Bernardi Nieuwentiit Analysis infinitorum seu Curvilineorum proprietates ex polygonorum natura deductæ

121쪽

ipsius, determinatione sint possibilia, apertE

consequitur:

Sirsrrsit minor ipsis o xx fores se minoremi adeoque curvam versus axem A F

concavam.

II. Si contrarium eveniat, ore convexam. III. Si sibi mutuo aequentur, seu si sit,srr 3 s xx x , curvam in hac puus magnitudine fore nec concavam nec convexam verum hac aequatione ipsum curvae flexus conistrarii punctum definiri.

Schol. Placuit hoc potius Conchoidis exemplo prae aliis uti , cum inter problemata illustria a praestantissimis hujus aevi Mathematicis numeretur tum inanonilmsuperius traditoriam in inquirendis sub tangentibias praecepta sequi ut, quod ante circa signorum iiotationem insinua-ximus, apertius pareat. Ipsam enim i continuo neg/itivo valore expressam esse, cum a contrariis ipsius x partibns respectu applicatae inveniatur, nemo non videt, ac nihilo secius signa, ex canonum legibus oriunda, servando adaequationem lagitima signorum qualitate assectam deveniri. Possent&in modun s. 37 8,haec infinitis curvis simulti semel una opera applicari, ac licet stibiangens t. r quaslibet aliarum curvarum applicata designaretur,idemissici sunde ipsam s ad expositae curvae abscissam ordinatamve aut quod hisce exemplis perpetuo factum fuit, primo referre necessarium non erit verum haec, cum satis leviter ex ante dicti seruantur, compendii gratia, privato cujuslibet studio committimus.

122쪽

03. Nescio an operae suturum sit pretium speculationem quandam, quam per otium ulterius perficere mihi animus fuerat, hic adjungere circa methodum tangentium inversam qua satissit huic problematici Dat valore lineae cujuslibet

subtangentis seu, Fig. XXII ipsius T inter ap

plicatam D tangentemque D T intercepta interminis aequationis proximis, invenire curva huic malori convenientis aequationem. Quos autem terminos aequationis proximos appcllem , exemplo potius manifestabitur: it Fig. XXII. Q:t,AQ: A , QD. , T D s, cur-Va AD. z, cujus aequatio γ' ljjD, A 'Φr xx, erit juxta .a aut 3s, subtangensos seu i m hos terminos subtangentis alorem exprimentes proximas dico, siquidem ex aquatione curvae proxime dimanantes; si vero hic subtangentis valor per applicationem quationis curvae immutetur, Exemp Grat ponen

xx-Σr hos voco terminos remoros. Idem in caeteris casibus judicium fiet. Jam vero ne subtangentis valore dato, dubium circa hanc terminorum distinctionem oboriatur, sequens exsurgit ex superioribus terminorum proximorum diagnosis; patetque. I Subis

123쪽

I. stangentanais semper unius esse dimensionis, ac per fractionem exprimi. II. Fractionis hujus numeratorem nullos te nino ingredi, in quibus applicata x aut tan-;ens s quae tangens unicam dimensionem nun tuam transcendit non reperiatur. III. Si termini aequationis fuerit simplices, ullam interceptam x in numeratore, nullam aut I neque a in denominatore conspici. IV. Si mixto continuerit aequatio curvae, in x quam ' , item, a s reperiri pos in utraque fractionis parteci hac tamen te, e, ut , fractione denuo ad aequationem re lucta , quae nihilo ponatur itqualis, ae om-ibus ι in ac scinis mutatis, nullus reomam terminus naixtus , qui juxta indeteris

'at natarum suarum , quas continet nurnerum

epetitus non appareato numeris praefixis Ggularum indeterminatarum rotestatum Monentes , ipsorumVe rationes, perpetu ea timentibus.

V. Unde sequitur et minorum , in quibus

aedem indetermiori concurrunt, signa, Ost peractam per numeros praefixos legitimam divi, onem, bre eadem.

124쪽

O . Ut ergo ad rem propitis acet amus, hoc pacto solvitur reccnsitur modo probis

I. Mutato tines, aes, si occurrat,ine cur Vana denotantem, omnes termini in eandem partem rejiciantur ac curiose dis iciatur, num simplices sint termini, num vero intercurrant

II. Si omnes sint sinplices, singuli pernu. merum dimensionum indeterminatarum suarum dividantur: habebitur aequatio curvae

III. Si laeti adsint, legem dia nosti IV.& V praec con servent singuli easdem inde

terminatas continentes per respectivum dimen sonum numerum, ad quem indeterminatae eve- .ctae sunt, hac lege dividantur, ut e singulis. iciem resultet terminus , qui juxta indeterminatarum suarum numerum repetitus apparebit. I rorum terminorum hac ratione se- Idus Occurrentium unico tantum servato, si plicib)4sque juxta Q. et tractatis , emergoua sitia curvae aequatio. E I. Detur ex juxta NM. mutato cinx, aci rejectis omnibus ad eandem

125쪽

bi cum mixti adsint , Ixx dcxx , item singuli secundum duarum inde,

irrminatarum numerum bis repetiti si mixto-am indeterminatas continentium alter pecimensiones ipsius , alter per dimensiones ip- us)juxta N III dividatur, orientur termi- IxxΦIxx secundum . IV simplicibu a ue per suarum indeterminatarum exponentesivisis, nascetur aequatio curvae requisita . I x x in I x '' in I: O. Exemp. III. me autem aequationes, quae ruas involvunt, neglexisie videar, sit, posita loco curVae,

