ereto quadratum ex R P equale F est tribus quadratis ex M R. ex R X, &ex x M: dca sunt duo quadrata ex tota M R, & R X minori segmen to, recte diuisae extrema, ct media ratione,tripla quadrati ex maiori eius segmento MX: Igitur quadratum ex RP suadruplum est quadrati ex M X, seu quadrati LG: est vero b quadratum ex Sh''r pr -quadlati N G, eo quod S ci apta est ipsius S I ' 'i' seu IG: Ergo quadrata ex RP, hex SQ ualia sunt adeoque rectq c R P,S Qequales erunt. Eadem ratione RO equilis erit, , i eidem S Q ideo ipsi R P: Quare in pentagono R S P tres rhcts O R, S O, R P iubtendentes angulos eius inuales sunt m-d pr. x. et ter se, d intermedia S parallela basi O P secat subtensas R P. ao i. R O extrema & media ratione. veluti secat ipsam R N in I, g p - i-3. & maiora earum segmenta equalia sunt basii O Pi, eo quod e SP β dupla ipsius SI, vel M N ad O P duplam ipinis N O , vel NG est ut M N ad eius maius segmentum N G rectae extrema,&r media ratione diuis; & sunt R O,R P aequales ipsi SQ ex ea. f. se, relinquut utrinq; portiones equales;quia ISO Qequales Sur detpr. io I. i. eorum portiones inter I,1 iubtensas R O RP eo uales iuntas.cuti equales sunt portiones O N, N P recte parallelq ipsi S gAb. pr.et. igitur g pentagonum R S O P QVrgulare est. Postea quia in i s. triangulo E V R angulus V rectus est, quadratum , ex E R ae- per quale erit duobus quadratis ex E U, Scex U R, leti ex k V, que pe, ostensa fuit ei aequalis; sed . duo quadrata ex E U , & ex eius ' minori segmento V k tripla sunt quadrati maioris segmenti NAt E rect diuise extrema, & media ratione: Ergo quadratum exER triplum est ouadrati kG. Similiter quia in triangulo ENO angulus N tectus est,qaadratu ex Eo qquale erit duobus quadratis ex E N de ex NO, seu ex ei equali G N; suntque duo Quadrata ex EN,& ex minori segmento NG rq ctq diuue
374쪽
extrema , Ac media ratione tripla quadrati ex EG maiori segmento ; Ergo quadratum ex EO trisplum est quadrati k G: non secus ostendetur quadratum ex EP triplum quadrati RG fuit autem
quadratum radij sphere EA tripla eiusdem quadrati fita: igitur quadrata rectarum E R, E O. E P. Ac E A qqualia sunt, ac ideo k rect* ER, EO, EP,qquales erut radio sphere EA;& propterea anguli R. O. P in superficie sphqre existet. Deinde quia S herpendicularis est ad planum B EA, Ierit quoque erecta ad contiguam EI existentem in eodem plano 3 . di m est EI potestate dupla Stas E G. di eiusdem G E tripli , me ire potestate semidiameter spherq E A Ergo EI potestate su , sesquialtera est radii sphaere, de ideo is EI erit distantia lateris cubi a centro sphaerae a dc ea SQ hi fatiam secta in I dc perpen- ', dicitiam ad E I. atque est dupla semilateris cubi E G: Erso ' Sceae pr. a. Q est latus inibi inscripti in sphaera ABC H, dc ideo anguli pentagoni R S P in sphaerae superficie existent. Si ergo compleatur inscriptio cubi in sphaera, cuius unum latus est Sinae ab eodem puncto N rad ij E A super communi basi O P construatur aliud pentagonum regulare,dc p priori aequale, vertim p rarer. i . cena habens versus D, habebit omnes angulos in superficie , i. .
