장음표시 사용
521쪽
dui proportionalis intra segmenta H Sc L nominis maioris, ScPonatur inter id, & is media proportionalis N, ct inter L&a media proportionalis O . Quoniam in qualitat specie bi momialium, aut iLlG G
Residuarum nomina H L&a G sunt lbe ;
Rationalia inter te potentia tantum Ico inmensurabilia, estque G commendii sutabilis longitudine eius duplo a G, etU, L. Ergo e Gerit Ritionalis,dc non longi mitud me, sed potentia tantum comuaen- iurabilis erit nomini H L, Et quia G ie- missis minoris nominis est media prinportionalis inter maioris nominis seg
cune cornmensurabile est latera potenti differentiam quadratorum nominum,&l in posterioribus eidem lateti est ita
commensurabile longitudinc . Ergog in tribus Posterioribus ' .. speciebus bioomi atrum , Ressiduaruru H. & L sunt longu ' tud me incommensurabilia inter se, & in tribus prioribus sphciebus segmenta H. v L sinat longitudine inter se commen' ., , erisu tabilia; & propterea' erit Rationalis si imma HL utrique . . , io. in H, dc L longitudine conamensurabilis,dc ideo tam H, quam . , M. I. Rationales erimi longitudi ueliatur se commensurabileS. huim. Et vero quoniam in Binomati, aut .Residua prima ma- irra ibae, ius nomen ri L loagitudi . in unu tu bile est expositae rationali A: Ergo Rataonales ri, qu Mikingitudine commen' st eis. r. triurabilis ostensi est nomini H V, erit hi quoque longitudine i s. commensurabit .s Rationalii Ai; Pic rerea N, media pro- l Myr ra. Portionalis inter A. S rifica it i quoque Rationalis: sed quia oviui conti nue proportionales itini A N, H, dc A. O L, atq:m H, inexcpe, rG, L; erit Nado, ut Hadia; ec ideo' eodem modo N ipsi se o potentia tantum commemurobilis erit, sicuti H ipsi G c, id iraeustirabilis. ste usa est;&i vidit Rationalis: Ergo ei coram ', . mensurabili, O Rationalis quoque Crit. Q la propter ' nomi' o mi. sec. num N, ili Oiumma P Binoi malis erit, &differentia Resi- huivi.
. Secundo quoniam in Binomiali, aut Residua secunda ex propis
522쪽
. ap. huius, eidem exposite Rationali A maius nometiaonale H L incommenturabile est longitudine, & Ratio.
nate minus nomen a G longitudine commensurabile est, e- ear r. a runt qRationalia segmenta H, SL quaer longitudine combuim, mensurantur summae H L non longitudine, sed potentia tani cem Pr, commensurabilia Rationali A ; atque G semissis Rati, natis a G, erit longirudine commensurabilis Rationali A.
t. Quare N& O quae medi* proportionales sunt inter A,H,&...... A L Rationales potentia commensurabiles ) erunt Medialia....ti .. & productum ex Nino, quod i est aequale producto ex A in
Ao pr.3.5M. G, Rationalibus longitudine commensurabilibus, eritis Rhupr. O bu. tionale . Quare nominum N, dc O summa P erit a Bimediatis xyr m. prima, & differentia erit Residua mediatis prima.yri i* - Tertio quoniam Fin Binomiali, aut Residua tertia ambo Rationalia nomina H L ih a G sunt longitudine incommem: iurabilia exposite Rationali A, erunt x. Rationalia segmenta
H, L & G ( quae longitudine commensurabilia erant ipsis HL, & a G Iongitudine incomensurabilia Rationali A: Qua-
. . . i. bis. re ' N et O media lia erunt, eo quod iunt media proportion lia inter Rationales potentia tantuni commensurabileS,pariterque productum ex N in O Mediale erit,quia ut dictum est, squale est producto ex Rationalibus potentia tantum comis b/ .,s.bti. mensurabilibus A, & G. Et propterea, nominum N O sum.' ma P erit Bimedialis iecunda, differentia vero Residua m dialis secunda.epris,. M. Quarto quoniam x in Binomiali, aut Residua quarta m ius nomen H L longitudine est commensurabile expositae d=nit M. Rationali A: erat a productum ex A in H L Rationale, iunte cor. v. pr. continue proPortionales A,N, H,& A, O, L: Ergo e quadrai .ii, r.et i tum ex N aequale est producto ex Auia
gpr i . bu. ma quadratorum Rationalis erit: pinis cor i , pr stea quia minus nomen a G Rationale,dem commenturabilei longitudine est Rationali A: erunt a G di A Rationalia pins her i h tentia tantum commensurabilia;&idcosproductum ex . xlv
i . a V Mediale erit, &g eius semissis scilicet productum ex G in ' .s e. . A, seu hei Squale productum ex Nino Mcdiale erit: i suntq;ιν ι ,. N dc O potentia, ut est longitudinc commensurabilis H aci LiIgitur
523쪽
ior vocatur, differentia vero nDnOr.
Quinto quoniam; Binomialis aut Residuae quintae minus i Pr,i .phnonacia a G cdmensurabile est longitudine exposite Resion li A: erit is eius semissis G Rationalis longitudine continen- 'E . su rabi lis Rationali A. & ideo is productum ex A in G, seue ex v. l. 2.Nm O Rationale erit: Et quia HL Rationalis est, dc longi- n,, ii tu tudine incommensurabilis Rationali A, erunt HI & A Ra- oeor. i prationales potenti a tantum commen i urabiles; dc ideo ' prodiI- i tib oectum ex A in H L, seu ex A in H, dc ex A in L Medi alia erunt; Ah pr. I bu. Suique quadrata ex med ijs proportionalibus ex N&O qu, Ppr i et lia productis ex A in H dc in L: Ergo summa quadratorum s h pei h ex N.dc O mediatis est. Tandem quia N ad O potentia est ut H ad L longitudine, hae autem sunt longitudine incommemsurabiles : Ergo N dc O potentia sunt incommensurabiales. Et propterea quominum N, O stamina Perit Potens ra- qstr. 1 f.bistionale ac medium, differentia vero Eniciens cum rationali
Sexto quoniam r Rinomialis, aut Residuq sexte ambo Ra- buttionalia nomina non longitudine, sed potentia tantum cona, . mensurabilia sunt exposit* Rationali A: ErgoIproductum mi M. ex A in H L. seu ex A in id, & ex A in L simul, Mediale conficiunt, i untque i quadrata ex medijs proportianalibus N & O '' . . Dualia productis ex A in H, dc ex ' in L: Ergo quadratorum ex NS O summa Medialis erit. Similiter rum G semissis erminoris nominis potcntia tantum commensurabilis erit Ra- Ab pr 3 bu.tionali A; & ideo productum ex A in G, seu x.cx N in O M: u corprii hdiale erit: Estque Rinomialis, aut Residuae maius nomen H Llogitudine incet me surabile minori nomini a G,dc eius semissi re
G: Igitus 3 producta ex A in H L, dc ex A in G incommensu- l' ' βrabilia sunt; dc propterea tumina quadratorum ex N ih o ae- . et qualis priori producto incommensurabilis erit producto ex γγὰ , N in O, equ, ii secundo producto. Tandem quia N ad O pin Ictoi pr.tentia est, ut Had L longitudine, ut diistum est, Ac fuit H lon- ia - npragitudine incommensurabilis ipsit L .F Ergo Nipsi Opotentia i , in commensiilarabilis est. Quapropter x nominum N isco E summa P, erit Potens bina media, de differentia erit Essiciens cum mediati totum inediate. Quae erunt ostendenda.
524쪽
ur EV CLIDIS RESTITUTIEvcrso. set. PROPOS. XXXVI. THEOR. XXII.
'' Si vi Rationalis ad aliquam ex duodecim prioribus Irratimi, nalibus, ita haec fiat ad tertiam proportionalem, erit poestrema una ex speciebus Binomialium, aut Residuarum. Sit exposita Rationalis A,& sit P qu libet ex ia prioribus o i, Irrationalibus, cuius nomina sint N maius, ct O minus, S ut . . A, Aassim ita fiat N ad H,&O ad G, atque ut A ad O. ita fiat pr i. civitiis. O ad L.& N ad C. Patet, este summam, vel differentiam Hbre, is . s. L, & a G tertiam proportionalem Rationalis A, & summae, in trii. bae. vel differentit nominum N & O. & sit M equalis summae, vel differenti; ipsarum H L , & a G. Quoniam G semissis ipsius a G media pi oportionalis est inter portione, H &1 Ergo duq D . . G e minores sunt,quam duq H & L: a & et x ti H est semisumma, & L semidifferentia N- maioris H L, & lateris 'tentis differentiam quadratorum inqqualium HL.& a G; & e propterea H ipsi L, nec N i non maius latus HL lateri potenti dis
, ferentiam quadratorum ipsarum H LG & a G una commensurabilia erunt Id
gitudine, vel una incommensurabilia. Rursus quoties G Rationalis merit poetentia tantum commensurabilis ipsi H L, erit quoque eius duplum a GRationale, & potentii tantum com
mentiirabile ipsi H L; & quando H,
& L suerint commensurabiles inter se lolligitudine' Rationales,erit e rum summa H L(que utrique ipsarum commensurabilii est longitudine Rationalis quoque . Iam ouia Binomialis ,gaut Residuae nomina N &O Rationalia saltem potentia commensiirabilia sunt exposite Rationali A. & sunt potentia tantum inter se commensurabilia, atque Munt tertiae proportionales H, & L, longitudine ad eandem A. vi N&O potentia commenturabiles sunt ad A: Eteo H, & L Rationales suntlongitudine commensurabiles eidem A s & ideo inter se quoque comensurabiles, & h lim
525쪽
nia H L nedum Rationali A longitudine, sed etiam lateri po- 'tenti differentiam quadratorum ex HL,&ex duplo mediae proportionalis inter H& L longitudine commensurabilis Di s cumque G ad H sit, ut O ad N, quae sunt potentii tan- irarium commensurabilia: Ergo m G, dc eius duplum a C potentii tantum commensurabilis erit ipsi H, ct ideo erit Rationa--: lis; estque re summa H L commensurabilis longitudine H,vel L inter se longitudine commensurabilium: Ergo ' minus nin n .., imen a G Rationale,&potentia commensurabile est maiori iis nomini H L. Quapropter nominum H L, S a G summa M o ere. r ir Binomialis prima erit, de eius differentia Residua prima. P aes. Secundo quia q Rimediatis primae, aut Res duae mediatis M'. Prims nomina N,omedi alia limi potetia tantum commen- PF iurabilia, quorum productum est Rationale, dc sunt N, O . media proportionalia inter expositam Rationalem A & H, L: Ergo r H Sc L Rationalia sunt non longitudine,sed poten- in inmise-tia tantium commensurabilia ipsi A, deIeorum summa HL cuae. vitai
Potentia tantum commensurabilis ipsi A, Rationalis erit,estq;vt N ad O comesurabilis potetia, ita H ad L longitudine, ut dictum est. Ergo H ipsi L longitudine commcnsurabilis erit, di ideo summa H L longitudine commensurabilis erit lateri i. potenti differentiam quadratorum ex HL, ct ex duplo mediae proportionali, G.T.mdem quia productu ex N in O,ae s eu vex Am G Rationale est: igitur a Geiusque duplum Ratio- nale erit, & longitudine commensurabile ipsi A. mare F no' et . . . minum H L & a V summa M Binomialis secunda erit, dc diis , In ii,.h ferentia Re sidua iecunda Tertio quoniam x. Bimediatis secundae, & Residuae media- et pro b
iis secundae nomina N. O medialia sunt potentia tantum P. . Commenturabilia, quorum productum est mediale,erui, a vi ae pradictum est H, dc L Rationalsa non longitudine, sed potentia tantum commensurabilia exposit* Rationali A , ct eorum iunima H L Ratim a GnataS, dc potetia tantum cdmensurabilis M H LRationali Atestq; vi N ad O potetia, ita P NOH ad L longitudine: Ergo H ipsi L lon- A bgitudine commensurabilis erit, dc ideo M petatus o HL longitudine commensurabile erit lateri potenti is differentiam quadratorum ex H L dc ex a G. Tandem quia . upto inim ex N in O, seu cel squale ex A in ta mediale est, et t. erit a latus G eluique duplum a G Rationale, dc longitudine huim.Κkk a incom-
526쪽
anio. bu' in commensurabile expositae Rationali A. Quare e nominum H L . & a G summa M Binomialis tertia erit, di differentia Residua tertia. Quarto quias Maioris, aut Minoris nomina N, O potentia inco nmensit rabilia sunt , quorum quadrata Rationale , de
di productum Mediate efficiunt, suntque a quadrata ex N & O, . . : is qqualia productis ex A in H, & ex A in L,lcilicet producto ex A. 3, 3 h. -H L- Igitur productum ex A in HL Rationale erit . vlip .ii .hti. ideo h latus H L Rationale, dc longitudine commensurabileiems pr. erit exposts Rationali A. Ft quia ivt N ad O est potentia in-r ire coinmensurabilis,ita H ad L longitudine incommensurabilis Pe i. propterea hHL longitudine incommensurabilis erit lateri potenti differentiam quadratorum ex H L.& ex a G.
MLia . Tandem quia productum ex N in O, seu ex A m G Mediale ..... est, erit reliquum t latus G dc eius duplum a G Rationale , dci pr.33. . longitudine incommensurabile expostae Rationali A . Qua-blup. re m nominia in H L & a C summa M Binomialis quarta erit. mpr.3i.bu different. I Residua quarta.ntr. I 'M. Quinto quian Potentis rationale ac medium, vel efficie tis cum rationali totum mediale, nomina N & O potenti, sunt incommensurabilia, quorum productum est Rationale, dc quadratorum summa mediatis; liriatque quadrata ex N deo par. h- Oae qualia producto ex A in I L, ut dictum est, Ergo pr
t ' i. ducti mediatis exa in H L latus H L Rationale est longitudine incommensurabile exponis Rationali A. Et quia ut Nad O est potentia incommensurabilis, a G ita H ad L longitudine incommentur H L bilis ostensa est: Ergo/H L longitudiis N O ne incommensurabilis est lateri potenti A differentiam quadratorum ex H L, ct ex a G. Tandem quia productum ex Nir sam r. bu. O. seu ex A in G est Rationale: eritfresi quinii latus G eius
gyr, 3 - - que duplum a G rationale, Sc longitudine commensurabile expositae Rationali A. Quapropter nominum H L, dc a Gsumma M dinomialis quinta cit, & differetia residua quinta. Sexto quia u Putentis bina media, vel hincientis cum in diali totum mediale nomina N, O, iunt porcialia incoin memsurabilia, quorum summa quadratorum mediatis est, dc priductum mcdiale incommensurabile summae quadratorum s
.,, cstque x sumnia mediatis quadratoria cx N & O aequalis prinducto ex A in Id L,ut dictum est: Ergo latus HL Resionale
527쪽
m I TE Ri IX . di, osti& longitudine incommensurabile expostae Ration. si A; gEt quia ut N ad O est potentia incommensurabilis,n ita os emsa est H ad L longitudine incommensurabi lis i Ergo a HL - Fe, longitudine incommenlii rabilis est lateri potenti differen- 'f' 'tiam quadratorum ex H L . & ex a G: Postea quia proe e 'ductum ex N in O, seu ex A in G est mediate , erit breli- , quum latus Geiusque duplum a G Rationale, & Iongitudine incommensurabile Rationali A. Tand em quia summa quadratorum ex N& O in commensurabilis ea producto ex Nin O, seu ex L in G, & suit produ ctum exo in H L equale quadratis ex N & C: Ergo productum ex A in H Lincommensurabile est producto ex A in G, & ideo . H Lincomme- n. s. i. . iurabile longitudine erit ipsi G, eiusque duplo a G , ct a pro et Pterea nominum H L & a G summa M Binomialis sexta erit,mi differentia vero Residua sexta. Que erant ostendenda . d p .is AnPROPOS. XXXVII. THEOR. XXIII. . Eaeire .
Latus potens summam, vel differentia Rationalis, & Medis X Irrationale est unum ex octo Prioribus . .
Sit productum Rationale A, &latus ipsum potens fit Rproductum vero B sit Mediale,eumque possit latus M, st. vi exposita Rationalis D C ad R, ita ponatur Rad C E, atque ut D C ad M, ita ponatur M ad EF. Et quia aeque altis productis eiusdem DC in C E, & in E F , aequalia sunt quadrata ex mediis proportionalibus M, & R, seu producta A & B: Ergo summa, vel differentia ipsorum A ct B aequalis erit producto ex DC D in C F summam, vel differentiam ipsarum , - λ C E. & E F ; sitque O potens summam, Meldisterentiam productorum A & B: manifestum est a O mediam proportionalem eis inter D C, & C F lummam, vel disterentiam ipsarum C E, & E F. Dico iam Oeta Binomialem, aut Bi medialem primam, vel Maiorem, aut Potentem Rationale, ac Medium, vel certe earundem Residuam aliquam. Quoniam productum ex D C in C E aequale est Rationali A: erit e C E Rationale, & longitudine commensurabile expositu Rationali D Ci pariterque quia productum ex D C
528쪽
pHii .su. ex D C in E v equale est Mediali BieritIE F Ra lonale,allam gitudine incommensurabile erit expositae Rationali DC, &ideor C E, E F erunt Rationales non longitudine, sed potentia tantum commensurabiles inter se, Ac propterea inequales erunt.Sit primo loco C E maior reliqua, longitudine coni- mensurabilis lateri potenti differetiam quadratorum caruimdem C E. & E F, et erat C E longitudine commensurabilis expositae Rationali DC: Igitur, nominum C E, et EF summa C Ferit Binomialis prima, et d Serentia Residua prima rQuare, O media proportionalis inter Rationalem L, C,et Bianomialem , aut Residuam primam C F: erit Rinomialis, aut
Secundo, reliquis manentibus, si maius nomen C E lou-gitudine incommensurabile lateri potenti differentiam quadratorum ex C E, et E F. Patet e C F summam, vel differe
tiam eorundem nominum Dinomialem, aut Residuam oua
tam esse, et i mediam proportionalem O inter E F, et Rati nalem D C Irrationale esse Maiorem, aut Minorem dictam. Tertio sit nomen E F masus, quam C E, & E F commens rabile sit logitudine lateri potenti differentiam quadratorum nominumidicumque minus nomen C E longitudine commemsurabile sit edipositae Rationali Dc erit Rationalium p tentia commensurabilium summa C F Binomialis secunda ,& differentia Residua secunda: Igitur re media proportionaliso erit Bi media is prima, aut Residua mediati, prima. Quarto sit maius nomen E F longitudine incommensurabile lateri potenti e flarentiam quadrat rum nominum(reliquis manentibus) erit o summa nonunu L. F Binomialis qui ta, & differentia Residua quinta ;& pr pterea p O media proportionalis inter Rationalem D C,& dictam Irrationalem, erit Potens Rationale ac Medium vel efficiens cum Rationali totum Mcdiale . ut propositum fuerat.
PROPOS. XXXVIII. THEOR. XX IV.
Latus potens summam,vel differentiam duorum Medialium inter se incommensurabilium, unum est ex quatuor irrationalibus postremas eXPositis.
529쪽
constructione praecedentis propositionis, O possit summam, vel differentiam Medolium A & B, seu productorum eiusdem altitudinis DC in C E. dc EF. Dico o esse Bimedialem
secunctam, vel Potentem bina media , siue earundem Residuam aliquam. Quoniam
Medialia A B, seu producta illis squalia DC in C E dc DC in EF ponuntur inco- mensurabilia, erunt inqqualia; & ideo a CE, & E F incommensurabiles longitudine, di in quales erunt. Sit iam primo C E maior . & longitudine commensurabilis lateri potenti differentiam quadratorum , inqqualium C E, dc E F. Cumque producta ex i, C in C E &E F aequalia sint Medialibus A & B, erunt , latera C E, & E FRationalia,&exposit* Rationali D C incomensurabilia longitudine, vi prius inter se longitudine incommensurabilia ostensa fuerunt; & ideo Rationalia C E. & E F , potentia tantum commensurabilia erunt. Quare e nominum C E,& E F summa C F Binomialis tertia erit, differentia vero Residua tertia. Igitur do media proportionalis inter C F, & dpr.3s.. Rationalem D C, erit iumediatis secunda, vel Residua mediatis secunda . Sit secundo maius nomen C E longitudine incommens rabile lateri potenti differentiam quadratorum nominum , cumque ambo medialia nomina incommensurabilia sint id e pr 33.bu pitudine exposit* Rationali C D: erit e summa nominu CFBinomialis sexta differentia vero Residua sexta. Quare fomedia proportionas is inter Rationalem C D, & CF erit Pirens bina media, vel Eificiens cum mediati totum mediat . Vt fuit propositum.
E adem quantitas non potest esse Residua, dc Binomialis.
Sit A quaelibet Residua. Dico A esse non posse Binomia- , ,, i, lem. Si enim hoc verum non est sit A , nedum Residua, sed is, hi=Hi etia R: nomialis,&a vi exposita Rationalis BC est ad A,ita fiat buiu, Aid B ii. Er quoniam A Residua est, erit , latitudo BD R: opr Abis. sidua priuia: Sitque D E minus nomen eius. Ergo e erunt no- cIr. - - , mina
530쪽
min a B E, D E Rationalia potentia tantum commensurabis lia , Ac B E longitudin8 commensurabile erit neduin Ratio. nati BC, sed etiam lateri potenti differentiam quadratorum nominum B E & D E. Postea quia A supponitur quoque Bb nomialis, dc fuit BD tertia proportionalis e xpositae Ration
lis B C,Sc A: igitur a BD est Bineuia talis
prima,cuius maius nonae sit B F: quare BF, FDerut Rationales potentia talii. 3 l ' commensu rabiles, atque B F longitu- ; dine commensurabilis erit nedum Raia . I tionali B C; sed etiam lateri potenti C differentiam quadratorum ex is F,& FD; Itaque tam B E, quani BF eidem B C commensurabiles
sunt longitudine : Ergo e B E, S B r inter se commensurabi-Ies quoque longitudine erunt f dc proptereat B E ipsi F E relicctae longitudine commenlii rabilis erit: Cumque B E Rati,nalis sit, erit quoque a F E Rationalis: Et quia duarum B E, F E longitudine commensurabilium ipsa B E longitudinc imcommensurabilis est ipsi D E s eo quod sunt potentia tantum commensurabiles erit o quoque altera F E eidem DEm- commensurabilis longitudine, & fuerunt ambae ostensae Rationales ; Igitur F E, dc D E Rationales si int potentia tantum p . Mau. commensurabiles ; ideoques eorum differentia FD Irrati,nalis erit, qiiq Residua dicitur, ostensa autem fuit Rationalis, quod cst impossibile. Non ergo A esse potest simul Residua , se Linonitatis. Quod erat ostendendum.
Ex dictis colligitur Binomialem, a tque Residuam, de relli quas declaratas Irrationales, neque Mediali, neque inter sta, prii bu, easdem esse. Nam x quadratum Medialis ad Rationalem adplicatum latitudinem esticit Rationalem, Ac longituda ne ii 'te 3β. u. commensurabilem eidem Rationali ; Sed i quadratum Binomialis . aut Residuae ad Rationalem applicatum latitudinemessicit Binomialem primam, aut Residuam primam. Et quadratum Bi mediatis primae,vel Residue Medialis primae ad Rationalem applicatum lati tudinem eIlicit B momi, lam secundam, aut Res diram secundam. Quadratum vero Bi medralis secundae, vel Residuae, Medialis secund* ad Rationalem applacatum latitudinem facie Bin