Oportet quationem curvae congruam exhi- re quare juxta μ' ra, tria a 4 ac Lin et Ver- , omnibusque terminis ad eandem partem re

actis erit

a bis

126쪽

repetim , solo r' existentes plies, cumque etiam pateat terminos mixtos per in terminatarum respectivum dimensionum numerum divisos eundem quotientem relinquere, fractionem ipsam exprimentem in teraminis aequationis proximis datam csse jam cer . ti sumus , juxta l. 3. numerata criteria: adeoque simplici ex more tractato, mixtorum iisdem indeterminatis constantium unicorctent , exoritur aequatio curvae 3 α. x x tr et z. - r aut addita qualibet determinata quantitate , I xx et

rr O. NB. Determinatam quantitatem semper in ventae aequationi addi posse, ex tangentiumrnethodo directa patet cum in subtangenti inquirenda continuo excidat quin ol, quando necessarium Videtur.

Exemp. IV Detur erit is x a x in x adeoque x x o I o,aequatio quae sit , ea addita determinat A ac in o I at ρ, cum primo inventa aequatio , non nisi falsam radicem admittat. 93. O-

127쪽

05. Otetur, quod insequentibus usum aliquem praestiturum est, ex methodo C do tra dita sequi, quo pacto, Fig. a I ex datii terυHli cujusvis quam lineam Sc ob- normalem in seqq vocabo valore analytico curvae AD E aequatio conveniens indagari possit, ii ita enim taxit, est perpetuo subtangens seu i , uti notum quae subtangenti cxprei. O ad terminos proximas reducta, juxta s. 9 . reqHisitam aequationem prodet

Schol. Praecedentium demonstratio ex . I , P, s. non dissiculi et Olliget tur curri, tia i albi circa m 'thOci lira tanqentatim directam praecipiantur , hic ordine re-irograc o sim tra ita ac solus jam terminos remotos sub tangenti: Valor ira exprimente ad proxime reducen clini odus hac in parte desiderari videtiir, quod cisectiam dabitur irra sit methodus arquationem datam in duo loca, di:as potius 'gitationes , resolvendi , quae datam in I. genam conditionem observant, talem scilicet, i S inter aequationem curvae, cetmque uiae sub tang 'nras vat orem exprimit, e supra tradicis requirita r. Quod quam variis modis tentari queat, aequationum con- lstructiones palam faciunt hoc enim casu aequationem datam quamcunque in infiniti generis loca dirimi, in ea qua quotlibet fere quantitates, ex assumta hypotheseos inllitii- o, seu aequali Oirilia , tum ipsul curvae naruram, tum ellus sub tangentem exprimentium relatione mutua, determi-hatio iem patientes invehi posse, polit editum Celeberr: Stulti Mese iduam nemo ignorat.

Cumque jam termini subet sagentium proximi ex metho idis .i , 7, 3s, oriundi ex facili dignos rantur; ubi

nimiium curvarum aequationes per unius pluriumve cuse

128쪽

Varum interceptas applicatasque , qui se ipsas respectivas curvas exprimuntura restaret hanc regulam extendendi modus ad ejusmodi curvas, quarum indeterminataei are potestatum exponentes reperiuntur δεῖ g. 7. seqq: tumi ad alias, quarum aequationes non , nilimediantibus infinite simis, exprimi alant P. quas ivter sequentia magis commode tradiabimasci licet utrumque hoc non antum sed momnia curvarum genera ad methodum s. expositam referri valeant. Hanc autem subtangentium subnormaliumque varietatem exacti iis dis cutere , ac ad unum pluresve , omnibus tamen inversae methodi casibus suffcientes , canones reducere , nostri nunc est nec instituti, nec otii: non enim huc spectantes methodos omnes, quae animo adhucdum obversantur, explorare permisit temporis augustia. Interim, ne curiosioribus inquirendi occasidiae praescindam , paucula quaedam tentamina subjicio insimulque quomodo ex singuli immensum exemplorum ac th orematum agmen , citra ullam calculi molestiam educi queat, exhibito levi specimine ostendam.

06. Quem in finem, quamcunque terminrum summam tum determinatorum,tum simpli cium x continentium, quibuslibet signis si

sectorum , ut ' Ixx dcc. Voco ac per eandem et, aut solam, aut in quot libet ae ductam, in x et xx c. si perma

ipsim et terminorum seriem, cum singuli te mini per dimensionum ipsius x numerum sunt

129쪽

ter mi triplicatam , sin vero per B diVidatur,

erit aut summa eadem similiter di-

vit a. N B. Has quantitates parenthesi includo cum ' On nisi junctim in aequationis divisione aut sil ultis licarione c. adhiberi possint, irai ex: aria.' natura cognita satis innotescit. Tandem quantitates determinatas , dimen- sonibus aequandis quandoque inserVientes, ap-

130쪽

subnormalium valores per fractionem V expres sos omnes esse ad terminos proximos, adeoque ad curvam congruam reducibiles.

curvae respondentis hCum autem chic perrinantitatem irrationalem sit divisa, notum est .si potestas signi radicalis fiat negativa , ipsam per andem quan- .itatem multiplicatum iri quo in casu erit ρή,&aequatio mutato uxta