sphaerae, dc recta linea iubtendens angulum pentagoni parallela basi O P, pari modo applicata erit super latere inscripti cubi parallelo ipsi SEt si niliter in extremitatibus B, C, D, F, dc H reliquorum quinq; radiorii construi possinit bina pelagona, regularia dc aequalia habentia angulos in superficie sphaerae, quorum rectae lubtendentes angulos pentagonoria aequi distantes basibus applicatae erunt reliquis ae em lateribus inscripti cubi ; ct propterea omnia dicta duodecim pentagona se se mutuo tagent, tum meorum lateribus aequid istantibus lateribus cubi,quaruvnum est OP, tum in angulis inscripti cubi, & ideo compo. ponent solidam figuram Undes inscripta erit in sphaera figura q des solida comprehensa a duodecim pentagonis regularibus,& q- ,mui. qualibus. QIod erat faciendum. Vocetur talis figura Dode-
375쪽
EVCLIDIS RESTITUTI COROLLARIVM I.
Constat ex postrema parte huius propositionis rectam libneam subtende em angulum pentagoni dodecaedri squalem esse lateri cubi in eadem sphqra descripti.
Sphere diameter ad latus dodecaedri est ut latus triangulisquilateri ad latus decagoni, di Potentia est, ut 3 quadrata luteris hexagoni ad quadrat u lateris decagoni, vel ut quadratum lateris hexagoni ad tertiam partem quadrati lateris do canoni. resp. ter. Nana r quadratum diametri spheqrq A C triplum est qua 3- huirum . drati S materis cubi, sicuti,Iquadratum lateris trianguli ris p plum est quadrati lateris hexagoni:Ergo iri Ac ad S ta est '' latus trianguli regularis ad latus hexagona; & vae S QM O P, . ab . . . scilicet ut v aiuS ad segmentum minus recte extrema, & ni i. ,. dia ratione diuisq(vt in hac propositione ostensum est , uita x p .i,.Ls est latus hexagoni ad latus decagoni: ergo x ex compositione ordinata diameter spheri A C ad OP latus do decatarierit,utypr. ig ι . latus trianguli regularis ad latus decagoni . Et I potentia eadea'. o. s. erit, quq quadrati lateris trianguli,seu tripli quadrati lateris hexagoni ad quadratum lateris decagoni, vel ut quadratum lateris hexagoni ad tertiam parte quadrati lateris decagoni.
Constat etiam dodecatarum distribui in duodecim pura mides pentagonas, vertices in centro sp re habentes, equa atrissa.d. lasa inter se; cima bases, scilicet pentagona dodecaedri equulia sint inter se, dc perpendiculare, a centro sphqrae ad planata, b Pr, o, , i, petagonalia (que Radij dodecaedri vocetur equales Sur, eor ' quod radu circulorum circunscribentium dicta si ira, &a, mi qualia pentagona qquales sunt inter te, cae propterea e Squalbe pr io.ι... ter distant a centro circuli maximi sphaerae. S c H o L I V M. Euod vero pmer has quinque re lares solicis figuras, e ci no,. posest
376쪽
fit alia , qus a planis figuris aqualibus aequilateris, di aequiangulis contineatur, sic Vendetur. Ad conseitutionem anguli solidi requiruntur dua conditiones,d prima, d des sa 6. M anguli plani, eonstituentes solidum angvium,non sint pauciores, quis tres secunda, e vi omnes,sim sumpti, minores sint quatuor rectis. Asse e pr i 3. do quia sangulus trianguli equilateri tertia pars est duorum rectorum, f 'e pe idest sexta pars qua mox rectorum: erunt sex anguli trianguli aquilateri 'fex partes sexis quatuor angulorum rectorum, ideoque aquales erunt quatuor rectis: Et propterea g plura, quam quinque triangula reuuat .ra ad mitem punctum cum fuis angulis convenientia non constituent an 'a gulam solidum, sed figura plana regulares, qua spatiumsolidum comprehendere debent, necesse es ,ri angulos Iolidos