장음표시 사용
531쪽
Binomialem tertiam, vel Residuam tertiam . Atque quadratum Maioris, vel Minoris ad Rationalem applicatum latitudinem facit Binomialem quartam, aut Residuam quartam. Quadratum vero Potentis rationale,ac medium, vel eius,quq caen Rationali totum Mediale essicit ad Rationalem applicatum latitudinem facit Binomialem quintam, vel Residuam quintam. Tandem quadratuni P otentis bina mediatia, vel eius, quae cum Mediali totum mediate efficit ad Rationalem applicatum latitudinem facit Binomialem sextam, aut Residuam
Cumque he latitudines differant a latitudinc Medialis, &inter se: a latitudine quidem Medialis, quia liqc Rationalis
est, ille vero Irrationales s inter se vero quia non sunt esdem ordine, aut specie ex Binomialibus, & Residuis, neque Binomialis vlla eadem est cum Residua.Vnde manifestum e st omnes irrationales quantitates huc usque traditas inter se diues fas esse . Ex his sequitur, quod exposita qualibet Rationali tredecim numero et ut quantitates irrationales hactenus consideratq,quaru prima est Medialis, secunda Binomialis que in sex ijecies diuisa st) tertia Bimediatis prima, quarta Bime dialis secunda, quinta Maior, sexta Poteus rationale, ac Mediate; Septima Potens bina mediatia, octaua Residua, cuius sex species inuenie simi, nona Residua mediatis prima, decima Rcssidua mediatis lectanda, undecima Minor, duodecima Effficiens cum rationali totum mediale, decima tertia Essicies cum mediati totum taediate.
si s X. Quadratum Rationalis ad Binomialem applicatum latitudinem essicit eiusdem speciei Residuam; ih ad Residuam a Pplicatum latitudinem emcii Binomialem eiusdem speciei, quorum nomina iunt proportionalia, dc longitudine commensurabiliae . .
Sit Rationalis exposita A, &.Binomialis, aut Residua B C; cuius nomina sint B D maius, ct D C minus, & ad B C, atque ad eius minus nomen D C applicata sint producta M dc OLli ae qualia
532쪽
'qualia quadrato ex Rationali A, que faciant latitudines CE, & CG. Dico quando B C est Binomialis, ut in primo casu, esseC E Residuam ; at quando BC est Residua, ut in secundo casu, eme C E Binomialem, & erunt nomina ipsius CEProportionalia, & longitudine commens irabilia nominibus ipsius B C, atque C E erit Irrationalis eiusdem speciei, ac est BC. Vt a GE ad EC, ita fiat EF adHC. Quoniam producta M, & O squalia sunt eidem quadrato ex Rationali A , erunt illa inter se equalia , dc propterea , BC ad CD eriti ut G C ad CE,&diuidendo, e vel componendo B D ad D E erit, ut G
tentia tantum commensurabiis Serit, velim maius nomen BD minori nomini D C potent i a tantum com mensit rabile est.
Postea quia G E ad P C est, vi F H ad H C; Ergo e homologarum suntuns vel differentiq, scilicet C H ad H h erit, ut E Had H C; cumque sint tres continue proportionales G H, H E, H C, erit . quadratum ex H E, ad quadratum ex H C, seu ut quadratum ex B D ad quadratum ex D C in eadem ratione, ac est G Had H C ; est vero quadratum ex DB ad quadratum ex DC, seu quadratum ex E H ad quadratum ex HC comis mensurabile, propterea quod nomina BD, & DC potentia commensurabalia supponuntur: Igitur e G H longitudine cinmensurabilis est ipsi H C, dc propterea eius Residuum G C
longitudine commensurabile erit ipsi HC, sed a G C Rationalis est, dc longitudine commensurabilis Rationali C D(pr,pterea quod ad Rationalem C D applicatum est productum O Rationale squale quadrato ex A, emciens latitudinem , CG s Ergo i, HC Rationalis quoque e-E rit,& longitudine commensurabilis ebdem Rationali C D: Et quia ut BD ad D C, ita erat E H ad H C, permutando B D ad E H erit ut DC ad C H: suntque D C, dc H C Rationales, dc longitudin commensu tabiles inter se; igitur L Rationali B D longitudine commensurabilis erit E H, ct ideo , Rationalis quoque erit. Cum ergo E H, & H C sint Rationales, de potentia tantiim inter se commensit rabiles , , t prius dictuin est . erit in CE nominum differentia in primo casu Residua, dc summa CE in secundo Binomialis, eiusque nomina EH, dc H Cistini proportionalia , dc longitudine commensurabilia nomini-
533쪽
hus B D, dc D C alterius Irrationalis BC. Tandem is quoniam duae summae, vel duae differentiae nominum B D, D C, dc E H, H C efficiut Binomiales aut Residuas eiusdem ordinis, dc ciei , eo quod commensurabilia sunt longitudine nomina inister se; dc ideo eorum summae, vel differentiae commensur hiles sunt longitudine inter se; sed eorundem nominum E H, di H C summa, dc differentia efficiunt Binomialem , dc Residuam eiusdem speciei,ut ostensum est in propositione 3 huius . Ergo Binomialis B C , ct Residua C E , vel Residua B C ,& Binomialis C E eiuldcm speciei sunt. ut erat propositum.
