장음표시 사용
421쪽
Sint continue proportionales itineri A, B, C, D, dc sius D multiplex, aut pars sit, veluti unitas I pars cst ipsius si, vel contra. Dico A ipsius B partem quoque, aut multiplicemesIe. Si enim A neque multiplex,ne- Ag Bio C sa Dd que pars conceditur numeri B . Crita . .sA,.s E F M saltem a A partes ipsius B clan nu-G N meri sint commensurabiles saltemo ab unitate j. Ponaturque E , si fieri
Hi Κs potest, communis mensura numeroru A, dc B, & erit E minor, quam A. de B, alias si uni eorum qqualis esset, A ipsius B multiplex , aut pars esset, quod non ponitur. Et quia B ad C, atque C actu . 8s,3 D est, ut A ad B; ponitur vero A ipsius B partes: Igitur , B ipsius C; atque C alterius D eaedem partes crunt, atque A partes est ipsius B. Sintque F, & M ipsarum B, C, & D communes mensurseedem, quq est E ipsorum numerorum A, & B. Et quoniam A ipsius E, atque B ipsius F qque multiplices x 'r' - sunt, erit. E ad F, ut A ad B, scit ut B ad C. Vari ratione erit Faup .. ad M, ut B ad C, atque C ad D; estque B ipsius C partes : Igitur . E ipsius F, nec non F alterius M eqdem partes erunt; de propterea habebunt eas deni communes inensuras, citis sinto AfιIs , G, dc N. Et, ut prius, Ostendetus G ipsius N partes, sicuti Epartes erat alterius F : Vnde a G,& N habebunt communem aliquam mensuram, sit illa O. Cum igitur o metiatur numerum G; G vero ipsum Emensurat, atque E metitur nume- Laa. i.tib s rum A IgiturIO metitur numerum postremum A. Eadem ratione quia O metitur numerum N, N vero ipsum M,atque M ipsum D, metietur quoque O postremum D; cli tuque numeri A, dc D habeant O communem mensuram squc minor erit tam ipsius A, quam D, ut in principio huius propositionis ostensum est erit A ipsius D partes: Facta autem fuit Had Κ, ut A ad D: Igitur H ipsius N partes erit, unitaS numera, vel numerus unitatis, quod est unpossibile. Non igitur A i Psus B partes erit; sed aut multiplex, aut Pars necessario.Quod
Colligitur ex hac propositione, quod, si quotcunque nil meri continue proportionales luerint, & prior neque mulis plex,
422쪽
plex, neque pars sit secundi, neque alius quispiam eiusdem o dinis multiplex, aut pars erit postremi. et Nam in demonstratione huius propositionis positus fuit numerus A ipsius B partes tantummodo, dc hinc deduximus A ipsius C, vel A ipsius D, aut B alterius D partes este;&propterea inter se nequeunt habere eande proportionem, quam Punitas H ad numerum k; vel contra rationem, quam habet numerus H ad unitatem L. Si enim A verbi gratia ad D eandem rationem haberet,quam unitas Id ad numerum X, non esset A ipsius D partes. Vnde patet propositum. PROPOS. XXVIII. THEOR. XUIII. EMI. M
v111. si inter duos numeros medii continua proportione ceciderint numeri, quot inter eos medii cadunt, tot inter alios eandem cum illis rationem habentes, medij continua prinportione cadent.
Inter duos numeros A , & B cadant medii proportionales continue numeri C, D, sitque, ut A ad B, ita h ad F. Dico tot medios numeros continue proportionales reperiri posse inter E, ct F, quot inter A, & B. Sumantur a totidem numeri G,H, I, k minimi in ratione A ad C, quot sunt numeri A, C, D, B: erit ex compositione ordinata, ut A ad B, siue ut Ead F, ita ita ad h. Cumquec G, & k sint in- pr. Ei.-ter se primi, eo quod sunt extremi Ar C36 DS B I tu . minimorum numerorum: derunt E ga L 8 M a FIog d p . ., ipsimet in sua proportione mini- G 8 HI a I 18 Κa tui . mi , dc ideo e eque metietur G ip- e N. ,
sum E, atque hipsum F. Fiant ergo L ipsius H, atque Mimnus I tam multiplices, quam est E ipsius G, vel F multiplex ipsius h: Igitur permutando Vrt G ad H, siue ut A ad C, ita erit E ad L, atque vi H ad I, siue C ad D, ita erit L ad M. pa- riterque ut I ad k, siue ut D ad B, ita erit M ad F: Quare E, L, '
M, F continue proportionales sunt, eius multitudo qqu Iis est multitudini A, C, D, B. Ergo tot medii continue prinportionales cadent inter E, S F, quot inter A, & B. Quod erat demonstrandum.
