장음표시 사용
461쪽
dratus numerus C. Dico A, dc DCanules planos esse. Flata rudi festo biesus ex Ain se quadratus numerias D, Exit igitur a quadratus numerus D ad quadratum C, nempe producti in eadem prin 'es' portione, quam multiplicati A ad B, ted hinterquadrat , Di h/βη,. , de C cadit unus inedius proportionalis . Igitur inter A, dc B huj vj. unus medius proportionalis cadet qua sit H, jucoque numeri , p . n. A, & B sinules plani erunt. Quod erat ostendendum.
Constat numerum productum ex multiplicatione duorum quadratorum, quadratum esse; eo quod quadrati numeri pia ni similes lunt. i
PROPO S. XXXIA. THEOR. XXIX. di i
IX. 'Numerus productus ex multiplIcatspe inibi numeri in se,ipsum, vel in alium cubum, erit quoque cubuS numerus . Et A . si ex multiplicatione alicuius numeri in seipiuin, vel in- i aliqaem cubum numerum procreatur numhus cubus, i cille cubus erit.
Sit primo numerus A cubus, dc ut unitas X ad A, ita fiat Aad B. Dico numerum B productum ex A in se cubum esse.Sit in C latus cubi A , & a ex C fiat numerus D s Erit igitur D qua- i. Adratu, numeri C ; ideoque . ex multiplicatione numeri Cin h. O D cfficietur numerus cubus As huiui. Quare unitas X ,&C, D, A conti- , Ag Eio Esa Bo niae proportionales sunt. Estquc D unitas X ad A, ut numerus A ad B, C aditur c iniqr A, & u duo medii proe Xaportionales E, F cadent, quot .sunt baeiae numeri C, & D medii in continua proportione inter X, dc Apositi: Cumque A, E, F, dc B continue proportionales sint, Iitq; prior A numeru, cubus, erit a quartus B cubas quoque. - ' Secundo ex multiplicatione cubi ni Io- .u Momera A m numerum cubum B fiat nume- A g B a rus C. Dico productum numerum Ccu- Dod Ca Io . bum esse. Rursus ex e A cubo in sc ipsum te ' .fiat numerus D: Erit igitur D cubus: Et quoniam idem nu- .merus A multiplicans duos numeros A, de B efficit duos nu- . . p . Bbb metos i
462쪽
Seeundo dico numerum C quartum ab unitate cubum esse, & duos intermit- X. Aa B C ses itetes,omnes, ut est numeruS F,dcc. Quμ- DI 6 runiam vi unitas I ad Alita est A ad B, ivi, ' Mi FIEita B ad C, c erit C cubus genitus ex tri- F 6 Mplici multiplicatione lateras A; Cumque huius. pinter C. & F intercedant duo media proportionales D, dc E, d c T. prat. sitque prior C ostentus cubus, is erit quartus F proportiona- io. D usilis, cubuS quoque . Tertio dico tepti inum ab unitate veluti est F,cubum simul,& quadratum esse, Sc sic quinque intermittentes,omnes. Prua me numerus F septimus ab unitate ostensus est quadratus, , h
& similiters F cudus ostensus est. Igitur F cubus simul,& qu et dratus est . Continuentur postea post numerum F sex alii nu- 'meri continue proportionales in eadem ratione, in qua est X ad A, vel A ad B, ita ut inter F, dc postremum M quinque me- dij numeri proportionales intercidant propterea, quia M septunus est ab ipio numero F , erit g quadratus , dc similiter ca apa . t shus. Quare patet propositum. huius pr.
si ab unitate quotcunque numeri continuE proportionales fuerint, & qui est post unitatem sir quadratus,erunt reliqui omnes quadrati, At si ille, qui est post unitatem,sit cubus,
Sint ab unitate X quotcunque numeri continue proportio nates A, B, C, D, E, F, dic. Et primo sit numerus A prox, mus viritati quadratus. Dico reliquos omnes quadratos esse. Q l oniam a tertius ab unitate, ut est a J o B, dc unum intermittentes,omnes, ut XI A Bio cri D, & F quadrati ostensi Ituit; dc poni- Dasstur A quadratus, atque tres numeri EIoas A, SC continue proportion Iles Igb F omtur , tertius C quadratus quoqueis brar myderit: Similiter E tertius post quadratum C, crit quoque qua- so AU-dratus, & sic reliqui omnes quadrati erunt. Secudo sit A proximus unitati cubus. Dico reliquos omnes cubos esse. Quoniam ut unitas X ad A, ita est A ad B: c Igitur e 3 b. ex multiplicatione cubi A in se ipsum efficietur numerus cum huiui.
