장음표시 사용
441쪽
de E ad F duplicatae, vel triplicats sim ilium proportionum Am cor. . pr. ad B, de B ad C; & propterea m D, E, F proportionales eru nt.
Inter duos numeros planos similes unus medius numerus proportionalis cadit in continua proportione laterum hominlogorum. Et si inter duos numeroS unus medius proportionalis ceciderit: illi erunt plani numeri similes. Sint primo duo numeri A dc B plani similes, idest A genitus sit ex multiplicatione laterum C, dc D, atque B sit genitus ex multiplicatione laterum E in F, sitque C ad D in eadem prin ' portione quam E habet ad F ( sica enim plani numeri similes' erunt . Dico inter A, dc B unum medium proportionalem . numerum cadere in continua prin. A o G i a B a portione lateria C ad eius homologu
M a N O g ne lateris C ad E. Et quia C ad D est. cpr ri tu . ut E ad F: Ergo e permutando C ad EZpr. i sι,5 erit, ut D ad F; Et est d proportio numeri Mi ad O duplicatos, proportionis M ad N, leu duplicata ipsius C ad E, vel D ad F i*Pr 3 -bu atq;proportio e plani numeri A ad planum B compositae est ex - ratione lateris C ad E, atque D ad F, ieus duplicata rationis Cis ' ad E . Igitur tam proportio numeri A ad B, quam M ad O du- ui plicata est eiusdem proportionis C ad Es Q propterea, g ut Mh, e . ad O, ita erit A ad B; cadit aute inter numeros M,&O unus pati, et o ., medius proportionaliS, nempe N. igitur, inter numeros A, pr is .i, j. dc Is unus medius proportionalis cadit numerus, qui sit G in continua proportione lateris C ad E. Secundo inter numeros A, de B cadat unus numerus mcdius proportionalis G . Dico numeros A, dc B similes est he,io. hu- sd. Reperiantur . duo numeri C , dc E minimi ui ratione A ad G vel G ad B: erunt L C,S E primi inter te; dc ideo i qque m x Pr 6 huiu/ tientur numeros eandem cum illis rationem habentes s scit, *- cestoties C ipsum lA metietur, quoties E ipsum G. pariter ' que toties C mensurabit virum G, quoties E metitur sis vi, de idem numerus E meu bit tam .nun crum G, quam B. :. .' 'Fiat
442쪽
piat efgo D tam multiplex unitatis quam G multiplex est ipsius E, atqueFfiat tam Ag Gia Ris multiplex et dem unitatis, quam B mub C a E stiplex est eiusdem E. Quapropter ne ut Do F G m ess ir numerus D, multiplicans ad multiplican- p yψ8ni F, ita erit G ad B; sed ut G ad B , ita erat A ad G, atque Cad E erat, ut A ad G: Igitur is ut C ad E, ita erit D ad F.Et quia ' P vC ad Eest, ut A ad G , permutando 'C ad A erit, ut Ead Gi p. f., .hais' sed E ad G est, ut unitas ad numerum D: Igitur ut unitas adnumerum D, ita erit C ad A. Quare = C, & D erunt latera,ex quibus gignitur planus numerus A ; pariterque E , & F erunt latera plani numeri B. Suntque ostensa predicta latera prinportionalia . igitur e pIani numeri A,& B similes inter se sunt. q . . t s. Qaod erat ostondendum. MMur.
PROPOS. XXXIV. THEOR. XXIV. Emi ,
Inter duos numeros solidos inter se similes duo medii proportionales cadunt in contanua proportione laterum hinmologorum . Et si inter duos numeros duo medij proportionales ceciderint, erunt illi similes solidi .
Sitit numeri C,D, E latera numeri solidi A, de ex trium t rerum F, G, id multiplicatione producatur numerus solidus B; sitque ut C ad D, ita F ad G, atque ut D ad E, ita G ad H(sic enim a solidi A,& B similes sunt . Dico inter A, & B duos
medios proportionales cadere in proportione continua lat: 'rum homosogorum C ad F, vel
R nummi in continua propor- D Gotione lateras C ad F. Patet e pro- h g HI a cyr.5 . . portionem M ad R triplicatam MgNIa Org Rar 3. esse unius rationis M ad N , vel C ad F ; Est vero a proportio A ad B composita ex rati, dyr.3 b-nibus laterum C ad F, D ad G, atque E ad H, suntque hq tres proportiones eqdem Igitur e proportio A ad B pariter tri- 'μ'plicata est eiusdem rationis C ad F , dc propterea ut M ad R, . ita erit A ad B. Quare inter A, dc B duo medij numeri Pro- ,-G. e. sportionales cadciat nempe P & in veluti inter M, & R Ca- pr. iv.Isb. . dunt duo meta Proportionales N , & O in ratione C ad F.
