장음표시 사용
381쪽
, - Circulus cotinens triangulum tetraedri ad circulum conti. nente triangulum octaedri, vel quadratum cubi eandem rationem habet sesquitertiam , atque ad circulum continentem triangulum icosaederi, vel pentagoram dode. caedri, est viro quadrata lateris hexagoni ad 3 quadrata lateris pentagoni; dc circulus continens triangulum octa:dri,vel quadratum cubi ad circulum continentem triangulum icos aedri, vel pelagonum dodecaedri est, ut 3 quadruta lateris hexagoni ad a quadrata lateris pentagoni.
Quoniam a axis sphqrq Potestate ad latus icosaedri est,ut is quadrata lateris hexagoni ad 3 quadrata lateris Pentagoni; est
vero b latus trianguli icosaedri ad radium circuli comprehendentem idem triangulum potestate, ut 3 ad 1,seu ut 3 quadrata lateris pentagoni ad I quadratum lateris pentagoni: e Ergo ex compositione ordinata axis sphqrq ad radium circuli comprehendentem triangulum icosaedri potestate erit,ut is quadrata lateris hexagoni ad I quadratum lateris pentagoni. Postea a quaa axis sbhqrs triplus potentia ad latus cubi, erit ut 3 quadrata lateris nexagoni ad I quadratum lateris hexagoni; Et quia e axis sphqrq ad latus do decaedri potentia est,u is quadrata lateris hexagoni ad I quadratum lateris decagoni; ergo axiffsphqre ad duo latera cubi, dc dodecaedri potestate
erit,ut 3 quadrata lateris hexagon ad I quadratum lateris hexago ni cum I quadrato lateris d cagoni: Sunt g vero a quadrata ex latere hexagoni, dc ex latere aecagoni, simul su Dpta, squalia quadrato lateris penta soni: Ergo axis taphqrq ad latera cubi, & dodecaedri poteuate erit, ut 3 quadrata lateris hexagoni ad I quadratum lateris pentagoni, seu vi Is quadra ta lateris hexagoni ad , quadrata lateris pentagoni. Et quinniam i sunt due potentie lateris pentagoni dodecaedri,&re
lines subtendentis angulum dicti pentagoni, scilicet elateris cubi, quintuplq potentiq radii circuli comprehendentis
pentagonum ipsum dodecaedri: ergo ex compositione ordi nata pax is silicrq potestate ad radium circuli comprehendentis pentagonum dodecaedri erit, ut Is quadrata lateris he Xagoni ad I quadra tu ni lateri S pentagoni: Ied prius in eadem ratione fuat axis lyhere ad radium cuculi comprehendenti
382쪽
triangulum icosaedri: Ergo m axis spherq potestate eandem rationem habet ad duos radios circulorum comprehendentium pentaponum dodecaedri, dc triangulum icosaedri; prinpterea n radii ipsi, atque circuli aquales erunt. Postea quoniam radius siphaerae potestate ad radios circulorum continentiu o triangulu octaedri,& 3 quadratum cubi,eadem rationem sesquialteram habet; Ergo q radii .ih ideo circuli ipsi continentes triangulum octaedri, & quadratum cubiaequales sunt inter se. Iam quia fleandem rationem habent inter se latera regularium triangulorum tetraedri, Octaedri,& icosiaedri,quam habent radii circulorum continentium dicta triangula. Ergo fradius circuli continentis triangulum tetraedri ad radi si circuli continentis triangulum octaedri, vel ad ei aequalem radium circuli continentis quadratum cubi potestate erit, ut ad 3, guae est proportio laterum tetraedri, dc octaedri potestate , , et ideo , circuli ipsi erunt,ut A ad 3; dcu ad radium circuli continentis triangulum icolae dri, vel continentila pentagonum dodecaedri potestate erit, ut Io quadrata ateris hexagoni ad 3 quadrata lateris pentagoni, & a circuli ipsi in eadem ratione erunt. Eadem ratione radius circuli continentis triangulum octaedri, vel ei aequalis continentis quadratum cubi ad radiu circuli cotinentis triangulum icolaedri, vel pentagonum d decaedri potestate eandem rationem habebit, quam r habent potentiae eorum laterum, scilicet erit, ut 3 quadrata lateris nexagoni ad a quadrata lateris pentagoni, et ita quoque circuli, inter se erunt. Quod erat, ilic.
