장음표시 사용
481쪽
alia Quadrato N. Pari ratione eidem quadrato N aequalia erunt M, dc Κ. igitur F, , simul sumpta aequalia erunt R,&M,simul sumptis Cum igitur ab his aequalibus aggregatis torum tantur inaequalia F, dc Κ: erit e differentia ablatorum aequalis edafferentiae residuorum. Quare eodem excessu superabit F ip- ssum N, ouo M superat ipsunt G. At in secundo casu quoniam quadratum ex differentia . De g A B, scilicet N, una cum duplo producti A C R, scilicet F ae- 'quale est duobus quadratis ex A C. iv ex C B, idest ipsi Gi Ee pari ratione quadratum Nivna m Κ qquale erit ipsi M: Cumque ab inaequalibus G, ct M tollat ur Commune quadratum adi: eritg differentia inter residua F, dcΚ eadem, quae inter tin ta G, dc M, quod erat probantium..' . Alio ' s
Si duabus quantitatibus propositis inequalibus detrahatur
semper minor de maiore alterne, det reliqua nunquam praecedentem metiatur incomentiarabiles erunt ipse quam
--nt duae quantitates inqquaks A B, ,h C D, dc minor A Bauferatur ex C D, quoties potest, & residua sit E D minor, quam AB, seu Ch; Rursus ED A ,-i imietatur ex A B quoties potest, ... ' νT Misas residua F B minor sit . quam E D eE D, ieu A F, ct sic ulterius sem- -- per alterna detractione auferatur minor de maiore,& nunquam reliqua piscedentem metiatur. Dico A R, & C Dimcommensurabiles esse. Si enim hoc verum non est 3 Sit H coemunis mesura earunde AB dc CD. Et quia ex CD tollitur CE maior, qua semissis ipsius D C s eu residua E D minor sit qua ablata A B, vel CE ,&ex A B tollitur A F magis, quam dimidium illius, dc sic semper: Ergo relinquetur tandem alb afeb. pr. pqua quantitas m inor, quam H. sit VIa F B: Cumque H pona- ι...tur mensura communis ambarum quantitatum A B & C D ,& AB metitur C E; Ergo b H metitur totam C D, & ablatam C E ; ideoque e H metietur residuam E sed E D metitur A RR 'I. F: Ergo H metierat nedum totam A B; sed etiam ablatam A . . F,' propterea H metietur residuam F B, quod a est absurdu- δ'' Facta enuu fuit E B minor, quam R. Non igituet aliqua quan
482쪽
titas Hesse potest communis mensura fiantitatum AR aee e 3. b- CD. ideoque e erunt incommensurabiles. Quod erat osteiba
- . Manifestum est quamlibet mensuram comunem duarum quantitatum metiri quoque quamlibet portionem, quae ex alterna detractione relinquitur. . Ostensum enim est duarum quantitatu A B, dc C D communem mensuram H metiri portiones omnes C E, E D, A R& tandem F B omnium postremam.
Duabus, vel tribus quantitatibus commensurabilibus propositis, maximam earum communem mensuram reperire.