443쪽
Quare A, P, Q, B continue proportionales erunVin rationet lateris C ad eius homologum F. Secundo inter numeros A, & B cadant duo medii proportionales P, dc Q Dico A, & B si miles solidos numero S esse . Reperiantura duo numeri E,& H minimi in ptoportioliis Aad P: erunt . igitur E , ik Η primi inter se, & propterea qque
metietur numeros eandem cum eis rationem habentes. Vnde
quoties E metitur ipsiIm A, toties H metietur ipsum P; Similiter toties E metietur numerum P, quoties H mensurat ipsum Q pariterque toties E mensurabit numerum Q , quoties H mensurat numerum B. Fiat igitur unitas x ad I, ut est E ad A, atque X ad L fiat, ut E ad P: patiterque x ad k fiat ut E ad Q Manifestum i est multiplicantes numeros I,L & k continue pro eo tionales esse in eadem ratione, in qua sunt A, P, & Q sui, que inter I, dc k cadat L medius proportionalis: erunt x I, AcΚ numeri plani similes; dc propterea i duo latera, ex quorum multiplicatione generatur numerus I, quq sint C,& D propoditionalia erunt duobus lateribus, ex quibus procreatur num rus planus N, quq sint F, dc G seritque latus C ad eius homologum F, ut D ad G, siue ut I ad L, vel ut A ad P, vel v t E adH. Et quoniam ex mutua multiplicatione trium laterum C, D, E gignitur numerus A, eo quod ex C in D essicitur planus numerus I, atque ex nn mero E in Idacto efficitur num rus A,pariterque ex mutua multiplicatione laterum F, G, de H procreatur numerus solidas B, estque proportio lateris Cad F, ut D ad G, dc ut E ad H , siue ut A ad P: I titur in solidinumeri A,Ic B similes erunt inter se.Quod erat ostendendum.
Si quadratus numerus quadrati numeri, vel cubus numerus cubi numeri multiplex aut pars, vel partes tantum fuerit erit quoque latus lateris multiplex, aut pars, vel solumna do partes. Si vero latus lateris multiplex, vel Pars, aut partes tantum fuerit: erit quoque quadratus numerus quadrati, vel cubus cubi muneri multiplex, aut Pars, Parte suo.
444쪽
: sitque A multiplex ipsius B. Dico C ipsius D multiplice a d , ai.ha quoque esse. Nam is inter numeros i abcubos duo medii proportionales ca- A M E s a Fid B sdunt, qui ou E, F in ratione lateria et t. i in se Dasi C ad D s)ponitur vero A ipsius B multiplex; Igituta erit A ipsius E et siue C ipsius D multiplex e M. ur.5M- quoque . Pari ratione, cum A ipsius B pars supponitur , se- tu ,' def. quitur quoque,eadem ratione latus C ipsius D partem esse: a re e conuerso, cum latus C ipsius D pars supponitur, est quinque numerus A pars postremi B.
Tande numerus quadratus A quadrati numeri B, vel cubus euhi sit tantumodo partes; idest neque multiplex, neque pars . illius M. Pari ratione inuentis mediis proportionalibus . Ierit primus A secundi E partes tantummodo; & propterea C laelius lateris D partes solummodo erit. Et contra cum latus Cipsius D neque multiplex, neque pars supponitur: erit neces . satio A ipsius secundi E partes tantumodo; ' ideo erit prior numerus A postremi B partes tantummodo. Quq erant oste-
Si ab eodem numero ad duos alios extremos vel ad numerum , & unitatem continuentur quales multitudines pro-tionalium numerorum: inter extremos totidem medi cin , tinua propriione cadent numeri. Inter numerum A, & C intercedant medii continua prinportione D dc E, atque inter numerum, vel unitatem R. dc eundem numerum C totidem interponantur numeri F, G
medii continua proportione. Duco inter A, & B tot numeros medios continua proportione cad e, quot inter A, & C, vel inteLui fit Evamue eat A ad m,oc Eadas, villa- arum C ad D, ponitue Amultiplex Postremo,
mi Brerit, quoque A mutiplex secundi E. Pare-D multiplex quoque erit, cum sit C ad I , sit A ad E
445쪽
inter B , de C interponuntur. Reydiuiti ub a tres mirum intimeri Κ L. M in rhi h E as G S ratio D ad E . vel Ead C 'Osetur X, dc proportioc d G. vel ei si in ilis G ad F vicesur Z. Et qui ab proportio D ad F componitur ex rationi-biis D ad C. Cad P, estque ratio D ad C duplicata rationis D ad E, seu X, & proporri GC ad F duplicatu tatio iis C ad G, seu Zit ei sto Cptopotiio D ad F componitur ex his rationibus X, X, Z, L: sed ciu undae ordine predict*proportiones disponaretur , semput compomin eandem Proportioncmb. Irgo Popottio D ad F composita erit ex rationibus X. T, X, Z;ideli ex duabus proportionibus e similibus, quaru singule ex rationibus X, Z componuntur s & propterea proportio o ad F duplicata erit rationum X Z; sed E ad G componitur edi r tionibus E ad C, dc C ad G, scilicet ex rati Cia: , X. ST: Ergo D ad F proportionem duplicatam habet rationis E ad G ; erat autem proportio Κ ad M duplicata rationis E ad G Ergofvt Κ ad M', ita cst Dad F; cadit vero inter T.& M unus medius proportionalis L: Igitur g mri r D. Sc Funus medius proportionalis cadet. Sunili rarione IntCr numeros A, & B duo medii proportionales cadent in ratione Ead G; Quod erat, &c.
