장음표시 사용
151쪽
serentialem utricam variabilem Continentem , ad aliam formulam , quae exprimat arcum elementarem C Vae algebraicae. g. a. Primus omnium, quantum mihi constat qui Mathematicis tale problema enodandum proposuit, fuit clari 1limus Iacobus Hermannus in Actis ruditorum Lipsit anno I i ς; de quo problemate sententiam suam aperit clarissimus Nicolaus Berno ulli Johannis filius in Actis ruditorum sequentis anni:
Accedo, inquit, ad Problema Hermannianum , quo petunturi curvae algebraicae x, quarum indefinita rectificatio depeni deat a quadratur cujuscumque alterius curvae B algebrai. et cae , quae tamen habeant tot quot libuerit arcus particula res absolute rectificabiles independenter a quadratura,
qua ipsarum rectificatio dependet. Quod si clarissimus i mponens intelligat per curvam quamlibet datam algebraicam .... itemur libenter solutionem problematis non esse in nostra potestate . . . Iudi Camus ab illo multum prae in stari , qui vel artem tantum hujus problematis solveret i docendo scilicet modum inveniendi curvam algebraicam A, i a cujus restificatione indefinita dependeat quadratura inde, α finita curvae algebraicae datae B . .. hujus blutio ingentemi haberet utilitatem in constructionibus problematum, quati post separationem inde terminatarum ad quadraturas redaci ara sinu . Quae verba induxerunt Clar Hermannum ad propositi problematis solutionem X hibendam in Actis Lipsiensibus men. 1is Aprilis anno 1723, quae tamlen parum arridet Iohanni er- noullio , utpote quia videtur dissicilis, ad usum parum accommodata . α Recurrere enim, ait is , ad evolutarum natu zz ram, atque auxilium petere ab inclinatione linearum ad se invicem , mihi videtur via in directa parum naturalis , per quam in operosum adducimur calculum , ut fieri solet, et: si mere analytica cum geometriCis praeter necessitatem Com. miscemus damnat Certe Newtonus in Elem. Alg. Pag. 282,m is tamquam insigne pecCatum Contra bonam methom dum consuetudinem illam geometrarum unum Cum alterom confundentium. Ex quo factum est , ut vir ingeniosi simus de alia via magis plana, atque ad usum magis accommo data excogitaUerit. f. 3. Leonti ardus uterus analysta nostri temporis facile princeps Tomis Comm. Academ Scientiarum Imperialis e
tropolitante agens de Curvis rectificabilibus algebraicis is de
152쪽
Trajectoriis reciprocis algebraicis viam indicat id ipsum praestandi , atque simul inveniendi omnes curvas algebraiCas possibiles problemati inservientes a formulae super Omnem Credibilitatem prolixae ab usu valde remotae , ne non difficultates sese a quantitatibus imaginariis extricandi me induxerunt ad hanc methodum relinquendam , atque ad ernoullia-anam amplectendam utpote prae atteris elegantiorem, magis expeditam nihilominus, cum ipsa a quantitatibus imaginariis inutilis saepe reddatu ejus extensio intra quos
cam limites restringatur; in rem haud spernendam me facturum se confido, si eam ab hisce defectibus valeam si bera. re ad quod praestandum novam demonstrationem adducam Theorematis Bernoulliani de reducendis formulis disserentialibus unicam variabilem continentibus ad rectificationem cur, Varum algebraicarum, quod ita a l. Auctore expositum est iii Actis Lipsiensibus anno Pa 4. g. . Designant 1 quantitatem datam utcumque per I constantes, si describatur curva coordinatarum p p arcus hujus curvae erit Z X UF- do du' dy'. g. . Ad hoc Theorema demonstrandum pono periis dy. tum invenio coordinatarum elementa , quae sunt, facta substi-
153쪽
aequalis scilicet elemento arcu ergo integrando fiet, O Cato curvae arcu et L F du , s. 1-pp- p x L quod erat demonstrandum g. . Advertendum est in hoc calculo liberum se coordinatas assumptas accipere vel negative, vel positive, quia idem quadratum resultat, quum earum elementa ad secundam potestatem elata simul conjunguntur, ut habeatur γ' dia'; similiter dum radix extrahitur acertum est utrum elementum Idu' -dFφα d debeat assici signo in an signo --, quod dicendum est etiam de arcu L facta integratione ; quapropter in singulis casibus opportunum erit praefigere arcu L signurn ambiguum, tum determinare utrum an sit accipiendum. Advertendum est etiam ad constantem addendam , Vel deducendam si opus fuerit, ut Omnia cum aliis integrandi modis sunt Commiunia g. 7. Ut innotescat quomodo auxilio huius Theorematis quantitates differentiales unicam variabilem continentes reducantur ad rectoificationem Curvarum algebraicarum ab re nora erit nonnulla Xempla proponere . Formula reduCenda sit x.
haec in Theoremate conlparetur cum d x, X a C
154쪽
ra OPUSCULA.tur arcus circuli cuius radius estis obtinebitur constructio sor.
