Bernardi Nieuwentiit Analysis infinitorum seu Curvilineorum proprietates ex polygonorum natura deductæ

211쪽

I. T X superioribus Fig. LIV. spatium . AD O polygonum est , quia urva rectulis D E dc similibus contat in quo spatio, tanquam basi, erigatur

orpus columnare in altitudine α , seu O onstabit lioc infinitis columnulis, quarum ba- es sunt trapeziola D V, altitudines quod ex geometriae Vulgaris praeceptis no-um est. a. Cujus columnulae valor algebraicus ut nveniatur, fiat ut supra D mi Η ΚΗ: a DE: Q, altitudo α r. erit quaesita zolumnula r)e, hoc st aequalis basi in altitudinem ductae adeoque integra columna momia. Ie seu , juxta praecedentem omnibus

parallelopipedis in basi rectangula D: 'H cum prisma triangulo H insistens ob ipsius trianguli nullitatem nihilo sit aequale est nim

triangulum D HE T, trisua ei insistens quod ex lemm . Ira nullum est.

212쪽

Qiiod hic licet jam ad nauseam C re inculcatum , o nemus, ne pollea de sectione columnari acturi illud repetere necesse habeamus. Cum omnia Corpora, tum pyramidalia rum cyliud rica c. basin nihilo aequalem habenatia etiam nihilo aequival ant, adcOq. in calculo praetermitti

debeant.

s. 3. Hinc patet, si fuerint duae columnae, quarum bases sunt in eadem latitudine AO applicata primae baseoscio, secundae et, tum altitudo primae columnae r secundae O, si infinitessima e sibi perpetuo constans & aequalis assumatnr, ore primam columnam seu omniarre ad secundam seu omnia sye, ut omnia Iad omnia s), hoc est , ut summa rectangulorum ex applicatis singulis in altitudinem ductis in prima columnaci ad totidem resipondentia rectangula in secunda. Plura hinc quilibet ad I 6, 7 8, 9, c. Cap. praec normam facile deducet. g. 4. Qiuod si Fig. LV. N I columna haec plano per lineam i ipsi A lae quidistantem trai seunte, quodq. plano per utriusque baseos axem F incedenti normale est , Oblique secetur, ortum hinc ducent duo columnae segmenta superius inserius , iisdem corpusculorum

generibus inverse constantia quae truncorum nomine vocant Geometrae.

Hos consideranti innotescit truncum inferio

213쪽

em constare infinitis Corpusculis, quorum bae sunt raperia D A RE , altitudines ab una arte PG, ab altera i , DK; quae ut calculo explicentur, caeteris, Ut supra, p- ellatis , jctis I l .Xm s erunt rimo omnia basi triangulari Ma directe insistentia ob ipsius trianguli nullitatem ex emna. Is relicienda unde tantum pro calculo . estat rectangulo P I H insistens prisma GLLDHm aequale parti ins nitesimae trunci inserioris a plano resecti aquare factis Cy b, S: h, C d, erit J

UUnde hoc in casu constabit truncus omnibus T in se; iupposito me k, hoc est angu

ibus, in re, seu iterumq si a CD 1e ii γα et , constabit idem truncus minibus g. s. Unde exposito alio cylindrico, cujus 3asis ejusdem latitudinis cum oblique

secto , factaq. divisione per e, erit truncus inferior primi cylindrici ad truncum inferiorem secundi , ut omnia trapezia Q rex in primo ad

214쪽

ad omnia trapegia correspondentia in secundo. Hoc notetur, cum haec trapezia Im a sint continuo seu aequalia differentiis quadratorum in D constitutoruis, truncorum rationem per has differentia cxprimi posse. s. 6. Quod si planum secans non transeat per B C , sed per basis axem crit . seuo quique hinc resultabit truncus, unguia Ionomine alias dictus, constabit infinitis stuprismatibus PHLYD. Eritque in ratione ad aliam ungulam, ubi sibi semper aequalis divissione excidit, ut omnia T seu triangula QD, ad totidem triangula in secunda ungula. g. 7. Si verysiathrab,&angulus ideo quo plamim secans lineam A transit semirectus, erit hujus ungulae, quae hac de causa semiquadrantalis vocari solet, pars infinitesimi atque

triangulum hoc in casum T.

. . Si autem non e sed , , propa te Corporis ins nitesima assumatur, aliud soli

di genus es rmabitur, duplum ungulae facta

215쪽

mirum Fig. LVI. linea Due ut supra α

rat continuo, utra ad Mit a b , quaesista-itur in normalis Figurae OF crit

impletum parallograminum Ii uod si ducatur in infimiesimam Q P seue, orbur parallelopipedum solidi hujus infinitesimum; iam caetera extra hoc parallelopipedum extantia orpuscula juxta lem Io ex calculo evanescant. Hoc autem perpetuis his parallelopipedorum gregatis conflatum solidum A PCB ejus est roprietatis , ut quaelibet sectio , rectangulo OF parallela , faciat parallelograminumh3 QD I seu . quodnaonuisse sussiciat, cUmel hoc principii loco pro Curvilineorum mens 3 is statui possit quoniam vero ungulae simpli-itiores forsan visae fuerunt , iis potius insistere potuisse geometras vero est simile. g 0. Cum autem Fig. LVII trUnci ungulae velasis OF juxta superiora , non tantiarri respectu A O in trapezia verum c

respectu O in trapezia Gl dividi potest,

i constabit , hoc supposito , Ungula truncusve AO FV solidis trapeato D GI insistentibus, quale est D GIE M a L. Q nod ut Calculo expcimatur , sat L:s, I x,

216쪽

Iemna Io, nihilo aequivaleant, restabit solum parallelopipedum G ITKNREH mos e i, eras xe, ex eodem lenam. I, pro lidi huius infinitesima ; adeoqtae ungula sive truncus Uovis modo per i resectus in ratione ad alium elisa utriuq e, ut omnia sis seu omnia rectan-gnia MLIE. Unde si solidum si ungula semiquadrantalis per A O resecta, erit u seu si O seu 3, ad

tangulum O Lor quare hoc in casu ungula semiquadrantalis OF V algebraice per omnia dix efferetUr. io Sit C: MBC ipsi A parallela, erit C I:dΦ3 seu CO I secetur cylindricus ipsi OF insistens plano seminormaliter per B C transeunte, erit trunci inferioris infini tesima Σαdxe xye ratio trunci ad aliuna ejusdem latitudinis calculo designabitur per omnia Ha 3 seu rectangulae C in I E. g. II. Quod si perpetuo fuerit C ad I Lin Pasti, erit trunci inferioris cylindrici, in angulo, quem data ratio ipsius , ad , determina , per B resecti infinitesima absoluta radi in o

217쪽

t x in respectiva vero ad alium ejusi in latitudinis truncumi rectangulum d x Ix

g. 2. Hoc notetur, Fig. LV V'. I. trui am cujuslibet cylindrici inseriorem aequari minae cylindrici in eadem basi constituti in alta dine G, ungulae ejusdem cylindrici basi periori insistentis, eodem plano, per adndem angulum transeunte, resectae. Demonstratio ex appositae Figurae inspectione tet. um& calculus eandem statim prodit,dhre rheenim infinitesima trunci ux-

g. . ex s. a. ad cylindricum,

:scit. Corollaria casus particulares concernentia hic non ad- ngo, cum in sequentibus abunde circa solida ex rotatio- 'us genita sese ingestuta sint.

s. 3. Neque tantum ad curvilinea , quae tem ac basin rectilinea: habent , modo de-

218쪽

ducta extenduntur; Verum . Fig. LV. N a. ad Figuras quibuslibet peripheriis terminatas, applicari possunt cum enim triangula viga in O , ex lemmaterio, nihilo aequivaleant, eruntin solida iis superstructa nihilo aequalia: adeoques hoc in casu, trunci ungulaeque per eadem, quae modo ex calculo inventa sunt, pris mata designabuntur.

De corporibus ex Cur in reorum rotatione genitis.

In constat infinitis rectangulisQPEI', R T, c. seu vocatis PE: a- finiresima : eo omnib. e. quae rectangula DEI , c. si circa respectivos axes PM QR S c rotari concipiantur, essicient infiniti hi cylindruli integrum cylindrum ex iugcirca exiguorumq. horum cylindrorum valor algebraicus, juxta cylindri mensuram inclementis traditam, erit posita nimirum ratione radii ad circumferentiam ut ad ,

quod in sequentibus semper obtinebit adeoq. totus hic cylindrus explicabitur per omnia . :

219쪽

h p. III. Anahyis ustuitorum. 93mae appellata P:d aequivalebunt termi- absoluto C.

I. 3. Huic rectangulo APE B inscriptum triangulum vocatisque A :X: γ, R infinitesima erit trianguli pro-ctetatem exprimens aequatio bE o, conabitque hoc triangulum uata Cap. praec. g. q.

imb. Fera omnib. hoc est infinitis rectantis RX haec autem omnia rectangula ii triangulum A PE , si circa axes suos R,nVertantur, generabunt conum AEM innumeris cylindrulis hisce constantem quoruna lindrulorum valor analyticus exta praec est α

llet omnibus

is absolutae quantitati quae , O- ta x maximari . AP , transiit in hanc

Mahi hoc in Cassii , methodi gratia , Figliras circum N scriptas

220쪽

Anal sis Infinitorum. Ap. III.

scriptas adhiberi rationemq. coni ad cylindrum, utpote ex Cap. II. g. immediate profluentem , eodem cum caeteris principio demonstrare cum conus, utut ex figu- rectilinea seu triangulo ortum ducens, rotationis tamen nomine curvilineis annumerandus videatur.

g. 6. Hoc notetur, cum in sequentibus semper subintelligendum veniat, eadem haec omnia in conversitone partiali locum habere. Si enim rectangulum AP EB circa axem A P per a

cum a tantum conVertatur, erit arcu sun

ii in radio, positoris pars cylindri conver

sione isthac imperfecta geniti ta , .

Possent ex eodem, quo s. s. usi sumus, fundamento, seu curvilineorum in rectangula divisione, generalia soli- domi symptomata deduci, cum Vero eorum in trapeχia distinctio tum hanc , quam intendimus , solidorum discussionem, tum superficierum condidalium naturam magis directe spectet, hanc viam eligemus.17 Ex praec Fig. LIX, spatium Aiaconstat infinitis trapeziis D E , DP OF & quae si singulae rotentur circa suos axes, α', 'O , cssicient totidem conos truncatos, vertices habentes in ubi tangentes seu Curvae coincidentes G, FG , productae axem O A secant Omnesque hi coni truncati ex trapeziis D P E circa axes P volutis conficient solidum ex integra Figura mi tillinea