Facile colligitur, quod si tres numeri proportionales su rint, at primus sit quadratus, erit tertius quadratus quoque . Et si quatuor numerorum continue proportionalium prior sit cubus, erit quartus cubus quoque. Nam trium proportio-h ' halium O, N, G, si G quadratus fuerit , , Inter laetur inter unitate B,& numeru G unus medius proportionalis F;dc ideo i Afio.... ex hac propositione inter extremuo, Sc unitate B unus quoq;iur numerus medius proPortionalis intercedet, di propterea loquadratus erit. Si veto quatuor cotinue proportionaliu C, E,h fra. D, A prior C fuerit cubus h. interponentur intcr cubum C, Schum . unitalcm b duo medij continue proportionales, quot nimirum inter C, & A interponuntur. Igitur ex hac propositionet disii M. inter unitatem B, ct n Umerum A duo media quoque in con. iv. . tinua proportione cadent i ideoque, numerus A cubus erit.
446쪽
PROPOS. XXXVI I. THEOR. XX UIL EM M. as.
Si duo numeri inter se eandem rationem habuerint, quam duo numeri quadrati , erunt aut ambo quadrati, aut ambo similes plani numeri s Et duo numeri plani similes, sunt inter se,ut duo numeri quadrati; At numeri eadem rationem habentes, quam duo cubi numeri, erunt, aut ambo cubi ,
aut similes numeri solidi s Et si numeri solidi similes fuerint, erunt, ut duo cubi numeri. -- Sit primo numerus A ad B in eadem ratione , quam habet numerus quadratus C ad quadratum D. Dico A, dc B quadratos Esso ; aut sit les planos. Quoniam tinter a quadratos numeros C. , & D Ag Fia Bis Uiuis medius proportionalis cadit em- Na O
inter A, & B vnus medius Proportiona, , . 'lis numeriis cadeti, qui sis F. Quare erunt tres numeri fisenti- nuh proportionales A . F, B, & ideo si A quadratim est i erit e .. . - . :quoque B quadratus; sin minus, . erunt A , & B similes nume- so huism
Secundo sint R , dc B similes numeri plani , quorum latera bu/-homologa N. de O; dc fiant C. D uadiua laterum N il& O. Dico A ad B esse, ut C ad D. Quoniam e tam proportio qua- τdrarorum C, D quam similiuin planorum A, B duplicata est rationis latetum N ad O: Ergo e Aad B est,ut C ad D. j ii Tertio sit numerus A ad Ba .ra iam mirango quam habet .. . . r. cubus numerus C ad cubum D. Dico A, & B esse cubos, vel ib.ι,, lidos numeros fi les. Qioqim , inter duos cubo, nume- h prop. 33. ros C,& D cadunt duo metiu pampomorialesia nempe E, de P; b- Estque A ad B. ut Gad D. Igitur' D . . . / . inter A,& B duo medij proportio- , A ivi G a H iis B s 'nales numeri cadunt qui sint G,& Net SI IH; ct propterea eriam quatuor nu- CB Eia Fis D a meri continue proportionales A, G. H, B;vnde quando pratar A cubus est, erit h quoque postremus numerus B cubus, vel . saltem Nix B similes plani erunt. 'Quare sint A & is numeri solidi invites. quorum homo, disi. toga latera N, & O, dc fiant laterum N, dc O cubi numeri C mst D. Dico A ad Belle, ut C ad D. Quoniam in tam propor- bm M.
