장음표시 사용
471쪽
Post expositionem elementorum Arithmetices considerantur in hoc postremo libro tymmetri q quantitatum, quae obscuro ab aliquibus, ab omnibus vero per quam prolixe exposit* fuerunt, de methodo non uniuersali; Nam agunt
tantummodo de commensurabilitate, & incommensurabiliata te linearum,& superficierum planarum; at ego compendiose hanc mathematices partem reddo uniuersaliorem; SNquidem cuilibet quantitatis generi conuenire easdem proprietates ostendo.
Si fuerint tres quatitates eiusdem generis,& ut prima mus locum vnitatis habeat) est ad secundam, ita fiat tertia ad quartam, vocabitur quarta proportionalis: Productum ex secunda in tertiam. I I. Et si fuerint due quantitates, & quam proportionem habet prima (quq ut unitas usurpetur ad secundam, ita sit secunda ad tertiam, vocabitur tertia proportionalis Quadratum ipsius secund*, aut Potentia, vel Quantitas quadrata. Et secunda vocetur Latus pr*dictS quadrais quantitatis.
Franciscus Mauroldicus Messaliensis, qui praecedenti faeculo Mathem licas mentias, barbarie corruptas duo pristino vitori primuI omnium rem Ilirarit,praeter alia ingrauosissima eius inuenta, hanc parrem, qua de qua titatibus a mmetris agit, mirifice ati phauit, di praecipue animaduertit Operationes numericas adaptari posse quibuslibet quantitatibus eiusdem gencris ,me commensurabilibus ,me non: Tanti intur iuri Mitigia stactando conabor breuiori,di clariori methodo partem hanc Mathematices pro viribus illustrare. Itaque licet numeri plani easdem passiones habere videantur, quas habent superficies plans rectangulae, nihIlominus valde disci uim inici se . Nam plani uumeri , , H geniti ex D ducta in is e B, habent aliundinem communem D,-bses eorum sunt ADisiligod by Coos e
472쪽
app.r .lib. 8 es a planus ninertis Rad planum H, H bases A ad basim B , O Meh pr i lib. etiam b verificatur in superficiebus rectangu- φ . . a iii . R i s H ao lis; sed disserunt, quia c unitas x ad altitudis As B nem, seu multiplicantem D habet proporti D s nem aliquam, eandem,quam basis, seu mul-X r tiplicatus numerus A ad planum, te, productum numerum I s hoc autem in superaciebus rectangulis locum non habet; Nam neque punctum ad altitudinem D,n que bases Aadsuperficiem R proportionem habere potes ullam et Itaque is in numeris unitas, actitudo, basis, di planum sunt
- - : eiu cm generis , idest sunt omnes qua states line i res. Vnde colligitur , qv δ d in quibuslibet quantitat, I Lm -- bus eiusdem generis usum habere potes operatio an si- i multiplieationi; Bropterea quod d qualibet proportio duarum qua litarem eiusdem generis, vi motuum, veι temporum, Sc. est commens rabilis aut incommensurabilis, primam duo numeri, secundam sis rectas dis ' linea exprimere possunt, vi s pondus ponderis partes Dei it e reperiri r. o. d pess tint duo numeri eandem proportionem habentes, in e conuerso communis mensura duorum prederum mitiplicata dabit terminum secum i 'rum ' dum proportionis : At si fuerit incommensurabilis f qualibet recta linea ad aliquam aliam eandem proportionem habebit , O ideo qualibet promportio duorum ponderum declarari, di exponi potes in duabus rectis inneis, dis ut pondus ad pondus ita intelligi, aut poni potes quelibet recta linea ad aliam rectam lineam, di e conuerso. Itaque se fuerint irraquantitates A, B, C eiusdem generis, suesint magnitudines, siue motus, aut tempora, dic. di, ut A ad B, ita povatur C ad quartam proportionalem D; Uocatur D quantitasA E C . . D . Traducta ex Bin C; Et Boe C Hea
