장음표시 사용
411쪽
se ad B primus ; pariterque D factus ex B in se ad A primus erir. Similiter quia C, & B sunt primi , erit D factus ex B in se ad C primus. mapropter erit uterque A , C ad utrimque B .hyr.3 3. n. D primus , & , propterea E factus ex A in C ad F factum ex B - - in D primus erit. Rurius quia A, C primi sunt ad B, erit e ER' 'phii, ex e s genitus ad B primus, ct eade ratione F ad A primus erir. Quapropter uterque A , E ad utrunque B, F primus erit. iv ideo G ad H primus erit ( factus scilicet ex anterioribus ad factum ex postremis ) dc sic deinceps, si plures extiterint. sed, dcc. Illus.3s. PROPOS. XVI. PROBL. IV. yrio Numeris datis quotcunque, reperire minimos omnium eandem cum issis lationem habentium.
Sint quilibet numeri A, B, C. Debent reperiri numeri minimi in eisdem rationibus. Et si quidem A, B,C primi fuerint,*pe et , ' ipsimet a erunt minimi in continuatione suarum proportionum ; si vero primi non fuerint, reperiatur b eorum maxima, communis mensura D. Et quam multiplex est A ipsius D, tam multiplex fiat numerus E unitatis X,
A d B C s & ut Bad D, ita fiat F ad unitatem x, at-D a que ut C ad D, ita fiat G ad unitatem X .E 3 F a G Et quoniam A ad D est, ut E ad X, erite, .ii. I i H I N permutando e A ad E, ut D ad unitatem L X, & B ad F, ut D ad X, atque C ad G , ut
d pr.r i. s. XI D ad unitatem X.Quare a proportionaIeserunt A ad E, B ad F, atque C ad G: Et epr 11.sibis permutando e ut A ad B, ita erit E ad F, & ut B ad C, ita erit Fad G. Dico iam E, F, G minimos esse omnium,eandem rationem habentium, quam A, B, & C. Si enim hoc verum non est, sint alii numeri H, I ,&Κ minimi in eisdem rationibus, si Dr 6.buiuis fieri potest. Qua res eque metientur numeros A, B, dc C, eo quod ponuntur minimi. Fiat ergo Vnitas X ad numerum L,
ut est pars E ipsius A, vel vi I pars est ipsius B , aut N ipsius C s pr.f. , 3 Et quoniam H ponitur minor, quam E, habebita eadem Aad H maiorem proportionem, quam ad E ; estque Lad X. vrhar a lib 3 A ad H : Ergo o L ad X maiorem rationem habet, quam AiIr o, ib. I. ad E ; sed ut A ad E, ita est D ad x: Igitur L ad x maiorem proportionem habet, quam D ad eande unitatem X s & pr
412쪽
prerea L maior erit, quam D ; erat autem prius A ad H, ut v m. i. 11- ad x. Ergo permutando . A ad L erit, vi H ad unitatem X. 2rv Similiter ostendetur Bad L. vi Iad X, atque Cad L, utΚ ad unitatem X. V nde numerus L maior existens, quam D, pars , Crit; ideCque cCn munis mens Ura numerorum A, B, quod est absurdum. Factus enim iuit D maxima mensura communis numeroru A, B, & C. Non ergo reperiri poterunt numeri minores, quam E, F, G in rationibus A, B, C; & propterea E , F , G minimi erunt. Quod erat laciendum.
Duobus numeris datis, reperire numerum minimum, quem illi metiuntur. via
Sint dati n umeti A, 3c B. Reperiri debet numerus minimus omnium mensurabilium ab ipsis A, & B. Et primum A, B simi inter te primi. Ex multiplicatione A in B fiat numerus a Q. s. C. Et quia a unitas X est ad A, ut B ad C, dc unitas x metitur numerum A. Igitur o B metitur numerum C. Cumque per- iti mutando . sit X ad B, ut A ad C : Ergo . A metitur C, sicuti si
unita, X metitur numerum B. Quare A,&B metiuntur C. cpria. Is
Dico iam C esse minimum omnium mensurabilium ab A, & q. d. s. B. Si hoc verum non est, sit D minor, quam C mensurabitis ab eis, & ut D multiplex est ipsius A, ita fiat E multiplex unitatis X. ire . D fiet ex L X iducto in E ;metitur autem B ipsum i J, dc est A B sB primus ad multiplicatem A: Igitur B me- C aotitur E. Postea quia, ut x ad E, ita erat A ad DD: Ergo permutandog X ad A est, ut E ad D; Esed ut X ad riata erat B ad C: Ergo , B ad Cest, ut E ad D: metitur autem primus B ipsum E tertium Ergo secundus C metitur quartum D, maior minorem, quod ip res iest impossibile. Nullus ergo numeruS minor, quam C, mensurabitur a numeris R. Secundo sint A, g non primi inter se. dc reperiantur C,D, pr. go tum natiuini in data ratione A ad B, & ex multiplicatione A in D fi . t numerus E. Patet E mensurari a numeris A,& D,ex quintum multiplicatione essicitur. Cumque numeri A, B, C, ct D sint proportionales,idem . Mumerus emcietur ex primo A in .
413쪽
rus Emensurabitur quoque a numero B. Dico iam Eesse minimum omnium mensurabilium a iam
X i meris A, & B . Si enim hoc verum non est, A B ti sit F minimus mensurabilium ab eis, sitque C a D s F minor, quam E. Et quoties A metitur F, E Ia toties unitas metiatur numerum H; Vnde F exm multiplicatione numeri A in H effici G H turnumerus F. Similiter quae pars est Bnumeri F fiat unitas numeri Vnde idem numerus F efficietur ex multiplicatione prioris A in H quartum, atque ex multiplicatione secundi B in tertium G : Quare is ut A ad B, seu vi C ad D, ita erit G ad H. Cumque C, ct D sint minimi in sua proportione: Ergo e merientur num ros G, H eiusdem rationis; ideoque D metitur H. Sed p vi v-nitas ad A, sta est D ad E & vi eadem unitas ad eandem A, ita est H ad F: Ergo rum ut D ad E, ita est H ad F; dc permutandor Dad H erit, ut E ad F; Metiebatur autem D ipsum H: ErgoIEmetitur F, maior minorem, quod est impossibile. Non ergo minor numerus, quam E , mensurabitur ab A, dc B s & pripterea E minimus est omnium mensurabilium ab eis. Quod
Si duo numeri quempiam numerum metiantur, etiam min, mus ab illis mensuratus eundem metietur.
Duo numeri A, dc B metiantur numerum C; & D sit minimus numerus mensuratus ab A, & B. Dico D menturare numerum C. Si enim hoc veru non est, subtracto D ex C, quities potest, relinquat numerum F minorem, quam D, sit qu e pars subtracta E. Et quia tam A, quam BA a Ba metiuntur D, atque D metitur ipsum E EDC a s D 5 goatam A, quam B metiuntur ablatum Ela F numerum E; sed ex livpothesi A, & B metiuntur totum numerum C: Igitur, tam A, quam B metiuntur residuum numerum F minorem minimo D, mensurato ab A, & B, quod est impossibile. Non ergo residuus F esse potest minor, 'uam D; & propterea D metietur numerum C, ut fuit proposi tum.
414쪽
PROPOS. XIX. PROBL. VI. Euriit.
v II. Datis pluribus, quam duobus numeris , reperire , quem illi minimum metiantur numerum. Sint quotcunque numeri A,B, C, dc D. Reperiri debet minimus numerus, quem illi metiuntur. Inveniariar a numerus
E minimus omnium mensurabilium a duobus A ,& B: postea h / reperiatur numerus F minimus omnium, quem E, & C metiuntur. Et quoniam A,&B metiuntur E, dc E metitur F ED iago , nediim C, sed etiam A, & B metientur numerum F. Di R 'es' co iam F esse minimidia omnium, Quos A, B,dc C metiri pos sunt. Si enim hoc verum non est, sit G minor, quam F minimus mensurabilium ab eisdem A, B, C. Et quoniam A,& Bipsum G metiri conceduntur, estque E minimus omnium mensurabilium a duobus A. &B: Ergo e E metietur ipsum di is G : Vnde dii o numeri E, dc C metientur numerum G it estque F minimus omnium, quos E, & C metiri possunt. Igitur. F metietur nume- Ag B CG DS dprop. t . rum G, maior minorem, quod est ab- E ia Fia Ha hutaei. surdum: Nullus ergo numerus minor, Gquam F , mensurari poterit a tribus numeris A, B, & C. Et propterea ipse numerus F minimus erit mensurabilium ab eisdem A, B,&C. Postea reperiatur numerus H minimusonuiuam, quo S F, & D metiuntur: erit, vi prius, H minimus omnium, quos A, B, C, & D mensurare possunt, dc sic vittarius. Et hoc erat faciendum.