constituant. Igitur praeter 'ramidem, Octa,rum, oesto rerum aliam figuram solidam trianguia ipsa squilatera constituere non posse tr. Seeuaedo quia h avgugus quadrati quarta pres est quatuor rectar Mi h tierant quatuor anguli quadrati squalea quumor rectis 3 Meoque ' plurg, i ni dii 5. quam tria quadrata ad uenum punctum cum suis angulis conuenientia angulum solidum non incient. Et propterea praeter cubum nullam aliam fguramsolidam quadrata .pla constituere possunt.. Tertia exta v aegnius pentagoni quinta pars estsex angularu rectorum, exse,pr. ides tres partes decima quatuor rectorum: erunt quatuor anguli penta- i.i. goni,sumi sumpti, squales duodecim pabibus decimis quatuor rectorum, scilicet erunt maiores, quis quatuor recti: Et ideo l plura, qudm trim i pr. i 36. pentagona ad unum punctum cum suis angulis conuenientia non constituent angulum olidum. Igitur prater dodreatarum aliam figuram sol, dam pentagona non constituent. uuarto quia mamillus hexagoni sexta pars est octo angulorum recto- m exfc-rim , Icts tertia pars quatuor rectorum: erunt tres anguli hexagoni se mul sumpti squalis quatuor angulis rectis; es propterea n tres anguli is
hexagonales ad unum punctum conuenientes non conpetiuent ansulums
dam; ideoque hexagona, di sic relique omnes figure plana regulares, excedentes murumerum senarinm angulorum, in is erunt ad avtili Iolidias itutionem, e n pauciores, qudm tres anguIi planisolidum angulam non essetant f in propterea que bet figura plane regulares plurium. qadm quinque angulorum corpus aliquod myiare con ponere nequeunt. Quapropter prster pyramidem, Octatarum, cubum,Icosaedrum, di d deratarum nulla alia figura construi potest ex coaptatione planarum fiugurarum aquatium, di regularium. Quod erat Uendendum.
377쪽
Circa datam sphqram quodlibet regulare corpus circunscrbbere, & in quolibet ipsorum sphqram inscribere. In sphqra, cuius centrum H, & axis A C circunscribi d apro het quodlibet ex dictis corporibus regularibus .a Inscribatur .er s. in synera corpus illius speciei, quod circunscribi debet,sitque m . illud A B F O, dc perpendicularis a centro spherq ad planum figure B FG, siue radius inscripti solidi sit H E.& per punctumi ' te, o C extremum diametri AC bducatur planum k MN paralle- ' . tum plano B F G : eritque e radius H C perpendicularis quos .., . t ' que planum MN, ct ideo domnes retas tangent circu- disti. i g. los maximoS per diametrum A C extensos; & propterea planum k MN tanget spheram. Rursus in pyramide H DFG producta e erit figura dissecta NM N smilis basi B F G , dc omnia latera H N, HM, H Κ squalia
erunt, cum eandem rationem habeant ad pyramidis squalia latera B H, F H, G H eo quod sunt radii
spherq. Eadem ratione si ducantur plana contingentia spheram parallela basibus reliquarum py- V ramidum vcrtice in centro IPn
ti H habentium, in quq solida figura A B resoluitur,erutfigurs plans circunicript*similes figuris inscriptis, ct recti
omnes a centro sphere id per angulos inscripis figurae usques =.r. . ad externum Planum ducla erunt equales inter se, & priori-ι ,. bus H Κ, H M, H N, eo quod andem rationem habent ad latera equalia pyramidum in centro sphqrae verticem habentium seu ad radios sphaerae, quam habent radii sphaerae, seu g ex cer. figurae circunscriptae adg aequaleS radios figurae inscriptae. P e, i, , sciare plana omnia sphaeram tangentia in ei idem punctis Mi, i M N, R, conuenient; & ideo solidam figuram eicient sinis lem ipsi A B F G. Quod erat faciendum.