Constat ex demonstratione huius propositionis duos circulos comprehendentes triangulum icos aedri, & pentagonum dodecaedri equales e ne inter se: pariterque duos circulos cintrehendentes triangulum octaedri, & quadratum cubi squa- es esse inter se.
Colligitur etiam quod quadratum radii circuli continentis triangulum icos aedri, vel circuli continentiS pentagonum dodecaedri est squalis pactibus decimi quintis quadrati l teris
383쪽
teris pentagoni in circulo maximo sphyre descripti. Nam in hac propositione axis spha: rq ad radium circuli continentis triangulum icos aedri , vel pentagoni dodecaedri potestat fuit, ut is quadrata lateris hexagoni ad I quadratum lateris a Dr.3 r. pentagoni . ct a rad us sphaere ad axim sphqre potestate est. via , . . I ad A , seu vi I quadratum lateris pentagoni ad rum quadrata I teris pentagoni: irgo, ex compositione perturbata quadratum ladij sphqrs ad quadratum radii circuli continentis triam pulum icos aedri, vel pentagonum dodecaedri est, ut is qua- drata lareris hexagoni ad rum quadrata lateris pentagoni, seu vii quadratu lateris hexagoni ad decimas quintaS partes qua-
o. drati lateriS pentagona; cstque quadratum radii sphqre qqua-φ' t ' i' le quadrato lateris hexagoni in circulo maximo 1DSrs d scriptu Ergo patet propositum.
Triangulum icolae dri ad pentagonum diae tedii est, vitres quintae partes lateris trianguli icosaedri ad latus cubi ;& superficies icosaedri ad stipei faciem dodecacta est, ut latus trianguli icolaedri ad latus cubi .
Sit A B C triangulum icosaedri ,&GHT MN pentago
num dodecaedri, &D,&Osint centra circulorum , figurari continenltipna , & ducam
ducatur D E perpedicularis ad B C, secas eam bifariam in E,& secetur G O bifariam in S. Quoniam: HN, subtendens angulum pentagoni dodccaedri in qualis est lateri cubi , ct a secatur pe rpendiculariter,& bisariam a circuli radio OG in R, pariterque e perpendie utarisDE semissis est radij circuli continentis triangulum cquil terum ABC: Ergo parallelogrammum sub D E senti radio, dc sub BE semilatere trianguli equi lateri ABC aequale est triangulo DBC; ideoque g triplum parallelogrammi D E B quale est triangulo ABC. Similiter Parallelogrammum
sub basi So semisse radij GO, ct altitudine eerpendiculari H R semisse lateris cubi,qquale est triangulo G H O,S . ideo quintuplum parallelogrammi sub HR,' SO squale erit
384쪽
pentagono GHΚM. erire triangulum A B C ad penta eonum GHΚN erit, vi triplum reaanguli D E B ad quinti plum rectanguli stibHR,Scso: suntque se miradii OS,& i D E qquales cuin circuli , fietutas continentes. equales sint: Ergo triangulaim N BC ad pentagoniini GHΚMest ut v p i. tripictai se, ni latens B E trianguli ico edri ad quintuplum semilateris I Rcubi, seu ut triplum BC lateris icolaedri ad ip i quintuplu nHbi lateris cubi, vel ut tres quinte partes lat
Secundo quoniam trianguIum icosaedri ad pentagonum Adoleeaedri est, ut latera italaedri ad s latera cubi. Ergo aidi triangula icos aedri, iden stiperficies tota Mosaedri ad ir pentagona dodecaedri, seu ad iiiperficiem totam dodecaedrirerit, ut Go latera icos aedri, addo latera cubi, siue ut latus te
etiam cutit, ita erit superficies icolaedri ad super cie PROPOS. T. THEOR. ITTriangulum tetraedet ad quadratu ncabi est, ut altitudo tria- guli aequi lateri ad eius basim . Et iuperficies tetraedri ad superficiem cubi est, ut raditis circali ad latus inscripti triam guli qqui lateri
Sit triangulu retraedri ABC in quo ducatur eius altitudo,*
pe perpendicularis CF, secatis aba- - aeor.