Sint primo duae quantitates A B, & C D commensurabiles inter se. Reperiri debet earum mensura communis maxima. Tollatur a minor A B ex C D, quoties potest, ut nimirum rem sidua G D minor sit, quam A B,MG D auferatur ex A B qiis ties potest, & hoc semper fiat alterna detractione; Tandem aliqua quantatas residua praecedentem metietur:Nam si numquam postremum residuum praecedetem mensuraret,, essent quantitates A B, ct C D incommensurabiles , quod est conistra hypothesin. Metiatur H B praecedentem G D. Et quia HB metitur GD,&GD metitur AH: Igitur e H B metitur AH, dc mensurat quoque se ipsam: EDE . go H B metitur totam A B, haec vero
A i 'TH B o metitur C G: Igitur H B mensurat . . ipsas C G , ct G D, ideoque H B in C G. i S tietur totam CD; & propterea H BEi-i Κ-i mensura communiS erit quantitatu
A B, & C D. Dico iam H B maxima esse omnium quantitatum , qtiae mensurare possunt ipsas AB, & C D. Si enim hoc verum non estisit F maior, quam H B, deer n. .r mensura communis ipsarum A B, ct C D. Et quia . qutlibet mentura communis quantitarum A B, Sc C D metitur Quamlibet extremam portionem H B, quae ex alterna detractione relinquitur: Igitur maior F mctitrum minorem H B, quod est
483쪽
impossibile. Ergo quaelibet alia mensura communis quantitatum A B, dc C D n morerit, quam HB. Et propterea H Berit omnium maxima. Secundo sint tres quantitates AB. CD.&E commensurabiles inter se. Reperiri debet earum communis mentura maxima: reseriature communi S maxima mensura quantitatum e par. r. b rCD,&h, quae sit x, sicuti H B ros i ta suit maxima mensura R ID communis quantitatum A B & c D. Et quia tres quantitates AB, CD, & E ponuntur inter iecorn mentura tales , dabitur aliqua communis mensura omnium trium ; qualiscunque sit illa, cum sit mensura communis duarum A B.C DImensura- Fc' pr-sobit quoque postremum residuum alternae detractionis H B: 'sed H d ostensa simi maxima communis mensura duarum AB, C D: Ergo illa mensura communis trium A B , C D, di Emetietur maximam mens iram communem H B duarum quantitatum A B,& C D. Pari ratione metietur Κ mensuram Communem maximam ipsarum C D, & E; ideoque H B,& Κcommenturabiles erimi inter te.Iam g reperiatur N maxima mens i ra communis duarum H B,& h. Et quia N metitur HB, hec autem metitur duas A B,& CD initur . N metitur dua ha,. i. i. . A B & C D; cumque N metiatui k, ct hec metiatur E: Ergo N metitur tres quantitates AB, CD,&E. Dico iam N est maximam menti iram trium A B, C D, & E. Si enim hoc rum non est, sit O maior,quam N mensura communis earum ,
dem AB, CD, ct h. Et quia O men surat ambas A B, ct C D,
metietur,. Vt dichim cst, ipsam H B earum maximam mensum irae refram communem; Parateique quia O mensurat ambas CD& E, metietu1 quoque k earum maximam communem mensuram : si umque o metiatur ambas H B, & k, metietur quo- ue o ipiam N maximam mensuram communem earun-em H B, dc k; ideoque maior O metietur minorem N,quod est impossibile. Nulla ergo maior, quam N metietur tres AB, C ta, & E, & propterea N,erit earum maxino mcnsura communis; ut propositum fuerat.
Quadrata,quae a quantitatibus longitudine commensurabilibus fiunt, habent inter te proportionem , quam numerus SuadratuS ad numerum quadratum. Et quadrata, quq sunt inter te, ut numeri quadrati, habent latera longitucline co- E e e men-
484쪽
mensurabilia. Qias vero a quantitatibus longitudine inis commensurabilibus fiunt quadrata, non habebunt inter se proportionem, quam habent numeri quadrati. Et quadrata , quae non sunt inter se, ut numeri quadrati, non habebunt latera longitudine commenturabilia.
