장음표시 사용
451쪽
mittentente ,rimnes, ut sititit C. T, dic. Si ergin hoc verum non est, si bus, si fieri potest. Et quia elut A ad cubum dcρr . n.
numerum C, ita est D ad F s cum inter eos singuli medii pro- is ubi portioirula, mge cedant) hallabito nauertendo cubus C ad 'p' 'A eandem proportionem , quam cubus numerus F ad cu- phima numerurn D; Sc proptereasnumerus A unitati proximus cubus quoque erit , quod est contra hutioisin: Non igitur nu- bvia, .merus D cubus erit. E idem ratione nullus alius numerus cubus erit pr*ter eos, qui in locis determinatis collocati sunt. Quod erat ostendendendum.
PR OPOS. XLIII. THEOR. XXXIII.
Si ab unitate qaorcunque numeri continuh proportionales fuerint; unitas sc quilibri mitior eq te metientur numerost ima: ores eqtie remotos; & quilibet primus numerus postremum metiens, etia eum,qui unitati proximus est,metietur. e Sint ab mitate X quotcunque numeri continue propor- tionales A, B, C, D, E, F. Dico primum quemlibet minorem rinia erum B eandem partem esse numeri maioris F atque est unitas pars nunterr D sque recedentis ab ea. QNoniam a ex aprop. ia. compositione ordinata, ut est X ad D: ira est B ad F, propte- Isb. i. rea quod vireque proportiones quadruplicate sunt simpliciuria proportionum si ad D, vel X ad A, & est unitas numeri D pars: Imitur ipsius F eadem pars erit, ac est unitas X b d 8 lib. iniv D. Q 'Od erat lasten dendum. i. i s. e Sec indo primus numerus H metiatur vltimunt F. Dico Hip imi A metiri: Si enim iocuerum non est, etit . H ad Apriis rumpe fies. cum H prinius tui merus supponatur: Cumque . B fiat 'a . . . , ex in il ipi catione Am se,eb quod :
primus est quoque 'Cli non e duo numeri A, & C ad ipsum T. iubi primi sint, dc u gignitur numerus D ex multiplicatione A i , 'in C, eo quod L ad , est, ut Cad D: Igitur H ad ipsum D pri- ictoa pr. . mus est, eadem ratione H pcinati, crit ad E& ad F. inare. nu- butus. i merus
452쪽
roa EVCLIDIS RESTI Tu Timerus Id ipsum F non metitur, quod est contra hypothesin Et propterea H ipsum A metietur. Vt propositum fuerat. Ruinas. Ix PROPOS. XCV. THEOR. XXXIV.
Si ab unitate quotcunque numeri continuo proportionales fuerint, atque numerus post mitatem primus sit , maximum nullus alius metietur pr(ter eos , qui sunt in eadem continua proportionalitate.
Sint ab unitate X quotcunque numeri A, B, C, D continue proportionales,quorum A proximus unitati sit numerus primus. Dico nullu alsu numeruXi A s Bas Cias Dors preter A, B, C metiri maxi-F H G - E muni riSi enim hoc verum non est, metiatur ipsum Dalius numerus E prster ipsos A , B, C; dc primo loco patet, quod numerus E non est primus, alias cum metiatur extremum D a metietur quoque numerum primum A Unitati proximum, quod est impossibile ; Erit igitur E non primus& propterea cum mensurabit aliquis priinus numerus, hic vero alius non erit,quam A;Nam cum E metiatur extremum Dalius primus numerus, qui ponitur mensura ipsius E,. mei in iurabit quoque extremum D, dc apropterea ipsum primum A proximum unitati, quod est impossibile unde constat, quod quilibet numerus, dimetiens maximum quotcunque numerorum ab viaitare continue proportionalium, quorum proximus unitati sit primus,multiplex erit necessario numeri, qui unitati succedit. Postea quoties E metitur ipsum D,toties unitas metiatur numerum G. Quare idem numerus D e cietur ex multi Plicatione . Aut C,ih ex G in E: Ergo ut A ad G, itaest E ad C; Et quiar ut X ad ta,ua erat E ad D,erit e pedimulando , vi x ad E, ita G ad D, sed unitas X metitur ipium E: Igitur G metitur ipsum D; h propterea (vt prius ostetuum est de numero E erit G multiplex ipsius As crat autem, ut A ad G; ita E ad C; Igitur E metitur quoque numerum C. Ru sus quoties E metitur numerum C, toties unitas X metiatur
H. Vnde ( ut antea dictum est H metietur ipsum C, dc multiplex erit ipsius A.Cumque idem numerus C fiat ex ditistu Ain B, atque ex mitiplicatione H in E , , erit ut A ad H, ita E adsis ted A inenturabat ipsum Hs Quare E mensurabit quoque
453쪽
numerum B: Tandem quoties E metitur B toties X metiatur .imina F; Vnde, ut prius F mensurabit numeru B, Sc multiplexerit ipsius A. Et quia idem numerus B procreatur ex duetit E in F, atque ex ductu A in se ipsum L erit ut A ad F, ita E ad As hyp. s. M Sed A metitur ipsum F: Igitur E metitur ipsum A, maior mi- Mi .norem numerum primum, quod est impossibile. rapropter nullus alius numerus prUter A, B, C mensurabit maximam numerum D. Quod erat ostendendum.