nn AB bifariam in F; sitque qua- .H s P E G H cubi in eadem siphera , in qaa tetraedrum, inscri-
it in eo ducantur duq diametri
angulos rectos in O. Et quia e quadratum fossa; A R lare ur . . numirum tetraedri duplum est Uuadrati DE lateris cubi. x lv E. Ergo quadratam rum A n. DG. dc E H eoualia is in sed uecti P Heqirales sint; Sedrinam 3 s. i. duo triangula D E H, y G E H eandem or, ' gmnem habet,inram altitudo C P ad duas altitudines DI,
riduo triangula DEH dcc Eri, siue ad quadratum cubi T. DE
385쪽
DE GH eandem proportionem habet, quam trianguli alibtudo C F ad basim eius AB.
r. i.M. Secundo, quia triangulum tetraedri ad quadratum cubi' - est, ut altitudo trianguli qquilateri ad eius basim, & ut altitudines ad 6 bases trianguli, vel ut partes sex te altitudinis trianguli ad eius basim, ita erit superficies tetraedri ad superficiem cubi ; sed partes sex te, seu a partes terris altitudinis trianguli qquilateri equales sunt radio circuli circunscriben- p 3'a tis triangulum qquilaterum seo quod altitudo trianguli Pquilateri sesquialtera est radii circuli, continentis triangulu). ' i' 'Ergo ut radius circuli ad latus inscripti trianguli duilateri, ita erit superficies tetraedri ad superficie cubi. Quq erant, Scc.
unde colligitur, quod triangulum tetraedri ad quadra, tum cubi potestate est, ut 3 ad dc superficies tetraedri ad . . superficiem cubi potestate est subtripla . ' i' i' Nami quadratum altitudinis trianguli squilateri ad quadratum basis eius est,ut 3 ad & quadratu radii circuli ad qua, dratum lareris inscripti trianguli est, ut 1 ad 3, dclis ostentae fuerunt in hac propositione basiminet superficierum proportiones tetraedri dc cubi.
Triangulum tetraedri ad pentagonum do decaedri est vi I, tus cubi ad quinque sextas partes lateris icos acdri. Et superficies tetraedri ad luperficiem dodecaedri , ut latus cubi ad quinque semisses lateris icolaedri.
a r. et baim Quoniam a quadratum cubi ad quadratum lateris icosaedri eis, ut , quadrata lateris hexagoni ad 3 quadrata lateris pentagoni: ergo a quadrata cubi ad I quadratum lateris icin heaec'r i, laedris vel is quadrata cubi ad O , quadrata lateris icosaedri te is runt, ut io quadrata lateris hexagoni ad 3 quadrata lateris pc- tagoni ; sed c hanc eandem proportionem habet triangulum. AT tetraedri ad triagulum icolaedri: igitur a ig quadrata cubi add . . i. i. O quadrata lateris icosaedri erunt, ut triangulum tetraedri ad triangulum icos acdri. Postea quia e triangulum icolaedri ad M. pentagonum dodecaedri est, ut a latera icolae iri ad s latera cubi,
386쪽
cubi, etfita est quadratum primi ad rectangulum prinu, dc Dr.is. secundi, idest o quadrata lateris icolaedri ad 1 s rectanguli laterum icosaedri,& cubi: Igitur g triangulum tetraedri ad gyros, a Pentagonum dodecaedri erit, ut is quadrata lateris cubi ad Is rectangula laterum icos aedri, & cubi, vel o ut o latera cubi hi , ad 3 latera icosaedri; seu potius, ut latus cubi ad quinque partes sextas lateris icosaedri, ita erit triangulum tetraedri ad pentagonum dodecaedri. Postea quia quadruplum primi ad duodecuplum secundi est, ut a latera cubi ad do latera icosaedri, vel ut a ad s, vel potius ut latus cubi ad 3 medietates lateris icos aedri, ita erit superficies tetraedri ad superficiem do decaedri. Vt suit propositum.