Sint primo A B ,&CD duae quilibet quantitates eiusdem generis inter se commensurabiles longitudine & quadratum H lateris A B, & quadratum N lateris CD. Dico quadratum H ad quadratum k habere eandem prinportionem , quam habet aliquis num rus quadratus ad aliquem quadratum numerum. Duarum AB, CD longit, dane commensurabilium a reperiatur maxima communis mensura ta,& q uinties G metitur A B, toties unitas X me. tiatur numerum E;atque quoties G m in Q U - y litur C D, toties unitas X metiatur numerum F: Manifestum, est AB ad CD esse, ut numerus E ad F, cum antecedentes eqdem partes sint consequentium;Fiat postea M numerus quadratus lateras iuatque N numerus quadratus lateris F. Et quia a quadratum H ad quadratum k duplicatam proportionem habet lateris AB ad latus C D. Similiter e numerus quadratus Mad num rum quadratum N duplicatam rationem habet lateris E ad F, estque A B ad C D, ut numerus E ad F: Igituri quadratum H ad quadratum k eandem proportionem habet, qctam n merus quadratus M ad numerum quadratum N. Secundo sit quadratum H ad quadratum N, ut numerus uadratus M ad numerum qua. ratum N. Dico latera A B,& C Desse longitudine commensurabblia.Sint E,& F latera quadratorum numerorum M, dc N. Et quoniam quadratum H ad quadratum k ponitur, ut quadratus numerus M ad quadratum numeru N; sedg quadratum H ad quadratum N habet proportionem duplicatam lateris A B ad latus C D, pariterque quadratus numerus M ad quadratum numerum N duplicatam rationem habet lateris E ad F.Igituro latus A B ad C Dhabet
485쪽
habet eandem rationem, quam latus E ad F; sed , numeri E, ides'. i DF habent rationem commensurabilem ab unitate. E rgolatera x A B. de C D longitudine sunt commensurabilia. Tertio sinat latera A B, dc C D longitudine incommensiurabilia. Dico eorum quadrata H, & k non habere proportionem, quam numerus quadrarus ad nu merum quadratum. Si enim quadratum H ad quadratum H haberet proportionem, quam quadratus numerusqir libet M ad quadratum numerum N, essenti latera A B, & C D longitudine commensura- Pβ bilia, quod est falsum, dc contra livpothesin . Non ergo qua dratu H ad quadratianaΚ proportionem habere potest, quam numerus quadratus habet ad numerum quadratum. Quarto quadratum H ad quadratum N non habeat pro . Portionem eandem, quam numerus quadratus habet ad quadratum numerum,siue illa commensurabilia sint, sine omnino inter se incommensurabilia. Dico eorum latera A B, dc CD esse longitudine incommensurabilia.Si enim latera A B, dc CD dicantur esse longitudine commensurabiliam habebuteorum quadrata H , & Κ, proportionem, quam quadratus numerus ad quadratum numerum,quod est contra hypothesin. Non ergo latera AB, & C D longitudine commensura,
bilia sunt; v t fuerat propositum.
Colligitur ex demonstratione prime partis huius propositionis,quod quantitates commensurabiles habent proporti nem , quam numerus ad numerum; Et illae, quae habent eandem rationem, quam duo numeri inter se, erunt commens rabiles ; & quae incommensurabiles sunt, non erunt inter se , ut numerus ad numerum. Et ill* que non sunt inter se,ut duo numeri,inco mensurabiles erunt. Nam, quilibet duo numeri commensurabilem proportionem inter se habent,cum salis '' rem unitas sit eorum communis mensura, de nulla commemsurabilis proportio excogitari potest, quae in numeris exprimi non positi. Ergo e contra nulla incommensurabilis prinportio in numeris exprimi poterit 3 ct ideo patet propositum.
Patet lineas, vel quantitates, quae longitudine sunt comEce a mens
486쪽
mensurabiles, omnino potentia commensurabiles esse: Naino par i iram eorum o quadrata sunt ut numeri quadrati. Qiae 3 vero potestate tantum commensurabiles sunt, erunt Iongitudinem- commensurabiles. Et que e longitudine incommensurabiles sunt, post in t aliquando potestate commensurabiles est , quando scilicet eorum quadrata habent proportionem inter se eandem, quam duo numeri,qui non sint quadrati, vel non similes. Et tandem illq,que potest ite incommesurabiles iniit , omnino longitudine incommensurabiles erunt. Nam , si longitudine commensurabiles essent, eorum quadrata, seu potestates effent commensurabiles. Quod est contra hypotesin.
Manifestum etiam est quatuor quantitatum proportionalium antectaentes, aut longitudine. aut potestate tantum esse una commensurabiles, aut Una incommensurabiles cons . fili, i quentibus. Si enim prima partes est secunde, eritItertia eaedem partes quartae atque prima partes est secund* . Et si prima ad secundam nullam commensurabilem rationem ha-x V a s suetit, neque i tertia ad quartam proportionem cominensa rabilem habebit.
Propositae quantitati inuenire duas alias incommensurabiles,
altera quidelia longitudine tantum, altera vero etiam potestat C.