P R O P O S. X X. THEOR. XI U. Raeti
Si primi numeri metiantur minimum omnium, quos mens raue possunt, nullus allus numerus primus illum metietur. Sit numerus A minimus, quem metiuntur primi numeri B, C, dc D. Dico nullum alium nimuin numerum preter B, C, D metiri eundem A . Si enim hoc verum non est, alius primus numeru, E Preter illos A Io a d e bo metietur numerum A,& quoties E metitur Ba C s D s . A, toties unitas metiatur numerum F: Qua- E Fre a ex multiplicatione E in se fiet A: b Igitur
415쪽
singuli B, C, D, qui primi sui at ad E ( cimi omnes primi supponantur metientur F teram misit iplica ut sum estque F minor , quam A multiplicatus: Ergo B C, D metiuntur minore numerum,quina minimum A me sutabilium, Quod est absurdum. Nullus ergo primus numerus pr*ter A, B, C metietur numerum A. quod erat ostendendum.
Eucta . PROPOS. XXI. PROBL. VII.
Quytcunque numeros reperire, quorum quilibet primus fit.
Sumatur quilibet numerus primus A, cui addita unitate , fiat numerus B. Iam si R est numerus primus, erunt ambo numeri A, dc B primi; si vero B non est primus numerus, rep apb natur a eius nunima mentiara, que sit C, critque numerus Ch primus. Dico iam C diuersum esse a numero A. Nam si idem . esset, cum C metiatur totu B, de ablatum R, metietur , quo-bβ3 β ' ' e ipse numerus Cresiduam unitatem, quod est impossibile. Igitur numerus primus C non est idem ac primus numerus A. e prop ra. Postea e reperiatur numerus D, quem A, dc C metiantur, thbuim, ipsi L addita unitate fiat numerus E. Iam si E est prunus numerus, eiulat treS inuenti numeri A, C , de E primi. Si vero Ed A, pr , no est primus, reperiatura minima eiuS N e- ' r sura i , eritque P numerus primus. Dico P Is g C a riter F diuersu c ste a numeris A , dc C. Nam Di si esset squalis vinetarum, ut ipsi A , cimi F, E i s F a siue A metiatur totum numerum E, dc ablatum O, e metis tur quoque idem numerus F' residuam unitatem, quod est imi odibile. Igitur numerus primus F non erit SqualiS numero primo A, dc cadem ration nec erit Squalis numero primo C. Non aliter inueniri potest quartus, alij infiniti nutrieri primi. Quod erat faciendum.
Numerum reperire, quis sit minimus habens datas partes. Sint qu libet datq partes, semissis, tertia, dc quarta. Debet
reperiri omniti minimuS numeruS,qui habeat datas parte,. Eadem vilitas A fiat seu is numeri A, tertia Pax, numeri B; de quarta Disitir Cooste
416쪽
quarta pars numeri C, & sic ulterius , si plures pirtes extiterint ; Postea a reperiatur mini nus numerus D omnium , quOS a pr. 1 f.bum
A, B, dc C mensurare possimi, dc quoties A metitur D, toties tui. Viaitas A metiatur numerum F, atque quoties B, & C metiuntur D . toties unitas X metietur numeros G, ct H. Et quoniaut X ad F, ita est A ad D, erit, permutando X ad A, ut F ad D. bpe Eadem ratione X ad B erit, ut G ad D, atque X ad C erit, vi H i , id ad D: Quare c que pars est viaitas X singuloruit numerorum S . A B ,S c eadem pars erunt singuli numeri F,G & H eiusdem
numeri D: sed unitas X sena siis est ipsius A, & pars tertia numeri B atque pars quarta numeri C: Igitur numerus F semissis est numeri D,& G tertia , atque H quarta pars eiusdem numeri O si & propterea numerus ti habebit datas partes. Dico iam numerum D csse minimum omnium, habentium datas partes. Si enim hoc verum non est , sit numerus Minnior,quam in habens datas par- XItes, sitque numerus N semissis ipsius M, O . Ra FG Nnt tertia pars, atque PqDrta et iisdem nu- e Bs G Ometri M si erat autem viaitas x numeri A se- C Hi Pnusiis, ipsius B tertia, atque ipsius C , Di aquarta pars: Ergo ut X ad A, ita erit N ad T M d, . iiii,M, permutandI X ad N, erit ut A ad M; 'Pari ratione X ad O erit,ut B ad M, atque X ad P erit, ut C ad
M; led unitaS X pars est, iv metitur singulos numeros N, O,S P: Igitur numeri A, B, &C metiuntur numerum M in in rem,quam D minimum omniti, quos A, B,C mensurare pot- sunt, quod est impostibile. Non ergo numeruS minor, quam D habere potest datas partes; ideoque ipse numerus D est inbnimus datas partes habens. Ut quGrebatur.
v II. Patet, quod si numerus numerum metiatur, dimensus partem habebit a metiente denominatam. Nam quia numerus A metiebatur numerum D, ostensum
est D habere partem F denominata ab A; idest talis pars fiet F ipsius D, videlicet sentissis,quq pars est unitas ipsius A,a quo
417쪽
Et si numerus partem habuerit quamlibet, metietur illum numerus a parte denominatus. Nam in postrema parte huius propositionis dic tam est numerum M habere tertiam partem, & ostensum est M metiri a numero O toties, quoties unitas ternarium B metitur.
Si quorucunque numerorum continue proportionalium existremi primi inter se fuerint,omnes illi erunt minimi omniu, eandem rationem habentium. Sint quotcunque numeri continue proportionales A, B, C, D, quorum extremi A, & D sint primi ini r se. Dico numeros A, B, C, D minimos esse omnium, cum eis eandem proeportione habentium. Si erum hoc A 8 Bia C i5 Da verum non est, sint alii numeri E, E F G H F, G, H,minores illis in eadem prinportione continua. Quoniam quot sunt numeri A, B, C, D, tot sunt alii secundi ordinis E, F, G, ape ly id , qui bini sumuntur in eadem ratione: Ergo a ex composi- ' tione ordinata, ut A ad D, ita erit E ad H, dc, sunt A, & D minimi in tua proportione, quandoquidem primi inter se supponuntur: Igitur tam A numerum E, quam D ipsum H eque metitur, maiores quidem minores, quod est impossibile: Non ergo numeri minores ipsis A, B, C, D reperiri possunt, qui eandem proportionem habeant cum eis. Quod, . c. Eu .VIII
Quotcunque numeros reperire continue proportionales ms . nimOS in cata ratione.
Sint minimi numeri datq rationis A, B . Inueniendi primo, tres numeri minimi in continua proportione data A ad B. Ex a multiplicatione A in se fiat C, & ex A in B fiat D, atqueb pr. i. ex B ducto in se ipsum fiat E. Et quia A multiplicans duos numeros A, & b eiticit numeros C , & D, erit, , ut A ad B,ita Cad D.
418쪽
ad D. Rursus quia A, dc B, multiplicantes ipsam B producunt duos numero, D,& E, erit c D ad E, ut A ad B. Quare a C, D, E continue proportionales sunt in ratione Aad B . Dico iam C, D, E minimose me in ratione A ad B. Quoniam A, & B primi e numeri inter se(cum sint minimi datae rationis in ie ducti esticiunt extrem os numeros C, & E: eruntFirsi C, & E inter se primi. Quare g continue proportionales C , D , & E minimi sunt in proportione A ad B. Secundo ut unitas X ad numerum A, ita fiant tres numeri C, D, E ad numeroset , G, H. Quare, ut prius, erunt , numeri F, G, H continue proportionales in ratione A ad B, veluti sunt numeri C, D, E. Deinde fiat, ut unitas X ad numerum B, ita E, ad numerum X. Unde permutando erit x ad E, ut B ad k; sed ut X ad A, ita erat E ad H, erit permutando pariter ut X ad E, ita A ad numerum ri: Igitur x H ad N est, ut A ad B; ideoque quatuori numeri F, G, H, Κ continue proportionales sunt in ratione A ad B. Ostendendum modo est numeros F,G, H, dcΚ minimos est e in continua proportione data A ad B. Quo- ni tin A,& B primi in inter se sunt, cum sint minimi in tua proportione, sintque, F, & Κ geniti eiusdem gradus ab ipsi, A, Sch: eruntis extremi F, & Κ inter se quoque pruni, & Propterea F, G, H, Κ minimi erunt in sua proportione, scilicet Aad B ; & sic procedendum est, si plures numeri, quam quatuor, qu*ramur. Et hoc erat faciendum.
Si fuerint quotcunque numeri continue proportionales minimi omnium, eandem cum eis rationem habentium, iblorum extremi prinu inter se erunt. Sint numeri A, B, C, D minimi continu E proportionales. Dico extremos A, & D inter se primos esse. Inueniatur a duo Cis. numeri E, F minimi in ratione A ad B, vel B ad C, dcc. Deinde , ut in praecedenti factum est, reperiantur tot minimi numeri Κ, L, M, N in ratione E ad F, quot sunt dari A, B, C, D. Patcte esse N, dc N extremos , primos inter se; & ideo erunt v, i scontinue proportionales R,L, M,N, minimi in rata one E -
419쪽
ad F; erant autem AB. C, D. mi-
Ag Bra Cis Da nimi in ratione Ead F: Igitur sit Ea Fg. guli singulis Duales erunt salias
Us Lia M 1g Na et minores minimis reperirentur in eadem proportione , nimirum Aqqualis erit ipsi Κ,& Dipsi N; ostens aurcin fuerunt N . iv opp. g.,- N inter se primi. Ergo A, & D inter te quoque primi erunt., Quod erat ostendendum.
Rationibus datis quotcunque in minimis numeris, reperire numeros deinceps minimcs in datis rationibus.
Sint primo dati duq ratic nes A ad B, & C ad D in minimis
numeris. Debent reperiri tres numeri deinceps proportion app. V.,ae. Ies mininu in datis probori nibus. Reperiatura numerus EmA minimus omnium mensurabilium
F s Ela Gis est Eipsius B,fiat F, tam multiplex I Κ L alterius A. Similiter D alterius Gfiat eadem pars,ac est C ipsius E. Eth . euis, quoniam b A ad F est, ut B ad E, erit permutando , . Vr A ad 3' B, ita F ad E. Pari ratione quia, ut C ad h ita est D ad G, per' mutando ut C ad D, ita erit E ad G; & propterea treS num ri F, E, G deinceps proportionales erunt in datis rationibus A ad B, & C ad D. Dico iam numeros F, E, G minimos esse in datis rationibus. Si enim hoc veram non est: erunt aliqui alii illis minores singuli singulis meisdem rationibuS. Ponanae, tur esse I Κ. & L. iam quia A , & d minimi sunt in sua pr portione ipsi a metientur sque numeros I, & Κ, eandem Pr portionem habentes, nimirum B ipsum T. Eadem ratione cum C, & D sint minimi in sua proportione, seu in ea, quam, habet N ad L: Igitur antecedens C antecedentem N metie-ν - i s tur. Cumque B &C eundem L metiantur, mensurabit e qui , , . que eundem Κ numerUS E , qui mini naus erat Onan: um mensurabilium ab ipsis B, & C, quod est absurdum: Est enim N minor, quam h: NCn ergo reperiri possunt numeri alij mianores ipsis F, E, G deinceps proportionales in datis ratioribbus f di proptet ea ipsimet minimi sunt in datis rationibus. Suit iucundo date tres rationes A ad B , C ad D,& E ad F inminb
420쪽
minimis numeris . Inueniri debent quatuor numeri deincepsycoportionales minimi in datis rationibus. Inueniantur, ut PriuS, tres numeri G, H , & l deinceps proportionales minimi in datis duabus rationibus A ad B & C ad D,&sinueniatur ora'. in numerus Κ minimus omnium , quos menturare possunt nu- ὰμ- .naeri I, dc E; dc quoties I metitur ipsum Κ, toties ta numerum L, atque H numerum M metiatur,& quoties E metitur N,t ties F ipsum N metiatur. Et quoniam numeri G, H, I ipsos L, M, k eque metiuntur: erunt g L, M, Κ deinceps proportionales in datis rationibu S, ut .
deinceps proportionales erutin datis r ai ionibus A ad B, & C ad D, atque E ad F . Dico iani numeros L,M, k, N minimos esse in eis de rationibus. Si enim hoc verum non est, sint alii numeri O, P, QS deinceps prinportionales minimi, in datis rationibus, minores illis. Et quoniam A, B ininimi iunt in sua proportione, ipsi , metientur h/ aeque o, & P eandem rationem habentes. Quare B ipsu P me tietur. Eadem ratione Cimetietur eundem P. Cumque b, dc i , is C metiantur numerum P, mensurabit, quoque H minimuS, quem h. illi metiuntur, Eundem numerum P. Cumque i Fl ad I h pa . i .h sit, ut P ad hyermutando is erit I eadem pars ipsius Q ue tui pr.H ipsius P. Quinque E, & F minimi sint in proportione Qad i Pr et Ab. I. R, metietur 'quoque E eundem in Quapropter duo numeri I, dic E metiuntur nume um QA ideo eundem Mnetietur 'malor numcrus H, qui numinus factus suit omnium mensu ' rabilium ab ipsis I, dc h, quod est impossibile it Non ergo alii o F θ inumeri minores ipsis L. M, Κ, N, sed ipsi met,minimi crunt huiu . deincepS proportionales iii datiS rationibus. Eodem modo Proccdendum cstvlictius, si plures, quam tres suerint datae Proporti neb. Et hoc erat faciendiam.