Triangulum octaedri ad quadratum cubi est,ut 3 quartae partes altitudinis trianguli aequi lateri ad eius basim, & Iuperficies octaedri ad superficiem cubi est, ut altu udo trianguli aequi lateri ad eius basim . Atque triangulum octaedri ad pentagonum dodecaedri est, ut latus cuoi ad io nonas par- te, lateris icos aedri. Et superficies octaedri ad superficiem dodecaedri est, ut latus culat ad 3 tertias partes lateris 1co-Laedri .
e Quoniam a proportio trianguli octaedri ad triangulum to
traedri est, ut 3 ad . ieu ut 3 quartae parres altitudinis trian- hguli equi lateri adesus totam altitudinem; & ae proportio tria- . i. guli retrae iri ad quadratum cubi est, ut altitudo trianguli ae- uilateri ad eius basim: Ergo e triangulum Octaedri ad qua- cpr.is. II. rarum cubi est, Vt g quart* partes altitudinis trianguli squi- lateri ad eius basim . Postea quia octuplum priuad textu- Pliam secundi erit, vi a Partes quart* altitudinis triangialiqui lateri adolatera eiusdem trianguli. siue ut o altitudines trianguli squilateri ad sex latera eiu s dum trianguli, vel q Vt 1 d p. M. t. s. altitudo ad I basim trianguli squila teri, ita erit tota suPEIficies octaedri ad superficieta cubi . Secundo quoniam e triangulum Octaedri ad trian tum te- e eor. n. r. traedri est, ut 3 ad g, vel vi s latera cubi ad Ia latera emiclenis huius. sedIrriangulum te iraedri ad pentagonum clodecaedri est, ut o i ii .hu Iatera cubi ad , latera icosae di is siue ut 1 a latera cubi ad iola- μ 'teraicolae dii Ergo i ex compositione Ordinata triangialum g pr.is...i
387쪽
Octacdri ad pentagonum dode caedri erit, violatera cubi ad I o latera ii olaedri, hoc est, ut latus cubi ad decem nonas partes lateris icos aedri. Demde quia ut octuplum primi ad duodecuplum secundi, se est superficies octaedri ad superficiem dodecaedri: igitur ut a latera cubi ad Im latera icolaedri, aut ut 3 ad s, vel ut i tus cubi ad quinque tertias partes lateris icos aedri, ita erit sinperficies octaedri ad superficiem do de caedri. Que erant, &c.
Quadratum cubi ad pentagonum dodecaedri est. vi latus c, Di ad , sextas partes altitudinis trianguli icosaedri.Et superficies cubi ad superficiem dodecaedri est, ut latus cubi ad stertias partes altitudinis trianguli icosaedri; atque superficies cubi ad Iuperficicn icos aedra est , vi quadratum cubiad 3 tertias partes parallelogrammicomprehensi sub latere, dc altitudine trianguli icosaedri. a Fra'. o. Quoniam a quadratum cubi ad triangulum tetraedri est,ut latus trianguli aequilateri ad eius altitudine, siue ut latus tria-guli icos aedri ad eius altitudinem ; vel vi s latera icosaedri ad 8 v ' s altitudines eius , atque, triangulum tetraedri ad pentagonue., .. . . dodecaedri est, ut o latera cubi ad , latera icolaedri. Ergoc ex compositione perturbata, ut 6 latera cubi ad 3 altitudines trianguli icolaedri,vel ut latus cubi ad 3 sextas partes altitudinis trianguli icos aedri, ita erit quadratum cubi ad pentaginnum dodecaedri.
Postea superficies cubi ad superficiem dodecaedri est, ut 6d D .i .ha. quadrata cu bi ad Ia pentagona dodecaedri, idest ut a s o lateradu p . cubi ad Oo altitudines trianguli icolae dri, vel ut 3 ad 3, aut uti latus cubi ad 3 partes tertias altitudinis trianguli icosaedri .ecer. r. Tertio qaia e parallelograminum sub altitudine trianguli icosae iri, et latere eiu S contentum duplum est trianguli Ico-saedri; Ergo o quadrata cubi ad Io parallelogramma sub altitudine , dc latere trianguli icolaedri contenta , aut 3 ad s. vel potius quadratum cubi ad , tertias partes parallelogrammi sub latere, et altitudine trianguli icosaedri contenti, habebit eandem proportionem, quam luperficies cubi ad superficiem icolaedri. Quae erant,&c.
