장음표시 사용
501쪽
ad quadratum ex B, ut quadratum ex C ad qu adra fure, x di per conuersionen rationis , aut quadratum ex A ad differentiam quadraroxum cx A, ct B, c- , ita erit quadratum ex Cad differentiam Uua- Η -- dratorum ex C; & D: ideoque ut A ad latus differentiae quadratorum ex A . S B, ita erit C ad latus differentiq quadratorum ex C, & D: erat autem in primo casu,niator A longitudine commensura bilis lateri differentis quadratorum ex A,& B; n Iecundo vero longitudine incommensurabilis: Igiturg C longitudine commensit rabilis erit in primo calta, ct incommensurabilis in secundo, lateri differenti e qu.idr itorum ex C.& D. Quapropter inuentq sut duc mediales C, & D potentia tantum com mclui Irabiles, quartam productum est rationale, ita ut latus differentis quadrat rum iptarum C, S D lon itudine commensurabile sit in primo casu, & incommensurabile in iccundo, maiori lateri. Postea h leperiantur duae Rationales A F potentia tam una conuDen Iurabiles, ita ut lat uS disterentiae quadragorum ex A,S F Iongitudine commensurabile sit rimio tu A in tertio calia, di incommemserabile longitudine eidem A sit m quaero eZ-1u. Et xt num cius prinius V ad primum in merum X, ita fiat Huadratum ex rationali A ad quadratum ex B rei unt A,& Bcationales potentia tantum ci minens irabiles , sicuti 'ii Prop. I s hinus ostensiim est . Et sponat cir Cinaedia proporti nati, inter A. N B, ct ut C ad B ita fiat blad D. Dico C . D enemediates potentia tantum commvnsurabile S, vitai tim prinductum est mediate. & latus aifferentiae Glaadiatorem Lomnici iurabile est, velaton, maiora. Quia ut C ad B, ita est I ad
D, & , ad Cest, ut Cad B: Eigo x A ad Ccst, ut Fad D: LiPermutando, i ut A ad F, ita erit C ad Dr Cumque sint tres Rationales A, B, F polentia tantum comm ensurabiles, S ut pruna A ad tertiam F , ita est C s quae media proportionalis est inter priniam A,& secundam B ad postremam D: is erunt C , ct D continensurabiles potentia tantum, quarum productum mediale est : Postea quia AA ad F cui vi Cad D. Ivitur, nut ostensiim es C V est,niator A ad latus differentiq quadratorum BA , & F , crit ut C ad latus differentiae quadra- F X storum ex C, & D; Sed limior A commensura- Dhilis longitudine est inatertio casu, di incommenturabilis in quarto, lateri differentiq quadratorum ex A,
502쪽
. dc F. Ergo maior C commensurabilis longitudine erit latetit . . , , differentiq quadratorum ex C, ct D in tertio calii , & iticomi mensurabiIis longitudine eidem differentiae in quarto casti
Euc1.33a. . . PROPOS. XIX. PROBL. VII.