423쪽
Si duo numeri fuerint inter se primi quot inter eos medii cintinua proportione cadunt, tot inter Utrunque eorum, re unitatem medii continua proportione cadent. Inter primos numeros A , dc B cadant C. D medii in continua proportione, sitque X unitas. Dico ta inter X,& A. quam inter X, & B cadere tot numeros medic S proportionale S m. continua ratione,quot inter A,& B cadunt. nueniantur a duo numeri E, F minimi in ratione A ad C, & h sumantur in eadem proportione tres numeri G, H, I, deinde quatuor Κ, L ,M,N quousque multitudo postremorum numerorum equalis sit multitudini A, C, D, B. Quoniam A , B extremi inter se sunt primi,erunt e A, C, D, B, manimi in proportione h ad F sed totidem sunt N, L, M , N facti in eadem proportione minimi: Ergo singuli k L.M N qua- A g Cia Dis Bry les sunt singulis A, C, D. R. scilicet Na Lia Mia No h ipsi A Nequatis ipsi B ; cum G Hs Iu minores minimis dari non possint. E a Fg Et quia, unitas X ad E(vt inco strinXi ctione as. huius dictum est est uth ad G, & ita G ad k; erunt X, E, G, Κ continue proportionales. Simili ratione X , F, I, N continue proportionales erunt; estque tam multitudo X. h, G, k, quam X, F, I,N, squalis multitudini N, L, M N, vel A, C,
i, B,ut constat ex a S .prop. huim igitur tot cadent medis comtinue proportionaleS inter unitatem X,& numerum k, seu et squalem A ,& inter unitatem X, dc numerum N, siue sibi eoualem B, quot inter numeros A, & B cadunt. Et hoc erat ouendendum.
Si ab unitate duo ordincs numerorum continue proportionalium fuerint, & multitudine Squalium, quot Inter utrumque extremum, & unitatem medii continua proportione . cadunt, tot inter extremOS medii continua proportione chdent in ratione, quam habent numeri unitati proximi. Inter
424쪽
Inter unitatem X , & numerum A cadant medii proporti nates C , D atque inter X dc B totidem medii sinit proporti nates E, F. D co inter A & B tot medios numeros proporti nates cadere in eadem ratione C ad E. quot inter A, & X. Vt
unitas X ad C, ita fiat E ad G; & G id F atque F ad L. Quo niam ut X ad C, ita sipponitur esL: C ad D, estque E ad G, ut X ad C: Igitur a C ad D est, ut E ad G. Et permutando , ut C h ad E, ita est Dad G. Rursus quoniam x ad C, est ut Ead G, erit permutando , ut X ad E. ita C ad G; atque ut x ad E ita ponitur E ad F: Ergo . C ad G est,ut E ad F: Et rursus a per- . et mutando ut C ad E, ita est G ad F: mare tres numeri D, G, F continue proportionales sunt in ratione C ad E, di sunt totisdem quot sunt X, C, D. Deinde quoniam, ut X ad C, ita ex hypothesi est D ad A, dc ut eadem unitas Tad eundem numerum C, ita erat ex constructione G ad H, atque Fad L. : o Igiture veluti D, G, F proportionales sunt continuh, ita erui pr. et huma. A, H, dc L. Tandem quia erat vi X ad C, ita F ad L UErgo spr. i s. lib. permutando x ad F erit,ut C adL. . ἔ-
erit Lad B: Quare numeri A, H, L XadcBcotinue proportionales sunt in ratione C ad E;dc eoram multitudo qqualis est muItitudini X C, D, A, dc sic ulterins si plures fuerint . inare inter A. v B tot medii proportionales cadui H,& L,quot sui C, dc D inter X, dc A; sive E, & F inter X, dc B. Q od erat ostendendum.