Media proportionalis inter B momialem dc ResiduI , quq h beant nomina proportionalia, de inter se longitudine commensurabilia, Rationalis est.
Sit B C Residua, cuius nomina B D dc D C, atque R E si tBinomialis, cuius maius nomen B F, minus FE; Sitque B Dad B F, ut C D, ad F E, dc sit tam B D ipsi B F, quam C D ipli FE longitudine commensurabilis, dc uiter C B dc B E posita sit media proportionalis G. Dico G Rationalem esse. Fiat a B E ad expositam Rationalem A, ut A ad EH. manifestum est . productum ex B E in E H, c quod aequale est quadrato Rationalis A) cfliae te latitudine E H Residuam, cuiuS nomina, quae sint H L, dc L E, proportionalia erunt, dc longitudine commensurabilia nominibus B F, dc F E ; Sed ex hypothesi nomina D B, dc D Clongitudine commensurabilia, dc proportionalia sunt nominibus B F, dc F E; Igitur e L H ad L E est, ut D B ad D C, atq;L H ipsi B D, nec non L E ipsi D C longitudine commensur, bile erit: Quare permutando a L H ad B D erit, ut L E ad D C, ideoque e Residua E H ad Residuam C B erit, ut tota H L ad totam B O, dc prorterea E H, dc C B longitudine commemsurabiles erunt: Cumque i productum ex B E in E H, scilicet quadratum ex A , ad productum ex E B in BC, seu ad ei haequale quadratum ex G; Sit ut latitudo E H ad latitudinem C B,cum B E sit altitudo communis fuerunt autem huiusmodi latitudines ostense commensurabiles inter se longitudine.
534쪽
Igitur quadratum ex Rationali exposita A commensurabileides, fra. erit quadrato ex latere G; de propterea s latus G medium priportionale inter Residua C B, & Binomialem B E Rationale erit. Quod erat ostendendum.
Isis iis T. PROPOS. XLII. THEOR. XXVIII. A Mediali infiniti Irrationales fiunt, & nulla alicui expositarum est eadem. Sit Medialis A B. Dico ex illa ori posse infinitas quantit res Irrationales , quarum nulla eadem erit alicui ex tredecim Irrationalibus superius expositis. Sit enim exposita Ratio natis A C,dc ex Rationali A C in Medialem A B fiat productum m '' M Patet productum M Irrationale esse (eo quod a sit Ratio-I nale concedatur est iceret latitudinem AB Rationalem, quod non ponitur, concessa enim fuit A B Mediatis Sit iam , BE latus quadrati qqualis producto M: Erit ergo e B EIrrationalis. Dico quod B Elio est aliqua ex tredecim Irrationalibus iam declaratis; Si enim B E est mediatis, eius ouadratum ad Rationalem A C applicatum efficiet latitudinem AB Rationalem; at si B E credatur una ex duodecim expositis irrationalibus e eius quadratum ad Rationalem AC applicatum estici et latitudinem AB Binomialem aut Residuam; estque A B Medialis ex livpothesi: Ergo eadem quatitarum A B est Medialis & simul Binomialis aut Residua, aut alia Irrationalis diuersa; quods est impossibile. Igitur Irr tionalis B E diuersa est ab omnibus Irrationalibus expolitis. Postea fiat productumo ex Rationali AC & inuental e M.to , rationali B E, atque g latus E F possit productum O. Manifer T, ta stum est, productum O ex Rationali A,& irrationali BEa Ah. esse Irrationale & propterea latus E F, potens productum Otr oui .. Irrationale erit. Dico iam E F non esse aliquam ex declaratis e pri tredecim Irrationalibus, nec esse eandem ipsi BE. Quo- niam quadratum ex E F ad Rationalem AC applicatum effi- -misem eii latitudinem BE: sed quadrata declaratarum Irrationalium, atque ipsius mei B E latitudineS faciunt in eadem applicatione diuersas ab ipsa B E, ut dictum est. Eodem modo aliq. infiniis Irrationales inuendi pollunt , quae ct inter se, die di-- Abit. I
535쪽
LIBER I x. Ictis Irrationalibus differunt. mare patet propositum . PROPOS. XLIII. THEOR. XXIX.
Cuiuslibet lineq extrema ac m dia ratione diutim utrum qu segmentum irrationale est, quod vocatur Residuum. Sit linea Rationalis AB diuisa in C extrema ac Media ratione, ita ut sit tota A B ad maius segmentum eius A C, ut est A C ad minus segmentum C B. Dico utrunque segmentum AC ,&CBIrrationale esse, quod vocatur Residuum. Addatur maiori segmento A C ipsa D A . quae equalis sit dimidiae totius AB. Quoniam a quadratum ipsius CD quintu--i is plum est quadrati ipsius D A , erunt , quadrata ex C D, dc ex 'I D A commensurabilia, dc propterea latera C D, & D A commensurabilia erunt potentia tantum, quandoquidem eorum quadrata sunt ointer se,Vt,duo numeri S dc I, quic non sunt ut duo numeri quadrati, cum sint numeri primis Sc d eu D A Rationalis, d AC.,.s. c a dimidia sit Rationalis A B Igitur C D conmensurabilis huiu, potentia tantum ipsi D A Rationali, erit quoque Rationalis; Cumque A C sit differentia duarum Rationalium C D, dc DA potentia tantum commensurabilium, eri te ipsa A C Irra- ettio I v, tionalis, quq Residua vocatur. Et siquidem ipsa A B fuerit exposita Rationalis, vel ipsa AB longitudine Commensurabilis sit expostq Rationali, erit eius semissis D A expositae Rationali longitudine commensurabilis; Cumque maius nomen CD quintuplum possit minoris nomiixis D A, erit quadratum differentiale eorundem nominum quatuor pa tes earum, quarum quadratum D C est quinque partes; dc propterea huiusmodi quadrata erunt, ut 3 ad A, qui uo na- feasib. Pr meri non sunt ambo quadrati s dc propterea maius nomen CD longitudine incommensurabile erit lateri, potenti differetiam quadratorum nominum, & est minus nomen D A longitudine comme niurabile exposite Rationali , ut dictum est. Ergoa A C erit Residua quinta.
dratum Re idue AC applicatum ad Rationalem AB edicit
536쪽
latitudinem Residuam primam. Igitur segmentum minus CB Residuum primum erit. Quod erat ostendendum.
Deducitur ex hac propositi one,quod si maius segmentum lineae diuisit extrema, & med ia ratione fuerit Rationale: erit minus segmentum eius Residuum. Nam si ex maiori segmento AC abscindatur portio CD aequalis AD C B minori segmento C B, erit h. A C-- ---ii- diuisa in D extrema, ac media ratione, cuius maius segmentum est
D C, & propterea existente A CRationali, erit ex hac propositione C D, seu C B Residua.
Si diameter circuli Rationalis fuerit; Pentagoni latus erit Idirationalis linea, quae vocatur Minor. Sit circulus A F G, cuius diameter A G, vel radius A B Ra.tionalis sit. Secetur a radius A B in puncto C extrema, ac me. dia ratione, ita ut C B sit maius segmentum eius, dc , ducta perpendiculari B F, coniungatur recta C F. Quia eradius ci culi A B equalis est inscripto lateri hexagoni regularis, S si catur in C extrema, ac media ratione: Igitur a maius eius legis mentum C B erit latus inscripti decagoni regularis ; Sed e laotus pentagoni potest & latus hexagoni, & latus decagoni: Igitur C F, potens radium F B, seu A B, & C B, erit latus imscripti pentaconi. Dico iam CF Irrationalem esse,quq vocatur Minor. Secetur radius B G bifariam in D, & producatur diameter G A in E , ut sit E A qqualis radio A B Quoniam D B semissis est radii B G, seu et equalis E A, erit D u quarta pars diametri Rationalis A G, seu er aequalis E B ; & propterea D B quinta pars erit totius E D; dc ideoI E D Rationalis erit longitudine commensurabilis expostq Rationali AG. Postea quia A B secatur in C extrema , ct media ratione, de maiori eius segmento CB additur BD semissis totius A B iergog quadratum ex CD quintuplum est quadrati B D si missis totius; erat autem longitudine E D quintupla eiusdem
537쪽
dem B D: ergo, F D, DC &BD proportionales sunt,dc ideo luadratum ex E D quintuplum erit quadrati ex C D; Quare
surabilis Rationali F D, ut dictum est, Rationalis x quoque erit, estque E D longitudine incommensurabilis lateri differentiae quadratorum ex E D, dc ex C D (eo . quod eorum quadrata sunt inter se, ut numeri s ,& sicuti in precedenti prop. dictum est, qui ambo quadrati non sunt ), atque maior E o longitudine commentiu rabilis fuit exposit Rationali AG. Ergo nominum E D,&DC differentia, E C Residua quarta est. Iam quia ' rectangulum C E A aequale est quadrato ex E L , vel ex F B una cum Rectangulo E A C, siue ei aequali B AC, vel . huic equali quadrato ex C B: Ergo rectangulu E A equale est duobus quadratis ex I B latere hex. goni, de ex C B latere decagoni: Quar ei rectangulum C E A aequale erit quadrato ex CF latere pentagoni, quod illis duobus quadratis equale est:& ideo latus e pelagoni medium proportionale est inter radium ci culi A E dc rectam C E: sed e media proportionalis inter Rationalem E A, & Residuam quarta E C Irrationalis quantitas est, quq vocatur Minor. Igitur latus pentagoni CF Irrationalis quantitas est, quq Minor vocatur. Vt erat propositum.
xi II. Si diameter sphqrs Rationalis fuerit, erit latus inscripti Icisaedri irrationalis linea, quq vocatur Minor; Et latus D decaedri erit linea Irrationalis, quae vocatur Residua. Quoniam a sphirq diameter potestate est ad latus Icosae- aranio Adri, ut quintuplum quadrati lateris hexagoni; ad quadratum ir. lateris pentagoni, sed existente Matere hexagoni , seu radio bH pr. s. circuli Rationali, est c latus inscripti pentagoni Irrationalis i 3- linea, quq vocatur Minor, ct est quintuplum quadrati latetis rum hexagoni commensurabile quadrato eiusdem lateris hexa- . goni: igitur a quintuplum quadrati praedicti lateriS hexagoni e , ,... i. Rationale quoque erit; Sed equintuplo huius quadrati *quM r. le est quadratum diametri sphere: Igitur quadratum diame- ides , sec.tri spherae Rationale erit, & propterea diameter ipsa Ratio- h sui.
538쪽
s s EVCLIDIS RESTITUTI LIB. IX.
natis. Quapropter existente sphqrq diametro Rationali, erit latus Icos,cdti linea Irrationalis, que Minor vocatur .s rer. , pr. Secundo quoniam g sphere diameter potestate ad latus D decaedri est, ut triplum quadrati lateris hexagoni ad quadra-hsu tr i, tum lateris Decagoni ; Et existente latere hexagoni, b seu r i . . ., diO Rationali, erit latus Decagoni Irrationalis linea, ..hai,... quq Residua vocatur. Estque triplum quadrati lateris hexa- a f. s.c. goni Rationale quoque,Vtpote illi commensurabile, sed i tribbui ... plo huius quadrati squale est quadratum diametri sphaeret; ierum tr. i. Quare spherq diameter Rationalis quoque erit; & tunc latus M. Dode caedri linea Irrationalis erit, qui vocatur Residucis Quod erat ostendendum.
539쪽
iuxta methodum Theonis vulgatami cum locis huius operis, in quibus eaedem Eucl. propositiones exponuntur.
d super data recta linea terminata, triangulum squilaterum conflituere. libri t. prop. I. patim Isa Ad datum punctum, datae recta inneae aequalem rectam lineam ponere. lib. I. prop. 2. mi Duabus datis rectis lineis ins qualibus , de inuiore squalem minori rectam lineam detrahere.Itb. I .pr. t. a Lo si duo triangula duo atera duobus lateribus aequalia habeant, Hrunque utrique, habeant vero O amulum,. angulo equalem sub squalibus rectis lineis contentum: O bam base aqualem habebunt, eritque triangulum. triangulo aequale, ac reliqui anguli r liquis angulis aequales erunt, Herqueririque, sub quibus aequalia latera subtenduntur. lib. I. pr. a is Voscelium triangulorum qui ad , sita luvi anguli, inter sesunt squales: si vitemus product e sint equalesillae recte lineae, qui sub basi sunt a/guli,inter se aquales erunt .lIb. I .pr. 6. ad c si trianguli duo anguli equales imur se fuerint: di sub aequalibus avgulis subtensa latera aequalia inter se
runt.lib. I. n. a Super eadem recta linea, duabus eisdem rectis lineis aliae duae rectae Ii- nee squales,utraque vreiq;, non consituentur, ad aliud atque aliud sunctum, ad easdem partes, eosdemque terminos cum duabus initio ductis roctis lineis habentes. deducitur ex lib.
g Si duo triangula duo latera habu rint duobus lateribus, utrunque vir, que , equalia, habuerint vero di basen basi aequalem: angulum quoque sub aequalibus rectis lineis contentum angulo squalem habebunt. lib. I .prop. I. asy Datum angulum rectilineum bis riam secare. lib. I . rop. f. ap
fariam secaret lib.I. Prop. y. asII. Data recta linea,a puncto in ea dato , rectam lineam ad angulos rector excitare. lib. I .prop. IO. Et Ia Super datam rectam lineam infiniatam, a dato uucto quod in ea non est, perpendicularem rectam deducere . lib. I. prop. II. avis Cum recta linea super rectam eonia
sestens lineam, avgulos facit, aut duorrectos, aut duobus rectis squales Umciet. lib. I .prop. I 2 aoi Si ad aliquam rectam lineam, atq;ad eius punctum, sis recta lineae non ad easdem partes ducta, eos qui sunt deinceps angulos duobus rectis squales fecerint, in directum erunt inter se ipsa recte lines. lib. I. prop. II. ois Si duae recta linee se mutuo secum
540쪽
rint, annitor qui ad verticem sint, squales inter se efficient. lib. I. Coroll.prop. S. 2 Is cuiuscunque trianguli dino latere producto , externus angulus Hroque interno in opposito maior est. ἰῶ. I. Cor. I. pr. I g. a IT cuiuscunque trianguli duo anguli duobus rectIs sunt minores, omnis riam sumpti. lib.I.conterop. I g. Zi s Omnis trianguli maIus latus maiorem angulum subtendit . ub.1. 'ρp. Iy. MIs . Omnis trianguli maior angulus maiori lateri subtenditur. lib. I. Prop. 2G.
a omni, trianguli duo latera reliquo
sunt maiora, quomodocunque assumpta. lib. I .prop. 2I. 621 Si ver trianguli uno latere ab emtremitatibus dus rectae lineae Interius constituis fuerint, hae constituta reliquis trianguli duosis lateribis minois res quidem erunt, maiorem vera amgulum continebunt. lib. I .pr. 22. Teta Ex tribus rectis lineis , que sunt tribus datis rectis lineis equales, tria-gulum constituere. 'tet autem duas reliqua esse marores,omnifariam sumptas: quoniam aeniustauu que trianguli duo latera omnifariam suurpta, reliquo sunt maiora. lib. I .prop. 2 3. 68 cis Ad datam rectam lineam datumque in ea punctum , dato angulo recti-lveo aequalem angulum rectilineu constituere. lib. I. pr. . , Si duo triangula duo latera di obus lateribus e Patia habuerint,vtrunque utrique , angulum Fero angulo maiorem sub aequalibus rectis lineis coutentum . di basa basi maiorem habe
h v. lib. a reor. 3.3op. 6. i Tas ai duo triangula duo latera duobus lateribus equalia habuerint, trianque utrique, basin vero bammaiorem et diangulum sub aeivalibus rectis lineis
contentum angulo maIorem habebunt.
lib. a ch.' .6. Tarci Si duo triangula duos angulos dum bus angulis squales habuerint, utrumque utrique, aenumque lares Hi laterisquale , sue quod squesibus adiacet angulis, leu quod aem equalium angia lorum ,stenditur : Freliqua latera reliquis lateribus aequalia, aereuntque trique , in reliquum angulum res, quo angulo squalem ba 'olint. lib. I. prop. 23. Soa Si in duas rectas lineas recta incita dens linea alternatam angulos squadrainter se fecerit: parallelae erunt inter se ille rects itue e. lib. I .prop. Io. das si in duas rectas Aueas recta ineo dens linea externum angulum in te
no , O opposito, di ad easdem partes
aequalem fecerit, aut internos di ad easdem partes duobus rectis aquai es: paralleis erunt inter se ipsa rectae linea . lib. I. rop. 1 o. 36ao Ia parallelas rectas lineas rect.o incidens linea, ct alternatim angulos ivter se squales esc/t, ct externum interno, ' opposito, di ad easdem partes squalem , ct internos cir ad easdem partes duobus rectis equales .fuit. lib. I. rop. I S. 3sso Ps isdem reos line e parallele,ra, inter Iesum para est. lib. I .pr. II. Is i A dato puncto , date recte linee