Sit quaelibet quantitaq A, liuie primo inueniri debet alia asi, pr incommensurabilis long tudine tantum. Inueniantur a duo het ii in A numeri,B quidem quadratus, &C non votis. quadratus. Deinde' ut est numerus BA, p .; .h-- Η D ad C, ita fiat A ad D, atque infer A, dcius. E D ponatur incilia proportionalis E. DbD -, C co Eesse incontinensurabilem longitu-c cor. pr. . . daac tantum ipsi A. Quoniam est equi deatum ex A ad quadrarum ex E, ut A ad tertiam proportio-R P ' nalem D, vela vi numerus B ad C, sed numerus B ad nume-d:r i. i. i. rum C non habet proportione o, quam numerus quadratus e pr s. huius ad numerum quadratum igitur e latera A, R E longuudine
487쪽
.hiit incommensurabilia. Et qui potestate sunt commens in f des . , rabilia,chin quaedratum ex A ad quadratum ex E habeat proportionem, quam numerus Bad numerum C. Ergo A, & E rum incommensurabiles sunt tantu n modo longitudine. ., . Secundo eidem A inuenienda sit alia in commensurabilis .d , ' O longitudine & potestate. Inveniaturg H media proportiori P heo g. re lis inter A, & E. Dico H esta quesitam. Qioniam h quadra- o Ab. . intum ex A ad quadratum ex H est, ut A ad tertiam proportio- cor i Pr g. tialem E; estque A incommensurabilis longitudine ipsi E; butui, Ergo h quadratum ex A quadrato ex H incommensurabiicerit. Quare . A. & H incommensurabiles erunt potestate , dc is, . ideo in commensurabiles omnino longitudine. Vt Proposi- , Uti,
PROPOS. X. THEOR. VIII. Eus. g. is
Si fuerint duc qualitates inequales, erit semissis minoris meis dias proportionalis inter semisummam.& semidifferentia maioris, & lateris poteris differentia quadratorum inequa- , lium quantitatum ,& heerunt una commensurabiles lota gitudine vel una incommensurabiles.
Sint duae quantitates in equales, A B maior, cui iv semissis A CL & C in minor, cuius dimidium C E ; patet a C E mino- i rem esse ipsi G A s fc propterea ex quadrato maioris A G, seu GBiuiserri potetit ouadratum minorisCE: Sitque, residuum b ' cita adratiam lateris G F, dc secetur G H equalis G F. Et quia G g. ad G Fcum C E est, ut A B adHdecimi CD (cum illae 'dis, sint harum semisses : ergo a sicuti quadratum ex G B equa- d pr i g.ι. le est quadratis ex G F, & ex C E. ita quadratum ex A B equa- in cor 5 tr. le erat quadraris ex H F, d ex C D dc propterea H Ferit latus x. quadrati differentialis inter quadrata incanalium AB dc C D;& A F erit semisumma , di F B semidifferentia ipsarum AB de H F. Dico primo C E esse mediam proportionalem inter A F& F B. Quoniam duarum inequalium AG,&GF, s scilicet medietatum ipsaru in A B H F est A F aggregatum& differentia F B ; quadratum e malos is A C eqnale erit quadrato in noris G F una cum productp A F B ex aggregato, & T, IL, differentia; sed quadratum eiusdem A ci equale est quadrato bu,-.eiusdem G F una cum quadrato ipsius C E:Igitur quadratum
488쪽
ipsuis C E aequale est producto ex A F in F B; ideoquem Es
semissis minoris, media proportionalis est inter maioris seMmenta A F, & F B. scilicet inter semisummam S temidi&rentiam maioris AB, & H F lateris potentis disserentia his quadratorum ineoualium A B. & C D. Dico, secundo si segmenta AF, de F B longitudine commensurabilia sunt, est elao quoque An ipsi H F longitudine co-A---- mensurabilem. Sit duarum longitum t dine commensurabilium A F dc F BC---D communis mensura X: Maia festum est a X metiri quoque aggrestatum A B, cumque X metret A F, & F B. seu et equalem AH. in t ietur quoque X ipsam H F disserentiam earundem A F, & AH. Quapropter X metietur ipsas A B, & H F; & ideo A B, de H F longitudine commensurabiles erunt. Tertio, sint A B, di H F commensurabiles longitudine. Diaco A F,& F B longitudine commensurabiles esse.Quia ae quam proportionem conani ensurabilem longitudine habet A B adH F,emdem habet G A illius semissis ad G F dimidium hulux: Igitur duq commensurabiles longitudine AG, & GF albquam communem mensuram habebunt, que si X: v nd eadem X metietur illarum aggregatum A F,atque earundem disserentiam F B; & propterea segmenta A F, & F B longit dine commensurabilia erunt. Quarto sit A F incommensurabilis longitudine ipsi F B. Di.co D longitudine incommensurabilem esse ipsi H F.Si enim hoc verum non est, sint AB,&HF longitudine commentiris rabiles: Erunt i igitur ut in tertia parte dictum est, ipsR A F. .vF B longitudine commensurabiles, quod est contra hypothesim Quare incommensurabiles longitudine sunt A B, dc H F. Quinto sit AB incommensurabilis longitudine ipsi H F.Dico A F, & F B longitudine incommensurabiles esse. Nam si incomensurabstes longitudine no credantur,erunt m AB & FIF commensurabiles longitudine, quod cit contra hypoteli sit. Quare A F , & B h longitudine uicommensurabiles sunt , Quod erat propositum.
