장음표시 사용
391쪽
d p. II.ι.ε. lida regularia ; secta ille pyramides habent proportionem, compGsitam ex rationibus basium . & altitudinum. Ergo s. militer corpora regularia compositam proportionem hab i hunt ex rationibus superficierum eorundem solidorum, de altitudinum, siue radiorum. -' T. Et primo quia e superficies tetraedri ad superficiem inae, 'i' - dri eu, ut a ad 3, siue ut i latus hexagoni ad a semilatera he- r xagoni; ihItadius tetraedri ad radium Cctaedri est,ut latus ,.a hexagoni ad latus trianguli , siue ut a semilatera hexagoni ad op . ,.. 3 seir ilatera triaguli: Ergo a tetraedrum ad octaedrpm est,utι. . latus hexagoni ad 3 semilatera trianguli., n M. Secundo quia tam , radius tetraedri ad radium cubi, quis, superficies te traedri ad superficiem cubi est, ut latus hexagin
P - '' m ad latus trianguli, sed hq duae proportiones componunt i. tam rata onem tetraedri ad cubum,quam proportionem qua . . ., i . . drati lateris hexagoni ad quadratum lateris trianguli. . Ergo I . ι. s. tetraedrum ad cubum est, ut quadratum lateris hexagoni ad
quadratum lateris trianguli. meae pr r. Tertio quia m superficies tetraedri ad superficiem icolae uim dri est, ut quadratum lateris hexagoni ad 3 Icmiquadrata la-nfe teris pentagonis & is radius tetracdri ad radium icosaedri est, i ' ut tertia pars lateris hexagoni ad latu s quadrati differentialis inter quadratu lateris hexagoni, di partes decimas quintas 't quadrati lateris pentagoni , sed se hq due proportiones com
ti tum lateris hexagoni, altitudo vero est tertia pars latens hexagoni ; si uep tertis partis cubi ex latere hexagoni ad prisina rectum, cuius basis est sesquialtera quadrati lateris pentaginni, altitudo vero est latus quadrati disterentialis inter quadra tu lateris hexagoni, & partes decimas quintas quadrari la teris pent agoni . Quare hanc eandem proportionem habebit
q . . ii bis. Quarto Quoniam g superficies tetraedri ad superficiem doe, . . . - decacdri cst, ut latus cubi ad , semilatera icosaedra ; ct radi, On us tetraedri ad radium dodecaedri est,ut tertia pars radii sph i pr. is i, , rq ad latus quadrati disserentialis inter quadratum radis Iphe re, & tertiam partem quadrati lateris icolaedri s sedi hi duallopor dones componunt promitionem plani rectaguli lub tere cubi, et tertia paxte radi j iphere coniciati ad rectangulum iub s semilatera icosaedri, & sub latere quadrati dissi re' tialis uiter quadratum radii spherg, ct tertiam partem quadra
392쪽
ri lateris icosaedri. Quare hanc eandem proportionem habebit tetraedrum addockcaedrum. qus erant ostendenda .
octaedrum ad cubum est, ut altitudo triansmii ad eius basim; di ad icos aedrum est, ut cubus super latus hexagoni descriptus ad resina rectu in uius basis quadrarum lateris pent goni , altitudo vero es laturum quadrati differentialis inter squadrata lateris hexagoni, & quintas partes quadrati lateris pentagoni: & ad dodecaedrum est , ut dimidium qu drati cubi ad parallelograerimum substertiis partibus Iuteris icolaedri,& sub latere quadrati differetialis inter quadratum radij iphqrq, de tertiam partem quadrati lateris
Quoniam, ut dictum est. octaedrum ad cubum propor--mtionem habet compositam ex rationibus superficierum, Scradiorum .dc,sunt dicti radiiqquales inter se: Ergo visu- . perficies Maedri ad superficie arcubi ita est octaedrum ad e, i, i. ipsum cubum; erat a autem superficies octaedri ad superfi- Inre,. iciem cubi, ut altitudo trianguli qqui lateri ad eius basim . ED h--.go . octaedrum ad cubum erit, ut altitudo trianguli squilate- eri I.
