장음표시 사용
511쪽
r erit summa, vel differentia Irrarionalis . vocetur autem, ' -- summa Bina me dia potes. At differentia C vocetur Essicies. 'cim mediati totum mediate. Et quae eas emciunt, vocentur Noninia earum.
Sint adue quantitates A. & B potentia incommensurabi- aevpp. a Q. las. ix iacta eadem constructione, summa quadratorum D, & Murum . E Mediale compositum essiciat, at productum F sit pariter mediate. sed sit incommensurabile summe Quadratorum D, di E. Dico ipsarum x. dc B iii minam, vel differentiam C ID rationalem esse. Q aoniam , duplum producti F Mediale est, mi eo quod eius dimissium F Mediale poni- otur; atque summa quadratorum D,& E C A BMedialis est: Igitur e quadratum M, quod a F iniuis, est exsuperius dictis, aggregatum, vel ex- M D E β' Tis duarum Medialium . scilicet summae duorum quadratorum D, dc E, atque dupli producti F)Irrationale est: ideoque deius latus C Irrationale erit; Vt erat a propositum. Vocetur silmma C Potens bina media; At dif- ..i. . ferentia C vocetur Essiciens cum mediati totum mediate.
Patet etiam quod Potentis bina media,aut Essicientis cum, nediali totum mediale si lumma duorum quadratorum ex Dominibus ad eandem Rationalemiapplicetur, ad quam duplum producti eorundem nominum applicatur: e cietur rivorum reliquorum laterum summa, vel differentia Emo- .mialis vel Residua . Nam,ut ostensiim, este duo Medialia inter se incommensurabilia.scilicet summa quadratorum D, E, ' ' .ci duplum producti F, ad Rationalem applicata, essiciunt latitudines Rationales, quae longitudine incommensurabiles sunt inter se:& propterea praedictae latitudines RationaleS e- - mni potent ii tantum cominens irataius quare eomponent di
Qiue libet ex dictis duodecim Irrationalibus resoliti non po- o. i. g. test in nomina inequallia iis, ex quibus genita fuit. s s d . x
512쪽
Sit qu*libet ex duodecim adictis Irrationalibus Corta est summa, aut subtractione nominum A. dc B. Dico eam relobui non se in alianc mina in squalia it sis A , dc B. Si en: m hoc verum non est, resoluatur C in nomina G, de H mcqualia ipsis A, dc B. Et fiat b M quadratum ipsius C, dc sint D, E quadrata nominum A & B, atque duplum F sit duplum pro- . ducti ex A in B; pariterque O, dc P sint qua- . , drata nominu G dc H .dc duplu R sit duplum
' - producti ex Gin H. Et primo sit CBinomialis aut Residua, vel certe irrationaliS,quq vincatur Maior,vel Minor Quoniam tanas summa quadratorum D, dc h, quam lumma quadratorum O, P Rationalis est: de tam e
plum producti F , quam duplum producti RMediale est: erit a disterentia dupli F Media.
x s. -- -- lis a duplo R Mediali, Irrationalis , de quia eadem quantitas Ce Pr, 3 ,δ diuid itur intra,aut extra, bis inequaliter; ergo e eadem est disserentia inter duplum producti F, dc duplum R, quae inter quadratorum summam D, E, dc O, Pt igitur cum diffcrentia Medialium dupli F, dc dupli R sit Irrationalis ; erit quoquo differentia inter D E, dc OP Irrationalis, quod est absurdum. Differentia cnim Rationalium DF, dc O P commenturabilis utrique ationalium est Rationalis . Quare Crelolui non potest in alia nomina praeter A, dc B.
. G . . A SQ undo sit C Bime dialis prima, vel
Residua Medialis prima, vel c. sit Rationale, ac medium potens, vel Faciem cum rationali totu mediate. Quoniam tam dupluma procucti F;quam duplum producti R Rationale est, atquet iam i imma quadratorum D, E, quam Iuniis ma quadratorum O, P cst Medialis; eth γ .s hisiti, que , differentia dupli F a duplo R qqualis differentia: D, E ab O, P . Ergo secuti differentia Rationalium dupli F, dc dupli Rest, Rationalis, ita differentia D E ab O R Rationalis est: Igitur differentia duorum Medi alium D, E, dc O, P Rationalia irar. pr. cst,quod est absurdum. Non ergo C, H uiae qualia ipsis A, BA3. lae=. Possunt esse nomina ipsius C. Tertio sit C Bimeo talis secunda, vel Residua mediatis se. cunda; Vel certe C sit Potens bina nedia, aut Elliciens cum mediati totum mediate. Ad eandem rationalem L N applice-
513쪽
tiir h productum T Xequale quadrato M, dc ΚSeciva Ie qua- v mox dratis D, E,nec non NY quale duobus quadratis O, P. Ft quin in Abniam in primo casui tam sumina quadratorum D , E. dc dupli noducti F, quam summa quadratorum O. P dc dupli producti Rioualis est eidem quadrato M: At in secundo in casu M. .' --.tam excessus quadratorum D, E lupra duplum producti F, mrer i. r. quam excessus quadratorum o P supra duplum R qqualis est xo. i. s. in quadrato M: Ergo residuum V X equale erit duplo producti pe a..u v F, dc Z X qquale erit duplo producti R. Quare ae ex applica- n petione summ* quadratorum D, E, de dupli producti F, nomi-
num Binomialis secundae dc Residuae mediatis secundae, o vel . . . Potentis bina media, Ac Eificientis cum mediati totum mediate ad eandem Rationalem N N, efficientur duo Iater o, seu nomina N S, S x, nec non N Y, Y x ex applicatione facta, quorum summa N L Binomialis . dc differentia Residua erit:& ideo eiusdem Britomialis N T, aut Residuae nomina erunt,nedum N S,S X sed etiam NY, YZ, pquod est impossibile: Non igitur irrationalis Cresolui potest in alia nomina diuersa ab ipsis A, dc B, quod erat ostendendum .
Binomialem, aut Residuam reperire, cuius maius nomem, commensurabile longitudine fit, nedum expositae Rati nati , sed etiam lateri potenti differentiam quadratorum eorundem nominum: Uocetur illa Binomalis prima; bscvero Residua prima. Sit aquantitas EF commensurabilis longitudine expositae Ration Ii A: Et , sumatur quadratus numerus B, cuius portio C sit numerus uadratus, at portio D non sit qua- ratus numerus;&cut numerus Bad D, ita fiat quadi atum ex E F ad quadratum ex F G, atque Ut idem numerus B ad C, ita fiat idem qua-
514쪽
d De te et s. drati im ex EF ad quadratum ex H. Et quoniam divi mimerus h. s. Best ad duos numeros C.& D. ita est quadratum ex)E F ad duo quadrata laterum F G , Sc H Iestque numerus B qqualiae- - ph numeris C,& D. Ergo a quadratum ex E F squale erit qua x' ' i' dratis ex F G. & ex H. ideoque E F maiorerit , quam F G, α, H erit latus porcns differentiam quadratorum ex E F, dc FG ista, . i. ' estque t Hipsi EF longitudine commensurabilis. eo quod bis,2. quadratum ex Id ad quadratum ex EF est , vi nummis quadratus Cad numerum quadratum E F, &FG sunt
potesvia tantum commensurabiles, non autem longitudine eo qHod eorum quadrata habent eandem proportionem , Quam numerus quadratus Bad non quadratum D, Salunthprivisis Rati Halcs, eo quod E F expositae Rationali A commensura. bilis est: Igitur , nominum E F,& F G summa EG erit Bin natalis . & d: stercntia Residutim erit, di est maius nomen E Fcommcnim rabile longitudine nedum exposit* Rationali A, sed etiani lateri H. Quod potest differentiam quadratorum nominum E F, & F c; Et hoc erat faciendum . vocetur ium, ma E G Binomialis prima . Et differentia E G Reiidu a prima.
Eaeri. a. s. PROPOS. XXIX. PROBL. X.
Binomialem, aut Residuam inuenire, cuius minus nomer . expositae Rationali commensurabile sit longitudine. At . maius nomen commensurabile sit longitudine latcri pintenti differentiam quadratorum eorundem nominum. vincetur illa Binomialis secunda; reliqua vero Residua se-
Sit FG exposite Rationali Acin
mensurabili, longitudine .positisq; eis de a numeris pracedentaSPropo sitionis fiat, ut numerus quadratus B ad eius portionem no quadratamia, ita quadratum ex E F ad quadratum ex data F O, sc x t numerus B ad C, ita fiat quadratum ex E F ad quadratu ex H. Quia EF,& FG s ini Rationales ili inter sic potentia tantum coincias irabiles .eo quod sunt inter se v i numeri B, de D, licet non, ut duo numeri qua
diati iv est minor G F exposit; Rationali A longitudinet.
515쪽
eommenturabitis: Igitur. summa EG est Binomium,& dis d ni iudi ferentia Residuu, cuius minus nomen longitudine commensurabile est exposite Rationali,at maius nomen est commemsurabile longitudine lateri H, quod porest disterentiam quadratorum nominum. quod faciendum erat. Vocetur sinaama E G Dinomialis secunda, di differentia E G Residua secunda.
Binomialem, aut Residuam reperire, cuius duo nomina nousint longitudine commensurabilia expositae Rationali. &maius nomen longitudine commensurabile nil lateri potenti differentiam quadratorum nominum. vocetur illa Binomialis tertia, dc reliqua Residua tertia. Reperiatur a numerus quadratus B, cuius portio D non sit 3-ο quadratus, & sit numerus impar dc primus,& portio C sit nu 'i t merus quadratus, ponaturque quilibet alius numerus primus M' - ' R. maior quam B. Patet numerum T quadratum non est e. alias primus numeruε Κ ab eius latere, scilicet ab aliquo nu- cmero metiretur; Postea b ut numerus primus Nad B, ita fiat
potestate Rationalis A ad E F,atq; ut numerus B ad D, ita fiat et ..., 2, E F ad F G potentia, nec non vi t
E R et Potentia. Et quia quadrata ex E
.di CD. I, - pQx ntia tantum commensii rabb. te ; cumque duo quadrata ex E FS I G habeat rationem eandem, . A quam numeri B, D, qui ut duo quadrati non sunt: erunt E I, & F G potentia commensur biles tantummodo te hi quia ut numerus L ad B ; ita erat qua- X A ad quadratum ex E F; & ut numerus B ad Di ita erat quadratum ex e F ad quadratum ex F G. Ergo a ex com--Io e positione ordinata erunt quadrata ex A, dc ex F G inter se, ut
516쪽
Rationalium E F , F G potentia tantum conmenserabiliuin summa EG Bmo natalis es d. Q entia veto Residua , cuius h pr 8 baiul maius nomen E F longitudine . commensurabilc est lateri H, quod potest, ut prius dictum est, diffcrentiam quadratorum nominum ( cum sit E F ad Id potentia, ut numerus quadratus B ad nunieru quadratu C; & ncq E F, neq; F G logitudine est commensurabile expositae Rationali A. Et hoc erat faciem. dum. Vocetur summa E G Binomialis tertia; Et ditarentix, E G Res dua tertia . Eus.s i so. PROPOS. XXXI PROBL. XII.
Dinomialem,aut Residuam quantitarem reperire, citius maius nomen commensurabile sit longitudine exposit* Rationali,at lateri quadrati differentialis quadratorum nominum, sit longitudine incommensurabile . vocetur innama Binomialis quarta; Et differentia Residua quarta. Ponatur rursus E F longitudine commensurabilis expositit 'i' Rationali A Et a numerus quadratus B distribuatur in duos
quadratus fit, 3c ut antea fiat, ut numerus B ad D, ita quadratum ex E F ad quadratum ex F G . Pa-tct , esse E F, & F G Rationales
potentia tantum inter te commensit rabiles, eo quod eorti quadrata habent proportioncm eandem, quam duo numeri D, de B, qui non sunt, ut duo quadrati,&sunt F G .& E F Rationali exposite A commensurab:les: cpr.rt.bu. Quare e summa nominum EG umomialis erit,& dii ferentia erit Rc sidua: Cun.que ouadratum ex E F sit ad disserentiam quadratorum ex El, & F G, ut numerus B quadratus ad non d pr3 buiua quadratum C, erit . maius nomen E F incommensurab: le lingitudme lateri quadrati differentialis quadratorum eorundem laterum . quod sit H. Reperta ergo est Dinomialis, aut Residua, cuius maius nomen commensurabile Ol lCrgitudine exposit* Rationali , pariterque nomen ei as maius longitudine incommenturabile est lateri potenti di retram,quadratorum noluinum.quod erat faciendum. Uocetur summa Diuitiam brum Com
517쪽
LIRER IX. Utina A G pinomialis quarta; & differetia A G Residua quaris. PROPOS. XXXII. PROBL XIII.
Binomialem , aut Residuam inuenire, Cui urum minUS nomen exposit* Rationali commensurabile sit longitudine , at maius nomen incommensurabile sit longitudine lateri potenti disserentiam quadratorum nominum. vocetur summa Binomialis quinta; differentia vero Residua quinta.
Sit FG exposti Rationali A commensurabilis longitudine , dc pisitis iisdem numeris precedentis propositionis, fiat, via numerus B ad D, ita quadratum ex E F ad quadratum ex / erum cer F G, dc reliqua perficiantur ut prius. Qnoniam quadrata ex E 'F. dc F G st/nt inter se, ut duo numeri B,& D, qui ut duo quadrati non sunt, Igitur , E F, de F G potentia tantum commen- opr a ba. surabiles sunt, dc e sunt Rationales, eo quod F G exposit* Ra- c - ν. 1 f. tionali A commensurabilis erat: Igitur . summa nominum F et aes s. Gerit Binomialis, dc differentia erit Residua; the est maius se bui M. nomen E F in commen surabile iungitudine ipsi H , quod est qlatus potens differentia quadratorii ex E F, dc F G, eo quod ut prius praedicta quadrata ex E F , dc ex H sunt inter se, ut duo numeri B, L qui non sunt , ut duo quadrati numeri: Igitur Binomialis, aut Residua E G habet minus nomen F G longitudine commensurabile expositae Rationali A, atque maius nomen eius incommensurabile est longitudine lateri potenti differentia qii adratoiu nominu. Et hoc erat faciedu. Vocetur funima Binomialis quinta,differentia vero Residua quinta.
PROPOS. XXXIII. PROBL. XIV. - H. Fie
Binomialem , qui Residuam reperire, cuius duo nomina exposit Rationali incommensurabilia sint longitudine, dc maius nomen sit longitudine incommensurabile lateri,pintenti disterentiam quadratoria nominum. Vocetur autem aM =r summa Binomialis sexta, & differentia Residua sexta. i. .
Diuisorursus a quadrato numero B in duos numeros C, dc 'D non quadratos, ponatur , numerus primus Κ maior, quam B, & . vi k ad numerum B, ita fiat potestate e X possita Ratio- erse, pr. h.
natis A ad E F, dc ut B ad D, ita fiat potentia E F ad F G,atque h--. I ii a Vi
518쪽
ut B ad C, ita fiat E F ad H potestate: erunt ( ut dictum est inso. propos. huius E F dc F G commensurabiles potentia tantum eidem Rationali A, non autem longitudine ; & propte d-su. ea. EF dc FG Rationales erunt, Sce inter se potentia tantum, commensurabiles, estque E F longitudine incommensura. i bilis ipsi H lateri differentiq quadratorum ex E F,&F G;pro F .a 5.1., Pterea quod quadrata ex E F, ct ex H sunt inter se, ut numeli PF M., A Mna B, dc C, qui non sunt, ut duo numeri quadrati: Igitur a summa EG est Bi. Bai. nomialis,& differentia EG est Resi
dua , cuius duo nomina incommen
surabilia sunt longitudine expositae Rationali A, atque maius nomen eiusE F incommensurabile est longitudine lateri quadrati differentialis inter quadrata nominum. Et hoc erat faci endit. vocetur autem summa E G Binomialis sexta , dc differentia EG Residua sexta. aes.ss gr. PROPOS. XXXIV. THEOR. XX. o I. io Quilibet quantitas commensurabilis cuilibet ex dictis Irra. - . ρι. tionalibus,de ipsa Irrationalis est eiusdem denominationis, 'i, & ordinis. Et illa quae longitudine commensurabilis fuerit cuilibet speciei Bino alium, vel Residuarum: dc ipsa Bbnomialis, aut Residua erit eiusdem denominationis, dc speciei. Sit primo quaelibet ex Irrationalibus iam a expositis C, cin ius nomina A. & B; sitque qu*libet quantitas D commentinh-, .... rabilis ipsi C, siue longitudine, siue potentia tantum. Dico Dis, bo .s. Irrationalem esse eiusdem denominationis cum ipsa C. Fiat butuis. vi , C ad D,ita B ad F.erit residuais vel summa A aci residuam, a pr g .ii. vel summam E, ut C ad D; dc ideo permutando, . ut A ad B, dpe tu i g. ita erit E ad F: quare e A ipsi B,atque E ipsi F una commen sin cer, , te rabiles sunt potentia, vel una incommensurabiles. Postea
fiant quadrata h ipsius A, M ipsius B, o ipsius E, dc P ipsius in I, , .. F i insuper N sit productum ex A in B, dc Q sit prodiictum ex , T,I ' E in F. Quoniam ut C ad D, ita est A ad E, atque B ad F: Ergos rari. n. quam rationem commensurabilem habet C ad D, siue longu a M. tudine dc Potentia, siue Potentia tantum g eandem commem
519쪽
dem comensurabilem rationem N h pr il l . habebunt,quam quadratum ex C . - res ad quadratum ex D habet. Iam si i ,-uo. maius nomen A commensurabile existens expositae Rationali R, o P i deffuerit Rationale, erit E quatenus commensurabile est. Rationali Apariter Rationale similiter quando A est mediate in erit ei, commensurabile E mediale quoque,& propterea eorum quadrata Κ & O erunt una rationalia, vel una mediatia ; eadem ratione nomina B & F erunt una Rationalia, vel una medialia atque eorum quadrata M, & P erunt una rationalia, vel una mediatia, pariterque quadratorum summq Κ,M, & O, Perunt una rationales, vel una mediates a nec non producta Ndi inerunt una rationalia, vel una medialia. postea quia ut Quadratorum summa Κ, M ad summam O, P ita erat produ-Aum N ad Q ermutando is k M ad N, erunt ut O , P ad g& ideo p Κ, M, ipsi N, atque O,P, ipsi una commensurabi- - s pralia. vel una incommensurabilia erunt. Et quoniam in quali-- het ex dictis Irrationalibus, aut nomina A, dc Bysunt Rati, aenalia potentia commensurabilia, aut sunt qMedialia Potem ii., i,M.tia tantum commensurabilia,aut sunt e potentia Incommen- rpr x .xscsurabilia, &summa quadratorum X, dcM Rationalis est vel soauim.. Medialis, productum vero N, aut Rationale est vel Mediale, quod aut commensurabile est, vel incommensurabile summae quadratorum X & M, Sed nomina E, & F ostensa sunt eodem modo Rationalia, vel Medialia , vel potentia incommensurabilia; & habere omnes conditiones,quas habent noemina A, Sc B. Igitur Irrationalis quantitas D eiusdem den mination s est cum Irrationali C; scilicet si C fuerit Binomi lis, erit Quoque D Binomialis, de si C suerit Maior, erit quinque D Ma or, & si C fuerit Residuum mediale primum, erit quoque D Residuum mediale primum, & sic de reliquis. Seeundo sit C una ex sex speciebus Binomialium ,Iaut Rem sp/ xl. xses duum: & D sit longitudine commensurabilis irrationali C. go. 35 3x. Dico Desie Irrationalem, ciuidem denominationis, dc spe- 33. Miκι, cicia
520쪽
t am O,adrator nn O, & P nominal F. Fl qtita, ut dictum est quadra-- P rum T id oti adratum otest ut quais iam dratum M ad quadratum P;eritae r liquUm quadratum ex G ad reliqua quadrat iura ex H, Vt totum qDadra-T tum N ad totum quadratum O. Et ' 'T pol mutando re quadratum k ad qua-M O a diatum ex G erit, vi Quadratum O
ad quadratum ex H ; Sc=Propterea latus prioris, scilicet A ad G erit, ut E ad H: Pari modo oste, detur Bad G , ut F ad H , Quare si maiias nomen A commensurabile longitudine, vel inremmensurabile fuerit ipsi G, potenti differentiam quadratorum nominuimSimili x modo maius nramen F commensurabile longitudine, aut incon mensurabile erit lateri H, potenti disterentiam quadratoriam nominum F, ct 3: Et si quidem maius nomen A, vel minus B longitudine common sit rabile, vel in commensurabile fuerit expositae Rationali R ; cum nomina E, & F longitudine commensurabilia sint nominibus A . S B seo quod in eadem sunt ratione commensurabili qua D habet ad C ), erunt quinque a nomina, E vel F eodcm modo longitudine commensu- . rabilia, aut incdmensurabilia Rationali R. Igitur , qualis .... cunque ex lex binomialibus, aut Residius tuerit C , erit D' ' eiusdem speciei. Vt propositum fuerat.
EMI. M si . PROPOS. XXXV. THEOR. XXI.
'. . . . Si inter Rationalem, & unam ex sex speciebus Binomialium,' '' aut Residuarum media proportionalis ponatur , erit illa una ex prioribus Ia Irra tionalibus. Sit exposita Rationalis A,& M sit una ex fi speciebus Bin i . natalium, alit Residuarum, cuius nomina sint H L maius , dc de so .io. a G minuS, sitque P media proportionalis inter A, & M. Dru