Patet, quod si duq quantitates commensurabiles componatur , ct totiun virique ipsarum commensurabile erit , dc si
489쪽
LIBER I x. . mytota mi ipsarum commensurabilis fuerit, dc ill* commensi
rabiles erunt. Nam illq, ut dictum est, ae habent aliquam com- n par -- Immemmensuram, que necessario differentiam earum, dc i Pr, aggregatum mensaravit.
Constat duarum incommensurabilium quantitatum summam, vel differentiam inter se, & utrique ipsarum incommensurabilem esse. Nam in quarta parte huius propositionis supposite fuerunt due quantitates A F, & F B incommensurabiles, Ac ostensa fuit earum summa A B incommensurabilis ipsi H F differentis earundem. Rursus si summa A B non credatur incommensurabilis uni ipsarum, ut F B, habebunt. A B, & F B ali ' f a quam communem mensuram, quq p residuam A F quoque, . . metietur; ideoque A F, & F B commensurabiles erunt; quod P '' est contra hypothelim .
Colligitur ex constructione huius propositionis, qua ratione maior ii qualium quantitatum secari possit, ut semisellis minoris media proportionalis sit inter facta segmenta. Si enim G F latus quadrati differentialis inter quadratum ex GB,&CE(quq sunt semisses inequalium AB,&C D) tolla- qis i statur ex G Baecta q erit A B in F in duo segmenta A F,F B,inter i , , . sus C E sentissis minoris media proportionalis est.
Et si semissis minoris media proportionaIis suerit inter m icris legueta, erunt facta segmeta squalia semis stamidifferentic maioris datarii, & lateris difLrentialis quadrato ea n uaqqualita quantitatu . Nam C E se nissis minoris D Cfuit media proportionalis inter segmenta A FG F R; dc ostem
sum fuit maius segmentum A F qqaale A G semissi maioris A B, & G F semissi lateris F H quadrati differentialis inter quadrata ex A B dc C D, atque F B squali, suit differentie e rundem AG,&GF. DE
490쪽
og EUCLIDIS RESTITUTI DEFINITIONES SECUNDAE.
Quantitas note mensitare, cui cetery comparantur; Vocetur Rationalis, ct eius quadratum Rationale . M Quantitates, que exposte Rationa It commensurabiles sunt lDgitudine, vel potentia tantu modo, 'ocetur Rationales.
t II. Que vero expositae Rationali in commensurabiles suntlcnstitudine, Vel potentia tantum: vocentur Irrationales. 'i U. Et quantitates produciq,quq exposito quadrato Rationa. Ii commensurabiles sunt, vocentur quoque Rationales: aruero eidem Incommensurabiles sunt, i ocentur irrat Ionales.
Atque latera, quae possunt quantitates productas irrationales: vocentur irrationalia. Si enim proponatur aliqua quantum certae, di notae magnitudinis in men urae, manifestum hin,qhoc omnium aliaram B C , qua cum illa exposta comparari possum, erunt quadam iratari commenturabiles longitudine di potentia, qua vero potentia tantum , pariterque aliae eIdema exposita lucon. mocurabiles eram longitudine tantum,qusdam vero lamgitudine , O potententia eidem incommoensurabiles retini: ram exposita quantitas A, ratione cuius e stera commem rabiles Itint, vel incon em Iurabiles : dioeretir Rationalis et Et quadratum tamdem , nempe D , quod certam quoque memuram haberi pariter vocetur Rarionale . Et si quicem B commem rabilis in longi dine rationali , νocab, tur B Rationalis quoque ex comparatione, Et se tantumnodo quadratum E ex latere B commen rabile uerit quacrato Rationali D, at longitud, ne incon. e murabilis sit B ips iae, iam a quadratum E ad quacratum D st quidem , ut xumerus ad numerum, scd non et nAmerus quadratus ad numersim quadrathm : tuncipia B vocatur etiam fistIonalis ex comparatione , di eius quadratum E, quatcnus comen urabile est exposito quadrato Rationali D, Poc atur quoquc Act/onale. Dcinde sit c