463쪽
bus B. Rursus quia numeriis C Matius 'porci a uadives. late producit ex multiplicatione nomeri . At in B. iuntque, - A, & B cubi e Igitur a productus , x 1 AC B 6 C si L. icubiis quoque erit Sinuliter quias E D ooci eri unitasci ad A, ita est C ad D; e- iE 3a os rite productiam ex lectando re imi - Pa62r tertium C qqualeproducto ex uni- - - i mitate X iniquartum D, mplere: . numerus D producetur ex multiplicatione cubi numeri A in: is, ' cubum numerum in & propteream cubus erit. Simili ratione numerus E producimr ex multiplicatione cubi numeri A in cubum numerum Drac propterea productiis E Cubm quo, que erit, dc sic reliqui omnes. Qirare patet pmpositum. Il
Si suetint ab unitate quotcunque numeri continue propodi . . . tionales, & uitati proximus. non sit quadratus, neque , o .e alius ullus quadratus erit pr*teriremum ab unitate, dcvnum intermittentes,omnes. At si proximus unitati non sit cubus,neque ullus alsus p ter quartumab unitate,& duos intermittentes,omnes,cubus er1t.
i Sinti ab unitate X quotcunque numeri continue pmP tionales A, B, C, D, E, F, dcc. Et primo, proximus unitati A, non sit quadratus. Dico neque alium ullum quaclitatu esse prster tertium ab unitate,& vnum intermittentes, omnes. Si enim hoc verum non est sit nummus Caea fieri potest,qu a prop. o. draxud ; Cumque a numero B sit quadratus, cum tettius fit hvia,. ab unitate, pariterque D quadratus sit , cum tectivis iit a quai drato numero B, fitque Chia D , ut Abpr. .M.s XI A s B v C ay ad B, erito uiuertendo Bad A, ut DadDgi C: Quarentinietvs Bad fi eandem si Ea s proportionem uadre,quam quadratus, F ao numerus D ad quadratarn numerum C, estque B quadratus; Igitur c nain io, situ i res A,proximus unitati,quadratus quoque erit,quod est contra hypothesin: Non igitur numerus C quadratus erit 3 dc sic reliqui alij m locis paribus potati. Secundo sit a , proximus unitari, non cubus. Dico nullum alium reccubum praeter quartum ab unitate, dc MOS inter-
464쪽
mittensente rimnes , ut solit C. F, dec. Si enim hoc verum non e s 3 rebus, si fieri potest. Et qui a d ut A ad cubum d car t. pr. numerum C, ita est D ad F cum inter eos singuli medii Pro- is laportioreare, ii te cedant habebit nuertendo cubus C ad gyr ' ' SA eandem proportionem , quam cubus numerus F ad cu- bima numerum D;dc proptereasnumeriis A unitati proximus cubus quoque erit, quod est contra livroisin: NIn igitur nu- buta, .merus D cubus erit. E idem ratione nullius alius numerus cubus erit pr*ter eos, qui in locis determinatis collocati sunt. Quod erat ostendendendum.
PROPOS. XLIII. THEOR. XXXIII. EMI M. in
Si ab unitate q io Nunque numeri continuh proportionales
fuerint; vilitas sc quilibet minor eque metientur num reost ima ores qque remotoS; Sc quilibet primus numerus postremum metiens, etia eum, qui Unitati proximus est,metietur.
e Sint ab smitate X quotcunque numeri continue propodi tionales A, B, C, D, E, F. Dico primum quemlibet minorem nunierum B eandem partem esse numeri maioris F atque est unitas pars numeri U qque recedentis ab ea. QNoniam 'ex aprap. ia. coni positione ordinata , ut est X ad D: ita est Bad F, propte- lib. rea quod 'treque proportiones quadruplicate sunt simplici uiua proportionum c. ad D, vel X ad A, & est unitas numeri B pars : Igitur , B ipsius F eadem pars erit, ac est unitas X b d 8 lib. ipsius D. od erut ijsteridendum . . Secundo primus numerus H metiatur vltimunt F. Dico Hidlimi A metiri: Si enimaicie mina non est, etit . H ad A pri- P . nisi cum H prinius humerus supponatur: Cumque . B fiat L . , ex mul ipi carione A in se,eD quod t iocui . . est ut X ad A, ita Amd g , eritis ad XI AG Byci Calci e cor priri reprimi v. Et quia a tabo A, Sc B Η DIaso butus. sivit ad in ineriam H primi fatque E g o f. s. in C fit x diictu A in B co quod est ut F sati S ci b- tu .
H primi sinat, aerum gignitur numeruq D ex multiplicatione A 'in C eo cluod T ad x est . ut C ad D: Igitur H ad ipsis in D pri- i coclis pr. h. inus emcadcin ratione H ponat crit ad E & ad F. QNare nu- huius ,
465쪽
numerum B: Tandem quoties E metitur B toties X metiatur ipsiim F; Vnde, ut prius F mensurabit numersi B de multiplexerit ipsius A. Et quia idem numerus B procreatur ex ductu E in F, atque ex ductu A in se ipsum hi erit ut A ad F, ita E ad AsSed A metitur ipsum F: Igitur E metitur ipsum A, maior mi- norem numerum primum, quod est impossibile. Quapropter
nullus alius numerus preti r A, B, C mensurabit maximam numerum D. Quod erat ostendendum.
Si tres numeri continuE proportionales minimi fuerint om- nium cum ipsis eandem rationem habentium, duo quilibet simul sumpti ad reliquum primi erunt. Sint tres numeri A. B, C continuE proportionales minimi omnium cum eis eandem rationem h ibentium. Dico primo loco A, &B simul sumptos ad ipsum C primos esse. Reperia tura duo numeri D,& E minimi in ratione A ad B, aut Bes ''
ad C, dc flat F qqualis D, dc E simul sumptis ,atque G sit quadratum ipsius F. Manifestum est ( ex iis, quq dicta sunt in pro-Positione a h as huius unitatem X ad D esse, ut D ad A, de ut x ad D, ita esse E ad B, atque ut X ad E, ita esse E ad C ' D sis , , ad B. Unde constat quod , , ut unitas X ad D, ita sunt D, & EIniit, idest F, ad A,& B simul. Et quoniam D, dc E minimi e M. o. huὴ sunt in ma proportione, erunt e inter se primi; ideoque . D & . E simul sumpti,idest F ad ipsum E primus erit. Est vero D ad des.
E etiam primus: igitur D, dc F prum sunt sm o iad eundem numerum E: Unde e produ- Ao Bia Cis
erunt ad productum ex E in se ipsia, ideo- Xaque numerus C, primus erit ad aggrega- F tum ex A, & B. Dico secundo duos extre- G omos A, & C, simul sumptos, ad ipsum B intermedium primos esse. Quoniam D,& E primi sunt inter M se: Ergo eorum summa F ad quemlibet ipsorum D,vel Epri- 'maest: Igitur a productum ex D in E , scilicet numerus B, primus quoque erit ad G productum ex F in se ipsum. Et quia,ut ii e. .pr. dictuni est, X ad D est, ut F ad summam A, B, & ut X ad E, ita lib. s.
est F ad summam B C: Ergo b ut X ad D simul cum E, idest ad i pr.rF,ita est E ad A, B,una cum B,C.Quare numerus G productus
466쪽
ex F in se ipsum qqualis est A , dc C uni cum duph,
dij B: Igitur A,& C una cum duplo ipsius B,primi erunt ad numerum B, sicuti B,& G primi erant; & h eorum differentia is nimirum summa numerorum A, C, S B prima erit ad num rum B: & rursus horum differentia , scilicet numeri A .& C. simul sumpti, ad ipsiun B primi erunt. Quod erat propoli tuta
Patet ex hac propositione immeatu quadratum maioris late ris sit perare quadratum lateris minoris, & ea cessum squalem esse quadrato differentiae laterum cum duplo med ij propoditionalis inter duos quadrgros ex differentia, ix ex minori latere factos. Nam quadratus G lateris maioris F equalis fuit quadratis A, C cum duplo medii proportionalis B : ergo excessus quadrati G maioris lateris F supra quadratum A cx latere minora D, cqualis est quadrato C ex differentia E cum dusto ipsius B viedij proportionalis inter A, dc C. S c H o L I UNon erit diFcile ex hac propositio ne reperire numerum quadratum scutuI dua Por. Iones, aut aena tantum, aut neutra sit numerus quaerat T. . m. sumatur quilibet numerus quadrami
467쪽
Tertio fumatur quilibet p numerus primus impar qui quadratus non erit, q cum d nuD E Id Io latere numerus primtis metiri pose; dis- A Hsos Nicta r eadem constructione, erit eadem rationera C D s X I
uilibet numerus a binario duplus,pariter par est tantum. Et si dimidium impare habuerit, pariter impar est tantum. Et si dimidium habuerit parem.& non fuerit a binario duplus, Pariter par, dc pariter impar erit.
pli . Daco quemlibet eorum C esse pariter pare tantum.Quoniam A, B, C, D sunt ab unitate X continue proportionales, di A unitati proximus, primus numerus est (cum binarius ab unitate tantum metiatur : Igittet a nullus alius numerus prae- Xi Aa B Cs Diorer ipsos A,B,C metietur quem- -- Η labet ipsorum, ut C: Suntque , omnes A, B, C, D pares: i'. Ergo tantummodo par numerus per parem numerum me- tietur numerum C; ideoque e quilibet ipsorum C pariter par tui. est tantiun.: Secundo numeri A sit semissis B impar , dc C sit binarius, ita ut ii impar B metiatur A per parem C. Dico A esse tantum d dIA.hu- pariter imparem. Si enim hoc verum non est, . erit quoque numerus A pariter par. e Q ire D E . e deci . . numerum A metietur aliquis par numerus D Aio per alium numerum parem E: Ergo rex mul- B o C atiplicatione D in E iu numcrus A ed idem Aproducitur cx Bm C: Ergo gut Dad si, ita erit C ad E; sed Ais, a b. binarius Cneci Tarso pat, est , dc metitur parem numerum E ,u,.s eo quod par numerus est aggregatum plui iii binariorum hao . in Igitur par numerus D Aps uni B1 nparem victitur aliquot leS, . . haiae . quod cit impossibile. Utuire numerus A tantummodo est P
Ter D sit numerus A par, cuius dimidium B sit par, dc Anon sit a binario duplus. Dico A pariter parem csse,dc pariter imparem. Fiat binarius D ad vilitatem X, ut A ad eius temibC c c ieiu B.
468쪽
ides'. u. sena B. Igituri ex multiplicatione paris D in parem B essicitur' A, & h propterea A pariter par erit. Postea sit C semissis i P si , sius B & sic ulterius, peruenietur tadem adim Aao E parem numerum, alias non esset A a binatio B io D a non duplus; Sit iam C numerus impar, di fiat EC s X i duplus ipsius D, dc sic vlterius, quousque inuditi termini X, D, E tot sint, quot sunt numeri et . . .. B, A,suntque tam hi,quam illi successiae in proportione sub- dupla: Ergo i ut unitas X ad E , ita est C ad A; ideoque is ex
ud , ,-- multiplicatione numeri Cin E procreatur numerus A, estivi que E par, cum sit a binario duplus, dc C erat impar. Ergo AB des. .-- genitus ex pari h in imparem erit is quoque Pariter impar, i Qus erant ostendenda. aegri r. h rc MOLIUM.
Decem propostiones a Musima ad trigesimam libri noni facili ex
dictis colligi possunt. Nam si pares numeri componantur. aut multiplimae dos hin centur , cis Hier ab altero tollatur, pares numeri essicientur, cum o pam aer . res omnes a binario mensurenturiEt se pari numero addatur, vel gast P . I ae ratur impam,compositum p ,avi residuum impar erissat si ab impare toti aerare. tur, HI ei addatur impar, essetetur par, eo quod duo impares excetant duos numeros pares duabus unitatibus, scilicet binario, seu pari. Tan dem impar numerus, multiplicans imparem, incit numerum imparem, eo quod multitudo numerorum imparium multiplicatorum excedit totidem numeras pares tot aenitatibus, quot sunt ipse numeri multiplicari ;Sed numeri multiplicati imparem multitudinem componunt. Igitur pro ductum,prater pares numeros,habet etiam imparem , di propterea tot iimpar erit,
Si sint quotcunque numeri continuo proportionales, quo rum prior sit omnium minimus, erit differentia primi, 'secundi ad primum, ut differentia minimi, & maximi ad
Sint continud proportionales numeri A, B, C&D, quin rum maximus sit D & minimus A, sitque excessus secundi Bsupra
469쪽
supra A numerus E,& excessus tertii 'eti C supra secundum B sit H, atque G Eo His G s sit excessus maximi D supra C dc fiat A s Bo Ca D si F qqualis ipsis E,H,G, simul sumptis; F spatet excessum maximi D supra minimum A qqualem esse numeris E, H, G, simul sumptis, siue numero F. Dico numerum E ad A eandem rationem habere, quam F ad numeros C, B, A, simul sumptos. Quoniam inuertendo a D ad C eandem rationem habet, quam C ad B, dc syris iis agam Bad A; erit, diuidendo duorum D, C differentia G, ad , vi H differentia duorum C , B ad B, ct ut differentia E ad A di & c omnes antecedentes G, H, E simul, idest F ad omnes : re consequentes C, B, A simul sumpto , eandem rationem ha. 'bebunt, quam unus E ad unum A. Quod erat propositum.
Numerum reperire ,qui qqualis sit omnibus partibus eius Smul sumptis. Vocetur talis numerus Persectus. Ponantur ab unitate X tot numeri A, B, C, D in proportione dupla , quousque ex omnibus simul sumptis componaturniamerus E, qui fit primus, & ut X ad D, ita fiat E ad F. Dico numerum F equalem esse omnibus partibus eius, idest squa- Iem esse unitati, & alijs omnibus numeris, qui ipsum F me, iurare possunt. Quot sunt numeri A, B, C, D,tot numeri fiant ab E in dupla proportione, sintque E, G, H, l. Et quia A, B, C, D e.indem rationem habent, quam E,G, H, I erit ex g com-Positione ordinata, ut A ad D, ita E ad I; erat autem ut X ad D, ita E ad F: Igitur , ut X ad eius duplum A ita erit I subduplus numeri F. Quare E, G, FI, l,F deinceps dupli sunt. Deir natur ex ta secundo prior numerus E, sitque excessus M, qui qualis erit ipsi E, propterea quod G ponitur duplus ipsius Esi Paraterque ex postremo F detrahatur prior numerus E; sit-Zue excessus N: igitur ut Mad Ebita erit Nad numeros E, . -
, H, I, simul sumptos: Estque M equalis E: igitur . N qqua- .... ' lis est ipsis E, G, H, I simul sumptis: Erat autem E squalis ip- d e . i. M C c c a. sis X,
470쪽
sis X, A, B, C, D: Ergo duo numeri
X i Esi simul sumpti N, de E , idest numerus M si F aequalis erit omnibus X, A , B, C, A a G 6a D, E, G, H, i simul sumptis: Cumque
e pr. is M. 3 R - ut X ad D, ita sit E ad F,erire permu-B HI ag tando, vi vinitas X ad E, ita Dad F;&i corpr. r. O proptereasD, atque adeo g reliquae huiui cs a s omnes eius partes X, A, B, C metien-Gβ b s. N 6i I tur numerum F. Postea quia I meti- Dio F os tur ipsum F, cum sit eius semissis, . ... metientur , quoque reliqui H, G, E deinceps subdupli eun-R numerum F: Quapropter unitas X, & ringuli numeri A,
nullus alius numerus, pr*ter A, B, C, i , E, G H. I,metitur ip- a. . , . sum numerum F. PUnatur numerus O, qui sit quelibet mei,
tu, . ' sura numeri F, & ut O ad F, ita fiat unitas X ad R; , Quare. idem numerus F esscitur ex multiplicatione numeri E in D, p g.huiu, atque ex multiplicatione R in O: Igitur h. vi Ead R, ita erit 1 prv . . O ad D . sed D non me suratur nisi a numeris A, B,C, eo quod uiui . hinarius A unitati proximus prunus est, ergo O diuersus ab m c d .ub ipsis A, B, C, non metitur D; iv m ideo E non metietur ipsum 3 . R. Cumque numerus Est primus, eritis quoque ad ipsum Ro , . buiti, primus 3 ct ideo ' E, R in sua proportione minimi erunt, &t propterea, toties Emetietur ipsum O, quoties R mensurat ipsum D; Sed numeru D nullus alius mensurare potest praeter aliquem pr*cedentium A,B, C,ut dictum est: Igitur numerus R equalis erit, aut ipsi A, vel B,vel C: Ponatur ergo R equat is , ii Asnumero B. Et quia ut B siue R ad D tertium proportionalem, i, lib. ita ' est E ad H, cum tam ill*, quam hy proportiones duplaetis. sint: Estque q permutando ut R ad D, ita E ad O ; igitur mu-
γ. .sib. i. merus O aequalis est ipsi H. Quapropter quilibet numerus O, dimetiens numerum P diuerius esiste non potest ab ipsis A, B, C, D, E, H, I: dc propterea numerus F tantummodo mensaratur a numeris A, B, C, D, E, G, H. I; estque numerus F aequalis unitati X, & omnibus numeris A, B, C, D, E, G, H, I. Igitur patet propositum. Vocetur numerus F, supradicta lege conitatuS, numerus Perfectus.