PROPOS. XXXI. THEOR. XXI. v 11
Plani numeri rationem habent compositam ex duabus rati,nibus laterum. Et solidi numeri rationem habent compositam ex tribus rationibus laterum, ili antecedentia sunt eiusdem plani, aut idi di latera. Sir numerus A planus, genitus ex D ducta in C, idest sit Wnit is X ad D, Vt ad A, atque numerus B genitus ex duetia Hin E. Dicor a- AGGia Bacitionem plani A ad planum B composita Ca E esse ex rationibus Cad E, dc D ad H. Sic D 3 Hs
enim antecedentia erunt latera eius X i
425쪽
i 3' r. M. & G: erita A ad G, ut C ad E. Rursus quia D,& H dumesii, eisdem E effci uni G, & B. erit PC ad B, ut Dad H. Habet eve- pe ro A ad B proportionem compositam ex ratione A ad G, seu, u , ' C ad E, &ex ratione G ad B, seu Dad H. Igitur proportio Aad B componitur ex ratione lateris C ad latus E, & ex ratione lateris D ad latus I Secundo sit A numerus genitus ex ductu trium laterum C, D . & E, ita ut ex C in D fiat M. atque ex ductu E in M fiat A; sitq;pariter B factusex dius iu triuia ter u F,G & H, ita ut sit Xad G, vi F ad O; atoue ut X ad H, ita fiat O ad B. Dico ratio-dd. .... nem A ad B compositam esse e tribus rat onibus laterum C .... ad F , & D ad G, atque E ad H. Fiat N ex D in F, & ex ductu E in N fiat R . paritercitae ex du-B imo aci
ctit E in O fiat S; erit e M ad N, ut C ad F, S N ad O erit ut D ad Gacstque A ad R. ut M ad N,cum ex ductu E in M, S N fiant m de R; igitur a A ad R est, ut C ad F.
Pari ratione R ad S erit, ut N ad. O, siue ut Dad G. Tandem quial, pr.r buiu, duq E, & H ducte in eadem O efficiunt S. & B: erit 5 S ad B, uti pr. ip n,.s latus E ad H. Cumque proportio A ad B componatur ex rationibus A ad R. R ad S, atque S ad B: erit quoque proportio A ad B composita ex rationibus C ad F, D ad G, h ad H , de sculterius si plura suerint latera, producentia numero S A . st B. Quod erat ostendcndum.
Inter duos numeros quadratos unus medius proportionalis cadit, atque inter duos cubos duo numeri medii proporti nates intercedunt in continua proportione laterum. Sit primo quadratus numcrus A genitus ex multiplicati ne lateris C in se ipsum, atque quadratus numerus B sit genitus ex multiplicatione lateris D in D. Dico inter numeros A,& B cadere unum numerum medium proportionalem. Repe-ape. ι,' riantur a tres numeri M , N, O , continue proportionales mi-nlini in ratione lateris C ad ID. Quoniam . numerus M ad ob m p - proportionem habet composita ex rationc M ad N, ct Nad' inestque M ad N, atque di ad O, ut latus C ad D: Igitur pro- Portio
426쪽
ponio numeri M ad O composita est ex ratione C ad D. dc cx altera ratione eius- A i5 E 2 B lci . dem C ad D; Est vero c proportio nume- C DG cpr.i .H ri plani A ad planum B composita ex ra-. M No Oo tiosae latcris multiplicati C in multipli-
catum D, atque ex ratione lateris multiplicantis C in multi-Flicantem D: Igitur .m M ad O, ita est A ad B, cadit vero in ' 3 p rer M ,&O unus medius proportionalis numerus , nempe Nin continua proportione C ad Io: Igitu re inter A, & B unus medius proportionalis numerus cadet, qui sit E , in continua pr.ia ratione lateris C, ad D; eruntque propterea A, E, B, conisnue proportionales in ratione laterum C ad D. Secundo ut A numerus . ubus, gentius ex multiplicatione Iateris C ter in se ipsiam ducti, pariterque cubus numerus B genitus sit ex multiplicatione lateris D ter in se multiplicati. Luco inter A ,& B duos medios proportionales numeros ca- dere Reperianuir quatuor numeri M, N , O, R continue s n. rc. erproportionales minimi in ratio- . . hulae .
idest composita erit ex tribus ra- R .
tionibus lateris C ad D: Est vero proportio solidi numeri A
ad solidum B composita ex eisdem rationibus laterum, scili' i pr. t s. Q. cet ex tribus rationibus lateris C ad D: Igituri tam proportio M ad R, quam numeri A ad B triplicata est eiusdem prinportionis lateris C ad D; ideoque h. vi M ad R , ita erit nuna: h O . . pr. rus A ad B, sed inter numeros M. dc R duo medii proportionales numeri cadunt, nempe N.& O. Igitur . inter A, & B h duo numeri pariter medii continue proportionales interce- dent, qui Sat E , dc F in continua proportione lateris C ad D. y '' 'i' Quod erat ostendendum.
Hinc deducitur, quod si quotlibet numeri i M. proportionales fuerint, erunt potestates eius O. X dem gra S proportionales quoque . Nam si ABCirtum p portionalium numerorum A, B, C; I E Fsint D, E, I potestates eiusdem gradus, idust aut ovinc, quadrati,aut cubi,&c.erunt proportiones D ad E, - a Aa a &E
427쪽
dc E ad F duplicatae, vel triplicatq sim ilium proportionum Am cor. . pr. ad B, & B ad Cit & propterea m D, E, F proportionales eru nt.