388쪽
Tetraedri radius ad octaedri, siue cubi radium est, ut latus h xagoni ad latus trianguli, et ad icolaedri,vel dodecaedri radium erat, Vt tertia pars lateris hexagoni ad latus quadrati disterentialis inter quadratu lateris hexagoni, et w decimas quintas partes quadrati lateris pentagoni; sed octaedri, vel cubi radius ad icosaedri, vel dodecaedri radium erit, ut la- tus exagoni ad latus quadrati disterentialis inter g quadrata lateris hexagoni, & quintas partes quadrati lateris pentagoni, vel ut dimidium lateris cubi ad latus quadrati disterentialis inter quadratum radij sphqrq, & tertiam Paditem quadrati lateris icolaedri Sint A radius tetraedri,B radius octaedri,C radius cubi, Doradius leotaedri, & E radius dodecaedri, quae sunt perpendis culares a centro spherae ad plana figurarum corporum regum Iarium . Dico primo A ad is esse, ut latus hexagoni ad latus trianguli. Quoniam radius a A ad radium sphaerae potentia, est uti a Dr. 3, praad y eo quod tetraedri radius A lcrtia pars est radij iphq A - - quadratum radi sphtrae ad i u er quadratum radij Boctaedri est, ut A 's ad 3 : Ergo c quadratum A ad c
quadratum B est,ut I ad s. a estque quadratum lateris hexagoni te tia pars quadrati lateris trianguli: G RErgo quadratum radii A ad qua- dratum B est, ut quadratum lateris hexagoni ad quadratum lateris trianguli; dc ideo e ipse radius tetraedri A ad octaedri eprct s. radium B erit, ut latus hexagoni ad latus trianguli.
Secundo quia C radius cubi squalis est ipsi B: eo quod f-vterque tertia pars est potestate radii sphqrae: Ergo A ad C V - i, eandem rationem habet, quam ad B dc propterea A ad C e
erit, ut Jatus hexagona ad latus trianguli. Tertio sit triangulum icosaedri F G H. radius circuli eum
continentis, sit F o, & D F sit radius sphtrae, atoue D o fuit s 'in
radius icolaedri et ergo g in triangulo rectangulo D F o radius clit atris quadrati differentialis inter quadrata DF, h h par. i.,
E O. Et quia quadratum , Iadij tetraedri nona pars est qua- iaei. Rr a viati
389쪽
re FVCLIDIS RESTITUTIdrati radii sphqrae, &g quadratum radii sphetae DF ad qua
dratum F O radi j circuli continentis trianguluiri icos aedii est, ut quadratum lateris hexagoni ad decimas quintas partes quadrati lateris. Pentagoni: Ergo h quadratum radii DF sphqrae ad differentiam quadratorum DF,& FO, siue ad quadram radii icto, erit, vi quadratum lateris hexagoni, adi, , , .... disiurentiam inter quadratum lateriS hexagoni,& quintas f '' decimas partes quadrati lareris pentagoni. Qq ire ex compositione ordinata quadratum radii A ad quadratum radiiD O erit, ut nona pars quadrati lateris hexagoni ad differentiam inter quadratum lateris hexagoni & o decimas quintas partes quadrati lateris pentagoni; & ideo h ipsemet radius Aletraedri ad radium D O icolaedri erit, ut tertia parrum lateris hexagoni ad latus quadrati differentialis inter quadratum lateris nexagoni,& decimas quintas partes quadrati lateris pentagoni. Quarto quia i radii circulorum, comprehendentium trian. sulum icoiaedri, & pentagonum dodecaedri qquites ostensim ex tr. io . iunt: Ergo aei perpendiculares, qus a centro ei uidem sphere ad . - centra dictorum circulorum aequalium ita circulis sphere maximis coniunguntur equales sunt inter se;& ideo radius E d