Si tres numeri continuE proportionales minimi fuerint om. nium cum ipsis eandem rationem habentium, duo quilibet simul sumpti ad reliquum primi erunt. Sint tres numeri A, B, C continue proportionales minimi
omnium cum eis eandem rationem h ibentium. Dico primo
loco A, & B simul sumptos ad ipsum C primos esse. Reperiatura duo numeri D,& E minimi in ratione A ad B, aut B ad C, dc fiat F qqualis D. dc E simul sumptis , atque G sit qua- 'dratum ipsius F. Manifestum est ( ex iis, quq dicta sunt in pro-Positione a dc as huius unitatem X ad D esse, ut D ad A, & ut x ad D, ita esse E ad B, atque ut X ad E, ita esse E ad C ' D sta- , , ad B. Unde constat quod, , ut unitas X ad D, ita sunt D, & E imul, idest F, ad A, & B simul. Et quoniam D,&E minimi ep ... huis sunt in ma proportione, erunt e inter se primi; ideoque . D & ..... E simul sumpti,idest F ad ipsum E primus erit. Est vero D ad apri 3 bee
E etiam primus: igitur D, & F primi sunt /- - , ad eundem numerum E: Viide e produ- Ao Bia Cro - 'ctus ex Din F ,idest A una cum B, primi D s E
erunt ad productum ex E in se ipsu, idem X ique numerus C, Primus erit ad aggrega- F et tum ex A,& B. Dico secundo duos extre- G omos A , & C, simul sumptos, ad ipsum B I ris, intermedium primos esse. Quoniam D , de E primi sunt inter se: Ergo eorum summa F ad quemlibet ipsorum D,vel E prb T
maest: Igitur g productum ex Dua E, scilicet numerus B, pri- Agnius quoque erit ad G productum ex F in se ipsum. Et quia,ut h e. or.ii dictum est, X ad D est, ut Fad summam A, B, & ut x ad E, ita
est F ad summam B C: Ergo ut X ad D simul cum E, idest ad , M. et Rita est E ad A, B,una cum B,C.Quare numerus G productus M. ii
454쪽
ex F in se ipsumi squalis est A, dc C una cum duph, interane- dij B: Igitur A,& C una cum duplo ipsius B,primi erunt ad n merum B, sicuti B,& G primi erant; & h eorum differentia nimirum summa numerorum A, C, S B pruna erit ad nunte. rum B: &rtirius horum differentia, scisicet numeri A, & C. simul sumpti, ad ipsiun B primi erunt. Quod erat Propositum.
Patet ex hac propositione numeru quadratum maioris lateris sit perare quadratum lateris minoris, & excessiim squalem esse quadrato differentiae laterum cum duplo medii propo tionalis inter duos quadr)tos ex differentia, & ex minori latere factos. Nam quadratus G lateris maioris F qqualis fuit quadratis A, C cum duplo medii proportionalis B : ergo excessus quadrati G maioris lateris F supra quadratum A cx latere minori D, cq tralis est quadrato C ex differentia E cum duplo spsus B viedij proportionalis inter A, dc C. sc HOLIUM.