ri ad eius basim . Secundo qui superficies octaedri ad superficiem icosae- icer'. r. dri est, ut quadrarum lateris hexagoni ad quadratum lateris R Pentagoni s&g octaedri radius ad ico aedri radium est, ut la- tus hexagoni ad latus quadrati differentialis inter g quadrata lateris hexagoni ,& quintas partes quadrati lateris pent gonii sed . rei dii proportiones componunt proportionem 'cubi descript i ex latere hexagoni ad prisma rectum, cuius basis est quadratum lateris pentagoni, altitudo vero est latus quadrati differentialis interis quadrata lateris hexagoni, & quintas partes quadrati lateris pentagoni ( quandoquidem pris nata recta proportionem nabent compositam ex basibus, & altitudinibus J. Q rare, ut prius octaedrum ad icosaeorum est, yt cubus descriptus super latere hexagoni ad prisma rectum, cuius bisi est quadratum lateris pentagoni, &altitudo est latus quadrati differentialis inter quadrata lateris hexagoni, & qu imas partes quadrati lateris pentagoni. i, i iis Tertio quoniam i sun ineles Maedri ad superficiem dode, tui.
393쪽
eaedri est, ut latus cubi ad , tertiarum parres lateris icolaedri: dcoctaedri radius ad dodecaedri radium cst, ut dimidium latoris cubi ad latus quadrati differentialis inter quadratum radii spherq, & tertiam paxiem quadrati lateris icosaedri; sediliae duae proportiones cCmponunt rationem d imidi j quadrati cu-hi ad parallelogrammum rectangulum; sub , tertiis partibus lateris icos aedri; et latus quadrati differentialis inter quadratum radii sphqrq,et tertianaepartam quadrata fateris i Cosaedri. Quare in hac eadem propomone erit coaedrum ad dodeca erum. Vt erat propolitum . ,
Cubus ad icosaedrum est , ut dimidium eiusdem cubi ad prisma rectum contentum sub altitudine trianguli icolac dri, di sub s tertiis partibus lateris eiusdem trianguli icosaedri , atque sub latere quadrati differentialis inter quadratu radii. spnsrq, dc tertiana par emquadrat I lateris icosaedri.Sed cubus ad dodecaedium est, ut dimidium quadrati cubi ad parallelogrammum rectangulum sub di tertiis partibus altuu dinis trianguli scosaedri, ' sub latere quadrati disi renua lis inter quadratum radij sphqrq, & tertiam partem qua drati lateris icosaedri. At icosaedrum ad dodecaedrum est, ut latus icosaedri ad latus cubi. Quoniam a supersicies cubi ad superficiem icosaedii est, Vt quadratum cubi ad parallelograminum sub s icitu Partibu
lateras trianguli icosaedri, di iub altitudine ciuidem talangu' tu & b c ubi radius ad ico iacori radium cit, ut dimidium late ras cubi ad latus quadrati differentialis inter quadratum radii spherae, st tertiam partem quadrati lateris icoiaedri. Hi au'tem duS Proportiones coinponunt Frtapoitionem dimidii cubi intra i iis ram descripta ad pruina rectum, cuius balii est rectanguium contentum sub , tertiiS partibus laicris tria gliti icolaedri, & sub altitudine eiu Idem trianguli; -ltltu' do vero est latus quadrati differentialis inici qua orat Lmradu spherae ,& tertiam partem quatirati latcti, icola uri Sed hq proportiones, ut uictum est, ctiam cCmponunt pro Portionem cubi ad Icosae druin. Igitur cubus ad .colacatum eandem expositam proportionem habet.becundo quoniam - 1uPerficies cubi ad supertatem dod catari
394쪽
eaedri e st,ut latus cubi ad , tertias partes altitudinis trianguli icolaedri ; et e cubi radius ad do lecaedri radium est , ut dimi- em rcum lateris cubi ad latus quadra i diffirentialis inter quadraturadii spherq, et tertiam partem quadrati lateris icosaedri: Haeverorauq proportiones componunt rationem semissis quadrati cubi ad parallelogrammum rectangulum contentum, . 'di sub quinque tertiis partibus altitudinis trianguli icosaedri, dc sub latere quadrati disserentialis inter quadratiam radii sph qi e& tertiam partem quadrati lateris icos aedri. Igitur,Vt prius,in hac eadem proportione erit cubus ad dodcc aedrum, e re,. . Tertio quoniamg superficies icolaedri ad Iliperficiem do- .c.,. decaedii est, ut latus icosaedri ad latuS cubi ; atquc b icosaedri n prop. . . radius tqualis ostentus est radio dodecaedri. Igitur Icoiaedi u . ad dodecaedi tam eandem proportionem habcbit, quam latus 3 Pr iicosaedri ad latus cubi. quod erat ostendendum .i Pr, is
ta XV. Euclidis libro, qui Mnsuli Alexandrino tribuitur agitur in quinque proposition/bps de mutua ivscnpi ione figurarum regularium; at quia huismodi argumentum parum utilitatis Hementari institutioni afferre Minctur, sitqhe a Campano , Candasta, re Clamo diligenti Sme expostum, in an piscatum, Meae insituti mei es aliena tra crib re, pr terea partem hanc Geometriae, luet curiositatis plenam, omnino relinquendam esse duxi.
395쪽
Conceptus, seu anticipatio unitatis dissonem non admittit. Nam proprium in multitudinis diuidi posse in plures partes s propterea aenitas indiuidua est. Differt tamen amitas a puncto, qu)d vetitas pars sit componem mmerum, punctum vero non componat magnitudinem ,sed sit Principium, in tremi I eivi.
III. Par numerus est, qui bifariam diuiditur. IU Impar vero, qui bifariam non diuiditur, vel unitate differta pari. V Pariter par numerus est, quem par numerus metitur per numerum parem. Numerus,qui eomponitur expari muctitudine parium numerorum, via , qui componitur ex o quaternariis, mensurabitur a pari numero per parem o,uis per parens multitudinem eorundem , in tunc ad vocabitur. Tanter par.
396쪽
Et numerus eompositus ex impari mutatudine parium numeroruit , d, qui componitur ex tribus binariss , mensurabitur a pari numero aper/mparem 3 . Et propterea dicetur numerus o Pariter ιmpar
v II. Impariter vero impar est numerus , quem impar numerus
metitur per numerum imparem. Numerus dieia con positas ex impari multitudine imparium numer rum, ut I S, qui componitur ex tribus quinariis, mensurabitum ab imparis per imparem s. diceturque propterea numerus Is I,mpariter impar. .
Primus numerus est, quem Iola unitas metitur. . IX-Multiplicatio numeri in numerum est inuentio numeri,qui
ad multiplicatum eandem proportionem habeat, quam murumtiplicans ad unitatenas Et factus numerus,Planus vocatur: Et numeri se se multiplicantes vocatur Latera eius. At si tres numeri se multiplicent, iactus numerus, Solidus vocabitui, de tres dicti numeri vocentur L tera eius.
Vnitas X ad numeram eandem proportionem D miltipluem halcat, quam numerus B ad quartum nu- X gmerum C ; Dicetur numerus C Productus ex mura A si lacatione numeri A in numerum B : Et dicitis B num erus C manus 3 B L itera eiusdem nu neri C ia. plam C . Unde constat toties numerum multiplicatum Scontineri in producto C , quot sunt unitates contenta in multiplicante A. At D es numeri A, B,D e mulisticiare dicentur, si tortIus numerus D muli luctur in planum num X grum C, genitum ex mul Pitiatione avorum laterum A s A GT A , proaucaturque numerus E. Itaque ieri de- B C rahet Diatas x ad-,νt B ad c cenio H νnitas D sad C, ita D ad productum E. dicctur numerus ES E paLaus f O tris numeri A, B, D Laura alia, olidi.
