장음표시 사용
401쪽
E U CLIDIS RESTIT TTICOROLLARIUM IL
positionis , quod maxima communis mensura aliarum maximarum communium mensurarum quorunlibet numerorum
expositoru est quoque communis mensura maxima illoruna. Nam numerorum A, B, C fuit tam D, ipsorum AI B, quam E ipsorum B, C maxima communis mensura, & F fuit maxima communis mensura ipsorum D, & E, atque F ostensa suit maxima communis mentura numerorum A, B, C.
v11. Omnis primus numerus ad omnem numerum,quem non me tum,primus est. Et omnem numerum non Primum aljquis primuS numeruS metitur.
Primus numerus A non metiatur numerum B. Dico A, &B inter ic prunos esse. Si enim R, & B primi I nsimi, mel 1atur eos prytCr vitatem aliqui S numeria, C. A s B s Et quoniam supponitur C metiri numetriam B,&A non metiri B, non erit C equalis 1Plia arum, C A,a alias A quoque menturaret illium B; hit d. . ., cum nutrierum A alitis numeru, C metiator. non . erit A numerus primus. quod est conera hypothesin .Qtiare nullus numerus menturare potest ambos A, de B , . ideo primi inter Ie erunt A, & B. Secundo sit numerus non primus A. Dico aliquem pri
mum numerum eum metiri. QN niam nan. Crus
A a A ponitur non primus, metiei lar Cum aliquIS IMI- e. f. i. bis. B a ni rubi Vci plutes muneri( alias si nuntis nunturus C ipsum A mouuraret, Ied tantummodo c unitas, d se,. pr. s. csset A nun .erus Prmus, quod non ponitur . In- ,--. telligatur numerus B, qui sit mmmuS Omitium, nictbemtium numerum A. Ostendendum est B cile numerum Prina una. Sicium ptamus non est, metietur numerum B aliqtais alius numerus, qui sit C. Et quia C metitur illium D, ta BDta-oau. is P merum A, metietur quoquc C ipsum A s Lit vero C iamior, quam B. Ergo minor numerus, quam B, metietur qui iam iptum A: Quarc B non cit nurumus ominiam, inclictata L, A,
402쪽
quod est salsum. Quare B a nullo numero mensurari potesti scideo t B primus erit, quod erat ostendendum. id l. bae.
Constat,quod omnis numerus aut primus est , aut eum albquis primus numeru, metitur.
Manifestum est, quod numerus, qui est minima mensura cuiuslibet numeri non primi: erit primuS numerus.
v II. Duorum primorum numerorum summa ad unum eorum prima est.Et si summa ad unum componentium prima fuerit,erunt duo illi numeri primi uiter se. Et qui unum prim rum numerorum metitur ad reliquum primas est.
Sint numeri A , dc B inter se primi. Dico A , cu B esse primum ad A solum, vel ad B. Si enim A simul cum B,ad A non est primus, metiatur illos, si possibile est numerus C . Et quia C metitur totum A, A II B ao a ax. d. i. B, atoue ablatum A, ametietur quoque C reladuum B : Quare A, S B non sunt pri- Cmi, cum numerus C utrunque metiatur, quod est coni ra hypothcsin. Unde A B. & A primi inter se erunt. Eadem ratione A, B ad B,primus erit. Secundo sit A simul cum B primus ad A,vel ad B. Dico A.& BPrimos esse inter se. Si enim hoc verum non est, sit Ccommunis mens ira numerorum A,& B, bax.ι.LD si fieri potest: Q nare , C metietur aggre- A vo B asgatum Ex A , B; Metitur quoque C ipsum C DA vel B ; Igitur Iumnaa numerorum A, B, non e Est pruna ad numerum A, vel ad B, quod est contra hy- c. a. i. i. s. pothesm. Quare A, &B primi inter se erunt. Terrio sint A ,&B primi inter se ,& C metiatur ipsum A. Dico C, & B primos esse inter I e. Si enim hoc verun non est, habeant C, & B communem mensuram numerum D. Et quia D metitur C, atq; C metitur numeria A;Ergo a D metitur ip- ii p. i. e.
403쪽
r i. butu/ sunt A, metiebatur autem numerum B: Igitur . A ,εc B nom. sunt primi, cum habeant communem mensuram numerum D, quod est contra livpothesia. Non ergoseliquis numerus D
metitur ipsos C,& B; sc ideo C,& B primi sunt. Quod erat
Primi inter se numeri minimi sunt omnium eandem cum eis rationem habentium. Et duo minimi in data ratione primi sunt inter se. At quilibet numeri minimi qque metiuntur
numeros eandem cum eis rationem habentes.