Non erit discite ex hac propositione reperire numerum quadratum a scuius dua Por. Iones, aut aena tantum, aut neutra sit numerus quaeratus. .mo sumatur quilibet numerus quadratus
455쪽
Tertiδ sumatur quilibet P numerus primus impar qui quadratus non erit, q cum a nuD E id Io latere numerus primus metiri possi ;=D- A Hs Og Nicta r eadem constructiore, erit eadem rationera C D s XI quadratus numerus E squaIis quadrato numero H, di non quadrato A. praepe. Me
PROPOS. XLVI. THEOR. XXXVI. Euci. si .lsi IX. Quilibet numerus a binario duplus,pariter par est tantum. Et si dimidium impare habuerit, pariter impar est tantum. Et si dimidium habuerit parem.& non fuerit a binario duplus, Pariter par, & pariter impar erit. Primo sint quotcunque numeri A, B, C, D a binario A dupli . Dico quemlibet eorum Ceste pariter pare tantum.Quomnia in A, B, C, D sinat ab unitate X continue proportionalis, ct A vitati proximus, primus numerus est (cum binarius ab unitate tantum metiatur : Igi-tinc a nullus alius numetus prae- Xi Aa B Cs D 16 , ter ipsos A,B,C metietur quem- . Q iare ac libet ipsorum, ut C: Suntque , omnes A, B, C, D pares: h:U Ergo tantummodo par numerus per parem numerum memtietur numerum C ; ideoque e quilibet ipsorum C pariter par tui. est tantum . : Secundo numeri A sit semissis B impar, a C sit binarius, ita ut a impar B metiatur A per parem C. Dico A esse tantum d dIA.bu- pariter imparem. Si enun hoc verum non est, io . erit quoque numerus A pariter par. e Quare D E . e bum numerum A metietur aliquis par numerus D AI oper alium numerum parem E : Ergo x mul- B o C a . - tiplicatione D in E lit numerus A; sed idem Aproducitur ex B in C: Ergo e ut Dad B, ita erit C ad E; sed Ais, a b. binarius Cneci Tarso pat, est ,&metitur parem numerum E ,ti,.(eo quod par numerus est aggregatum pluriu binariorum : h GI . truitur par numeruS DUlum is imparem metitur aliquotieS, Q. huiuI. quod est impossib.le . Misere numerus A tantummodo est pariter impar.
Temo sit numerus A par, cuius dimidium B sit par, dc Anon sit a binario duplus. Dico A pariter parem csse,isc pariter imparem. J iat binarius D ad vilitatem X, ut A ad eius lemibC c c ieiu B.
456쪽
Quare A, P, Q, B continue proportionales erun in ratione lateris C ad eius Eoinologum F. Secundo inter numeros A, & B cadant duo medii propoditionales P, & Q Dico A, & B si miles solidos numeros esse , . Reperiantura duo numeri E , & H minimi in proportione Aad P: erunt o igitur E, dc H primi inter se, & propterea sque
metietur numeros eandem cum eis rationem habentes . Vndi
quoties E metitur iptima A, toties H metietur ipsum P ; Similiter toties E metietur iitunerum P, quoties H mensurat ipsum Q pariterque toties E mensurabit numerum in quoties H mensii-rat numerum B. Fiat igitur unitas x ad I, ut est E ad A, atque X ad L fiat, ut E ad P: pariterque X ad k fiat ut E ad in Manifestumi est multiplicantes numeros I, L dc k continue propolationales esse in eadem ratione, in qua sunt A, P, & Quoiumque inter I, & k cadat L medius proportionalis: erunt h. I,&Κ numeri plani similes; & propterea i duo latera, ex quorum multiplicatione generatur numerus 1,quq sint C,& D propor tionalia erunt duobus lateribus, ex quibus procreatur num rus planus Κ, quq sint F, & G ; eritque latus C ad eius homo- Iogum F, ut Dad G, siue ut Iad L, velut A ad P, vel ut EadH. Et quoniam ex mutua multiplicatione trium laterum C, D, E gignitur numerus A, eo quod ex C in D essicitur plunus numerus I, atque ex mmero E in Idacto efficitur numerus A,pariterque ex mutua multiplicatione laterum F, G ,αH procreatur numerus solidas B, estque proportio lateris Cad F, ut Dad G,&vt Ead H , siue ut A ad P: Igitur is solidinumeri A, dc B similes erunt inter se.Quod erat ostendendum.
Si quadratus numerus quadrati numeri, vel cubus numerus cubi numeri multiplex aut pars, vel partes tantum fuerit erit quoque latus lateris multiplex, aut pars, vel solummoedo partes. Si vero latus lateris multiplex, vel pars, aut pas tes tantum fuerit: erit quoque quadratus numerus quadra ti, vel cubus cubi numeri multi ex , aut Pars, Partem .