g. . Ut arcum , quo indigemus ref e determinemus, inveniamus lilaeam aequalem ex puncto Fig. I. agatur tangens circuli AE ducatur secans CG ta erit C λα- , quia CF: CD:: CB: CE seu α -:a::a: CELIA', BE Uxπ-aa ergo D erit arcus ille , qui crescit crescente m. Hujus autem arcus differentia erit -- simo
differentiam ma, qui est tuantitas Coniungenda Cum arcu ad inveniendam integrationem propositae formulae ea autem erit , ex qua differentia arcus est detrahenda , ut proVeniat formula proposita quare habebimus d e
BD , scili Cet differentiae arcu tangentis f. . Ope hujus Theorematis Bernoulliani reducitur ad rectificationem curvae algebraicae formula logarithmica'; nam faeta collatione cum formula pii , proVenit p
sumendus est , inveniuntur sive
g. o. Ut definiam quodnata signum sumere oporteat, accipio duarum coordinatarum differentias, elevo ad quadratum, in simul duo quadrata conjungo invenio ----- . x es L , extrasta radice . παz diu differentio vφ- ῆ, ut habeam -- --- , quam addo
155쪽
addo superiori, e quo provenit formula proposita . Ergo vera formula est . . ex - a b Lm, in qua ita accipitur , ut crescat restente e etenim 1 Lα. - .d non accipiatur positivi, tun coquncta tum indifferentia scilicet quantitatis algebraicae non restitueret formulam aequatio nostrae curvae non nisi pro lixo calculo potest elici verum parum soliciti esse debemus de hac dissicultate, dummodo facile it describere CurVa Cum
quibus, ut Constat ex elementis algebraicis habetur iur Vae adhibendae descriptio. S. II. Xemplum tertium Construat formulam , facta collatione Cum theorematis formula cano
curvae arCUS , qui crescit Crescente, , vocetur L calculus ipse
docebit formulam hoc modo scribendam esse
dinatae suffciunt, eleva ad potestatem ordinatam
156쪽
quae aequatio est ad infinitas parabolas m hyperbolas. g. a. Quamquam Theorema propositum maxima gaudeat utilitate , inutile tamen a quantitatibus imaginariis aliquando redditur, quum scilicet est b, o tunc enim ordinata s. Ι- evadit imaginaria . Ut huic incommodo remedium tu tu: Π afferam, sequentem methodum adhibeo demonstrando nimirum, quod subditur theorema. Posita lx sd describatur curva coordinatarum .pp- p -- pQ uajo fore, du- - γ I fp x. g. 3. HOC Theorema demonstro eodem modo a Ber-
noullianum de1Monstravi. Iumantur enim COOrdinatarum ele-
f. 4. Hoc primum invento, advoco Theorema Bernoullianum ad inveniendam integrationem o multe u - γ' perrectificationem curvo algebraicae . Ut hoc fiat, porro
157쪽
OpusCULA. I a Tu formula evadat tu. I-qq, in qua est quia duφ' dy'. Ergo quae in Theoremate Bernoulliano est , nunc sit et di sue . Ergo qzz I - p, quae possiti V est, nam ponitur esse 1 quae vero in Theoremate Bernoulliano est hic est v quae vero ibi est hic vocetur z; quare in eas formulas introductis his valoribus habebis da m. ' L pro καsdp pro coordinatis CurVarum habe-
i imaginaria nulla tui bare polli in . Hoc modo patefactunael si te dubitatione quamlibet sermulam differentialem perrectilicationem Curva algebraicae construi posse. f. s. Haec Omnia oportet exemplis illustrare . Sit primo
construenda formula Theoremate Bernoulliano uti non licet, 'uia possit - - p, fieret
quantitas negati Vc nam x accipi semper debet major a alio. quin formula proposita esset imaginari . tiare confugiendum est ad nostram methodum erit itaque sp -
2 dx. d. - . Praetere coordinatae curvae adhibendae in veniuntur esse 2 ta sive x et u . Ergo
Theoremate nostro habebimus et
f, du' Huic radici calculus :)dicabit signum se ecte
apponendum f. 6 Jam Vero per ea, quae dicta sunt numero 4, ΟΠ' struamus formulam , du d= rectificato arcu CurVae alge 'braiis
158쪽
quantitas curvae ungenda παzρ erit aequali 2 v. a . Coordinatae Curvae inveniuntur ada. X - , - 2 a DesCripta a curva ejus arcus, qui ita accipiendus est, ut crescat crescente Q, vocetur et L substitutis congruis peciebus in formula du' Ἀγ' erit a T. x-a i m od F . Quare hoc valore substituto in formula numeri cis erit et a Q.V - - , IV TT U, sive I9, quae ostendit formulam integrari per so-
f. 18. Reassam pro seCundo Xemplo formulam togarithmicam numeri , quae per Bernoullianum Theorema ad integrationem perduci non potest, quando est x a nam in hoc casu I-ppetra esset quantitas negativa, adeo
159쪽
praeponere debes, quippe quia sum tis coordinatarum n, differentiis, invenies dui 'Ff u zzz
g. 9. Ut pervenias ad optatam Constructionem calculum ulterius promoveas oportet, inveniendo nempe -
Quantitat L signum fagimus; nam
sumptis coordinatarum differentiis et a sis'.
160쪽
dratiram elevatis, atque in lunam summam colle piis extra claque Inae adsce quadrata exurgit aequale Q, re ii x quod indicat signum radicis esse positive accipiendum g. O. Exemplum tertium doceat reducere ad rect ificatio
nem Cur Vae algebraicae formulam differentialem des U . facta collatione cum formula generali 4 dpe habebis m
titatem negativam per consequens ordinatam S.I PI . imaginariam methodo ei noulliana, tamquam inutili seposita , adhibe nostram, pro qua invenies p o m quantitatem positivam Cum sit pα--, atque
quantitatem algebraicam du ungendam ; erit itaque