Secundo in dato corpore regulari B A FG inscribi debet sphaera. Radio H E deicribatur sphaera E O. Dico hanc est inlcriptam solido; quia radii omnes cuiu,libet lolidae figurae regularis sunt aequales inter se, ut in Postremis corollariis quinquet
378쪽
miniae pr*cedentium propositionum dictum est. Edi herum primago ibnqra radio H E descripta necessario, tangit reliqua pla- paris brumi Mna figurae A BFG; dc ideo, sphera E o inscripta erit corpori . . .
tegullari A B FG. ut suit propositum. 2.. PROPOS. VII. THEOR. L ,
Latus tetraedri potestate ad latus octaedri est, ut ad i , ad latus cubi, ut et ad 1,ad latus icosaedri, ut Io quadrata lateris hexagoni ad a quadrata lateris pentagoni,ad latus dod caedri, ut a quadrata lateris hexagoni ad i quadratum Iateris decasoni, sed longitudine est, ut latus quadrati ad latus . decagoni: latus vero octaedri ad latus cubi potestate est, vis ad a, ad latus icosaedri, ut 3 quadrata lateris hexagoni ad a quadrata lateris pentagoni, & ad latus dodecaedri, ut squadrata lateris hexagoni ad a quadrata lateris decagoni deda aturum cubi potestate ad latus icolaedri est, vi s quadrata lateris hexagoni ad 3 quadrata lateris pentagoni , di ad latus dodecaedri, ut quadratum lateris hexagoni ad quadratum lateris decagoni s atque latus icos aedri ad latus dodecaedri potestate est , ut 3 quadrata lateris pentagoni ad , quadrata lateris decagoni. Primo quoniam proportio lateris tetraedri ad axim sphprs potentia est, ut a ad 3, seu ut ad 5. dc 3 axis syhqre ad latus octaedri potentia est duplus, seu ut 6 ad g. Ergo e ex compositione ordinata latus tetraedri ad latus octaedri potestate est, ut ad 3. Secundo eidem a rationi a ad 3 lateris tetraedri ad axim sphere potestate addita eprvortione 3 ad I ipsius axis potestate ad latus cubi, componetur proportio a ad I lateris tetraedri ad latus cubi potestate. Tertio quoniam I latus tetraedri ad axim spherq potestate est, ut loquadrata lateris hexagoni ad Is quadrata lateris hexagoni ; est vero g axis sphers potestate ad latus icosae-dri, ut , quadrata lateri, hexagoni ad I quadratu lateris pentagonis siue ut is quadrata lateris hexagoni ad I quadrata I teris pentagoni: Ergo ex compositione ord inata, est latus t traedri ad latus icolaedri potestate, ut Io quadrata lateris hexagoni ad 3 quadrata lateris pentagoni, seu vi I quadratu la
turis hexagoni ad 3 decimas partes quadrati lateris pelagoni.
379쪽
AE , - Quarto quia latus retraedri adaxuti sphere est i Iam qui
tirae e M. drati ad latus trianguli (eo quod b ambe proportiones potestas bulai, et te iii esquialtere sunt , sed i axis spherq ad latus dodeca si est, ut latus trianguli ad latus decamni. Ergo latus tetra .. ., t 'blatus dodecaedri est: vi latus quadrati ad latus decagoni.h , . . . Rursus latus tetraedri adaxim spherq potestateest, via qua-. 5-is,. drata lateris hexagoni ad * quadrata lateris hexagonicted i axis a cor x.pri sphers ad latus dodecaedri potestate est, ut 3 quadrata lateriss bui .. hexagoni ad I quadratu lateris deetagoai: Ergo latus tetid dri ad alterum latus dodreaedri potestare est, ur a quadrata lateris hexagoni ad i quadratum lateris decagoni m ce .g m Quinto quoniam in latus Oct tedri subdupluest axis sphem h- potestate,seu ut ad 5. & is axis sphere triplus potestate lareris' pra cubi.seu vici ad a. Ergo latus octaedri ad latus cubi potest te est, ut 3. Ed 2 .Q- .pe. Sexto quia . latus octaedri est potestate ad axim sphqrq, ut s quadratae lateris hexagoni ad io quadrata lateris hexagoni; t paxas sphaerae potestate ad latus icolaedri est, ut , quadratam lateris hexagoni ad i quadratum lateris pentagoni, im ut Ioquadrata lateris hexagoni ad duo quadrata lateris pentagoni Ergo latus octaedri ad latus icolaedri potest Ite est. vi s quadrata lateris hexagoni ad et quadrata lateris pentagoni . lea viqitadratum Iateris hexagoni ad a quintas partes quadlatii eo .i pr. Nei, pcntagoni. i s huiuι. Septimo quoniam latus in aedri e potest ite ad a xim sphaeiar rer h. pia rae est, ut 3 ouadrata lateris hexagoni ad 6quadrata latetis i. viai. hexagoni; estque e axis sphaerae ad satus dodecaedri, ut i qu drata lateris hexagoni ad 1 quadratum lateris decagoni, seu ut o quadrata lateris hexagoni ad a quadrata lateris decreoni Ugolatus octaedri ad latus clodecaesi potestate erit ut i. t. quadrat lateVS hexasoni ad Equadrata 'ateris decagoni seu ut 1 quadratum lateris hexagoni ad partes tertias qua
libet s Octauo quoniam Ilatus cubi ada vim sphaerae potestate si triplum est, Icilicet vi s quadrata lateris hexagoni ad a, qu 2, ' drata lateris hexagonis est vero i axis siphaerae ad latus icola dri potestate, vi s quadrata lateris hexagoni ad r quadratu nae lateris Penxagoni, seu, ut 13 quadrata lateris. hexagoni ad squadrata lateris pentagoni Ergo latus cubi ad latus icos eiseri potestate est, ut 3 quadrata riteris hexagoni ad x quadratia lateris Pentagoni, siue ut i quadratum lateris hexagoni
380쪽
ad 3 partes quintas quadrati lateris pentagoni.
Nono quiantamn latus cubi ad aximipnaerq potestate est, u cer t. pr.ut i quadratum latcris hexagoni ad 3 quadrata lateris hexa- e.
gom .estque aliis aes; hqr ad latus dodecaedri potestate, vis quadrata lateris hexagoni ad quadratum lateris decagoni. Ergo latus cubi ad latus dodecatari potestate est, ut i quadratum lateris hexagoni ad 1 quadratum lateris decagoni. Decimo quiar latus icosaedri ad axim spherae est, ut qua- I-t 'dratum lateris pentagon1 ad 3 quadrata lateris hexagoni, seu 're' 'ut 3 quadrata lateris pentagoni ad is quadrata lateris hexa- his . gom; estque a. axis sphqrq ad latus dodecaedri potestate v vi , 3 quadrata lateris hexagoni ada quadratum lateris deca-ni, ieu vi Is quadrata lateris hexagoni ad , quadrata lateris decagoni. Ergo latus aeolaedri ad latus dodecaedri potestate erit, ut 3 Suadrata lateris pentagoni ad 3 quadrata lateris de-cagoni, seu ut i quadratum lateris pentagoni ad 3 partes teditias quadrati lateris decagoni.
Facith deducitur ex hac propositione, quam proporti
nem habeant triangula tetraedri, octaedri,& icosaedri,dc hinruin iblidorum superficies inter se. Nam- haec triangula ar- afra . Muilatera&aequiangulatatuit si nulla inter se ideoquepean- ι. . . dem proportionem habent inter se, quam eorudem laterum b cor 3. Pr quadrata habent; Ergo c triangulum tetraedri ad triangulum Ii octaedri est,ut ad 3 , ad triangulum a icolaedri, ut io qua- Vrer
drata lateris hexagoni ad 3 quadrata lateris pentagoni; e & 'e i. triangulum octaedri ad triangulum icosaedri est, ut 3 qua drata lateris hexagoni ad a quadrata lateris pentagon1. Po- epa, ostea quia triangulum. etrahedri quater iumptum, & trian- iusprop. gulum octaedra octies, atque triangulum icoiaedri vigesies, efficiunt superficies dictorum Iolidorum: Ergo superficies tetraedri ad iuperfic1cm octaedri est, ut id ad et , seu ut a ad 3, & superficies tetraedri ad luperfietem icosaedri est, ut mad oo, leuIut a quadrata lateris hexagoni ad 3 quadrata late- fpr. g. i. iris Pentagoni. Sumliter superficies octacdri ad iiiperficiemicosaedri erit, ut , ad O , seu ut a quadratum lateris hexa, goni ad i quadratum lateris pentagon1.