457쪽
Sint primo A, B duo numeri quadrati, quorum latera C, D, atque A ipsius B multiplex sit i Dico C ipsius D multiplicem
Quoniarn a inter numerofiscladratos
. A, & nunus medius proportionalis cadit, Aloivs Is pqui fit F. . atoue est A ad L,S E ad B, ut la- C Da. tris C ad D,& ponitur A multiplex postr mi B: erit, quoque A mutiplex sequndi E. Quare e C ipsius D multiplex quoque erit, cum sit C ad l , ut A ad E. Sint secundo A, de B numeri cubi , quorum latera C , oc Ds: sitque A multiplex ipsius B. Dico C ipsius D multiplicem quoque esse. Nam d inter numeros cubos duo medii proportionales ca- A cs E 3 a Fi d B sciunt, qui sint E, F in ratione latera C Da C ad D ; ponitur vero A ipsius B multiplex: Igiture erit A ipsiusE: siue C ipsius D multiplex quoque . Pari ratione, cum A ipsius B pars supponitur. sequitur quoque eadem ratione latus C ipsius D partem esse: di e conuerto, cum latus C ipsius D pars supponitur, est quinque numerus A pars postremi B. Tande numerus quadratus A quadrati numeri B,vel cubus cubi sit tantu modo partes: idest neque multiplex , neque pars illius sit. Pari ratione inuentis mediis proportionalibus et Ierit I rinius A sec di E partes tantummodo; & propterea C ip- ius lateris D partes solummodo erit. Et contra cum latus Cipsius D neque multiplex, neque pars iupponitur: erit necesssatio A ipsius secundi E partes tantumodo; di ideo erit prior numerus A postremi B partes tantummodo. QT erant oste
Si ab eodem numero ad duos alios extremos vel ad numerum , & unitatem continuentur quales multitudines pro-tionalium numerorum: inter extremos totidem media co-tinua propriione cadent numeri. Inter numerum A ,& C intercedant medis continua prinportione Dih E, atque inter numerum, vel unitatem R. decundem numerum C totidem interponantur numeri F, G
medii continua proportione. Daco inter A, & B tot numeros medios continua proportione cadere, quot inter A, & C, vel inter
458쪽
int et B , S C interponuntur. Repta illi ub a tres min minumeri Κ , L. M in rati hi H acyc ci ratio D ad E. vel Ead C vosetur , de proportio G, vel ei similis G ad F v cetur Z. Et quia, proportio D ad F componitur ex rationibus D ad C. &C ad F , estqtie ratio D ad C duplicata rationis D ad E, seu X, dc duo ric Gad F duplicata latio iis Cad G, seu Zit ergo i pto ortio D ad F cta Yspontrair ex his rationibus X, X, Z, Z: sed . quia inmie ordine predictet proportiones disponatatur, servi fit compoinintea Em proportioncm: Fr-go proportio Dad F composita erit ex rationibus X. Z, X, Z;ideu ex duabus proportionibus e similibus, quaru singule ex rationibus X, Z componunt ar s de propterea proportio D ad F duplicata erit rationum X. Z; sed E ad G componitur edi r tionibus E ad C,& Cad G, scilicet As 'o o P i B i ex ration: bus X. S Z Ergo D ad F proportionem duplicatam habet rationis E ad G; erat autem proportio X ad M duplicata rationis E ad G. Ergo vi N a d M , ita est Dad F; cadit vero inter X. dc M unus medius proportionalis L: Igitur a viro I . de Funus medius proportionalis cadet. Simili rarione. IntCr numeros A, & B duo med ij proportionales cadent in ratione Ead G; Quod erat, dcc.
Facile colligitur, quod si tres numeri proportionales su rint, at primus sit quadratus, erit tertiuS quadratus quoque . Et si quatuor numerorum continue proportionalium prior . . , ... sit cubus, erit quartus cubus quoque. Nam trium proporti talium O, N, G, si G quadratus fuerit, , interponetur inter viritate B,dc numeru G unus medius proportionalis F;dc ideo i d fiosuis ex hac propositione inter extremuo,dc unitate B unus quoq;-.. numerus medius proPortionalis intercedet, dc propterea , o quadratus erit. Si vero quatuor cotinue proportionaliu C, E,h fit. II, A prior C suerit cubus h. interponentur inter cubum C,dcoum . unitalcm B duo medij continue proportionales, quot nimirum inter C, dc A interponuntur. Igitur ex hac propositionet disi1.M. diater unitarum B, ct nil merum A duo media quoque in coimiud imua proportione cadenti ideoque numerus A cubus erit
459쪽
Si duo numeri inter se eandem rationem habuerint, quam is duo numeri quadrati , erunt aut ambo quadrati, aut ambo similes plani numeri ; Et duo numeri plani similes, sunt inter se,ut duo numeri quadrati; At numeri eadem rationem habentes, quam duo cubi numeri, erunt, aut ambo cubi, aut similes numeri solidis Et si numeri solidi similes fuerint, erunt, ut duo cubi numeri.