Sint numeri A , & B primi inter se, dc quilibet numeri C ad . . D sint inter se, ut A ad B. Dico A , dc B minores esse, quam Cp - &WQuiahipsius B partes est, cum a unitas, que sit E, esse possit eoru comunis mesura,dc Cad D est,ut A ad B: Ergo, C ipsius Desde partes erit, quq A partes est ipsius B ; dc propte ea reperiri poterit H,quae toties metiatur D, quoties E iesum B, atque H sit eadem pars ipsius C,ac est E pars alterius Assed H unitas esse nequit, cum c C ipsi A, dc DA ia B I ipsi Baequalis non ponatur; neque H inbE I nor unitate esse potest, cum vnitas indiui-C 36 D si dua sit. Igitur H numerus erit maior vni-d F. r. 3 H 3 tate E; estque a C ad A, dc D ad B, ut pars H ad partem E: Igitur a C maior est,quam A, & D, maior,quam B,& ideo numeri primi A, B sunt quinque minimi omnium eandem rationem habentium. Secundo sint A, B minimi in ratione C ad D. Dico A, B primos esse inter se. Si enim non sunt primi metietur eos comuni mensura numerus E; dc que pars est nu-M O i N merus E ipsius A, ita fiat unitas O pars eadem f. s. 3. A 5 E B s. numeri M, atque ut E ad B ita fiat Oad N: Cis D is Qi refixi ipsius Neqdem partes erit, qUa Ag r. i ii 3 partes est ipsius B; estqueg M minor A, dc Nminor B, eo quod unitas ominor est numero E: Ergo M. Sc N minores sunt ipsis A, B, quod est absurdum: Supponebantur enim A,B minimi omnium eandem rationem habentium. Quare A, & B primi erunt. Tettio sint A, dc B minimi omnium eandem rationem habentium , quam C ad D, & A ad O. Dico A ipsum C. & Bipsum
404쪽
ipsum D eqvh metiri. Quoniam A ad B est, ut C ad D: EDeo di permutando A ad C erit, ut B ad D. Quare minor A ip- hpr. 2 1 3. sus C, & B ipsius D eadem pars, vel c*dem partes erunt,um fnumeri commensurabiles inter se sint saltem ab unitate ) ; de si quidem partes credantur esse, e habebunt Fos.f. communes easdem mensuras, quae intelli- A B g .gantur eme E, &H. Et quia i partes cum pD E Hriter multiplicibus in eadem sunt rationc , C ao D IS . , erit E ad H, ut A ad B, & m minores sunt E, H ipsorum A, & B, qui sunt illorum qque multiplices, quod est absurdum: Suppositi enim fuerunt A, & B minimi omnium, eandem rationem habentium, quam C ad D: Quare . A, S B partes non erunt ipsorum C, ct D; & propterea A iP . inus C, & B alterius D eadem pars n erunt,& eas qque metiemtZ 'tur. Quod erat ostendendum.
Si idem numerus inplures numeros multiplicetur, vel plures numeri in eundem numerum ducantur, erunt producti, ut multiplicata, vel vi multiplicantes. Idem numerus A, multiplicans numeros B C, dc F essiciat productos D, E, & H. Dico primo productos D, E, & H eandem rationem habere, quam multiplicati B, C,&F. Quoniam avtvns B 3 D G a d. o. l .
D erit productum ex multiplicante F o H ia- A in multiplicatum B , & similiter ut X ad A, ita cst C ad E, atque ut eadem X ad eundem A. ita est F ad H: Quare o B ad D, & C ad E, atque F ad H eandem, b pr. I. . . rationem habebunt, Icilicet eam, quam habet unitas X ad numerum A: Quare cyermutando, ut B ad C,ita erit D ad E, cymia. i. i. atque, ut C ad F,ita erit E ad H. Secundo tres numeri B,C ,& F,mulitiplicantes numerum A essiciant pro- B s D Gductos numeros D, E, & H. Dico pro- XIC Aa Egductos D, E, FI easdem proportiones F o Pl iahabere, quam habent numeri, multiplicantes B, C, F. Quoniam, a vi unitas x est ad B, ita est A da ad D( sic civim D erit productum ex multiplicante Bin Ao butuis. XX a erit
405쪽
I. erit permutando, e ut X ad A, ita B ad II. Eadem ratione quia ut X ad C, ita erat A ad E: erii permutando, ut X ad A , ita Cad E. Pari ratione ut X ad A, ita erit F ad H. QuareFB ad D, atque Cad E, nec non F ad H eandem rationem habchunt, nimirum eam, quam vilitas X habet ad numerum A. Et ideo denuog permutando B ad C erit, ut D ad E, atque C ad F erit, ut E ad H. Quae erant ostendenda .