Inter duos numeros planos similes unus medius numerus proportionalis cadit in continua proportione laterum homilogorum. Et si inter duos numeros unus medius proportion is ceciderit: illi erunt plani numeri similes. Sint primo duo numeri A dc B plani similes, idest A genitus sit ex multiplicatione laterum C. & D, atque B sit genitus ex multiplicatione laterum E in F, sitque C ad D in eadem print portione quam E habet ad F ( sica enim plani numeri similes erunt . Dico inter A, & B unum medium proportionalem numerum cadere in continua prinportione lateria C ad eius homologii E. Reperiantur , tres numeri M, N, S O minimi in continua Proporti, ne lateris C ad E. Et quia C ad D est. vi E ad F: Ergo e permutando C ad Edpr. is tibi erit, ut D ad F; Et est . proportio numeri M ad O duplicata s, proportionis M ad N , seu duplicata ipsius C ad E, vel D ad Fi pr 3 .hu' atq, proportio e plani numeri A ad planum B composita est extv ratione lateris c. ad E, atque D ad F, leus duplicata rationis Ch is, h i ad E, Igitur ram proportio numeri A ad B, quam M ad O du-i, i plicata est eiusdem proportionis C ad E; Q propterea, a vi Mho, i A. ad O, ita erit A ad B s cadit aure inter numeros M, & o vnus, medius proportionalis, nempe N. Igitur Inter numeros A , pr is .ib i. & Is unus medius proportionalis cadit numerus , qui sit G in . continua proportione lateris C ad E. . Secundo inter numeros A, &B cadat unus numerus mcdius proportionalis G . Dico numeros A, & B similes essi he. id. hu- se. Reperiantur duo muneri C, ct E minimi in ratione A ad
G vel G ad B: eruntA C,& E primi inter se; ct ideo . qque m x pr 6 huiM. tientur numeros eandem cum illis rationem habentes ; scit, i prv - cet toties C ipsum A metietur, quoties E ipsum G. pariter que toties C mensurabit iplum G, quoties E -titur B; Vne idem numerus Emeus alut imi iurumum G, quam B.
428쪽
piat eigo D tam multiplex unitatis quam G multiplex est ipsius E, atque F fiat tam Ag Gia Ris multiplex eiusde ni unitatis, quam Bmub Ca Estiplex est eiusdem E. Quapropter m ut Do F G m ess innumerus D, multiplicans ad multiplican- pe Vtem F, ita erit G ad B ; sed ut G ad B, ita erat A ad G, atque Cad E erat, ut A ad G: Igitur is ut C ad E, ita erit D ad F.Et quia C ad E est, ut A ad G, permutando ' C ad A erit, Vt E ad Gi p ff. bais
sed Ead Gest, ut unitas ad numerum D: Igitur Tt Unitas ad . .. numerum D, ita erit C ad A. Quaret C,& D erunt latera,xx quibus Rignitur planus numerus A s pariterque E , & F erunt latera plani numeri B. Suntque ostensa predicta latera proportionalia . igitur e pIani numeri A,& B similes inter se uuat. q . . t s. Qaod erat ostendendum. --.
Inter duos numeros solidos inter se similes duo medii proportionaleS cadunt in continua proportione laterum hinmologorum . Et si inter duos numeros duo medii proportionalas ceciderint, erunt illi similes solidi.