ad B, ita B ad D vocabrtur tertia promportionalis D quantitas ctuadrata, seu Quadratum absolute , in B erit eius latus. Itaque ha operationes Disanalogae multiplicationi numcrorum; Nam in tenet locum Mitatis, B Ω- cum multiplicantis ,seu altitudinis, re C locum multiplicati , seu bases, o D vicem gerit plani multiplicati. Tandem animadvertendtim est no-gFAM,u mine Quadrati alicuius linee intelligi debere g superficiem quadratum os supra definitam; At quando dicitur quantitatis uuadratum tunc proprIestnificatur quantitas analoga quadrato, siue tertia proportional;s In hac definitione exposita : At generaliter nomen quanritatis quadrate murmpabitur in viraque signi catione, , comprehendet, nedum super emplanam quadratam sed etiam quantitatem quadratam; ct nomen Pr
473쪽
dum duarum quantitatum significabit, nedum parallelegranemum rectangulum ,sed etiam quartam quantitatem proportionalem D paul. an- se definitam a in latera moducti significabunt nedum lineas rectas contis nentes rectum angulum spatii plani ,sed etiam secundam B, ct tertiam Tritatem E, qua cim mutate A, di producto D quatuor proportiona- conficient.
Lineq, seu quantitates simplices eiusdem generis habentes communem aliquam mensuram, vocentur longitudine C men surabiles: Si vero nulla linea, vel quantitas reperiri potest, quq communis mensura sit illarum linearum , vel quam litatum, vocentur longitudine Imcommensurabiles. I V. Lineq, seu quantitates eiusdem generis, quarum quadrata
eadem quantitas comuni mensura metitur: vocentur potemtia Commensurabiles, Si vero nulla quantitas reperiri potest, quae utrunque quadratum metiatur; vocentur quantitates , vel lines, quq latera eorum sunt, potentia Incommemsurabiles. Ut si dua rum linearum, vel quantitatum A, OB fuerit c communis mensura, idesta Afuerit partes iratis B : dicentur A, di Blongitudine ad s. M.
Commensurabiles; si vero di nulla mensura commvis 3 reperiri potestimarum A, OB : νocentur A, FB A - - b Aboris prilangitudine Incommensarabiles. Si postea quadrati iv ' ex A, di quadrati ex B reperiri potest aliqua eam. munis mensura, que sit quadratum ex C: Tunc u cantur latera A, ct B potentia commensurabilia. At f nullam quadratum reperiri potest, quod si communis mensura quadratorum ex A, diras: Tunc appellantur A , , Potentia incommensurabiles t ammaduertendum tamen est eiusdem gemneris esse debere quantitates A ct B; quod licet multoties in hoc Zibro non repetatur, semper jubinteuigi debet.
Si inqqualibus qquales addantur, vel auferantur, erit differentia priorum silaalis differentis Postremarum .
474쪽
I I. Et si ab diualibus iniqualia tollantur: differentia ablat rum squalis erit differentis residuarum.
Si enim A BFit maior, quam c D exressu EB, - ipsis A B , O C D addantur, vel auferantur sqtiales fi F A., GC: Pariter summa F B superat I mmam. D G D, vel disserentia F B superat disserentiam G D e dem excessu E A. Si posea ab squalibus AF , in CF G auferanorum inaequales B maior, in C D minor aquarum excessus sit E B. Manifesum es res amac BF deficere a residuo G D eodem derecta B E.
Quadratum ex aggregato duarum quantitatum aequale est summ* quadratorum earundem quantitatum , di duplo'. produat ab eisdem quantitatibuS. .