Duo latera potentia incommensurabilia reperire, quorum summa quadratorum Rationalis sit; productum vero m
Reperiantur duq quantitates, A B maior,&C D minor Rationales potentia tantum commensurabiles, ita vi maior AB incommensurabilis sit longitudine lateri potenti differentiam quadratorum ipsarum A B, & C D ; Et b maior A Bisecetur in G, ita vi CE seinissis minoris, vel ei qqualis H Gmedia proportionalis sit inter segmenta AG . Sc G B ; Ace in . ter A B, & A G reperiatur media proportionalis N, pariterisque o sit media proportionalis inter A B, ct B G. Dico N. & o esse quaesitas in propositione.Quoniam maior A B secta esto in G, ita ut sit C E semissis minoris media proportionalis inter segmenta AG&G B, atque maior A B longitudine incommensuurabilis facta est lateri potenti differentiam quadratorum ex A B, &C D, Sc eiusdem lateris di Hrentialis, cic maioris A B semia
c u Diumma est A G, &isemidifferentia est G D: Ergo segmenta A cpe 3 pe. & G R longitudine sunt incommensurabilia. Et quia . ut 3'. ' G A ad A B, ita est quadratum ex N ad quadratum ex A B(cu Pe proportionalis sit inter G A & A Bb, ct sicuti Ad ad B G, ita est quadratum ex A B ad quadratum ex O. Igitars i. exfcompositione ordinata erit quadratum ex N ad quadi, tum ex O. ut A G ad G B: Quare a quadratu me x N inconba diuini mensurabile erit quadrato ex O, sicuti A G ipsi G B incom- . h. Y M. mensurabilis erat longitudine;& propterea latera N, dc oi i, potentia incommensurabilia erunt, & sunt duo quadrata ex 'P qualia quadrato RationaIi ex AB: Ergo aggregatum quadratorum ex N,&ex O Rationale est. Tandem
ut v ' uia H G media proportionalis est inter segmenta A G, ct G B, atque N,& o mediae proportionales furit inter totani A mba M. & eius legmenta A G, & G B: lgitur L productum ex A B in
503쪽
HGqqitale erit producto ex Nin autem productum imi I. ipsius A B in H G dimidium producti ex B in C D cum C 'Ab pG3. D dupla sit ipsius HG . atquem productum ex AB in CD mediale est (eo quod A B, αC D Rationales sunt potentia '
ea nivin commensurabiles) et Ergo rum productum ex A Bin H ah . . u. Gei commensurabile,mediale quoque erit;& propterea huic eouale productum ex N in O mediale erit. Quapropter duae N, & O potentia incommensurabiles sunt,& uimma quadra- . torti m ex eis Rationalis est, at productum ex N in o medi i
Duo latera potantia incommensurabilia reperire, ita ut a egregatum ex eorum quadratis sit mediale, productum vero rationale ii vel productum sit mediate , & incommensi, rabile aggregato quadratorum. l
Reperiantur Oluae mediates A B maior, dc CD minor apriis., potentia tantum commensurabiles, quq primo Rationes contineant, ita ut maior A B longitudine incommensurabilis sit lateri, potenti differentiam quadratorum ipsarum A mct C D. Et reliqua perficiantur, ut in praecedenti propositi ne factum est: erunt, vi antea N, dc o potentia incommens, Se indo. tepelianturesdem mediates AB, dc CD cum bibi omnibiis dictis conditionibus, sed eorum productum sit me- diale, ct completa constructione, ut prius erunt rursus N, dc-O potentia uteoniensurabilabi ac quia1atorum aggregmim ia bis . .
504쪽
., earundem mediale erit. Him si equale quadrato mediatis AB. Postea quia productima ex A B in C D medio te est ex comstructione Ergo i pri)dii in ex Nino mediale erit,eo odA' ' 3. est cDm msutabile, scilicet di, diu Sest preMucii ex A B in CP --- mi, i D Tandem quia iac Maarit A B,&CD longitudine in com n, . , .e mensurabiles, erire quadratum ex AB incoimDensurabile, det I producto ex A B in C D; estquh productum ex N in O dimidium producti ex A B in CD, ut dictum est. Igitur i quadratum ex A R. seu aggregatum quadratorum ex N S Odiacon mensurabile est producto ex Nino. Et propterea mper aeerunt duae N & O potentia incommenturabiles, cum omni-1 b iis conditae tibiis quaesitis. v idust Hopositi uni
Duarum Rationalium potentia tantum commeis surabilium summa, vel effferentia Irrationalis est. Uocetur autem sit ma Binomium; At earundem differentia Residuum Atque Rationales ii Ie B montium, aut Rcsiduum coni P