Si, numeri C, D, E latera numeri solidi A, & ex trium laterum F, G, id multiplicatione producatur numerus solidus B; sitque ut C ad D, ita F ad G, atque ut D ad L ita G ad H(sic enim a solidi A,&B similes sunt . Dico inter A,& B duos
medios proportionales cadere in proportione continua lat rum homologorum C ad F, vel
tur, quatuor numeri M,N, O, C a F3 huiui. R minimi in continua propor- D G stione lateris C ad F. Patet e pro- h g HI 2 cpr. iv. lib. portionem Mad R triplicatam MgNIa OIg Rar s. esse unius rationis M ad N , vel C ad F ; Est vero a proportio A ad B composita ex rati, dyr.3t.bnibus laterum C ad F, D ad G, atque E ad H, suntque hq tres proportiones eqdem Igitur e proportio A ad B pariter tib P ' ''plicata est eiusdem rationis C ad F s iv propterea ut M ad R, l . . ... ita erit A ad B. Quare inter A, & B duo medij numeri Proe ..., si sportionales caliciat nempe P & in veluti inter M,&Rca- pr. iv.hb.s. dunt duo medu Proportionales N,&Om ratione Cad F. Aaa a QNire
429쪽
Quare A, P, B continue proportionales erundin ratione lateris C ad eius homologum F. Secundo inter numeros A, & B cadant duo medii proportionales P, & Q Dico A, & B si miles solidos numeros esse . Reperiantura duo numeri E, & H minimi in proportione Aad P: erunt a igitur E , & H primi inter se, & propterea qque
metietur numeros eandem cum eis rationem habentes . Vnde
quoties E metitur ipsum A, toties H metietur ipsum P; Similiter toties E metietur numerum P, quoties H mensurat ipsum Qs pariterque toties E mensurabit numerum in quoties H mensurat numerum B. Fiat igitur unitas x ad I, ut est E ad A, atque X ad L fiat, ut E ad P: pati terque x ad k fiat ut E ad Qta Manifestum, est multiplicantes numeros I,L dc k continue propoditionales esse in eadem ratione, in qua sunt A. P, dc Ilimque inter I, dc k cadat L medius proportionalis: erunt x I, dcΚ numeri plani similes; dc propterea i duo latera, ex quorum multiplicatione generatur numerus I, quq sint C,& D proportionalia erunt duobus lateribus, ex quibus procreatur num rus planus Κ, quq sint F, dc G ; eritque latus C ad ei s homologiam F, ut Dad G, siue ut Iad L, velut A ad P, vel ut EadH. Et quoniam ex mutua multiplicatione trium laterum C, D, E gignitur numerus A, eo quod ex C in D essicitur planus numerus I, atque ex numero E in I ducto efficitur num rus A,pariterque ex mutua multiplicatione laterum F, G, de H procreatur numerus solidus B, estque proportio lateris Cad F, ut D ad G, dc ut E ad H , siue ut A ad P: Igitur in solidinumeri A,Ic B similes erunt inter se.Quod erat ostendendum. Euri. .is. PROPOS. XXXV. THEOR. XXV.
x .ir. v111 Si quadratus numerus quadrati numeri, vel cubus numerus cubi numeri multiplex aut pars, vel partes tantum fuerit: erit quoque latus lateris multiplex, aut pars, vel solumna do partes. Si vero latus lateris multiplex, vel Pars, aut partes tantum fuerit: erit quoque quadratus numerus quadrati, vel cubus cubi numeri multi eX, aut Pars, Parte sue .
430쪽
ii Silat primo A, Baeuo numeri qua ti, quorum latera C, D, iatque A ipsius B multiplex sit i Dico C ipsius D multiplicem
aqui MEvataue est A ad GR Ead', ut la- C D.3 s. iis C ad D, dc ponitur A multiplex Z si I tami B: erit h quoque A mutiplex sequndi E. Quare eo ipsius D multiplex quoque erit, cum sit Cad D, Pt A ad E. . - i Si ni secundo A, &. B numeri cubi, quorum latera C P, Isitque A multiplex ipsius B. Dico C ipsius D multiplicem
. quoque esse. Nam a inter numeros iiicubos duo medii proportionales ca- A M E 3 a Fid B sciunt,qvi mi B, Fin ratione lateru C . Da C ad D simoitur mo A ipsius B multiplex; Iaitare erit A ipsius E ; siue C ipsius D multiplex quoque . Pari ratione, cum A ipsius B pars supponitur, sequitur quoque,eadem ratione latus C ipsus D partem esse: di e conuerso, clan latus C ipsius D pars supponitur, est quint que numerus A pars postremi B. Tande numerus quadratus A quadrati numeri B vel cubus euhi sit tantamodo partes; idest neque multiplex, neque pars illius sit . Pari ratione inuentis mediis proportionalibus . ferit rimus A secundi E partes tantummodo; & propterea C ip- ius lateris D partes solummodo erit. Et contra cum latus Cipsius D neque multiplex, neque pars supponitur: erit neces.satio A ipsius lacundi E partes tantumodo ; ' ideo erit prior numerus A postremi B partes tantummodo. Quq erant oste-
Si ab eodem numero ad duos alios extremos vel ad num: rum , dc unitatem continuentur qquales multitudines pro-tionalium numerorum: inter extremos totidem messis cintinua propriione cadent numeri. Inter numerum A ,& C intercedant medii continua prinportione D& E, atque inter numerum, vel unitatem R.&eundem numerum C totidem interponantur numeri F, G medij continua proportione. Daco inter A, & B tot numeros medios continua proportione cadere, quot inter A, & C, vel inteX Go le