- Sit primo numerus A ad B in eadem ratione quam habet numerus quadratus C ad quadratum D. Dico A, B quadratos cino Ei aut similes planos. Quoniam inter a quadratos numeros C , dc D Ag Fia Big - ι - Unus medius proportionalis caditMem- Na O
mter A, & B unus medius proportiona, im lis numeras cadet, qui sie F. Quare erunt tres numeri ficti ti- i . . nuh pi oportionales A, F, B, & ideo si A quadratus est , ferit e .. ., . quoque B quadratus; sin minus, erunt A, di B similes nume- 35. ri plani. e prop3M Secundo sint R , dc B similes numeri plani, quorum latera huiu/homologa N. dco; dc fiant C, D quadrua laterum N, dc O. Dico A ad B este, ut C ad D. Quoniam e tam proportio qua- ep p
diatorum C, D quam similium planorum A, B duplicata est rationis late in N ad O: Ergoa Aad B est ut C ad D. i 3
Tertio sit numeras A ad B eadem ratione, quam habet ara . s. D. cubus numerus C ad cubum D. Dico A, & B esse cubos, vel ., h, 3. 'solidos numeros similes. Qtioqtam , inter duos cubos nume- h prop. 33. ros C,& D cadunt duo meti uptopontionales nempe E, P; Estque A ad B, ut Cad D. ivissur ,: i , ta . 3 i:
nales numeri cadunt, qu sint G,& Na O si s et H; si propterea eriam quatuor nu- CB Era Fas Da meri continue proportionales A, G, H, B;vnde quando pratar A cubus est, erit it quoque postre era mus numerus B cubus, vel . saltem A, Sc B similes plani erunt. Quarto si re A & is numeri solidi similes, quorum homo, d 2- toga latera N, & O, di fiant laterum N, de O cubi numeri C, m , ρ.sist D. Dico A ad B esse, ut C ad D. Qumam in tam propor, bui.M.
460쪽
nstra . I . tio cuborum numerorum C, D, quam n similium solidorumhuyrum ' numerorum A, B triplicata est ciusdem rationis latcrum N ad' O. Ergo onumerus A ad B cande rationem habet, quam nu- ' mi' merus cubus C ad numerum cubum D. Qus erant ostem
Manifestuna est , quod duorum numerorum, si uterque primus sit, ipsi non erunt inter se , ut duo numeri quadrati: Nam si primus numerus A ad numerum pri-r Ar C Bs mitia Besset, vi quadratus numcruS ad quam. D: F dratum numerum, saltem ex hac propositio, XI ne numeri A, k B cssent plavi similesi&ideo ..- later , eoS Vnu S medius proportionalis cade-q- .. ,- ret nempe C; Cumque fritam numerorum proportionalium iis, . . .. , A, C, B eriremi A, & B sint primi, st ideo e primi inter se;c rprop. iv. dei r inter Vtrunque eorum, S unitatem X unus haedius prinhumi, practionalis numerus D, atque F: dc ideo I A, dc B numerii I, Q. , quis rati essent myroptet ea mcnsurabiles a suis lateribus Mu , D,&F, quod est abiurdum : erati enim Vterque numerugur h- primus.
rq i, , ' PROPOS. XXXVIII. THEOR. XXVIII.
- oti . 'Ex multiplicatione duorum planorum numeroru similium , efficitur quadratus iturnorus. Et duo latera, quadratum efficientia, erunt numeri plani similes. Sint numeri A, & B similes plani, de ex A multiplicato in Ra des ro. sat numerus C. Dico Emeratum esse . Ex A in te fiat a nu- vi d. ' merus quadratus D. Et quia A ,mulianicans numeros A,& Bh f r proclikit numeros D , & C, 5 erunt producti D, di Canter te, o ut multiplicati A, & B; led. iiiter A, & is cadit unus medius si,u,. - . t et v .. proportionalis, eo quod sunt piam si-do o . it. A d H a BOG nutes; Ergo a inter II,&Cvnus in humi. D 36 Ei b G dius proportionalis cadet, qui sit E: