장음표시 사용
431쪽
int et B ; in C interponuntur . Repesilini ub a tres millimi numeri Κ , L. M in ratione E ad C et ratio D ad E. vel Ead C vo etur , & proportio ad G, vel ei similis G ad F vocetur Z. Et qui a b proportio D ad F componitur ex rationibus D ad C, oc Cad F , estque rati OD ad C duplicata rationis D ad E, seu X, &proporri C MLF duplicata tali is C ad G, seu Z: ereo cptoportio D ad F componitur ex his rationibus X, X, Z, Z: sed . quocunqii i ordine predictet proportiones disponautiar, sena per compoinin eandeir, proportioncm : Ergo proportio D ad F composita erit ex rationibus X. T, X, Z; idest ex duabus proportionibus e similibus, quaru singule ex rationibus X, Z mmponuntiar; dc propterea proportio D ad F duplicata erit rationum X. Z; sed E ad G componitur edi r tionibus E ad C, iv C ad G , scilicet ex rationibus X, dc Zr Ergo D ad F proportionem duplicatam habet rationis E ad G s erat autem proportio X ad M duplicata rationis E ad G. Ergo ut Nad M , ita est Dad F; cadit vero inter T.& M unus medius proportionalis L: Igiturgini cr D. Sc Funus medius proportionalis cadet. Simili rari Unc. Ini Cr numeros A. & B duo med ij proportionales cadent in ratione E
Facile colligitur, quod si tres numeri proportionales su rint, at primus sit quadratus, erit tertiuS quadratus quoque . Et si quatuor numerorum continue proportionalium prior sit cubus, erit quartus cubus quoque. Nam trium Proportio-h f ' italium O, N, G, si G quadratus fuerit, o interponetur inter ' unitate B,dc numeru G unus medius proportionalis F;& idcoi d fio ibis. ex hac propositione inter extremuo, sc unitate B unus quoq;iu. . numerus medius proportionalis intercedet, di propterea loquadratus erit. Si Veio quatuor cotinue proportionaliu C, E, haesit. D, A prior C suerit cubus h. interponentur inter cubum C,dcbum . unitalcm B duo medij continue proportionales, quot nimirum inter C, & A interponuntur. Igitur ex hac propositionet iusta bu. inter unitatem B, & numerum A duo media quoque in conuiud tinua proportione cadent 3 Ideoque, numeruS A cubus erit.
432쪽
Si duo numeri inter se eandem rationem habuerint, quam duo numeri quadrati, erunt aut ambo quadrati , aut ambos miles plani numeri; Et duo numeri plani similes, sunt inter se,ut duo numeri quadrati; At numeri eadem rationem habentes, quam duo cubi numeri , erunt, aut ambo cubi, aut similes numeri solidis Et si numeri solidi similes fuerint, erunt, ut duo cubi numeri . . . Sit primo numerus A ad B in eadem ratione, quam habet numerus quadratus C ad quadratum D. Dico A, dc B quadratosesso ; ruit simules plan . dioniam i inter a quadratos numeros C ,& D Ag Fia Bis Unus medius proportionalis caditMem- Na Og
inter A, & B unus medius proportiona, lis num ScacEt, qin sita F . Quare erunt tres numeri , nii-
nue proportionales A. F, B, & ideo si A quadratim est isierit ei. ., in quoque B quadratus; sin minus, erant A, dc 3 similes nume- 35
Sccundo sint A , dc B similes numeri plani, quorum latera buim homo toga N. & O ; dc fiant C, D quadrea laterum N il& O. Dico A ad B esse, ut C ad D. Quoniam e tam proportio qua- ep, dratorum C, D qua similiuim planorum A, B duplicata est 'rationis laremin N ad O: Ergog Aad B estis ut C ad D. ii Tertio sit numerus A ad B inminui rationes quam habet g.. ,.M. cubus numerus C ad cubum D. Dico A, & B esse cubos, vel i,M 3. dolidos numeros similes . moniaim , inter dimi cuboS nume- h prpp. 33. ros C,de D cadunt duo metiu preportionales, nempe E, di P; b- Estque AMB. ut Gad D. x Igitur , , , : inter A &R duo meclij prpportio- 3 A 16i G H 36 B s nales numeri cadunt, qui sint G,& N a O s j j H; ct prDpterea erum qitatuor nu- C8 Era Fis Da meri continue proportionales A, G, H, B; unde quando prior A cubus est, erit k quoque postre v, mus numerus B cubus, vel . saltem Nili B similes plani erunt. Quarto sint A .h is numeri solidi silviles . quorum homo, toga latera N, & O, dc fiant laterum N, & O cubi numeri C, m M. sast D. Dico A ad Besse , ut C ad D. Qum iam m tam propor, huiM.
433쪽
tio cuborum numerorum C, D, quam n si milium inlidorum numerorum A, B displicataEst ciusdem rationis latcrum N ad O. Ergo o numerus A ad I, cande rationem habet , quam numerus cubus C ad numerum cubum D. Qus erant ostentienda . G
Manifestum est, quod duorum numerorum, si uterquGpr imus sit, ipsi non erunt inter se , ut duo numeri quadrati: Nam si primus numerus A ad numerum pri-- A et C Bris natam Besset, ut quadratus numcruS ad qua . Di F- dratum numerum, saltem ex hac propositio. X I ne numeri A, x B cssent plani similes; & ideo p . at i inter, eos unus medius proportionalis cade-- ret, nempe C; Cumque trium numerorum proportionalium 2,. q. , A, C B extremi A, &B sint primi, & ideo q primi inter se;carprop. det r inter Vtrunque eorum unitatem X unus naeditis prinhuiui . mitionalis numerus D, atque F : dc ideo I A, & B numerils I, Q. , Cia rati essent myi optinea mcnsurabiles a suis lateribus ii,&F, quod est abiurdum : crati enim uterque numerus 1 hura primus.
Fuci, PROPOS. XXXVIII. THEOR. XXVIII.
Ex multiplicatione duoruna planorum numeroru similium, efficitur quadratus num m. Et duo latera, quadratum efficientia, erunt numeri plani similes.
Sint numeri A, & B similes plani, dc ex A multiplicato in Ra io. stat numerus C. Dico C aera um esse . Ex A in Ie fiat a nubhu ' merus quadratus D. Et quia A;multiplicans numeros A.& Bh P F ' piod i numeros D, & C, b erimi producta D, dc Cinter te, ut multiplicati A, & B ; led ciuiter A. B cadit unus medius huiu, proportionalis, eo quod sunt piam siudo . ia. A G H arum B;6 miles ; Ergo a inter D ,&C unus mihinis D 36 Ei C, 5 dius proportionalis cadet, sui si Ece corprop. ii Cimique D, E, C continue Iroy odit - . tionales star, dc prior D quadratus sit, erite postremus numet ' rus C quadratu, quoque . hecudo ex multiplicatione numeti A in B producatur qua
434쪽
dratus numerus C. Dico A, & Diud, es nan .este: Nais rudi tu .iosus ex Ain se quadratus numerus D, Erit igitura quadxatus , numerus D ad quadratum C , nempe producti in eadem prin F portione, quam multiplicati A ad B, ted hil iter quadratCs D, ct C cadit unus medius proportionalis . Igituer inter A, dc unuS meditis proportionalis cadet qui sit Hi ideoque Hrumeri A, dc D sinules plani erunt. Quod erili ostendendum . huiusi
Constat numerum productum ex multiplicatione duorum quadratorum, quadratum esse; eo quod quadrati numeri Pla
Numerus productus ex multiplicatisne cubi numeri in se ip- . .. . msum, vel in alium cubum, erit quoque cubuS numerus. si ex multificatione alicuius numeri in se ipsum, vel in-- . .. x aliquem cubum numerum procreatur numexus cubus, ecille cubus erit. h.
dratu, nuincri C; ideoque , ex multiplicatione numeri C in D efficietur numerus cubus A; Quare unatas X, & C, D, A continue proportionales sunt. EstquGunitas X ad A, ut numerus A ad B, Igitur cinter A, dc o duo medii proportionales E, F cadent, quot .sunt numeri C, & D medii in continua proportione inter X, dc Apositi: Cumque A , E, F , dc D continue proportionales sint,stq; prior A nunicru, cubus, erit quartus B cubus quoque. Secundo ex multiplicatione cubi nimeri A innumerum cubum B fiat mim: Ag Ba rus C. Dico productum numerum Ccu- Dod Caicibum enc. Rursus ex e A cubo in se ipsum fiat numerus O: Erit igitur D cubus: Et quoniam idem numerus A multiplicans duos numeros A, de B euicit duos nu-
435쪽
gpe F.,aim meros D&C, erita productus numerus D ad Ori multipli-h prap. catus A ad multiplicatum Bi sed , inter A,& B duo medii proportionales cadunt, cum sint A,& B cubi: Igitur . inter D, de C cadent quoque duo medii numeri proportionales. Estv prior numerus D cubus: Quare h postremus C cubus erit e ITertio ex multiplicatione numeri A in numerum cubum B fiat numerus cubus C. Dico numerula A ar B g multiplicantem A cubum quoque esses. C a16 Do Fiat i numerus D ex multiplicatione cubinu mei i B in se ipsum. Constat, ex Prima parte, D cubum esse; Et quoniam B multiplicans se ipsum, dc
Bad A; sed is inter duos cubos numeros D,& C duo med numeri proportionales cadunt: Igitur inter A,& B duo quo, que medii proportionales cadent: Cumque prior B cubus sit: erit 3 postremus A cubus. Quarto numerus A ,' ipsum multiplicans, essiciat num rum cubum B. Dico A eubum esse. Fiat e ex multiplicatione fp -- numeri A in B ipse numerus CConstate numerum C cubum esse, eo quod inter unitatem, Ac numerum C duo medii prinx ira , . portionales cadunt A . &B: Et quia Xi A s Bo C si a cubus numerus B, multiplicans ninam'. merum A essicit cubum numerum Q eritInumerus A cubus. Et hec omnia ostendenda erant.
g et g. IX. PROPOS. XL THEOR. XXX. Si ab unitate fuerint quotcunque numeri continue pro ditionales,tertius ab unitate quadratus est, dc unum intermiditentes,omnes ; quartus autem est cubus, ct duos intermibrentes,omnes : Septimus vero cubus simul, di quadratus, di quinque intermittentes,omnes.
Sint ab unitate X quotcunque numeri A, B, C, D, E, F,&c continue proportionales. Dico primo tertium ab unitate is qualis est Besse quadratum, & unum intermittenteS, omnes, uales sunt D, F, dcc. Quoniam, ut unitas X ad latus A, ita est . ad B, a erit B numerus quadratus; Et quoniam tres numeri . .. '' B, C, & D continue proportionales sunt, dc est prior B qu he. b. dratus, berit posteri r D quadratus quoque . Similiter F te ' 3 . . ius. tius a numero qnadrato D,erit quoq;quadratus,dc sic reliqui
436쪽
Seeundo dico numerum C quartum sab unitate cubum esse, & duos intermit- X. Aa B Cs iteteS,omneS, ut est numerus F,&c. Quin Di 6 rmam vi unitas X ad A, ita est A ad B .&i, i ho RIE I Xita B ad C, c erit C cubus genitus ex tri- F 6s M e fi i plici multiplicatione lateris A; Cumque huius. inter C. & F intercedant duo media proportionales D, dc E. d cprop. sitque prior C ostenius cubus, d erit quartus F proportiona
Tertio dico leptimum ab unitate veluti est F,cubum si inui, & quadratum sic quinque intermittentes,omnes.Qu masne numerus F septimus ab unitate ostensus est quadratus, 'μ'& similitera F cubus ostensus est. Igitur F cubus finiu uec qua- et . dratus est . Continuentur postea post numerum F sex alij nu- M. ameri continue proportionales in eadem ratiotie, in qua est X ad A, vel A ad B, ita ut inter F, dc postremum M quinque me- dij numeri proportionales intercidant, propterea, quia M se innus est ab ipio numero F , erit g quadratus , dic sumiaec cu' g DCt aebus. Quare patet propositum. '
PROPOS. XLI. THEOR. XXXI. EM. p. IX.
si ab unitate quotcunque numeri continuE proportionales fuerint, & qui est post unitatem sit quadratus,erunt reliqui omnes quadrati, At si ille, qui est post unitatem,sit cubus,
Sint ab unitate X quotcunque numeri continue proportio nates A, B, C. D, E, F, dic. Et primo sit nu merus A prox, mus Unatati quadratus. Dico reliquos omnes quadratos esse. Quoniam a tertius ab unitate, ut est a' o B, dc unum intermittenteMomnes, ut Xt A s B i o .Cri D, di F quadrati ostensi stat; dc poni- D asstur A quadratus, atque tres numeri EIta A, B. continue proportion uesctgb F omtur se tertius C quadratus quoque, b rar myderit: Similiter E tertius post quadratum C, crit quoque quadratus, & sic reliqui omnes quadrati erunt. Secudo sit A proximus virvati cubus. Dico reliquos omnes cubos esse. Quoniam ut unitas X ad A, ita est A ad B: c Igitur e prep. sa ex multiplicatione cubi A in se ipsuna efficietur numerus cu- hiam.
437쪽
bus B. Rursus ciuia numerus C Mahmgmporci Sales abrum-tate producitiar ex multiplicatione nomeri A in B. sunt qum A.& B cubi: Igitur productus CX 1 AC B C si1 . cubiis quoque umirniliter quia il dg D oos m vnitas ad A , ita in Cad D; e-i
Esa os ri productum)ex secundo A in H. I UbPa62I i, l tertium C squaloeprodi hi eae mis . imita tatam xvii quamian D; propterea numerus D producetur ex multiplicatione cubi numeri A incubum numerum C; & propteream cubus erit. Simili ratiu-nenumerus E producimrex multiplicatione cubi numeri Ai ' in cubum nu merum D;dc propteria productus E Cubm qu O que erit, dc sic reliqui omnes. Quare patet pio positum . .
, PROPOS. XLII. THEOR. XXXII. .
Si melint ab unitate quotcunque nrimeri continue propo . Vonos , & Duitati proximux non sit quadratus, neque alius ullus quadratus erit pr*teri teritu ab unitate, denum intermittentes,omnes. At si proximus unitati non sit cubus,neque ullus alsus preter quartum ab unitate, Sc duos
intermittentes,omnes,cubus erit.
i Sinti ab unitate X quotcunque numeri continue Proportionales A, B, C, D, E, F, dcc. Et primo, proarmus unitati A, non sit quadratus. Dico neque alium ullum quaesatuna esse prster tertium ab unitate, & unum intermittenteS, omnes. Si enim hoc verum non est sit numerus G1 fieri potest,qu dratus P Cumque a numerusiB sit quadratus, cum te ut ius fiet ab unitate, pariterque D quadratus sit , cum tertius iit a quadrato numero B, sitque C D , ut A ad iis, erito inuertendo Bad A, ut D ad C Quare ruinae rus B in , eandem proportionem laadit,quam quadratus numerus D ad quadratum immerunt C, estque B quadratus; Igitur c num rus A,pyximus Vm iti,quadratus qctoque erit,quod eth contra hypothesin: Non igitur numerus C quadratus erit 3 dc sic reliqui alij in locis paribuS positi. I Secundo sit a , proximus unitati, non cubus. Dico nullum alium esse cubum piaeter quartum ab unitaete, Ac duos inter-
438쪽
n ttententes, rimnes ut stitit C. F, ivc. Si erit m hoc vera Inon est oribus, si fieri potest. Et quia dut A ad cubum d car t. pr. numerum C, ita est D ad F s cum inter eos singuli medii pro- 'ub, portionati, 'iste edant di habeb: o uiuertendo cubus C ad '
A eandem propyrrionem , quam cubus numerus F ad cu-btina numerum D; Se proptereasmimerus A unitati proximus cubus quoque erit, quod est contra hvpoisin: Non igitur numerus D cubus erit. E idem ratione nullus alius numerus cubus erit piqter eos, qui in locis determinatis collocati sinat. Quod erat ostendendendum.
PROPOS. XLIII. THEOR. XXXIII. EMI.ti. in
Si ab unitate iram,i ne numeri continue proportionales
fuerint; unitas sc quilibet minor q a te metientur numerost nia:ores qque remotos; de quilibet primus numerus postr: mum metiens, etia eum,qui unitati proximus est,metietur.
e Sint ab unitate X quotcunque numeri continuh propor- 'tionales A, B, C, D, E, F. Dico primum quemlibet minorem numerum B eandem partem esse numeri maioris F atque es h unitas pars numeri D qque recedenti S ab ea. QNoniam AE ex aprop. is. compositione ordinata , ut est X ad D: i ta est B ad F, propte- lib. g. rea quod vireque proportiones quadruplicate sunt simplictuin preoportionum C ad D, vel x ad A, dc est unitas numeri D pars : igitur bBipsius' F eadem pars erit, ac est unitas X biynuvD. Q 'od erui osteiidendum. ii Sec indo prunus numerus H metiatur vltimunt F. Dico HUltim A metiri: Si enim ioc erum non est, etit. Had Apri- φε' .m,as, citin Hprillius humerus supponatur: Cumque fiat L ., ex ni stipi vatione A inscieD qu Id io.hesia1. Est ut X ad A, ita Amit is, , erit e Bad XI AG B36 Ca Id e corpr. ra.
hi primi sinat, deu gignitur numerus D ex multiplicatione A 'Prio C, eoq iod X ad , est . ut Cad D: Igitur H ad ipsum D pri- i Ma/r. . mus emeadem ratione H priuati, crit ad E dc ad F. Quare, nu- burus.
439쪽
pyr.5s. & G : erita A ad G, ut C ad E. Rursus quia D,&H ductae tam/. eisdem E efficiunt G, dc B erit bG ad B, ut D ad H. Habete ve- te i H ro A ad B proportionem rempositam ex ratione A ad G, seu, C ad E. & ex ratione G ad B seu Dad H. Igitur proportio Aad B componitur ex ratione lateris C ad latus E, & ex ratione lateris D ad latus H . Secundo sit A numerus genitus ex ductu trium laterum C, D & E, ita ut ex C in D fiat M, atque ex duchi E in M fiat A;sitq;pariter B factusex ductu triuialetu F,G S H, ita ut sit Xad G, vi F ad O; atque ut I ad H , ita fiat O ad B. Dico ratio-dis ..... nem A ad B compositam esse e tribus rat onibus laterum C ad F, dc Dad G, atque EadH. Fiat. Nex Din F,&exductit E in N fiat R. pariterciue ex du-
i pr. ip ti,.s latus Ead H. Cumque i proportio A ad B componatur ex rationibus A ad R, R ad S, atque S ad B: erit quoque proportio A ad B composita ex rationibus C ad F, Dad G, h ad F dc sic ulterius ti plura fucrint latera, producentia numeros no. st B. Quod erat ostendendum. Euci ii.is. PROPOS. XXXII. THEOR. XXII.
VIII. Inter duos numeros quadratos unus medius proportionalis cadit, atque inter duos cubos duo numeri medij proportionales intercedunt in continua proportione laterum. Sit primo quadratus numerus A genitus ex multiplicatione lateris C in se ipsum, atque quadratus numerus B sit genitus ex multiplicatione lateris D in D. Dico inter numeros A , Sc B cadere unum numerum medium proportionalem. Repe-am. 6,' Nantur a tres numeri M , N, O, continue proportionaleS Ini- ' nimi in ratione lateris C ad lD. Quoniam , numerus M ad obte ' ' proportionem habet composita ex rationc M ad N, dc Nad
440쪽
portio numeri M ad O composita est ex
ratione C ad D. & ex altera ratione eiusdem C adi); Est vero cproportio nil meri plani A ad planum B composita ex ratione latcras multiplicati C in multiplicatum D, atque ex ratione lateris multiplicantis C in multiplicantem D. Igitur aut M ad O, ita est A ad Bi cadit vero imter M, dc Ovnus medius proportionalis numeru3, nempe N e=, i, in continua proportione C ad II. Igiture inter A, & B vnus medius proportionalis numerus cadet , qui sit E , in continua pr. 13 ιῶ. s. ratione lateris C, ad D eruntque propterea A , E, B, continue proportiona aes in ratione laterum C ad D. Secutido sit A numerus i ubus, genitus ex multiplicatione lateris C ter in se ipsiim ducti , pariterque cubus numerus B genitus sit ex multiplicatione lateris D ter in se multiplicati. Luco inter A, & B duos medios proportionales numeros cadere Reperianuir quatuor numeri M,N, O, R continue spr. rc.,
proportionales minimi in ratione lateris C ad D; Erit g igitur proportio M ad R triplicata prinportionis M ad N, leu C ad D, idest composita erit ex tribus rationibus lateris C ad D: Est vero b proportio solidi numeri AG
ad solidum B composita ex eisdem rationibus laterum, scili- i, . iv. tib. cet ex tribus rationibus lateris C ad D: Igituri tam propor- i. tio Al ad Ic, quam numeri A ad B triplicata est eiusdem proportionis lateris C ad D; ideoque h. Vt M ad R, ita erit nuna: h DF. . pr. rus A ad B, sed inter numeros M. iv R duo medij prvortionales numeri cadunt, nempe N & O. Igitur i inter A,&B ' ν, y- ιμ- duo numeri pariter medii continue proportionales intercedent, qui sint Eu F inccntuiua proportione lateri&C ad D.
Hinc deducitur, quod si quotliber numeri , iproportionales fuerint, erunt potestates eius et . X dem gradus proportionales quoque . Nam sinA B Ctrium proportionalium numerorum A, B, C GID E Fnni D, E, I potestates esuidem gradus, idcst aut oma S quadrati,aut cubi,&c. ccunt proportiones D ad L. 1 Aa a &E