Sint dusquslibet quantitates eiusdem generis A, S B. Di.co quadratum, cuius latus est Iunima quantitatum A & B se quale esse quadrato ex A, Quadrato ex B una cum duplo producti cx A in B. Sit X quani lias eiusdem a d x x X generas, cus ut vini si I ouatur, S a ut X..htius ' A B ad A, ita ponatur Aad C, atq; ut X ad A,ita h p .r C DF E fiat B ad D: igitur. A ad C erit, ut Bad D;α'Pr. Isib.3 proptereac iumn a ipsarum A,S Bari ita mismam consequentiun, C, S D eandem Pr I Ortiianem hiabe-hit, quam una A ad unan C, seu quant X habet ad A. Ruius ut X ad B, ita fiat B ad E, & ut X ad B, ita fiat A ad F: Qualet , ut prius A, & B simul iumpis, ei unt ad E,ci h simul sumptas, ut vita B ad unam E, leu ut X est ad B ; Sud prius, ut eadem X ad A, ita crat eadem summa duarum A, S B ad aggregat umex C, & D: git ur a quam proportionem habet X ad duas coim dc Dy - sequentes simul A, de B eandem proportionem habebit ca- dcinflamma A,& Bad quantitates C, D, b , SE simul silm- ptas: Quare e aggregarum ex C, D, F,& E erit quadrat tam , C ....h, cuiuS latu S est summa quantitatum A, S B. Et quia ut X ad i. -B, ita crat A ad F; Ergo ermutando, ut X ad A,ita erat B ad
475쪽
Bada F, atque ad D eandem rationem habet; Et propthrear: gyr et i 3 dc D uales erunt: Et est C quadratum ipsius A,atque Eest h'. AF guadratum alterius B. igitur quadratum ex aggregato A, dcqquale est quadrato ex A, quadrato ex B, una cum duplo producti ex A in B. Quod erat ostendendum.
inducitur ex demonstratione huius propositionis, quod quantitates quadratq, scilicet illq,inter quas, dc tertiam quam litatem singuis messis proportionales cadunt, sunt in dupliscata proportione laterum, seu mediarum proportionalium . Nam a permutando ut A ad B, ita est C ad D, dc ut eadem i I. A ad eandem p sta etat F, seu D,ad E: igitur CaD,dc E con- it i tinue proportionales sunt in ratione A ad B ; Eti propterea ' ' quadratum C ad quadratum E duplicatam rationem habebiccueris A ad latus B; e conuerso. et . . . COROLLARIUM II. - ,
Patet etiam si quatuor quantitates quadrate fuerint pro- . Portionales, esse eoru latera proporrionalia, dc e conuueris.l Nam lubduplicats m proportiones earundem propoItio- meer. i. r. num esdem sunt quoque inter te,dc e conuerso. '. .F.
Quadratum differentit duarinis quantitatum inqqualium mc quale est excessui summae duorian quadratorum ex eisdem quantitatibus supra duplum producti ex eis.
Sit quantitas A maiors di B minor, earumque differentia SitH; a ut X Ioco unitatis posm, est ad A, ita fiat A ad R ari P .riterque fiat o quadratum ipsius B , dc M sit quadratum ipnus H, atque Nis productum ex H in re lB. Quoniam , quadratum R lateris A, sc . seu aggregati duarum quantitatum H, dc B, quale est quadrato M, qua- Rc ridrato O, una cum duplo producti Ni -- Ergo addito communi quadrato O serunt duo quadrata R. dc o simul su- - - Pta equalia quadrato M,duplo prodivi
476쪽
. . Nis duplo quadrati O, simul suratas : Sed quia ureadet X ad eandem B,ita est id ad N,&ita B ad ot Ergo e duq H , Bas, i 3. simul, idest A ad N O simul, erunt, ut B ad O,leu ut X ad/ f Et propterea a N, O erit productum ex B ut A: Igitur quadrai ' tum R una cum quadrato O aequale erit quassi ato M, una eum duplo producti ex A in B ; Et propterea summa quadratorum ex A. R B, scilicet R, dco iuperat duplum producti ex A in B,estq;excessus quadratum M. Vnde M.quod eli quadratum ipsius H, different s duarum ii qualium quantitatum A,&B, aequale est differentis, leu excessu summ* qu dratorum ex A ,&ex B supra