Quadratus numerus est, cuius latus medium proportion te cit vitor 1Pium, & viaitatem.
397쪽
Ut se Mitas x ad numerum in sit, H ad numerum B;Di-. X I cetur B numerus QEadratus, AL Latus eius. Itaque ex mu A s timicatione laterii Ain seipsum gignitur numerus quadra-
c ubus vero numerus est ille, inter quem, & unitatem duo medii proportionales intercedunt, quorii unus est latus eius , alter vero est quadratus eiusdem lateris.
X et . Ut f unitas X ad numerum in eandem rationem A s habeat, quam ad quadratum numerum B , uetB o X ad A, ita quoque sit B ad numerum E. Dicctur EE aT numerus cubus, eiusque Latus A.
A 6 B si Visi fuerint duo numeri plani a di B, di duo iam C a L ci ter a plani sentc re D , pariterque duo latera famD 3 H s ni B snt Edi H Et siquidem c ad D eandem pro-X I porteonem habuerit , quam E habet ad H, dicenturpiam numera A, di A Similes inter se.
PROPOS. I. THEOR. I. Si duobus numeris in qualibus propositis detrahatur semper
minor de maiore alterne, neque rettiquus Vnquam pr*cedentem metiatur, quo ad assumpta sit unitas: nullus numerus, sed sola unitas propositos numeros metietur . Vocentur tales numeri Primi inter se. Sint duo numeri in quales A & B,& B minor,quoties potest subtrahatur ex maiore A,& numerus ablatus fili C, dc reliquus V ex B, quoties potest tollatur, sitque ablatus numerus E, atque rcliquus F ex D tollatur, quoties potest, , sitq; ablatus numerus G, & in hac alterna detractione nunquam reliquus numerus precedentem, a quo detractus est, metiatur donec ad unitateni H perueniatur. Dico tantummodo Vm-tatem, non autem n erum aliquetvi cilc communem incli-
398쪽
suram numerorum A, & B. Si enim hoc Verum non est, metiatur eos D H 1 aliquis numerus M . Quoniam M A i' G oponitur mensiira ipsorum A. Sc B, C rosed B mensurat ablatiam C. Ergo E MM metitur totum A . dc ablatum C; B Ioideoque, M reliquum timetietur; F smCnsura tautem D ipsum E: Ergobi metietur nedum totum R. sed etiam ablatum E. Undet. residuum Fquoniae mensurabitat F metitur G: Ergo Mmetitur totum D. & abi itum G ;& propterea residuum H mensurabr. Quare numeriarum M tDetitur vilitarem H. e quod est impossibile. N in ergo aliquis inria serus esse potest naensura communis numerorum A . dc R. Quod erat ostendem dum . Vocemur tales numeri A, & B Prunt inter se.
Duobus numeris datis non primis inter se , maximam eorum
Sint duo numeri A S B non primi inter se. Debet eorum maxima me sura communis reperiri. Ex maiore A tollatur B, Quoties potest , & residuum D tollatur ex B,quoties potest: Tandem procedendo in hac alterna detractione a peruenietur ad residuum aliquem numerum F, qui precedente D metietur(alias essent A. dc B prinia numeri, quod non ponitur . Dico numerum Fiplos numeros A, de B mensurare. Quia Fmetitur D. & D ipium E , Ergo b F ipsum Emensurat; sed etiam M se ipsum metitur ; Ergoc F ipsum B mensurabit; di propterea F ipium C, atque aggregatum ex C. & D, idest A quoquc
mensurabit. Dico tecundo F esse maximam communem mensuram numerorum A, Sc B. Si enim hoc verum non
est,sit H maior, quam F mensura communis numerorum A, S B. Et quia Hponitur mensiira ipsius B,&B ipsum C metitur; Ergo Hipsum c. imnsurabit; scd H ponitur quoque mensura totius Ergo H residuum eius D s ct ideo apium E mensurabit . in
399쪽
re H, residuum F ipsius, B quoque men sis rabit; numerus maior numerum minorem, quod est impossibile. Non ergo a I qua mensura comunis maior esse potest, quam F. Quare,dC
Patet duorum numerorum quantibet communem mensigram, metiri quoque eorundem numerorum maximam communem mensuram.
Nam H,que posita fuit mensura numerorum A,& B,osterisa sint mentura ipsiuS F.
Hinc deducitur, ouod quilibet numeri unitate differentes, & qui binario disserunt, & non merint ambo pares, primi
inter te erunt.Nam facta alterna detractione ex numeris,quorum differentia est unitas, relinquetur tande unitaS pro communi maxima mensura, & quorum disserentia est hinarius , cum sit saltem unus eorum par, ex alterna detractione, binarius relictus, detractus a reliquo in pari,necessaro vitalcm pro communi mensura relinquit. sc HOLIU M. Patet etiam, quod dato quolibet numero non primo, reperiri poterit numerus, qui sit primus, , eius minima mensuram .d destam Sit numerus se non primus, idest v mcncurabilis ab aliquo numero . - Sumatur aliquis n merus B, qui para si numcri ias , ut eius Usis , HI tertia pars, dic. oes B non esi primus numerus, sumatur al qua pars ip-W se sus B, ques c oes c nou est primus numerus, sumaturA 5 D pars ipsus c. Et quia numerus infiniῖe diminui non po-B Ici tes, inuenietur tanam aliquis numeru1, quem nullus alius edes g.bv. C Alin cylia mmat riniceor primus erit , di si ille D. Miu. . D a quoniam D metitur C, ct c jbum B , oe B aedium A, i remi ax,i,i.3. tietur primus numerus D po remum numerum Dest minimus orentum nun eroram, qui n. emArur piliunt ipsum A, . um Od natio alio minore mmero mensArari posit . Ergu P-: Proh ium.
400쪽
Pluribus numeris datis quam duobus, no primis inter se, maximam communem mensuram eorum reperire. Sint plures quam duo numeri A, B, C non primi inter se. Debet eorum maxima communis mensura reperiri Duorum numerorum A , & B, reperiatur maxima communis mensura D: de duorum numeroiu B, C. reperia-tUr Communis mensura maxima Esdc A anc ulterius,si plures extiterint. Postea , D squoniam numeri A, B C supponuntur B so F a non primi inter se, nona erunt omnes E. A, B, C mesurabiles tantu modo ab vni- C aotate, sed necesiario aliquis numerus Homnes eos metietur; haec , autem mensura communis omnium A, B, C necessario tam D maximam mensuram communem numerorum A, & B, quam E niax s. mam mensuram communem numerorum B,& C metietur; ideoque D & E non erunt primi inter se. Reperiatur iam F e, imaxima mensura communis numerorum D, dc E. Pare F dare., ... ment arare omnes numeros A, B, Sc C,eo quod F mensurat D, ct D metitur ipsos A, dc B; Ergo F mensurat numeros A.& B. Pari ratione F, metiens E, metietur etia C. Dico iam F esse in ximam mensuram omnium A, B, dc C. Si enim hoc verum non est, sit H maior, quam F mensura omnium numerorum A B&C. Et quia H metitur A,&B, emetietur quoque H l P erari'. ccam D mensura communem maximam eorundem A, & B. bMim Pari ratione H metietur ipsum E. Cumque H mensuret ipsos t coe pr. . D. , E,Imetietur quoque H ipsam F mensuram communem eortam maximamr, quod est impossibile , eo quod H ponitu i s i maior, quam F. Ergo nulla maior, quam F esse pote sit mentura communis numerorum A , B, dc C. Quare patet propin
Manifestum est quant i bet commune mensuram pIurium , quam duorum numerorum,inetiri quoque eorundem maximam communem mcuturam. Co-