Spei, . . decaedri squalis 'erit radio D O icosaedri: Et propterea rum Aad h,et ad D O eandem rationem prius exposita in habebit. Q ' T Quinto. quia axis lateris cubi, dc radius sphaerae radii cubir tripli sunt potentia, permutado, , & inuertendo C radius cubi,
se nnuis erit lateris cubi, sicuti radius sphaerae semissis est axis; prict i , estque DO vel E latus quadrati differentialis inter quadrae tu radii sphqre D F,dc quadratu F O r adu circuli cotinetis trivgulum H icos aedri, quod r est tertia pars quadrati laterisicosaedri: Ergo radius is ochaedri, velIei aequalis radius C cubi ad radium D O, icolaedri, vel adtei qqualem radium E d de caedri, eandem rationem habet, quam semissis lateris cubi ad latus quadrati differentialis inter quadratum radii sphaerae,& tertia in partem quadrati lateris icos aedri.Uel potius u quia radius Boctaedri ad radium Iphqraepotetia est,ut I ad 3, sini evix quadratum latetas hexagoni ad 3 quadrata lateris hexaginno radius sphaerae DF ad D O radium icolaedri fuit, vi r qua dratum lateris hexagoni ad differentiam inter quadratum lateris hexagoni,& decimas quintas partes quadrati lateris pc 'Inta. 3 tagoni, sime, ut 3 quadrata lateris nexagoni ad differentiam inter 3 quadrata lateris hexagoni, dc i a deciniis quintas, vel
390쪽
infas partes quadrati lateris pentagoni:Ergo a B ad D O pc apras Istentia erit,ut quadratum lateris hexagoni ad differentiam inter a quadrata lateris hcxagoni , dc quintas partes quadrati lateris pentagoni. Unde octaedri radius B, siue ei qqualis radius cubi, erit ad icolaedri radium D O siue ad ei equalem E t dium dodecaedri,in eadem ratione,quam habet latus hexago- poni ad latus quadrati differentialis inter quadrata lateris hexagoni, & quintas partes quadrati lateris pentagoni. Qus
Tereaedrum ad octaedrum est, ut latus hexagoni ad sesqui ab terum lateris trianguli, Sc ad cubum est, vi quadratum la- teris hexagoni ad quadratum lateris trianguli,& ad icosiaedrum est, ut tertia pars cubi ex latere hexagoni descripti ad ptisma rectum, cuius bi sis est sesquialtera quadrati latinris pentagoni,altitudo vero est latus quadrati differentialis, inter quadratu lateris hexagoni, aequatuor decimas quin- , tas quadrati lateris pentagoni, atque ad dodecaedrum est,
ut rectangulu sub latere cubi, dc sub tertia parte radii sphqri contentum ad rectangulam sub s medietatibus laterisicosaedri & sub latere quadrati differentialis inter quadratum radii sphqrq, dc tertiam partcm quadrati lateris ic laedri .
Quoniam a tetradrum diuiditur in quatuor pyramides ae- a eor 6. p . quales, verticem in centro sphqrq habentes, quarum bases ae- l butui, et quales sunt, scilicet triangula tetraedri,& altitudines qqua- tr M
leq. scilicet radis tetraedri: Ergo tetraedrum quadruplum est puramidis, cuius basis est triangulum tetraedri, & altitudo Squalis est radio eiusde;Sed, pyramis,cuius basis est aequalis superficiei tetraedri, siue quadruplo unius trianguli tetraedri dc qaltitudo,radius eiusdem,quadrupla quoqtest unius pyramidistet raedri vertice in centro sphere habentis,seo quod pyram, ides eque alte sunt inter se, ut bases . Ergo e pyramis, cuius ba- sic equalis superficiei tetraedri ,& altitudo qqualis radio te-ttaedri est equalis solido tetraedri. Eadem ratione reliquae corpora regularia equalia erunt pyramidibus, quarum bases equales tunt iupemciebus, de altitudines qquales radiis ipsoruiolidorunasUnde vi sunt pyramides dictae uiter se,ita erunt so-e lida