. Sint due Rationales A , & B potentia tantum commet iurabiles. Dico ipsa rima A. S Pii n n on , vel citarcntiam C Irrationalem et e. Fiat a M quadratum ipsius C. &D sit quadratum ipsius A, S E sit quadratum ipsiti, B, dc tam , C, quam F sit productum ex A in P et B. Manifestum est quando C est a Pgregatum ipsariun A, & B, ut uia prima figula, esse . quadratum Alcla LX aggrcgato laterum equciae dum bus quadratis laterum, scilicet Dix E, & duplo producti ex lateribus
A in B, scilicet ipsinis G, F, vel duplo producti F propteris ea ouadratum M equale erat aggingato diarariam qua diat, rem D & E & dupli producti F; At quando C est disterentia Asiunde dii laterum , Ut in lectinda figura, e quadratum M ex differentia laterum minus erit , quam duo quadi ata D dc h, & desectus erit duplum producti F; Et quoniam A, & Is ponuntur potent i a tantum coma aetasurabiles, erunt arpis mconb mensiuabiles icngitudine, di eorum productum hi media le jetit atque I eorum quadrata, scilicet D, &E rationalia erun
505쪽
ct inter se commensurabilia: Quprer mediale, seu irratiotia- e pr. s. in te produnum F incommensurasile est rationali quadrato D:-3 M. dc , sunt duo quadrata D, & E,simul sumpta commensurabilia cuilibet eorum: scilicet quadrato D i eo quod quadrata D, I
di Feommensurabilia inter se ostensa fuerunt et igitur productit in F incommensurabile est aggregato quadratorum D,& E sest vero duplum producti F commensurabile eius met- k-er. radietati, scilicet producto F. Igitur x duplu producti F incommensurabile est sum inqquadratorum D, dc E: Cumque t tum quadratum M aggregatum sit, in primo casu i&differentia in secundo, summae quadratorum Disc E, Sc dupli pro- duhi F; Ergo i tam aggregatum, quam differentia M incom- l cor v.fr. mensurabilis est summe quadratorum D.&E; Sed quadratum D commensurabile est minnae quadratorum D,&E: Edi inom quadratum M , totale, vel differentiis, est incommen- m Mesu rabi te quadrato D , erat autem ex livpothesi quadratum D Rationale: Igitur re quadratum M irrationale erit;& proe svita pterea. C summa, vel differentia ipsarum A&B, Irrationa- o AFs see. iis erit, ut propositum fuerat. Vocetur autem summa CBmo- hisuis. nai una;& differentia C Residuum , vel Apotome. Et tam A, quam B r vocentur Nomina Irrationalis C.
. Minifestum est nominum eiusdem Binomialis, aut Resiis duae luminam duorum quadratorum ex eis, Rahionalem es inconi desurabilem mediati duplo productimeandem, in Dominum. Nam nominum A. dc Binomii. vel Residiit C summa quadratorum, scilicet la,ide E ostensia est in hae elopositione, Rationalis, dc incommensurabilis duplo producti
mediatia F eorundem nominum . . , l . , ... I
Duarum medialium potenti,tantim comensurabilium,qua- . rum productum sit Rationale, summa. vel differentia I rationalis est s Vocetur antem summa Bi mediatis prima sDifferentia vero vocetur Residua mediatis primas Et duae illv partes Bi medialem primam, aut Residuam medialem primam efiicientes: vocentur Nomina.
506쪽
bini due mediates A, S 6 potentia tantum commensumi a lities,
Tri m P dupli producti F: At in secundo Me-F -E r i rit disterentia duorum quadratorum D,& Esmul sumptorum , dc dupli piodiacti F . Quoniani A. edef. hu. &B potentia tantum ibiit commensurabiles, erite A ipsi Ba r. m. n longitudine incommensurabilis; sed a ut B ad A , ita est ri in Ab N i. ductum ex A in B. scilicer F etd productum ex A iri se, scilicet diuini.' ad quadratum D i Igittar e productium F incomimensurabilee ' s P est quadrato D: Sed duplum ipsius F commensurabila est ipsi F; Igitur duplum ipsius Fincommensurabile eriti quadrato M' D . estque svnima quadratorum D, &E commensiura lis quadrato D, ( eo quod A. & B supponuntur potent a Diuum commensurabiles); igitur g duplum ipsu3 F incommensurabile est summae quadratotam O,& E; ideoque, quadratum M, quod est aggrega tu, Di disterentia dupli ipsius F , & sum. ma: quadratorum D & E, incommenturabile erit virique ipsorum; idest quadraetumi M incommensurabile erit duplo. ipsius F; sed fluvium ipsius F Rationale est scum F productu . . . sec.ex A in B Rationale sit ex hypothesii ): Ergo quadratum M rum & eius latus C Irrationale erat , et fuit proponatum. vocetur autem ipsarum A, & B suinmaC, B mediati S Prima, Ac ea, rundem differentia C: vocetvit residua mediatis prima
me summam quadratorum ex nominibuS iactotum media lem c sic ,& inconimensurabstem Rationali duplo producti eorundem nonainurn. - . .
. Nam Bi mediatis primae, vel Residuq mediatis primc duo nomina in hac propositione fuerunt A, & B, dc ostensa fuit funima quadratorum D, & E uacommensurabilis duplo Iro
507쪽
eu, F eorundem nominum A, dc B; estque summa quadra eorum D s& E Medialis, cum sit commensura bilis quadrato Mediali D ex latero Mediati A. , - . - r
Duarum Medialium potentia tantuni commensurabilium , quarum productum sit mediale, summa, vel differentia Irrationalis est : Vocetur summa Bimediatis secunda ; DO-rentia vero vocetur Residua mediatis lecunda. Et illae, quae has Irrationales e siiciunt, vocemur Nomina eius.
Silit duae mediates A , Ac g potentiae tantum commensurabiles, quarum productum, quod sit F,mediale sit, quae repeditq fuerunt m pr. id. huius; dc reli Qua perficiantur, ut in praecedunti propostione dictum est. Et quia A,& B potentia tantum commensurabiles sunt. Ergo ut prius,ostendetur summam quadratorum D, dc E incommensurabile esse duplo producti Frastque sumina a quadratorii Medialium D,&Econi mensi nihilis mediati quadrato D c cim dc is iupD, nantur mediates potentia tantum commentura es=Igitur , summa quadratorum D, & E me--n s. a.dialis est: pariterque duplum producti ipsius F mediatis, erit mroque mediale(eo quod mediali F commensurabi Ie est eius duplu . Postea exponatur Rationalis N O, dce ei applicetur Q 't. Productum RequaIe summae quadratorum D, dc E. quod est ri 'I' at latitudine OP. Et quia summa quadratorum D,de Enaeae' dialis est, erita Rinediale, quod applicatum ad Rarionalem di Oenici et elatus OP Rationale incommensurabile longi- epr. 1 h. tudine ipsi N O: Simili modo ad Rationalem N O applicetur productum S equale duplo ipsius F mediatis, quod umiliter mediale erit, & ideo etficiet latus Q D Rationale, dc longitu dine incommensurabile Ipsi NO. Et quoniam summa quadratorum D, dc E incommensurabilis ostesila est duplo ipsius
F, estque R equalis summe quadrato tum D dc E, atque S qualis duplo apsius F: Igitur R ipsi S ineommensu tabilis est, rete sedj vi R ad S, ita est latus O Pad O Ergo i latus O P longitudinet. incommensurabile est lateri iQ, dc sunt Rationa-
508쪽
i. s. 'e..tia, ut dictum est: Igitur blantnm commensurabilia potentia ' inter se erunt o P. & O QEQuare P mumina, vel differen- r i 3 tia earum Irrationalis erit , quae vocatur Dinomialis, Vel Residua . Tandem quia summa productorum Medialium R. dc S, vel eorum differentia applicata ad Rationalem N O .essicit alterum latus PQIrrationale: erit summa, vel differentia Medialiu R,& S Irrationalis (Nam h si Rationalis esset applicata ad Rationalem N O,essiceret latitudinem P in a-tionalem quod non Ponitur ,Sed quadratum M aequale est summae in primo casu, dc differentiae in secundo Medialium R. & S. Igitur i quadratum M Ir
rationale est dc Propterea eius lari S C Irrationale erit ut erat propositum. Vocetur summa CBi medialis iecunda. Et disserentia C earundem A, dc B: vocetur Residua Bimediatis
Patet si duo producta Medialia ineommensurabilia ad ean. dem Rationalem applicentur, essicere reliquorum laterum summam Binomialem, differentiam ver, Apotomen.
Manifestum est summam, vel differentiam duorum prinductorum Medialium, Irrationalem esse. Ostensa enim fuit in hac propositione summa,vel disseremtia Medialium productorum incommensurabilium R, ' SIrrationalem esse. At si medialia R, S suerint commensur m se a. tr. bilia, erit is eorum summa, vel differentia commensurabilis 3 - , --. vni ipsorum S; sed is quadratum ex rationali No scut appis' se ' eata supponutur proaucta medialia incomensurabile est m diali S: ergo o summa, vel differentia medialium R, S incom-- t mensurabilis est quadrato rationalis No &ideo psumma spms .. veI differentia R, ct S irrationalis erit.
COROLLARIUM III. Similiter constat Blmediatis secunde, & Residuae mediatis
509쪽
secund*, fi summa duorum quadratorum, ex nominibus eius ad eandem Rationalem applicetur, ad quam duplum producti eorundem nominum applicaturrenicere duorum reliquorum lateru fiammam Binomiale, differentia vero Apotome. Nam duorum nominum Bimediatis secundae C, ct Rei duae mediatis secundae C, summa quadratorum .D & E applicata ad R ationalem N O facit latus o P, atque duplum prinducti F applicatum ad eandem Rationalem N O latitudinem tacito Q. Et ostensa fuit in hac propositione summa latitudinum PQ Irrationalis, quae Binomialis dicitur,dc differentia carundem P Q irration is, quae Residua dicitur.
Duarum quantitatum potentia incommensurabilium, quarum quadrata, simul sumpta, Rationale constituant, dc e ., cum productum sit Mediale, summa vel differentia irra- . tionalis est: vocetur autem summa Maiori & ds itarentia vocetur Mmor. Et illae, quae has urationales inciunt vincentur Nomina earum.
et Sint a duq quantitates A, de B potentia incommensurabius, quarum quadrata D, dc E, simul sumpta, Rationale essiciant, at eroductum ex A in B, quod sit F, Mediale sit. Dico ipsarum A, ct B lununam, vel differentiam C Irrationalem esse.Quoniam productum F ponitur Mediaten est duplum, ipsius F commensurabile eidem F: Igitur o duplum ipsius F Mediale est; de
ideo irrationale: erat autem it inmoduorum quadratorum D,& E Ratio.
duplo producti h: Quare a quadrat um
M, t quod est uale, ut dictum est, aggregato, vel differemtis inmme quadratom D, dc E, & dupli producti F erit imcomensurabile summe quadratoru D, dc E; estque talis summa quadratorum D dc E Rationalis: igitur o quadratum M. Irrationale erit, cum eidem summe incommensurabile sit.
510쪽
Patet Irrationalis, quae M lior, aut Minor vocatur summa quadratorum ex eius nominibuq Rationale esse , Et duplum producti eorundem nominum, Mediate.
Duarum quantitatum potentia incommensurabilium, qu rum summa quadrarorum Medialis sit . At earum Prodia cium sit Rationale summa, vel differentia Irrationalis est. Vocetur autem summa Rationale, ac medium potens. At differentia vocetur Faciens cum rationali totum mediate. Et ipsae essicientes vocentur Nomina carum.
Sinta duq quantitates A,de B potentia incommensurabsses, facta eadem constructione, iumma ciuadratorum D,&EMediale compositum efficiat, at productum Fex A in B sit Rationale. Dico ipsiarum A, & B summam, uel sesterentiam C Irrationalem esse.Quoniam summa dIorum quid ratorun A O ..i ... D, & EMediale compositum inicit, de di duplu, producti Fest Rationale .c uiri, H d -HIO eius dimidium F supponatur Rationa ic, ter erit summa duorum quadratorum Fili, F D,& Eincommensurabilis duplo pro-o ducti Fr Igitur e aggregatum, vel da fi P E rentia summae quadratorum D i& E, atinae dupli producti F. scilicet quadratum M, incommensuis rabile eeit duplo producti F estque duplum producti F Raationale; Ergo a quadratum M irrationale est i& ideo eius latus C. quod est humma, vel differentia ipsorum A, & B. I trationale erit; Ut erat propositum. Uocetur tamma C Rati, e,ac medium potens: At ditarentia c vocetur Facies cum
Duarum quantitatum potentia incommensurabilium, quarum summa quadratorum Medialis sit, de earum prodistuMediale, incommenturabileque iuvimS quadratorum,