duplum Producti cxa in D. Quod erat ostendendum. PROPOS. HI. THEOR. III. Differentia duorum quadratorum squalis est producto exat. gregato, & ex differentia laicrum eos inde quadratorum. Sit maior quantitas A B, minrar verio BC, Sc ex maiori AB secetur B D ualis tinnori BC Ergo ipsarum AB ih Η summa erit A C, differentia vero erit A Bs Et fiat aut X i quin unitatis Iocum habet, ad A D, ita ADid E, atque ut X eandem A D. ita fiat o B ad F,. dcxi tertio ut x ad A L , ita fiat B ta ad A P .c attam proportionale iri, E 'F H qualis, erit eidem F(ctim C in ded os quales sint). Mamaestum est
tres . antecedentes A D, D B, α BC simul rumptas habere ad omnes consequentes E, dc duplum F, simul tua pras,eand proportionem, quam una A D habet ad unam E, leu ean eiud fi bm quam X habet ad ipsam A Da Et propterea a E una cu m du--e- Dio ipsius F erit productum ex disserentia A D in inmmam AC laterum iniqualium A B, ct B C. Dico iam excestum aequadrati ex A B supra quadratu ex R C esse productum cona.' positum ex E viri cum duplo F. Fiat, ut X ad B C, ita B C ad - H , erit . H quadratum lateris B C. Et quiasquadratum ex latere A B, composito ex duobus segmentis A D, & D B qqua- fy le est quadrato ex A D, scilicet E, de quadrato ipsis D in seu et equalis B C, scilicet H. una cum duplo producti ex ADtio D B, seu in BC, scilicet duplo ipsius F ; dc lumina quadratorinn E,&Η una cum duplo producti P cicilicet quadratu
477쪽
ex maiori AB snperat ipsum H, idest quadratum minoris BC,estque excessiis compositus ex Ecumdnplo ipsius F. igitur excestus quadrari ex maiori A R supra quadratum minoris BC est conlpositus ex Ecum duplo F. Sed E cu duplo F equale est producto ex differentia A D in aggregatum AC earundem me ali lini A B, ct B C. igitur di fierentia quadratorum ex A B i re ex B C qualis est producto ex di iuventia A Duc
aggregatum A C earundem quantitatum inequalium A B, hB C. Quod erat ostendendum. C H O L I U
Ex his tribus propositionibus facile colligitur verificari in reliquis quantitatibus, ea qua in prima , di tertia propositionibus lib. I I. Rendit Euclides. Productum g enim ex altitud ne I Dis eandem AD , g pr. 3. , p.rnquam basim fuit ipsa E; atque in basim B D ducta fit F, pariterque s '- ., Ac ducta fuit altera F, ostensum fuit, quod productum ea AB in amyregatum A C equale est producto E cum duplo F. Simili modo possunt reliqua passones hisce quantitatibus adaptari, qua b in numeris, em a in h- superficiebus planis rectangulis osten sunt . Visei fuerint quatuor quan ' ' ' litates proportionales eiusdem generis M,N, Rodi S, erit prochim exprima M in quartam S squese prosi ti. ex munda N in tertiam S era re P. Si enim sumatur q-libet quantitas R, Redloco aevitatis , qussu ei Am generis cum illis, cili, Ch . sin fiat ri x ad AI, ita S ad productura Z, D- mur QT rituri; fiat ut x ad mita Rad T: erunt Z, 'T g 's quasei Inter se. Nam si rixad N, ita fiat S adli ita la,cru i permutando. ut x ad S, ita N ad x p Η - rite Fermutando m n eadem ae ad eamdem S ta erit dis ad Z Eet' a Miad Z erii, MN ad x: in iterum permutando erit Z ad x ,-Mad N Eodem modo quia duae rationes R. ad T , dis ad T sunt eadem dini tertit rationi X ad N ; Ergo F ad T in .H S ad T ; Ergo permutando T ad T Aerit, vi I ad S; sed prius Z ad X erat , vim ad N ,seu ut ad s. Igitur Z ad x est,m T ad eandem L. Et propterea OZ, T eqMaliaesunt inter 'Hi 'se. Eodem modo remersum demonsrubitur. Et sissemit tres quantit
res proportionares,erat quadratum Productum ea intermedia squale pla- t.
no produsso si extremis. Itaque s eadem quantitas in Gai alias produ- -- eatur incientur dua quantit res producta, qua erunt inter se, M 'od centes . Nam ex ductu N m acta es T, di ex ductu eiusdem Niv SD-cta est X: O ostensum est productum T ad R habere eandem rationem, qua Rad S: Idive sunt veluti bam,di N iure gerit comum altitudinis .
478쪽
Similiter applicatio alicuius quantitatis productae ad aliquam adiam quantitatem est inuentio quaris proporuionalis duorum laterum dicti. producti, di tertis quantitatis. Vt si productum Z, cuius latera sunt Aff., S applicandumst ad latus A fieri debet,ut Rad S ta a I ad N--- que amoeN noua Iaetera eiusdem producti Z. Non aliter se adiciam quam
litatis quadrata reperiri debeat eius latus : Debet tantummodo iuuemri media proportionalis inter assumptam aenitatem, in quantitatem qM
dratam . Eodem modo relique passiones, qua de figuris numeritis o temduntur possunt omnino quibuslibeι aut a quantiaribus continuis ad Wari .
Si . fuerint duq quantitates inter ouas, dc inter earum sunt. inam mediae proportionales positae sint: erunt quadratata, ex postremis medius proportionalibus,simul sumpta equalia quadrato ex aggregatos atque productum ex eisde meis diis proportionalibus aequale erit producto ex media prinportionali inter quantitates datas re eorum sumnam.
Sint B, dc C duq quqlibet quantitates eiusdem generis,quarum summa sit A, dc inter B, MC sit media proportionalis M. atque inter A dc B sit media proportionalis D, pariterque inter A, dc C sit media proportionalis E, de sumpta X pro Ob M tate is fiat, ut X ad A ita A ad F, atquebae ' - , It vix ad A, ita fiat C ad H, pariterqu*
B P- ut X ad A, ita fiat B ad G: erit igitur H
productum ex Ain C; sed, quadrata uia.. G---PPaex Eaequale est producto ex A ni C. ( cum E sit media proportionalis inter
A,di C): Ergo H est quadratum ipsiusE. Similiter productum ex A in B, sic, licet G equale erit quadrato mediaeproportionalis D. ostendendu modo est quadrata G,&H limul sumpta squalia esse quadrato F i Quia ut X ad A , ita facta est C ad H, atque B ad cyp r.er i s G, estque A ad F, ut X ad A: Igitur ut A ad F,ira sunt due B, i. dc C simul sumptae ad duas G, & H simul sumptas, sed antecedentes squales sunt inter se, nimirum Aipsis B, &C simul sumptis: igitur a consequentes inter se squales erunt, scilicet de r. ipf, F ipsis G , sc H simul sumptis. Quapropter quadratum ipsius fi tquale erit duobus quadratis ex D, α E, simul sumptis.
479쪽
Seeundo Dico productum ex D in E aequale esse producto ex A in M. Quoniam A, D, & B proportionales
sunt, pariterque A, E, C continue proportiona- Ales sunt: Igitur e proportio extremarum B ad C D E e cor t. n.r duplicata erit proportionis ipsius Dad E: Est ve- BM Cro M inedia proportionalis inter B, dc C; Igitur Bad Merit, ut Dad E; quadratum g autem ex D ad f-r, 3 pr. productum ex D in E est, ut Dad E, propterea quod habent '' 'Deandem altitudinem D; pariterque productum ex A in B ad 2 . productum ex A in M eandem proportionem habet, quam Bad M cum A sit productorum communis altitudo : , Igitur i. s. quadratum ex Dad productum ex Din Eeandem rationem habebit, quam productum ex A in B ad productum ex A in . M ; sed, productum ex A in Bequale est quadrato ipsius D, is , pr. 3.1nediq proportionalis inter A, dc B. Ergo productum ex D binui. in E equale erit producto ex A in M. Quod erat ostedendum. cor. i. tr.