447쪽
tio cuborum numerorum C, D, quam n similium solidorum numerorum A, B triplicata est ciui deni rationis laterum N ad ' I. O.Ergo o numerus A ad B cande rationem habet, quamn '' merus cubus C ad numerum cubum D. Que erant osten
Manifestunii est, quod duorum numerorum, si uterquet, primus sit, ipsi non eruiu inter se , ut duo numeri quadrati :Nam s primus numerus A ad numerum pri- A et C B's nitim Besset , ut quadratus numcrUS od qua' . . D i F dratum numerum, i altem ex hac propositio XI ne numeri A,dc B cssent plan L similes; & ideon . inter , eos unus medius proportionalis cade F . ... ret, nempe C; Cumque trium numerorum proportionalium L, .. . , A, C B extremi A, & B sint primi, de ideo q primi inter sescPrprop. xv. der r inter utrunque eorum, S unitatem X unus haedius prinouiut. poremnalis numerus D, atqueF ideo I A, & B numeris I, o. , Custirati essent sci propto ea mensurabiles a suis lateribu D, & F, quod est absurdum : erat i enim uterque numerus primuS.
PROPOS. XXXVIII. THEOR. XXVIII.
Ex multiplicatione duorum planorum numeroru similium, estacitur quadratus numce . Et duo latera, quadratum efficientia, erunt numeri plani similes .
Sint numeri A, & B similes plani, & ex A multiplicato in s
fiat numerus C. Dico Laquam tum esse. Ex A in re fiat a nupmerus quadratus D. Et quia A multiplicans numeros A, αδ- producit numeros D, & C, 5 erunt producti D, & Clinter re, ut multiplicati A, & B, ted c littera, & ucadit unus medius s. I o proportionalis, eo quod sitru piam si A o H a B;6 nu es ; Ergo a inter Li,&C unuS me a des ro.
D 36 E i G dius proportionalis cadet, sui sit E , i l . v - Ciniaque D, E, C continue Iropor rionales sint, di prior I quadratus sit, erite postremus nume
bcclido ex multiplicatione numeri A in B Aoducatur quM
448쪽
Iratus numerus C. Dico A, S B Duri es nan .est e. Flats rur- deflosus ex Ain se quadratus numerus D, Eritig turg quadratus . numerus D ad quadratum C, nempe productim eadem prin v f ''portione, quam multiplicati A ad B, ted , terquadratC, D,& C cadit unus inedius proportionalis . Igitur inter A, dic B bin L unus medius proportionalis cadet qui in Hi ideoque numeri , Ora A, dc B similes plani erunt. Quod erat ostendenduin . inui.
Constat numerum productum ex multiplicatione duorum quadratorum, quadratum esse; eo quod quadrati numeri Pla ni Mailes sunt -
Numerus productus ex multiplicatione cubi numeri in se ip- . sunt, vel in alium cubum, erit quoque cubuS numerus . Et A. si ex multiplicatione alicuius numeri in se ipsi tin, vel Ima .. aliquem cubum numerum procreatur numetus cubus, dc ille cubuS erit.
Sit primo numerus A cubus, & ut unitas X ad A, ita fiat Aad B. Dico numerum B productum ex A in se cubum ess*, Sit . Aae . in C latus cubi A ,&a ex C fiat nume rus D s Erit igitur D qua- i. Jdratu, numeri C i ideoqtie, ex multiplicatione numeri Cin is Arta D efiicietur numerus cubus A; hunu. Quare unatas X,&C, D, A conti- , Ag Eio Esa Bo nue Proportionales sunt. Estque , D unitas X ad A, ut numerus A ad B, C a Igitur cinter A, & o duo medii proe XI tym. 58, Iportionales E, F cadent, quot punt brum unnumeri C, & D medii in continua proportione inter X, & Apositi: Cumque A, E, F ,& B continue proportionales sint, sitq; prior A numcru, cubus, erit a quartus B cubas quoque. β tu Secundo ex multiplicatione cubi n, Io ou ae ameri A in numerum cubum B fiat nume- A g B a rus C. Dico productum numerum Ccin Dod Caio . a Z-bum esse. Rursus ex e A cubo in sc ipsum .' , fiat numerus O: Erit igitur ID cubus: Et quoniam idem nu- FD .... omerus A multiplicans duos numeros A, B euicit duos nil Bbb meros .