Manifestum est, quod idem numerus procreatur ex multiplicatione prioris numeri in secundum, atque ex multiplicatione secundi numeri in priorem: dc numerus productus mensuratur a multiplicato & multiplicante numero. g f,. Quoniam in prima parte huius propositionis, quando A, ouj... multiplicans B, esticit D, 3 est,ut unitas X ad A, ita B ad D. At in secunda parte quando B multiplicat A, tunc ut X ad B ita est A ad quartum numerum productum elique permutami pr. xx.ι. . do, i ut unitas X ad numerum A, ita B ad quartum numerum productum ex multiplicata one B in A. Igitur ut X ad A, ita est idem B ad D, dc ad quartum numerum productum i ideoque pr. I. I 3. D productus ex multiplicatione A in Baequalis est producto ex multiplicatione B in A. Insuper sicuti unitas X metitur B, ita A metitur D,& sic ut X metitur A, Ita si metitur productum D. PROPOS. VII I. THEOR. V I.
Si quatuor numeri proportionaleS fuerint, erit productum ex primo in quartum aequale producto ex secundo in ter- . tium. Et si productum ex primo in quartum aequale fila erit Producto ex secundo in terra una, erunt quatuor Illi numeri proportionaleS.
Sit prior numerus A ad secundu B in eadem ratione,in qua tertius C ad quartum D, atque ex multiplicatione D in A riat R, & ex multiplicatione C in i fiat S. R O H so S o Dico numeros R, de S equales essem-A Bs ter se. Ex multiplicatione D in B fiat D io C s H. Et quia D, multiplicans A. &B.fa-X 1 cit R,& H; Ergob Rad Hest, ut A ad B. Rursiis qtua C,&D, multiplican
406쪽
LIBER VIII. . , Motes R. faciunt S. & H: Igitur c S ad H est, ut C ad D, seud ut A epr.et.bu his ad B: Erat autem R ad H, ut A ad B: Ergo R ad Id est, ut S ad a pr r. 13. eundem numerum H :& propterea enumera R, Sc Sqquales qP sitiat inter se. Secundo R productus ex priore A in quartum D, equalis sit numero S, producto ex fecundo B in tertium C. Dico A ad B eandem proportionem habere, quam C ad D. Fiat ruritis Id . . ex D in B. Quoniam equales R, dc S ad eundem numerum H e habent eandem rationem, estqueg, ut prius dictum est A, ad E B, ut R ad H: Igitur L ad B est, ut S ad H; sed vi S ad H, ita est C ad D. Igitur A ad B est, ut C ad D. Quod erat ostenden
Si tres numeri proportionales fuerint productum ex primo in tertium squale erit producto ex secundo in se ipsum. Et si numerus productus ex primo in tertium qquale fuerit prinducto ex lecundo in se ipsunt: erunt tres illi numeri proportionaleS . Sint primo tres numeri A, B, C proportionales, sitque R productum ex C in A, & S sit productum ex B in B. Dico R q- qualem est numero S. Quoniam, ut prior numerus A ad secundum B, ita est idem numerus B(sumptus, ut tertius) ad quartum C; ideo a R productum ex primo in quartum squa- a pr g ba. le erit S producto ex secundo in tertium.
Secundo sit R numerus productus ex A in C, & S sit prinductus ex Bin B, siue in se ipsu; sintque R dc S aequales inter se. Dico A R so H log S 35 ad B eandem ratione habere, quam A a B G2 ad C. Quoniam R productus ex A C is B o primo in C quartum qqualis est S fae X
cto ex B iecundo in B tertium. Ergo . vi. A ad B, ita est Bad C. Quod erat ostendendum. bpr. 8. .
PROPOS. X. THEOR. VIII. Euxi, id raSi duo numeri primi inter se suerint,non erit, vi primus ad secundiam , ita secundus ad alium. Et si fiterint quotcunque numeri continue proportionales, quorum eatremi primisuervit
407쪽
fuerint inter se; non erit, ut primus ad secundum, ita poestremus ad alium. Sint primi numeri inter se A , dc B. Dico reperiri non posse alium numerum, ad quem B sit, ut A ad B. Si erum hoc veru non est, sit ut A ad B, ita B ad numerum C. Et quoniam A. &a r.c.,uiui B primi sunt,eque a metientur numeros B, A s B C &C eandem rationcm habentes, nimirum A ipsum B, dc B ipsum C: Cumque A se ipsum metiatur; Igitur A metitur quoque duos numeros A ,&B primos inter se. Quod , est impossibile. Non igitur duobus
numeris primis A, dc D tertius numerus proportionalis reperiri potest. Secundo snt con inuh proportionales numeri A, B, C, D, quorum extremi A, & D sint inter se primi . Dico reperiri non posse numerum , ad quem D eandcm proportionem habeat, quam A ad B. Si enim hoc verum non est. sit D ad E, ut CPm i, A ad B Ergo e permutando ut A ad D, ita erit B ad Essuntque . A, & D primi inter se; & prcpierea minimi in sua proporti ' ne: Igitur a Pque metitur A ipsum B, atque D ipsum h ; sed B
metitur ipsum C, eco quod A s B ia C is D 1 E A ad B est, ut Bad C: Igitur
A ipsum C metitur quoque .gd .ga. s. Rursus C ad D ponitur, ut A ad Bl Igitura C ipsum D simus
h ax a.ι.3. Ter metietur, metiebatur autem prius A ipsum C: Igitur hiau, merus A extremum numerum D mensurabit; sed numerus A se ipsum quoque mensurat: Igitur duo numeri extremi A,& D mensuram communem habent, nempe numerum A: dciprii.,uiu/ propterea sprimi inter se non erunt, quod est contra hypoethesin. Non ergo ut A ad B, ita.ent D ad quemlibet numerum L. Qus erant ostendenda.EMι1.18. Ist. PROPOS. XI. PROBL. III.
IX. Duobus, vel tribus numeris datis tertium, vel quartum Pr portionalem inuenire: Oportet autem productum e secundo in se aptum,vel e Iecundo in tertium mesurari a pruno.
Sint primo duo dati numeri A & B, sitque productum ex B in se ipsum numerus D, & prior numerus A metiatur numerum D, & ut A cst ad eius multiplicem D, ita unitas. X fiat
408쪽
ad C. Dico C esse tertium proportionalem duorum numerorum A, & B. Quo- X in iam a permutando unitas X ad A, eu ut A B 6 C s apr .is. C ad D; Ergo , idem numerus D procrea- D 3 6 b. s. bae.tur ex multiplicatione prioris numeri A ' ,. in tertium C, atque ex secundo B in se ipsum. Ergo e ut A ad ' ' B, ita erit B ad C. Secundo sint dati tres numeri A, B, E ; sitq, D productum ex B secundo in E tertium, & A ipsum D metiatur, &quo-
. ties prior numerus A metitur numerum D, toties unitas x numerum C metiatur. Dico ut A ad B, ita essse E ad C. QuO--γ i, r. i. niam a permutando ut unitas X ad A, ita est C ad D :e Ergo ed g. hu. idem numerus D gignitur ex multiplicatione prioris numeri ius. A in quartum C, atque ex multiplicatione secundi B in tertium E; X i spe. Misi
Quod vero determinatio sit neces . D pasaria sic ostendetur. Ponatur Anon metiri ipsum D, & si fieri potest C sit tertius, vel qua tus proportionalis. Erit igiturg productum ab extremisse gquale producto ab intermediis ii estque D productum ab in- , termediis: Igitur D producitur ex C in A; ct propterea, , ut tr ' ' 'unitas X ad numerum C, ita erit A ad D; Sed unitas metitur , i f. i. i.i numerum C: Igitur A metitur ipsum D , quod est impotissibile: Ponebatur enim A non mensurare numerum D. Q u propter patet propositum.
Si genitum numerum ex multiplicatione duorum numerorum metiatur aliquis primuS numerus, vel qui ad unum multiplicantium primus sit, is etiam reliquum multiplicatium metietur.
Numerus B, multiplicans A faciat D, dc numerus primus. E, vel primus ipsi A metiatur D. Dico E metiri quoque B. Quia E ponitur metiri D, erit D multiplex ip-nuq E; Fiat ergo numerus H, tam multiplex A s B Gunitatis X, quam Dest multiplex ipsius E: Uin D 3o a defa ba de a numerus D procreatus erit ex multipli- E 3 H iocatione prioris E in id quartum; sed idem nt, X imerus D e Ilicitur ex multiplicatione secundi
409쪽
, pr 2 buini A in tertium B Igitur. E ad A eandem p toportionem habes, . . virum quani B ad H; suntque A, & E numeri primi, & ideoc in sua proportione mmmit Ergo edue merientur numeros H , B, eandem rationem habentes A quidem ipsiim H,& F ipsum B &propterea E ipsiim B metietur Quod erat propositum.
Si duo numeri ad qnempiam primi fuerint, & ex illis genitus; ad enndem primus erit. Et D duo nun eri ad duos numeros, uterque ad A trianque,primi fuerint, dc qui ex eis gignuntur primi inter se erunt. ISit uterque numerus A & B ad ipsum C primus, producaturque D ex A in B. Dico D ad C primum esse. Si enim hoc verum non est sit E communis mensu-D IS - ra numerorum C, dc D. Et quia C,& Aapris. bmui A s . B s primi sunt, & E metitur C 'Igitura E ad E A primus est. & metitur E iptum D pro-bpr. ivbae. C s ductum ex A in B; Ergo bE metitur re- liquum multiplicatarium B ; metiebatur autem E ipsum C: Quare duo numeri B, ct C habent communem mensuram E, quod est absui dum: Erant enim C,& gi primi inter Quare cnumeri C, ,Sc D non erunt commen-c rum v iurabiles, s d primi, ut erat propositum, Secundo sit tam numerus A, quani B primus, tum ipsi C, cum I Umero D, atque ex A in B fiat E, A s B s nec non ex C in D fiat H. Dico E, dc HE is primos inter se L sse. Quoniam vietrque,' s. Ca D A, & B primus est ad C: Ergo E ex illis H i genitus ad C primus erit. Eadem ratio-e par i ha ne D ad E primus erit. Cumque uterques , tr. C, ct D ad E primus sit: igitur e H ex illis genitus ad E primus erit. Quod erat probandum.
. D as Si duo numeri primi inter se fuerint ;A s B s & numerus ex uno eorum in te senatus C g ad reliquum primuS erit. Nam si A qqualis est B. dc A ad C pri
410쪽
mus est, erit quoque Bad C primus; ideoquem productus spar. i. ex A in B, siue ex A in se, crit ad ipsum C primus. MDP . PROPOS. XIV. THEOR. XI. Si impar numerus ad aliquem numerum primus sit ;& ad iIlius duplum primus Crit. Impar numerus A primus sit ad numerum B, huius autem duplus sit C. Dico A ad C quoque primum esse. Fiat, ut Rad C, ita unitas X ad binarium D, dc quia binarius o minime metitur imparem numerum A , alias A compositus ex binariis bifariam diuidi posset a & par esset): propterea D non 'potest esse mensura communis duorum numcrorum A,& 'D; Neque similiter numerus maior, quain D mensura communis esse potest eorundem numerorum A& D, quia licet metiatur ipsum A, nihilomi- X rnus numerus maior minorem D non metie- A s D a ,-.tur. Unde, A, & D primi inter se erunt, cum B et 'binarius A ab unitate tantum mensurabilis, C I edema. hinsit e numerus primus; erat autem ex hypothe- ia...
si B ad ipsum A primus: Igitur duo numeri D, & B ad ipsum d pr. i 3.-A prinii erunt. Ergo a productum ex Din B ad ipsum A, sci- licet numerus C ad ipsum A primus erit. Quapropter duplussius B ad A primus erit. Quod erat, &c.
Si duo numeri primi inter se suerint,eorum qu libet potestates eiusdem gradus, prim* inter se erunt. Sint numeri A, & B primi inter se, dc ex A in se fiat potestas C, atque ex A in C fiat E, nec non ex A in E fiat G, Ac sic ulte-rrus; dii militer ex B in se fiat D, dc ex B in D fiat F, atque ex D in F fiat H,&c. Dico potestates C,&Deiusdein gradus, idest tertias propor- X rtionaleSab nitate, mi meros primos iam A s B ater se esse, atque E ,& F quartos propor- C s D: taonales ab unitate primos esse disic G, E ar F gdc H Primos esse,&c. Quoniam A.&B X gi H is sunt Primi inter se, erit a C factus ex A in