Manifestum est, si quantitates A, D, E fuerint Ii nee rectae, constituere triangulum rectangulum,cuius hypothenusia erit A. Nam in triangulo rectangulo i perpendicularis ab angulo recto media proportionalis est inter segmenta hypothenusiae, di latera media proportionalia sunt inter hypothenusam, dc conterminalia segmeta eius,facta a perpendiculari, Et v pro- msi, o. pterea M erit perpendicularis ab angulo recto, dc D dc E erut i .. in pr. latera dicti tr1anguli rectanguli. Lot. 5.
Deducitur etiam, qua ratione reperiri possit latus potens differentiam duorum quadratorum in ualium. Fiat, is ut A n . . .-- latus quadrati maioris ad D latus quadrati minoris, ita D ad /B, dc o inter A, eiusque residuum C reperiatur media proportionalis E. Patet ex hac propositione esse E latus quadrati differentialis inter quadrata quantitatum A, & D.
si eadem quantitas bis diuidatur, sine interius, siue exterius, ita ut segmenta ex pruna diuisione facta, inequalia sint serum
480쪽
mentis postremis: dupli producti priorum segmentoruma duplo producti posteriorum segmentorum disterentiaequalis erit disteren ta duorum quadratorum ex prioribus tegmentis a duobus quadratis ex posterioribus segmentis.
Sit eadem quantitas A B, bis secta intem F rius in C & D, vel exterius, ita ut scymenta priora A C. & C B inaequalia sint et D B oosterioribus segmentis AD& DB &F
aequalis sit duplo producti ex A C inc B, atque G sit aequalis quadratis ex AC,& ex CB; pariterque Κ lita qualis duplo producti ex A D in D B, & M sit aequalis quadratis ex A D & ex D B,ato; N sit aequalis
quadrato ex A B. Dico di fierentiam inter F,& k aequalem esse differentiae inter M, sc G. Et in primo casu a secetur A B bifariam in H. Et quia supponuntur priora seementa A C, C B inaequalia posterioribus egmentis AD, DB, non erunt ambo segmenta A C, & A Ua Qualia inter se, dc ablata communi A H, erunt residuae H C,S H D inaequales ; Ponatur H c. minor, quam H D. Postcoquia duarum inaequalium A H, & H C sumnia est AC, disterentia vero est C E eo quod A H, & H B aequales sunt inter se Ii erit , quadratum ex A H aequale quadrato ex H C simul cum producto ex A C in C B, nimirum contentiam ex aggre- v gato. & disterentia ipsarum A I di H C.PPU x et ratione eidem quadrato ex A H aequali B C D erit quadratum ex H D una cum producto ex A D in D B: inare quadratu ex ri C, una AA cum producto ex AC in C B qquale erit qua / diato ex H D una cum producto ex A D in FI D B: Sed c quadrarum ex HC minus est quadrato ex H D, cina latus H C positum sit minus, quam H A' Ioitur reciproce productum ex A C in C B maius erit producto ex A D in ira. At in secundo casu quia eidem A B adduintur in*quales B C, & B D: Manifestum est productum AC dsimiliter inaequale esse producto A D B; Quare duplum pducti ex A C in C Radcit F, inaequale erit duplo producti ex AD in D B. scilicet ipsi N. Et quoniam d in pruno casu quadrato rect i totius A B, scilicet quadrato N equalia lum quadrata ex A &ex C B, & duplum producti ex A COC B.. erunt U, r ae