449쪽
Seeundo dico numerum C quartum Eb unitate cubum esse, & duos intermit- X. A a B Cs,iteteS,omneS, ut est numeruS F, hc. Qui DI 6 . laniam ut Unitas X ad A, ita est A ad D, dci, P. 32 ita B ad C, cerit C cubus genitus ex tri, Fos M e frie plici multiplicatione lateras A; Cumque his tui. ' vinter C. & F intercedant duo medii proportionales D, dc E. dc T. p, sitque prior C ostentus cubus, aetit quartus F proportiona- io tis, cubus quoque . Tertio dico leptimum ab unitate veluti est F,cubum simul,& quadratum esse,ili sic quinque intermittentes,omnes.Qu mani e numerus F septimus ab unitate ostensus est quadratus,& similiter F cubus ostensus est. Igitur F cubus simul,& qu iadratus est . Continuentur postea post numerum F sex alii nu- 'meri continue proportionales in eadem ratione, in qua est X ad A, vel A ad B, ita ut inter F, & postrentum M quinque medii numeri proportionales intercidant propterea, quia M se tunus est ab ipio numero F , erit g quadratus , dc sumsitec cu- g pap. t shus. Quare patet propositum. halaea tr.
PROPOS. XLI. THEOR. XXXI. Eari. IX.
Si ab unitate quotcunque numeri continuE proportionales fuerint, & qui est post unitatem sit quadratus,erunt reliqui omnes quadrati, At si ille, qui est post unitatem,si t cubus ,
Sint ab unitate X quotcunque numeri continue proportio nates A, B, C, D, E, F, &c. Et primo sit numerus A proximuS unitati quadratus. Dico reliquos omnes quadratos esse. Qrioniam a tertius ab unitate, ut est amo B, dc unum intermittente omnes, ut XI A Bio cri D, & F quadrati ostensi lunt; dc poni- D asstur A quadratus, atque tres numeri EIoa A, ILE continue proportionues Igb F oscitur se tertius C quadratus quoque, b ear mydcrit: Similiter E tertius post quadratum C, crit quoque quadratus, & sic reliqui omnes quadrati crunt. Secudo sit A proximus unitati cubus. Dico reliquos omnes cubos esse. Quoniam ut unitas x ad A, ita est A ad B Igitur e/-.sa ex multiplicatione cubi A in scipium efficietur numerus cum huim.
450쪽
bus B. Rursus quia numerus C Ullamis proportionat s abrutil-tate producitar ex multiplicatione nomeri A in B. suntque, Q -t A.& B cubi. Igituraproductiis CX i AC B o C si x . cubas quoque erit . Similiter quia l d E D ooci m unita X ad ita est C ad D; hi E apos rite productum ex lacundo A utat I v, Fia62I l tertium C qquata productora mi- - . i sis r tare X utiquartum D i propterea r numerus D producetur ex multiplicatione cubi numeri A in .et, ' cubum numerum & propteream cubus erit. Simili ratione' umerus E producitur ex multiplicatione cribr numeri A- ' in cubum numerum Di& propterea productiusE SNuo que erit, dc sic reliqui omnes. Quare patet pmpositum . il
Si suetint ab unitate quotcunque numeri continue propodi i tionales, & Duitati proximux non sit quadratus, neque ci .e alius ullus quadratus erit pr*teri terrium ab unitate, &vnum intermittentes,omnes. At si proximus unitati non sit , Cubus,neque ullus alius precer quartam ab unitate,& duoa intermittentes,omnes,cribus erit .
Sint ab unitate X quotcunque numeri continue propor tionales A, B, C, D, E, F, dcc. Et primo, proximus unitati A, non sit quadratus. Dico neque alium ullum quadratumelle prster tertium ab unitate, & vnum intermittentes, omnes. Si cnim hoc veram non esti sit numorus Cai fieri potestiqiam dratuS ; Cumque a numer i B sit quadratus, cinntestius fir ab unitate, pariterque D quadratus sit , cum temus iit aqua drato numero B, sitque Cia D , ut AXi Ag By Ca ad B, erito inuertendo Bad A, ut Dad D si C. Quare nunte rus B .ia fi eandem - E a 3 proportionem habet,quam quadtatu', F as numerus D ad quadratam. iiiiineruae C, estque B quadratus; Igitaec nam rus A,pryximus vitinati,quadratus quoquo erit, quod est con tra hypothesin: Non igitur numerus C quadratus erit 1 ct sic reliqui alii in locis paribuS positi. . . . . Secundo sit proximus unitati, non cubus. Dico nullum alium tale cubum praeter quartam ab unitate, dc GOS uater